Monograf01estat nparamt bom amanha

Universidade dos Açores
Departamento de Matemática
Discente: Filipe Gago da Câmara
Docente: Dr. Osvaldo Silva
Ponta Delgada, 29 de Junho de 2001
Estatística
Não Paramétrica
Testes de Hipóteses e Medidas de Associação

Índice
ÍND CEI
Teste de Hipóteses......................................................................................................................1
Introdução...................................................................................................................................3
Capitulo 1: Caso de uma amostra...............................................................................................6
1.1 Teste da Binomial.............................................................................................................62
1.2 Teste do Qui-Quadrado ( χ ) para uma amostra............................................................10
1.3 Teste de Kolmogorov-Smirnov ......................................................................................12
1.4. Teste de Iterações de Uma Amostra..............................................................................17
Capítulo 2: Caso de duas amostras relacionadas......................................................................23
2.1 Teste dos Sinais ..............................................................................................................23
2.2 Teste de McNemar .........................................................................................................25
2.3 Teste de Wilcoxon..........................................................................................................28
Capitulo 3: Caso de duas amostras independentes...................................................................32
3.1 Teste de Iterações de Wald-Wolfowitz ..........................................................................32
3.2 Teste U de Mann-Whitney .............................................................................................37
3.3 Teste de Moses para reacções extremas .........................................................................41
3.4 Teste da Qui-Quadrado ( 2
χ ) para duas amostras independentes..................................44
Capítulo 4: Caso de k amostras relacionadas ...........................................................................50
4.1 Teste Q de Cochran.......................................................................................................50
4.2 Teste de Friedman ..........................................................................................................54
Capítulo 5: Caso de k amostras independentes ........................................................................57
5.1 Teste de Kruskal-Wallis .................................................................................................57
Capitulo 6: Medidas de Correlação ..........................................................................................60
6.1 Coeficiente de Correlação por postos de Kendall: τ .....................................................60
6.2 Coeficiente de Correlação por postos de Spearman: Sr .................................................64
6.3 Coeficiente de Concordância de Kendall: W ................................................................66
Conclusão .................................................................................................................................70
Bibliografia...............................................................................................................................75
Anexos......................................................................................................................................75
Anexo 0 ................................................................................................................................76
Anexo I: Caso de uma amostra.............................................................................................77
Anexo II: Caso duas amostras relacionadas .........................................................................81
Anexo III: Caso de duas amostras independentes ................................................................85
Anexos IV: Caso de k amostras relacionadas.......................................................................91
Anexo V: Caso de k amostras independentes.......................................................................94
Anexo VI: Medidas de Correlação.......................................................................................95
Tabelas......................................................................................................................................75
Tabela A ...............................................................................................................................76
Tabela B................................................................................................................................77
Tabela C................................................................................................................................78
Tabela D ...............................................................................................................................79
Tabela E................................................................................................................................81
Tabela F................................................................................................................................82
Tabela G ...............................................................................................................................84
Tabela J.................................................................................................................................85
Tabela K ...............................................................................................................................88
Tabela N ...............................................................................................................................89
Tabela O ...............................................................................................................................91
Tabela P................................................................................................................................93
Tabela Q ...............................................................................................................................94
Tabela R................................................................................................................................95

Teste de Hipóteses
TESTE DE HIPÓTESES
Em muitas situações, queremos tomar uma decisão de forma a minimizar os riscos
envolventes.
No campo da estatística, formulamos hipóteses acerca de uma dada amostra, estas
hipóteses são submetidas a determinados testes. A hipótese a ser testada designamos por
Hipótese Nula ( ), a Hipótese Alternativa ( 1H ) é a conclusão a que chegamos quando a
hipótese nula é rejeitada.
0H
Quando formulamos uma decisão sobre podem ocorrer dois erros distintos. O
primeiro, designado por erro tipo I, consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é
verdadeira. O segundo, designado por erro tipo II, consiste em aceitar 0 quando ela é falsa
0H
H .
A estes erros estão associados uma probabilidade, isto é,
β=)|.(
α=.)|.(
00
00
falsaHHacP
verdHHrejP
Quando queremos reduzir a probabilidade de ambos os tipos de erro, devemos aumentar
a dimensão da amostra.
À probabilidade α damos o nome de nível de significância.
Como o valor α entra no processo de determinação de aceitação ou rejeição de H , a
condição de objectividade da prova exige que o nível de significância seja fixado antes da
recolha de dados. Os valores mais comuns para α são de 0,05 e 0,01 de acordo com a
importância prática dos resultados.
0
Quanto mais pequena é a probabilidade β mais potente é o teste, ou seja, o teste óptimo
da hipótese 0 vs. 1 é aquele que para uma probabilidade de ocorrer o erro tipo I, torne
mínima a probabilidade de ocorrer o erro tipo II.
H H
Após ter escolhido as hipóteses e o nível de significância devemos determinar qual a
distribuição amostral. Esta é uma distribuição teórica que, se puséssemos considerar todos
os eventos possível, dava-nos as probabilidades, sob , associadas aos valores numéricos
possíveis da estatística.
0H
1

