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Rodrigo Lins Rodrigues
rlr@cin.ufpe.br
rlr@ded.ufrpe.br
Agenda
 Introdução;
 Testes paramétricos;
 Formulação de hipóteses;
 Tipos de erros;
 Etapas para a construção de hipóteses;
Testes de normalidade;
Teste t de Student para uma amostra;
Teste para duas amostras aleatórias independentes;
Teste para duas amostras aleatórias pareadas;
Aplicações computacionais.
2
• Trata-se de uma técnica para se fazer a inferência
estatística sobre uma população a partir de uma
amostra;
• Toda hipótese tem como objetivo testar
parâmetros populacionais;
• É baseado em uma amostra representativa da
população;
3
Introdução
• São aplicados em situações em que se conhece a
distribuição dos dados;
• É necessário pressuposto de normalidade;
• São testes mais robustos do que os testes não-
paramétricos;
• Servem para testar parâmetros populacionais,
tais como: média, variância e proporção;
4
Testes paramétricos
5
Formulação de hipóteses
Unilateral à esquerda:
Ho:  = 50
H1::  > 50
Unilateral à direita:
Ho: :  = 50
H1: :  <50
Bilateral:
Ho: :  = 50
H1::   50
6
Formulação de hipóteses
Se o valor da estatística do teste cair na região crítica,
rejeita-se Ho.
Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não
houve evidência amostral significativa no sentido de
permitir a rejeição de Ho.
7
Tipos de erros
• Passo 1: Definir a hipótese nula H0 a ser testada e a hipótese
alternativa H1.
• Passo 2: Definir o nível de significância.
• Passo 3: Escolher uma estatística de teste adequada.
• Passo 4: Fixar a região crítica do teste (o valor crítico é
determinado em função do nível de significância).
• Passo 5: Retirar uma amostra e calcular o valor observado da
estatística do teste.
• Passo 6: Se o valor da estatística pertencer à região crítica,
rejeitar H0; caso contrário, não rejeitar H0.
8
Etapas para a construção de hipóteses
(sem software estatístico)
• Passo 1: Definir a hipótese nula H0 a ser testada e a hipótese
alternativa H1.
• Passo 2: Definir o nível de significância.
• Passo 3: Escolher uma estatística de teste adequada.
• Passo 4: Retirar uma amostra e calcular o valor observado da
estatística do teste.
• Passo 5: Determinar o p-value que corresponde à
probabilidade associada ao valor observado da amostra,
calculado no passo 4.
• Passo 6: Se o valor o p-value for menor do que o nível de
significância α estabelecido no passo 2, rejeitar H0; caso
contrário, não rejeitar H0.
9
Etapas para a construção de hipóteses
(com software estatístico / p-value)
• Uma das premissas dos testes paramétricos é o
pressuposto que os dados seguem distribuição
normal ou gaussiana;
• É possível ter indícios, graficamente, sobre a distribuição
dos dados, no entanto, somente os testes de aderência
podem comprovar se os dados seguem normalidade;
• Os dois principais testes de normalidade são:
▫ Kolmogorov-Smirnov
▫ Shapiro-Wilk
10
Testes de normalidade
Detalhamento de cada teste
Exemplos
• É aplicado quando não se conhece a variância
populacional;
• Testa se a média populacional assume ou não um
determinado valor;
• Trata-se de testar se um valor é verdadeiro em
relação ao valor do parâmetro populacional.
12
Teste t de Student para uma amostra
• Uma empresa está lançando
um novo caminhão.
• Deseja-se testar a hipótese de
que o tempo médio de
pintura do novo caminhão é
igual ao caminhão antigo, que
é de 690 min.
• Para isto coletou-se uma
amostra de 12 elementos do
novo caminhão e mediu-se o
tempo médio de pintura.
13
Teste t de Student para uma amostra
(Exemplo prático - 1)
Caminhão Y Tempo de pintura
1 920
2 710
3 680
4 1000
5 1010
6 850
7 880
8 990
9 1030
10 995
11 775
12 670
Média 875,833
Desvio 136,662
• Primeiramente, verifica-se se há normalidade dos dados por meio
do teste de kolmogorov-Sminrnov ou de Shapiro-Wilk.
• Como o nível de significância observado para os dois testes é
superior a 5%, conclui-se que há normalidade dos dados. Pode-se
aplicar o teste t para uma única amostra.