Teste de Hipóteses
Neste momento temos que escolher o teste estatístico apropriado, tendo em conta os
seus pressupostos.
Definida as hipóteses, o nível de significância, o teste estatístico, falta-nos saber como
rejeitar/aceitar 0H .
o .
e ita a
hipótese nula.
Região de rejeição é uma região da distribuição amostral, na qual consiste num
conjunto de valores tão extremos que, quando é verdadeira, a probabilidade α do valor
observado da amostra estar entre eles é muito pequena. A probabilidade associada a qualquer
valor na região de rejeição é afectada pela natureza da hipótese alternativa. Se indica o
sentido da diferença, utiliza-se um teste unilateral, caso contrário, utiliza-se um teste
bilateral.
0H
1H
A seguinte figura ilustra-nos como as duas regiões diferem entre si, mas não altera o
tamanho.
Figura 1: Dois tipos de testes
P=0.05P=0.025P=0.025
Teste bilateral Teste unilateral
A área de cor azul é a região de rejeição para um =α 05.0
Para uma decisão final, basta ver se o valor resultante de um teste estatístico está na
região de rejeição ou não.
Uma abordagem alternativa para o teste de hipóteses é sugerida pelo cálculo da
probabilidade associada. ( ) a uma dada observação. O valor é a probabilidade de ser
verdadeira. Se toma um valor menor ou igual a , então rejeitamos a hipótese nula, caso
contrário, se p toma um valor superi r a α , então aceitamos H O valor p (ou
probabiliade de significância) dá-nos também uma ideia do poder do teste estatístico.
Quanto maior for a probabilidade p mais forte é o teste e com mais facilidade s
p p 0H
p α
0
ace
2

Introdução
INTRODUÇÃO
Nos primórdios da estatística, desde que o Homem se organiza em sociedade, ela
aparece como processo organizado de contagem, seja ela de pessoas, cereais, frutas, etc..
Estes processos de contagem eram, posteriormente, apresentados à sociedade através de
tabelas e gráficos.
A palavra estatística aparece sempre ligada a coisas do Estado (status), mas só no séc.
XVII a estatística é tida como uma disciplina autónoma destinada a descrever factos ligados
ao estado. A estatística era associada ao processo político, como base para o planeamento do
Estado.
Esse processo de contagem do todo, denominado Censo, não é um procedimento dos
tempos passados. Na verdade ela constitui uma importante área da Estatística.
Relativamente à totalidade dos dados, há uma outra linha de trabalho que é conhecida
como Estatística Descritiva, que procura expressar as informações mais relevantes contidas
num conjunto de dados através do cálculo de valores. Cada um destes valores resume de uma
forma específica o conjunto de dados.
Mais recentemente, surgiu outro campo da estatística que designa-se por Estatística
Indutiva ou Inferência Estatística
Esta estatística preocupa-se em estimar o verdadeiro valor desconhecido do(s)
parâmetro(s) de uma população e testar hipóteses com respeito ao valor dos parâmetros
estimados, ou à natureza da distribuição da população.
Aqui é que surge uma separação, ou sabemos à partida qual a distribuição da população
(Estatística Paramétrica), ou não sabemos qual a sua distribuição (Estatística Não
Paramétrica).
Focaremos o nosso estudo sobre a Estatística Não Paramétrica. Os primeiros métodos
da estatística não paramétrica, embora com pouco uso até aos anos 40, foram referidos por
John Arbuthnot em 1710. Estes começaram a ter maior impacto só a partir de 1942 com
Wolfowitz. A partir daí o interesse aumentou de uma forma rápida.
Hoje a estatística não paramétrica é considerada como um dos campos mais importantes
da estatística. As técnicas que advêm desta categoria são usadas com grande frequência nas
ciências físicas, biológicas e sociais ou até mesmo na comunicação. Outros autores, também
dão importância a outros campos, tais como, na análise de dados da qualidade da água
3

Introdução
(Helsel), em aplicações na medicina (Brown and Hayden) ou mesmo na psicologia
(Buckalew).
Enumeremos, algumas vantagens para os métodos conhecidos:
1. Como os métodos da estatística não paramétrica depende do mínimo de suposições,
a possibilidade de o método não ser adequado é menor.
2. Para alguns métodos a avaliação pode ser rápida e fácil, especialmente se o cálculo
for manual. Deste modo, usando-os pode poupar tempo. É considerado importante,
se não tivermos tempo ou se não temos meios técnicos para o cálculo rápido.
3. Os métodos estatísticos são fáceis de perceber, mesmo tendo o mínimo de
preparação matemática e estatística.
4. Muito dos testes não paramétrica trabalham só com a ordem dos dados.
5. Poderão trabalhar com amostras de pequenas dimensões.
É claro que os métodos de estatística não paramétrica também trazem desvantagens. As
mais importantes são as seguintes:
1. Os testes não paramétricos, por vezes, são usados quando os testes paramétricos são
mais apropriados, porque estes testes são mais simples e rápidos, deste modo, pode
haver perda de informação.
2. Ainda que os procedimentos não paramétricos têm a reputação de requerer só
cálculos simples, a aritmética em muitas instâncias pode ser tendenciosa e
trabalhosa, especialmente quando as amostras são grandes.
3. Os métodos paramétricos são mais potentes para uma mesma dimensão e um
mesmo α do que os métodos da estatística não paramétrica.
Situação onde podemos usar os métodos da estatística não paramétrica
Os métodos não paramétricos são apropriados quando:
1. As hipóteses a testar não envolve parâmetros da população.
2. Se conhece a ordem dos dados.
3. Os pressupostos necessários para o uso válidos dos métodos paramétricos não são
conhecidos. Em muitos casos o planeamento de um projecto de pesquisa pode
4

Introdução
sugerir um certo processo paramétrico, mas quando iremos aplicar este processo
poderá violar de uma forma determinante os pressuposto. Neste caso, um método
não paramétrico seria a única alternativa.
Quando queremos implementar um método devemos ter em conta o nível de medida das
variáveis a analisar, estas estão divididas em diferentes grupos:
1. Escala Nominal: neste nível situam-se todas as observações que são categorias e
não têm uma ordem natural, por exemplo, o sexo dos alunos de uma dada turma.
Para que tenha uma ordem, pode ser atribuído um valor numérico, no entanto, os
números não tem um verdadeiro e único significado (Ex.: masculino=1, feminino=2
ou feminino=1, masculino=2);
2. Escala Ordinal: as observações são categorias que têm uma ordem natural. Estas
observações podem não ser numéricas. Por exemplo, as classificações dos testes
podem ser mau, não satisfaz, satisfaz, bom ou muito bom.
3. Escala Intervalar: tem todas as características da ordinal com a vantagem de
conhecer as distâncias entre dois números quaisquer da escala. Estes valores estão
limitados entre dois valores. (Ex. As notas das frequências de uma dada turma, os
valores estão entre zero e vinte).
4. Escala de Razões: além das características de uma escala intervalar, tem um
verdadeiro ponto zero como origem. Não existe limites. Nesta escala, a razão de
dois pontos quaisquer é independente da unidade de mensuração, por exemplo, se
determinarmos os pesos de dois objectos diferentes não somente em libras, mas
também em gramas, observamos que a razão dos dois pesos em libras é idêntica à
razão dos dois pesos em gramas.
Os vários métodos para testar as hipóteses serão apresentados de forma a focar as
diferenças entre as várias fontes de informação disponíveis, tais como, as tabelas e os dois
Software especializados: o Mathematica® e o SPSS®. A introdução dos dados, no caso do
SPSS®, e a programação das funções, no caso do Mathematica®, estarão em anexo, bem com
as tabelas aqui utilizadas.
5

Capítulo 1: Caso de uma amostra
CAPITULO 1: CASO DE UMA AMOSTRA
Os testes estatísticos inerentes ao caso de uma amostra servem para comprovar uma
hipótese que exige a extracção de uma amostra. É usualmente usado para teste de aderência,
isto é, se determinada amostra provém de uma determinada população com uma distribuição
específica.
As provas de uma amostra verificam se há diferenças significativas na locação
(tendência central) entre a amostra e a população, se há diferenças significativas entre
frequências observadas e as frequências que poderíamos esperar com base em determinado
princípio, se há diferenças significativas entre as proporções observadas e as proporções
esperadas e se é razoável admitir que a amostra seja uma amostra aleatória de alguma
população conhecida.
1.1 Teste da Binomial
Antes de falar no teste da Binomial, falemos um pouco da distribuição Binomial. Esta
distribuição é comum ser usada para a contagem de eventos de um modelo observado. É
baseado no pressuposto de que a contagem podem ser representada como um resultado de
uma sequência de resultados independentes de Bernoulli (por exemplo: o lançamento de uma
moeda). Se a probabilidade de observar um resultado R é P para cada n ensaios, então a
probabilidade que R será observado num ensaio x exacto é
xNx
x PP
x
N
p −
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= )1(
A distribuição definida por: [ ] ),,1( NxpxXP x K=== é chamada distribuição
bi râmnomial com pa etros n e p. O nom que a expansão binomial dee aparece, pelo facto de
n
p)− é nPPP +++ K10 .
O Teste da Binomial aplica-se a amostras que provém de uma população, onde o
número de casos observados podem ser representados por uma variável aleatória que tenha
distribuição binomial. As amostras consistem em dois classes (ex: cara o
p 1( +
u coroa; sucesso ou
insucesso), deste modo este teste é aplicado a amostra de escala nominal.
(1.1.1)
6

Cada uma das classes tem a sua proporção de casos esperados, tomaremos, assim, P
para a proporção de uma das classes, e para a outra classe.PQ -1=
P é fixo para uma determinada população, mas, devido aos efeitos aleatórios, não
podemos esperar que determinada amostra tenha exactamente a mesma proporção.
A hipótese a ser testada é se o valor da população é P .
A probabilidade de obter x objectos numa das categorias e noutra categoria é
dada pela fórmula 1.1.1..
xN −
No entanto, não queremos saber qual a probabilidade exacta dos valores observadas,
mas sim qual a probabilidade de obter os valores observados ou valores mais extremos. Então
para o método aplicamos a seguinte distribuição amostral:
∑=
iNiN
i QPC -
ão da amostra);
3. ostra, elas são classificadas em pequenas amostras
3.1.
x
i 0
Método:
1. Determinar o número de casos observados N (dimens
2. Determinar as frequências em cada uma das classes;
Conforme a dimensão da am
( )25≤N ) e grandes amostras ( 25>N ):
Para pequenas amostra e 2
1
== QP , a tabela D dá as probabilidades unilaterais,
sob 0H , de vários tão pequenos quanto um x observado. Emprega-se uma prova
unilateral quando se conhece em antemão qual das classes tem menor frequência,
3.2. Se robabilidade, sob , de ocorrência do valor
caso contrário basta, para uma prova bilateral, duplicar os valores da tabela D.
QP = , determina-se a p 0H
observado x , utilizando a fórmula 1.1.2.
Para grandes amostras, pode-se demonstrar que quando N cresce a distribuição
binomial tende para a distribuição Normal. Se s rápida se P estiver próximo
de
3.3.
rá mai
2
1
. Os parâmetros a usar serão a média =NPµ x e o desvio padrão NPQ=σ ,
deste m
x
odo, tem distribuição aproximadamente normal com média 0 e
variância 1, sendo:
z
NPQ
x-NP
=
σ
x-µ
z=
x
(1.
x
(1.1.2)
1.3)
7