14
Teste t de Student para uma amostra
(Exemplo prático)
Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
TempoPitura .215 12 .132 .875 12 .075
1. A hipótese nula H0 afirma que o tempo médio de
pintura do novo caminhão é 690 (μ = 690) e a hipótese
alternativa H0 afirma que μ ≠ 690;
2. O nível de significância do teste é α = 1%;
3. Escolhe-se o teste t com 11 graus de liberdade
(tamanho da amostra - 1);
4. A figura abaixo representa a região crítica do teste (ver
tabela)
15
Teste t de Student para uma amostra
(Procedimento)
Obs: ver tabela
1. xxx
16
Teste t de Student para uma amostra
(Procedimento)
5. Calcular o valor real da variável T:
6. Conclusão: como o valor da estatística pertence à região
crítica, isto é, Tcalculado > 3,106, o teste rejeita a hipótese
nula, concluindo que o tempo médio de pintura dos
caminhões do tipo Y é diferente de 690 (μ ≠ 690)
17
Teste t de Student para uma amostra
(Procedimento)
• É aplicado para testar se as médias de duas amostras
aleatórias, extraídas da mesma população são ou não
significativamente diferentes;
• As duas amostras tem distribuição normal com
variâncias desconhecidas, porém, iguais;
• É pressuposto que a variabilidade das variáveis são
iguais;
• Por exemplo... Podemos querer testar se o desempenho
de uma determinada metodologia de ensino é igual pra
duas turmas de uma mesma série e escola (população)
18
Teste t de Student para duas amostras
aleatórias independentes
• Pretende-se verificar se o tempo médio de fabricação de dois
produtos plásticos (x e y) é semelhante. Para cada produto, coletou-
se o tempo médio de uma amostra de tamanho n = 10;
• Verificamos primeiramente a normalidade das variáveis:
19
Teste t de Student para duas amostras aleatórias
independentes (Exemplo prático - 2)
Produto Tempo médio
X 16 22 27 20 18 24 19 20 21 25
Y 30 25 25 28 27 33 24 22 24 29
Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Variável X
Variável Y
.140
.195
10
10
.200
.200
.979
.960
10
10
.957
.791
1. A hipótese nula H0 afirma que as médias populacionais são iguais,
isto é, H0: μx = μy. Já a hipótese alternativa afirma que as médias
populacionais são diferentes, H1: μx ≠ μy ;
2. O nível de significância do teste é α = 10%;
3. A variável teste escolhida é T;
4. De acordo com o teste de Levene, pode-se concluir que as
variâncias são homogêneas. Logo, o número de graus de liberdade
é G.L=10+10-2 = 18. A região crítica do teste é:
20
Teste t de Student para duas amostras aleatórias
independentes (Exemplo prático - 2)
21
Teste t de Student para duas amostras aleatórias
independentes (Exemplo prático - 2)
5. Como as variâncias são homogêneas, o valor real da
variável T é calculado a partir da equação:
6. Conclusão: como o valor da estatística pertence à região
crítica, isto é, Tcalculado < -1,734, rejeita-se H0, concluindo
que as médias populacionais são diferentes.
22
Teste t de Student para duas amostras aleatórias
independentes (Exemplo prático - 2)
• É aplicado para verificar se as médias de duas amostras
relacionadas, extraídas da mesma população, são ou não
significativamente diferentes;
• Além da normalidade dos dados de cada amostra, o teste
exige que as variâncias de cada amostra sejam iguais
entre si (homocedasticidade);
• Como exemplo temos... Imagine que queremos testar a
aplicação de uma interface em dois momentos para o
mesmo grupo de usuários e queremos saber se teve
diferença significativa no tempo de uso para a realização
de uma atividade.
23
Teste t de Student para duas amostras
aleatórias relacionadas (pareadas)
• Um grupo de funcionários foi submetido a um
treinamento, e o objetivo é verificar o desempenho deles
antes e depois do curso. Para tanto, foram atribuídas
notas para cada funcionário de 1 a 10, antes e depois do
treinamento. Utilizou-se uma significância de α = 5%;
24
Teste t de Student para duas amostras
aleatórias relacionadas – (Exemplo 3)
Momento Notas atribuídas
Antes 5,5 6,1 6,7 6,2 7,0 7,2 5,8 6,8 6,7 7,4 5,0
Depois 6,0 7,2 6,8 8,2 9,0 5,8 6,5 7,2 8,7 5,0 9,2
• Primeiramente foi necessário verificar se as hipóteses de
normalidade de cada grupo e de homogeneidade das
variâncias são satisfeitas;
• Verificando a homogeneidade das variâncias;
25
Teste t de Student para duas amostras
aleatórias relacionadas – (Exemplo 3)
Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Antes
Depois
.201
.147
11
11
.200
.200
.956
.952
11
11
.723
.675
Levene
Statistic
df1 df2 Sig.