Devido à natureza da variável x ser discreta e a distribuição normal ser contínua,
deve-se incorporar um factor de correcção. Assim sendo z fica
NPQ
-NPx
z
)5.0±(
=
onde x + 0.5
(1.1.4)
é utilizado quando x < NP e x – 0.5 quando x > NP.
Então para grandes amostras e P próximo de 2
1
, testamos a hipóteses pla icando a
fórmula 1.1.4. A tabela A dá a probabilidade, sob , associada à ocorrência de
grandes quanto um valor de z observado, dado por aquela fórmula. A
tabela dá os valores unilaterais de p, sendo necessário para prova bilateral,
plo 1.1.1:
mos que num
. O pais querem saber se a probabilidade de nascer feminino ou masculino é igual.
R
idade de ascer menino ( ) ou
menina (
p babilidade.
ial porque os dados estão dicotomizados em duas classes
discretas. O nascim ,
0H
valores tão
duplicá-los.
Se o valor p associado ao valor observado x, não superar α , então rejeita-se H .0
Exem
Suponha a dada família nasceram 12 filhos, 7 do sexo feminino e 5 do sexo
masculino s
esolução:
Hipóteses:
210 =: ppH Não há diferenças na probabil n 1p
)2p .
211 : pH ≠ Há diferença na pro
Escolhe-se o teste binom
ento é um processo aleatório, assim 2
1
== QP .
Seja e N número de filhos = 1201,0=α
8

A distribuição amostral é dada pela fórmula:
387,0
5
00 == i
i
i
i
-12-
== ∑∑ iNi
x
iNiN
QPCQPC
ara a bilateral basta
duplicar o valor, sendo assim,
Sabemos que o cálculo anterior deu a probabilidade unilateral, p
774,0387,02 =×=p . A região de rejeição consiste em todos
e x tão pequenos que a probabilidade, sob a hipótese nula, associada à sua
ocorrência não seja superior a 0,01.
Como a probabilidade p = 0,774 associado a
os valores d
5≤x é maior que 01,0=α , conclui-se
que não existe diferenças nas probabilidades de nascer menino ou menina.
O SPSS®, além do valor p, dá-nos um quadro resumo da amostra:
Output 1.1.1:
Este software pode fazer o teste com maior rapidez, muito embora, se a dimensão da
amos
nascimentos e que
nasceram 725 crianças do sexo masculino, para testar a hipótese, basta:
pmB
tra for muito grande, a introdução dos dados poderá ser demorada. Para colmatar esta
situação podemos recorrer ao Mathematica®, pois, basta dar o número de casos de um das
classes como ilustra o seguinte exemplo:
E emplo 1.1.2:x
Suponhamos agora que queremos saber se a probabilidade de nascer masculino ou
feminino num dado país é igual. Considerando uma amostra de 1500
n inomial p-value = 0.5725
One- Sided PValue - > 0.102896822008
Two- Sided PValue - > 0.205793644017
9

Como o “p-value” é maior que 01.0=α , então aceitamos a hipótese de que não existe
diferenças entre o número de nascimentos do sexo masculino e feminino.
1.2 Teste do Qui-Quadrado ( 2
χ ) para uma amostra
É adequado aplicar este teste quando temos os dados da amostra dividida em duas ou
mais categoria. O propósito deste método é ver se existem diferenças significativas entre o
núme ivíduos, de objectos ou de respostas, em determinada classe, e o respectivo
núme Isto é, a técnica testa se as frequências
obser
hipótese
método envolve os seguintes passos:
1. Enquadrar as frequências observadas nas k categorias. A soma das frequências deve
ser N, número de observações independentes;
Por meio de , determinar as frequências esperadas para uma das k células;
3. órmula:
ros de ind
2
χro esperado baseado na hipótese nula.
vadas estão suficientemente próximas das esperadas para justificar sua ocorrência sob a
nula.
Método:
O
2. 0H
Calcular o valor de 2
χ por meio da seguinte f
( )
∑
−
=
k
ii EO
2
2
χ
=i i
calc
E1
.
iO = número de casos observados na categoria i
= número de casos esperados na categoria i sob 0H
= número de categorias na classificação;
iE
k
4. Determinar o grau de liberdade ( 1−= kgl );
5. Com base na tabela C, determinar a probabilidade associada à ocorrência, sob 0H ,
2
de um valor tão grande quanto o valor observado de para o valor de
considerado. Se o valor de p, assim obtido, for igual a, ou menor do que,
χ gl
α , rejeita-
se a hipótese nula.
(1.2.1)
10

Nota: quando k > 2, se mais de 20 por cento dos ’s são inferiores a cinco, combina-
se de maneira razoável, categorias adjacentes. Reduzindo, assim o número de classes e
aume uns dos ’s. Quando k = 2. Pode-se empregar a prova
para uma amostra só se cada frequência esperada é no mínimo, igual a 5 (Cochran, 1954).
E
Tabela
elho Branco Preto Azul Cinzento
iE
iE 2
χntando o números de alg
xemplo 1.2.1:
Dada a seguinte tabela:
1.2.1:
Cor Verm
Número de automóveis 29 25 19 15 17
Querem e há preferência em determinada cor, isto é, há razões para dizer que
há preferência rminada cor? Com um nível de significância
os saber s
em dete 05,0=α .
esolução:
ormulamos as hipóteses:
R
F
5
1
: CinzentoAzulPretoBrancoVermelho0 ===== PPPPPH
01 : HH é falsa.
Calculamos o número total de frequências e o valor esperado:
105++++====== 1715192529CinzentoAzulPretoBrancoVermelho NNNNNN =
21
5
105
===Ei
k
N
alculamos 2
χ :C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 48,6
21
2117
21
2115
21
2119
21
2125
21
2129
22222
2
≈
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=χ
11

A tabela C indica que 48,62
≥χ para gl = 4 tem a probabilidade de ocorrência
entre 1,0=p e 2,0=p . Como p > α então não podemos rejeitar 0H . Concluindo que a
proporção de casos em cada categoria é igual, para um nível de 0,05.
Através deste exemplo, verifica-se que
tabela, deste modo, seria mais preciso se util
não podemos ir buscar o valor exacto de p na
assim, o SPSS® seria a melhor escolha, como
Output 1.2.1:
oderíamos utilizar o Mathematica®, através da função QuiQuadrada1Amostra[],
iQuadrada1Amostra 29,25,19,17,15
izarmos outros meios de cálculo mais eficazes,
ilustra o seguinte output:
P
dando como parâmetro a amostra:
Qu
PValue: 0.166297
como é observado, o
associad
a am
função de distribuição empírica da amostra define-se como a proporção das observações da
amostra que são menores ou iguais a
Mathematica® calcula com maior precisão o valor da probabilidade
a.
1.3 Teste de Kolmogorov-Smirnov
O Teste de Kolmogorov-Smirnov de um ostra é baseado na diferença entre a função
de distribuição cumulativa )(0 xF e a função de distribuição empírica da amostra )(xSn . A
x para todos os valores reais x . )(xSn dispõe dum
estimador pontual consistente para a verdadeira distribuição . Mais, através do teorema)(xFX
12

de Glivenko-Cantelli1
, podemos afirmar que )(xSn aproxima-se da distribuição teórica.
Portanto, p ra um n grande, o desvio entre as duas dia stribuições, ,)()( xFxS Xn − fica cada
vez m is pequenos para todos os valores de x . Assim ficama os com o seguinte resultado:
)()(sup xFxD X
x
n −= (1.3.1)
À esta nD chama os estatística de Kolmogorov-Smirnov de uma amostra. É
particularmente út
Sn
tística m
i a a Estatística Não Paramétrica, porque a probabilidade de não
depen este modo, pode ser chamada estatística
sem distribuição.
l par nD
de de )(xFX desde que XF seja contínua. D nD
O desvio à direita e à esquerda definida por
[ ])()(sup xFxSD Xn
x
n −=+
[ ])()(sup xSxFD nXn −=−
(1.3.2)
x
são c
uições de são independentes de
podem s assumir, sem perda de generalidade, que é a distribuição uniforme com
par sim o s o seguinte teorema:
Teorema 1.3.1: Para
hamados estatísticas de Kolmogorov-Smirnov unilaterais. Estas medidas também não
têm distribuição.
Para que possamos utilizar a estatística de Kolmogorov para inferência, a distribuição
da amostra deve ser conhecida. Sabendo que as distrib nD XF ,
o XF
âmetros (0,1). As btemo
)()(sup xFxSD Xn
x
n −= onde é uma função distribuição
cumulativa contínua qualquer, temos:
)(xFX
1
Teore ko-Cantelli: converge uniformemente para com a probabilidade 1; que éma de Gliven )(xnS )(xFX
10)()(suplim =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ =−
∞<<∞−∞→
xFxSP Xn
xn
13

⎪
⎩1
⎪
⎪
−
≥
n
n
vse
vse
2
12
0
10! uun K
i extraí d
preciso ter em enos
ordinal.
Seja uma distribuição de frequências acumuladas, teórica, sob
Seja a distribuição de frequências acumuladas de uma amostra aleatória de N
⎪
⎨
−
<<=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+< ∫ ∫ ∫
+
−
+
−
+−
−− n
n
vseduduuuufv
n
DP
vn
vn
vn
vn
vnn
vnn
nnn
2
12
0),,,(
2
1 2/1
2/1
2/3
2/3
2/)12(
2/)12(
121 KKK
⎪
⎪
⎧
≤
0
onde ( )
⎩
⎨=
contráriocaso0
,,, 1
21
n
nuuuf K
⎧ <<<<
Método:
Este método pretende testar se uma determinada amostra fo da e uma população
com uma determinada distribuição teórica.
Quando se escolhe este teste é conta que a variável seja pelo m
)(0 XF 0H .
)(XSN
observações. Quando X é qualquer valor possível,
N
k
XSN =)( , onde k é o número de
observações não superiores a X.
ela hipótese Nula, de que a amostra tenha sido extraída de uma população com a
distrib pecífica, espera-se que as diferenças entre e sejam
pequenas e estejam dentro dos limites dos erros aleatórios. O teste de Kolm irnov
focali
P
uição teórica es )(XSN )(0 XF
ogorov-Sm
za a maior dessas diferenças. Ao valor de )()(0 XSXF N− é chamado de desvio
máximo, D:
)()(0 XSXFmáxD N−=
A Distribuição amostral de D, sob 0H , é conhecida. A tabela E dá certos valores
críticos dessa distribuição amostral. Note-se que a significância de um dado valor D depende
de N.
(1.3.3)
14