3.948 1 20 .061
1. A hipótese nula H0 afirma que as médias populacionais são iguais,
isto é, H0: μx = μy. Já a hipótese alternativa afirma que as médias
populacionais são diferentes, H1: μx ≠ μy ;
2. O nível de significância do teste é α = 5%;
3. A variável teste escolhida é T;
4. Fixar a região crítica com o auxílio da tabela T;
26
Teste t de Student para duas amostras
aleatórias relacionadas – (Exemplo 3)
5. Calcular o valor real da variável T;
6. Conclusão: como o valor da estatística não pertence à região crítica,
-2,228 <= T <=2,228, não se rejeita H0, concluindo que não houve
melhora no desempenho dos funcionários após o treinamento.
27
Teste t de Student para duas amostras
aleatórias relacionadas – (Exemplo 3)
28
Vamos praticar
Softwares utilizados na estatística
• Existem diversas ferramentas que dão suporte a
análise dos dados quantitativos, dentre elas:
Trabalhando com a base de dados
• Geralmente as bases de dados são digitadas em excel;
• Todos os softwares estatísticos importam bases em
formatos: xls, xlsx, csv, txt,etc;
• É aconselhável que a base seja transformada pra CSV;
• Quando existem diferentes bases de dados e queremos
fazer integração pra análises, utilizamos alguns
softwares:
Scripts para análise – Base de dados
• Importando a base de dados:
▫ dados<- read.csv2(“dados.csv”, head=T)
• Dando acesso as variáveis:
▫ attach(dados)
• Algumas análises descritivas:
▫ hist(variavel)
▫ Boxplot(variavel)
▫ mean(variavel)
▫ Etc..
Scripts para análise – No R
• Teste de normalidade
▫ shapiro.test(amostra)
• Teste para valor de referência
▫ t.test(amostra1,mu=15)
• Teste para comparação de médias:
▫ t.test(amostra1, amostra2, var.equal = TRUE)
• Comparação de médias pareadas:
▫ t.test(antes,depois,paired=TRUE)
Análise no SPSS
• Teste de normalidade
Análise no SPSS
• Teste para uma única amostra
Análise no SPSS
• Teste t para comparação de duas médias
Análise no SPSS
• Teste t para comparação de duas médias pareadas
Indicação bibliográfica
38
Dúvidas ?
Contatos:
Email: rlr@ded.ufrpe.br;
Cel: 9874-6647
Facebook: facebook.com/rodrigomuribec

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Teste de hipóteses - paramétricos

  • 2. Agenda  Introdução;  Testes paramétricos;  Formulação de hipóteses;  Tipos de erros;  Etapas para a construção de hipóteses; Testes de normalidade; Teste t de Student para uma amostra; Teste para duas amostras aleatórias independentes; Teste para duas amostras aleatórias pareadas; Aplicações computacionais. 2
  • 3. • Trata-se de uma técnica para se fazer a inferência estatística sobre uma população a partir de uma amostra; • Toda hipótese tem como objetivo testar parâmetros populacionais; • É baseado em uma amostra representativa da população; 3 Introdução
  • 4. • São aplicados em situações em que se conhece a distribuição dos dados; • É necessário pressuposto de normalidade; • São testes mais robustos do que os testes não- paramétricos; • Servem para testar parâmetros populacionais, tais como: média, variância e proporção; 4 Testes paramétricos
  • 5. 5 Formulação de hipóteses Unilateral à esquerda: Ho:  = 50 H1::  > 50 Unilateral à direita: Ho: :  = 50 H1: :  <50 Bilateral: Ho: :  = 50 H1::   50
  • 6. 6 Formulação de hipóteses Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se Ho. Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.