Exemplo 1.3.1:
Suponha-se que um pesquisador esteja interessado na confirmação experimental da
observação sociológica, de que os negros Americanos aparentam demonstrar uma hierarquia
de preferência em relação à tonalidade de pele. Para comprovar quão sistemáticas são essas
o pesquisador fictício tira uma fotografia de cada um dentro de 10 indivíduos
negros. O fotógrafo revela essas fotografias, obtendo cinco cópias de cada uma, de tal forma
que cada cópia difi ou em s, ser classificadas
em cinco tipos, desde a mais clara até à mais escura. À fotografia mais escura é atribuído o
posto 1, e para a mais clara é atribuída o posto 5. Pede-se então a cada indivíduo que escolha
uma de entre as cinco cópias de sua própria foto. Se os indivíduos forem indiferentes em
relação à tonalidade da cor da pele, a escolha deverá recair igualmente sobre os cinco postos
(com ex
tão os diversos
indivíduos deverão consistentemente manifestar preferência por um dos postos extremos. Os
resultados est u
Tabela 1.3.1:
preferências,
ra ligeiramente das tras tonalidade, podendo, poi
cepção, é óbvio, de diferenças aleatórias).
Se, por outro lado, a cor tiver importância, tal como supomos, en
ão na seg inte tabela:
Posto da foto 1 2 3 4 5
N.º de indivíduos 0 1 0 5 4
Resolução:
Formulamos as hipóteses:
ffH 543 fff ==210 : == ão há diferenças no número esperado de escolhas para
cada um dos cinco postos, isto é, a amostra prov de uma população com um distribuição
uniforme.)
é falsa ( não são iguais).
ção de frequências
acumuladas teórica e a da amostra:
(N
ém a
01 : HH 54321 ,,,, fffff
Com a ajuda de uma tabela, calculamos a diferença entre a distribui
15

Tabela 1.3.2:
1f 2f 3f 4f 5f
N.º de indivíduos que
0 1 0 5 4
escolhem a cor
)(0 XF
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
)(0 XS 0
10
1
10
1
10
6
10
10
)()(0 XSXF N−
5
1
10
3
10
5
10
2
0
De seguida, calculamos o máximo entre estas diferenças:
{ } 5,0
10
5
)()(0 ==−= XSXFmáxD N
Consultamos a tabela E que nos dá a probabilidade p associada de ocorrência (bilateral)
de com5,0≥D 10=N :
Utilizando um nível de significância
.01,0≤p
01,0=α , podemos concluir que é falsa, sendo
assim, os indivíduos demonstram preferência na tonalidade.
Como é observado, a tabela dá-nos intervalos de p , não sendo possível obter o seu valor
exacto. Poderíamos escolher um
0H
03,0=α e se, após o cálculo de D, a probabilidade
associada estiver entre 0,01 e 0,05, não era possível dar uma resposta.
o SPSS® p
Output 1.3.1:
odemos obter o valor exacto de p:N
16

1.4. Teste de Iterações de Uma Amostra
Dado uma sequência de dois ou mais tipos de símbolos, uma iteração é definida como
uma sucess u ma s símbolos idênticos em que são seguidos e precedidos por outro
símbolo diferente ou nenhum símb lo.
Pistas para uma sequência não aleatória são dadas através da
ão de um o i
o
existência de algum
padrão. O n
reflectir a existência de algum tipo de padrão.
Quer a situação de um núm
aleatória
grande ou muito pequeno.
ste teste utiliza-se quando os valores estão numa escala nominal ou ordinal, em que a
amostra
Dada uma sequência d m do segundo
tipo, onde
úmero de iterações e o comprimento, em que estão interrelacionados, devem
Uma alternativa para saber se é ou não aleatória é baseada no número total de iterações.
número pequeno quer a situação de um ero grande de iterações,
sugere que a sequência de símbolos estão dispostos de forma ordenada (não ), isto é,
a hipótese nula é rejeitada se o número de iterações é muito
E
é dicotómica.
e n elementos de dois tipos, 1n do pri eiro tipo e 2n
nnn =+ 21 . Se é o número de do tipo 2, então, o
número total de iterações na sequência é
1 2
21
r iterações do tipo 1 e r
rrR += . Para fazer um teste para a aleatoriedade,
precisamos da distribuição de probabilidade de R quando a hipótese nula é verdadeira.
A distribuição de R será encontrada quando conhecerm s a distribuição de r e r ,
bastando somar as duas distribuições. Sabendo que sobre a hipótese nula todos os arranjos de
o
objectos é equiprovável, a probabilidade de
1 2
21 nn + 11 rR = e 22 rR = é o número de arranjos
L
distintos de 21 nn + objectos dividido pelo total de arranjos distintos, que é !!/! 21 nnn . Para a
quantidade do numerador, o lema seguinte pode ser usado.
ema 1.4.1: O número de formas distintas para distribuir n objectos iguais por
r distintas células sem células vazias é n
r
≥⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ −
se
lulas, em que pode ser feito em ⎜⎜
⎝
⎛
−11
1
r
n
diferentes
.,
1
1n ⎞⎛ −
r
De modo a obter uma quência com r iterações de objectos do tipo 1, os n objectos
iguais deve ser postas dentro de cé
⎞−1
1 1
1r ⎟⎟
⎠
17

maneira a-se d os objectos. O
núme s distintos começando com uma iteração do tipo 1 é o produto
⎛ −⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− 12
1
1 n
r
n
a iteração do tipo 2.
O conjunto de objectos do tipo 1 e do tipo 2 deve ser alternado, e consequentemente poderá
acontecer o seguinte:
s. Aplic o mesmo modo para obter 2r iterações com outr 2n
ro total de arranjo
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ −⎟⎟
⎠ 11 2r
. Analogamente, para uma sequência começando com um
1 ⎞
121 ±= r ou 21 rr = . Se 121 += rr , a sequênciar deve começar com uma
iteração do tipo 1; Se e ser o tipo 2 a começar. Caso a sequência
pod o do er
duplicado. Assim foi
Teorema 1.4.1: Seja e os respectivos números de iterações de objectos do
2 n ma ostra aleatória de dimensão . A distribuição
a probabilidade conjunta de e é
121 −= rr então dev 21 rr =
e começar com tipo 1 ou 2., portanto, o número de arranjos distintos deve s
provado os seguintes resultados.
1R 2R 1n
tipo 1 e n objectos do tipo u am2 21 nnn +=
d 1R 2R
⎟
⎠
⎜
⎝ 1n
e 2=c se 21 rr = e 1=c se 121
⎟⎜
⎞⎛ −
⎠
⎞
⎝
⎛ −
21
1
1
1
n
nn
(1.4.1)
ond
⎞⎛ +
=
21
),(, 2121
n
f rrRR
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ −⎟⎟⎜⎜
−
21
1rr
c
±= rr .
Corolário 1.4.1: A distribuição da probabilidade marginal de é1R
11
1
2
1
21
,,2,1
11
nr
n
n
nn
K=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ +
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ −
2R trocando posições de 1n com 2n e vice-versa.
1
1
)(
1
11
n
rr
f rR
⎛
⎠⎝⎠⎝ −
=
Similar para
Teorem
do tipo 1 e do tipo 2, numa amostra aleatória é
,,2,1
21
22
=
,,2,1
11
=
=
ourr
nr K
nr K
121 ±= rr
(1.4.2)
a 1.4.2: A distribuição de probabilidade de R , número total de iterações e
21 nn += objectos, 1nn 2n
18

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝ −
+⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ −⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
parérse
n
nn
r
n
rrr
imparérse
n
nn
r
n
r
n
1
21
2121
1
21
21
2/)1(
1
2/)3(2/)3(2/)1(
12/
1
12/
1
2
(1.4.3)
nn
⎪
⎨
⎛ −⎞⎛ −⎞⎛ −
=
nnn
rfR
111
)(
para ,3,2r 21,= K +
1. Dispo observa sua ordem ncia;
2. C
Método:
r as 1n e 2n ções na de ocorrê
ontar o número r de iter
3. Det robabilida ass valor tã mo quanto o
valor observado de r. Se t abilidade inferior,
ações;
erminar a p de, sob 0H , ociada a um o extre
al prob é igual, ou a α , rejeitar . A
técnica para a determinação do valor de p depende do tama e
3.1. S ambos n eriores a r à tabela abela FI dá o
valor de r que é tão pequeno que a sua probabilidade associada, sob é
tão grande que a sua probabilidade
0H
nho dos grupos 1n 2n :
e 1n e 2n são ão sup 20, recorre F. A t
0H
025,0=p ; a tabela FII dá o valor de r que é
associada é 025,0=p . Para uma prova bilateral consideramos os dois valores, ao
nível 05,0=p . Para uma prova unilateral consideramos a tabela correspondente
mbém a um nívelaos valores previstos ta 05,0=p .
3.2. Se 1n ou 2n for superior a 20 então determinar uma aproximação à Normal através
da seguinte fórmula:
( )
( ) ( )1
1
2
21
2
21
21
21
−++
⎟⎟
⎠
⎞⎛
+
+
nnnn
nn
nn
(1.4.1)
22 212121 −−
==
nnnnnn
z
rσ
⎜⎜
⎝
−
−
r
r rµ
19

calculado o valor de z, recorrer à tabela A.
Apresentamos uma tabela onde é dado o total de pagamentos feitos pelas equipas da
iga Nacional de baseball dos EUA:
Tabela 1.4.1: Pagamentos em milhões de dólares.
Exemplo 1.4.1:
L
Equipa Pagamento Equipa Pagamento
Atlanta 47.93 Montreal 15.41
Chicago Cubs 31.45 New York Mets 23.46
Cincinnati 40.72 Philadelphia 29.72
Colorado 38.19 Pittsburgh 21.25
Florida 30.08 San Diego 27.25
Houston 26.89 San Francisco 34.79
Los Angeles 34.65 St. Louis 38.92
A mediana deste conjunto de números é de 30,765.
valor maior que a mediana.
ência aleatória. Com um nível de
significância
Convertemos os valores indicados na tabela para zeros e uns, o zero corresponde a um
valor menor que a mediana e o um corresponde a um
Obtemos a seguinte sequência:
1,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1
Queremos saber se os valores estão numa sequ
05,0=α .
Resolução:
0H : os zeros e uns ocorrem em ordem aleatória
01 : HH é falsa.
O número de iterações é 5=r ; 1 e 72 =n=n 7
s para o r com a ajuda da Tabela F que nos dá o seguinte
resultado:
13
Calculamos os extremo
3 5
Região de Rejeição Região de Rejeição
Região de Aceitação
20

odo,
concluímos que, com um nível de significância
Como r pertence ao intervalo de aceitação, podemos aceitar 0H , deste m
05,0=α , os pagamentos ocorrem de forma
aleatória.
Podemos verificar que estas tabelas não nos dão o valor de p, apenas um intervalo de
rejeição. Quer no Mathematica®, quer no SPSS® podemos calcular de uma forma exacta o
valor da probabilidade associada.
Vejamos então no SPSS:
Output 1.4.1:
Como podemos observar a probabilidade associada é de 164,0=p , assim chegamos ao
mesmo resultado, isto é, aceitamos a hipótese nula.
No Mathematica® usamos dois procedimentos, um para converter para zeros e uns
outro para o cálculo da probabilidade:
Guardamos os valores numa variável do tipo lista:
Pagamentos = 47.93, 31.45, 40.72, 38.19, 30.08, 26.89, 34.65, 15.41,
23.46, 29.72, 21.25, 27.25, 34.79, 38.92
convertemos para zeros e uns:
ZeroUns = convertToZerosAndOnes pagamentos
1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1
21

e calculamos a probab
npmRunsTest ZeroUns
ilidade associada:
Number of Runs - > 5
Two- Sided PValue - > 0.155012
Concluímos, do mesmo modo, que não há razão para rejeitar a hipótese nula.
omo conclusão para este teste, podem a ajuda do computador, não
é nec a
C os afirmar que, com
essário fazer uma aproximação à normal, visto que, não tem limitação das tabelas.
22