  • 8. • Passo 1: Definir a hipótese nula H0 a ser testada e a hipótese alternativa H1. • Passo 2: Definir o nível de significância. • Passo 3: Escolher uma estatística de teste adequada. • Passo 4: Fixar a região crítica do teste (o valor crítico é determinado em função do nível de significância). • Passo 5: Retirar uma amostra e calcular o valor observado da estatística do teste. • Passo 6: Se o valor da estatística pertencer à região crítica, rejeitar H0; caso contrário, não rejeitar H0. 8 Etapas para a construção de hipóteses (sem software estatístico)
  • 9. • Passo 1: Definir a hipótese nula H0 a ser testada e a hipótese alternativa H1. • Passo 2: Definir o nível de significância. • Passo 3: Escolher uma estatística de teste adequada. • Passo 4: Retirar uma amostra e calcular o valor observado da estatística do teste. • Passo 5: Determinar o p-value que corresponde à probabilidade associada ao valor observado da amostra, calculado no passo 4. • Passo 6: Se o valor o p-value for menor do que o nível de significância α estabelecido no passo 2, rejeitar H0; caso contrário, não rejeitar H0. 9 Etapas para a construção de hipóteses (com software estatístico / p-value)
  • 10. • Uma das premissas dos testes paramétricos é o pressuposto que os dados seguem distribuição normal ou gaussiana; • É possível ter indícios, graficamente, sobre a distribuição dos dados, no entanto, somente os testes de aderência podem comprovar se os dados seguem normalidade; • Os dois principais testes de normalidade são: ▫ Kolmogorov-Smirnov ▫ Shapiro-Wilk 10 Testes de normalidade
  • 11. Detalhamento de cada teste Exemplos
  • 12. • É aplicado quando não se conhece a variância populacional; • Testa se a média populacional assume ou não um determinado valor; • Trata-se de testar se um valor é verdadeiro em relação ao valor do parâmetro populacional. 12 Teste t de Student para uma amostra
  • 13. • Uma empresa está lançando um novo caminhão. • Deseja-se testar a hipótese de que o tempo médio de pintura do novo caminhão é igual ao caminhão antigo, que é de 690 min. • Para isto coletou-se uma amostra de 12 elementos do novo caminhão e mediu-se o tempo médio de pintura. 13 Teste t de Student para uma amostra (Exemplo prático - 1) Caminhão Y Tempo de pintura 1 920 2 710 3 680 4 1000 5 1010 6 850 7 880 8 990 9 1030 10 995 11 775 12 670 Média 875,833 Desvio 136,662
  • 14. • Primeiramente, verifica-se se há normalidade dos dados por meio do teste de kolmogorov-Sminrnov ou de Shapiro-Wilk. • Como o nível de significância observado para os dois testes é superior a 5%, conclui-se que há normalidade dos dados. Pode-se aplicar o teste t para uma única amostra. 14 Teste t de Student para uma amostra (Exemplo prático) Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. TempoPitura .215 12 .132 .875 12 .075
  • 15. 1. A hipótese nula H0 afirma que o tempo médio de pintura do novo caminhão é 690 (μ = 690) e a hipótese alternativa H0 afirma que μ ≠ 690; 2. O nível de significância do teste é α = 1%; 3. Escolhe-se o teste t com 11 graus de liberdade (tamanho da amostra - 1); 4. A figura abaixo representa a região crítica do teste (ver tabela) 15 Teste t de Student para uma amostra (Procedimento) Obs: ver tabela
  • 16. 1. xxx 16 Teste t de Student para uma amostra (Procedimento)
  • 17. 5. Calcular o valor real da variável T: 6. Conclusão: como o valor da estatística pertence à região crítica, isto é, Tcalculado > 3,106, o teste rejeita a hipótese nula, concluindo que o tempo médio de pintura dos caminhões do tipo Y é diferente de 690 (μ ≠ 690) 17 Teste t de Student para uma amostra (Procedimento)
  • 18. • É aplicado para testar se as médias de duas amostras aleatórias, extraídas da mesma população são ou não significativamente diferentes; • As duas amostras tem distribuição normal com variâncias desconhecidas, porém, iguais; • É pressuposto que a variabilidade das variáveis são iguais; • Por exemplo... Podemos querer testar se o desempenho de uma determinada metodologia de ensino é igual pra duas turmas de uma mesma série e escola (população) 18 Teste t de Student para duas amostras aleatórias independentes
  • 19. • Pretende-se verificar se o tempo médio de fabricação de dois produtos plásticos (x e y) é semelhante. Para cada produto, coletou- se o tempo médio de uma amostra de tamanho n = 10; • Verificamos primeiramente a normalidade das variáveis: 19 Teste t de Student para duas amostras aleatórias independentes (Exemplo prático - 2) Produto Tempo médio X 16 22 27 20 18 24 19 20 21 25 Y 30 25 25 28 27 33 24 22 24 29 Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Variável X Variável Y .140 .195 10 10 .200 .200 .979 .960 10 10 .957 .791
  • 20. 1. A hipótese nula H0 afirma que as médias populacionais são iguais, isto é, H0: μx = μy. Já a hipótese alternativa afirma que as médias populacionais são diferentes, H1: μx ≠ μy ; 2. O nível de significância do teste é α = 10%; 3. A variável teste escolhida é T; 4. De acordo com o teste de Levene, pode-se concluir que as variâncias são homogêneas. Logo, o número de graus de liberdade é G.L=10+10-2 = 18. A região crítica do teste é: 20 Teste t de Student para duas amostras aleatórias independentes (Exemplo prático - 2)
  • 21. 21 Teste t de Student para duas amostras aleatórias independentes (Exemplo prático - 2)
  • 22. 5. Como as variâncias são homogêneas, o valor real da variável T é calculado a partir da equação: 6. Conclusão: como o valor da estatística pertence à região crítica, isto é, Tcalculado < -1,734, rejeita-se H0, concluindo que as médias populacionais são diferentes. 22 Teste t de Student para duas amostras aleatórias independentes (Exemplo prático - 2)
  • 23. • É aplicado para verificar se as médias de duas amostras relacionadas, extraídas da mesma população, são ou não significativamente diferentes; • Além da normalidade dos dados de cada amostra, o teste exige que as variâncias de cada amostra sejam iguais entre si (homocedasticidade); • Como exemplo temos... Imagine que queremos testar a aplicação de uma interface em dois momentos para o mesmo grupo de usuários e queremos saber se teve diferença significativa no tempo de uso para a realização de uma atividade. 23 Teste t de Student para duas amostras aleatórias relacionadas (pareadas)
  • 24. • Um grupo de funcionários foi submetido a um treinamento, e o objetivo é verificar o desempenho deles antes e depois do curso. Para tanto, foram atribuídas notas para cada funcionário de 1 a 10, antes e depois do treinamento. Utilizou-se uma significância de α = 5%; 24 Teste t de Student para duas amostras aleatórias relacionadas – (Exemplo 3) Momento Notas atribuídas Antes 5,5 6,1 6,7 6,2 7,0 7,2 5,8 6,8 6,7 7,4 5,0 Depois 6,0 7,2 6,8 8,2 9,0 5,8 6,5 7,2 8,7 5,0 9,2
  • 25. • Primeiramente foi necessário verificar se as hipóteses de normalidade de cada grupo e de homogeneidade das variâncias são satisfeitas; • Verificando a homogeneidade das variâncias; 25 Teste t de Student para duas amostras aleatórias relacionadas – (Exemplo 3) Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Antes Depois .201 .147 11 11 .200 .200 .956 .952 11 11 .723 .675 Levene Statistic df1 df2 Sig. 3.948 1 20 .061
  • 26. 1. A hipótese nula H0 afirma que as médias populacionais são iguais, isto é, H0: μx = μy. Já a hipótese alternativa afirma que as médias populacionais são diferentes, H1: μx ≠ μy ; 2. O nível de significância do teste é α = 5%; 3. A variável teste escolhida é T; 4. Fixar a região crítica com o auxílio da tabela T; 26 Teste t de Student para duas amostras aleatórias relacionadas – (Exemplo 3)
  • 27. 5. Calcular o valor real da variável T; 6. Conclusão: como o valor da estatística não pertence à região crítica, -2,228 <= T <=2,228, não se rejeita H0, concluindo que não houve melhora no desempenho dos funcionários após o treinamento. 27 Teste t de Student para duas amostras aleatórias relacionadas – (Exemplo 3)
  • 29. Softwares utilizados na estatística • Existem diversas ferramentas que dão suporte a análise dos dados quantitativos, dentre elas:
  • 30. Trabalhando com a base de dados • Geralmente as bases de dados são digitadas em excel; • Todos os softwares estatísticos importam bases em formatos: xls, xlsx, csv, txt,etc; • É aconselhável que a base seja transformada pra CSV; • Quando existem diferentes bases de dados e queremos fazer integração pra análises, utilizamos alguns softwares:
  • 31. Scripts para análise – Base de dados • Importando a base de dados: ▫ dados<- read.csv2(“dados.csv”, head=T) • Dando acesso as variáveis: ▫ attach(dados) • Algumas análises descritivas: ▫ hist(variavel) ▫ Boxplot(variavel) ▫ mean(variavel) ▫ Etc..
  • 32. Scripts para análise – No R • Teste de normalidade ▫ shapiro.test(amostra) • Teste para valor de referência ▫ t.test(amostra1,mu=15) • Teste para comparação de médias: ▫ t.test(amostra1, amostra2, var.equal = TRUE) • Comparação de médias pareadas: ▫ t.test(antes,depois,paired=TRUE)
  • 33. Análise no SPSS • Teste de normalidade
  • 34. Análise no SPSS • Teste para uma única amostra
  • 35. Análise no SPSS • Teste t para comparação de duas médias
  • 36. Análise no SPSS • Teste t para comparação de duas médias pareadas
  • 38. 38 Dúvidas ? Contatos: Email: rlr@ded.ufrpe.br; Cel: 9874-6647 Facebook: facebook.com/rodrigomuribec