Capítulo 2: Caso de duas amostras relacionadas
CAPÍTULO 2: CASO DE DUAS
tro.
2.1 Teste dos Sinais
É dado uma amostra aleatória de pares ordenados da forma
)y , cada par é substituído por um sinal mais ou menos depende
se o prim aior ou menor.
1.
2. Determ embros de cada par;
. Determinar N = número das diferenças com sinal;
sociada à ocorrência, sob , de um
AMOSTRAS RELACIONADAS
Empregam-se os testes para duas amostras relacionadas quando queremos determinar,
para uma mesma situação, se duas abordagens, tratamentos ou métodos são diferentes ou se
um é melhor que o ou
( ) ( ) ({ }2122211211 ,,...,,,, nn yyyyy
eiro valor é m
Método:
Emparelhar n pares;
inar o sinal da diferença entre os dois m
3
4. O método para determinar a probabilidade as 0
valor tão extremo quanto o valor observado de
H
z depende do tamanho de N:
i. Se , a tabela D teral associada a uma
valor tão pequeno quanto o valor esperado
25≤N dá a probabilidade unila p
x = número de sinais com menor
frequência. Duplica-se o valor da pr
ii. Se N , calcular o valor de
obabilidade quando se trata de um teste
bilateral.
> 25 z mediante o emprego da fórmula:
N
Nx 1
)5,0( −±
z
1
2
=
2
Utiliza-se 5,0+x quando Nx 2
1
< , caso contrário, 5,0−x .
al duplicar o
valor de
lor da probabilidade obtida no teste não for superior a
A tabela A dá os valores unilaterais de p , para um teste bilater
α , rejeitar
(2.1.1)
0H .
p .
Se o va
23

Exemplo 2.1.1:
essor acredita
que u
Tabela
8 76 60 46 86 33 94 122 75 65 80 111 62
Depois 21 85 58 58 91 32 106 145 83 78 80 122 75
Um professor da disciplina de alemão pretende avaliar o impacto de uma viagem, com a
duração de uma semana à Alemanha, sobre o vocabulário dos estudantes. O prof
ma semana na Alemanha resultará num acréscimo significativo das palavras do
vocabulário dos seus alunos, antes e depois de regressarem da viagem, tendo obtido os
seguintes resultados:
2.1.1:
Antes 9
1
esolução:
ormulamos as hipóteses:
Não há diferenças, i esmo de sinais “-”.
é falsa.
R
F
0H : sto é, o número de sinais “+” é o m
H 01 : H
Iremos usar o teste dos sinais, escolhendo um 05,0=α .
Após a análise dos pares ordenados verificamos a seguinte sequência de sinais:
+ + - + + - + + + + + +i
12=N (ne 2=xste caso houve um empate) e
25≤NComo , recorremos à tabela D, e verificamos que para uma prova unilateral o
valor de p é de 0,019, mas como a prova é bilateral 038,0=p
Sendo assim, rejeitamos a hipótese nula, dado lugar à hipótese alternativa, concluindo
endável os alunos irem à Alemanha.
Vam ver como seria no computador este exemplo:
Após a introdução dos dados no SPSS®, teríamos os seguintes resultados:
que seria recom
Para o caso de grandes amostras a contagem de sinais seriam demorados e susceptível a
erros e teríamos que utilizar uma aproximação, seria prudente a utilização de um computador.
os
24

.1:Output 2.1
Como pode-se verificar, ermos visualizar o valor da probabilidade de um
modo mais exacto, podemos ver também o número total de sinais que ocorrem.
parâmetr
empates
npmSignTestFrequencies 2, 10
além de pod
Outro modo seria utilizando o Mathematica®, na função a utilizar damos como
os: o número de sinais positivos e o número de sinais negativos, excluindo os
em ambos os casos:
Title: Sign Test
Test Statistic: Number of Pluses is 2
Distribution BinomialDistribution
2 - sided p- value - > 0.0385742
os verificar que o valor de p é dado com maior número de casas decimais.
2.2 Teste de McNemar
duas amostras relacionadas, isto é, tem como objectivo avaliar a eficiência de situações
que cada o indivíduo é utilizado como o seu próprio controlo. Utiliza-
se a m escala nominal para avaliar alterações da situação “após” em relação à
situação “antes”.
Podem
O teste desenvolvido por McNemar é usado para analisar frequências (proporções) de
“antes” e “depois”, em
ensuração em
Método:
1. Enquadrar as frequências observadas numa tabela de quatro células na forma
seguinte:
25

Tabela 2.2.1:
+ A B
- C D
Depois
Antes
- +
As células A e D são consideradas células de mudança, enquanto que as células B e C
são células que não muda de estado. O total de indivíduos que acusam mudança é
pois ositivo” e a
probabilidade de “Antes Positivo; Depois Negativo” e , calcular as
A e D:
DAm += ;
2. Considerando 1p a probabilidade de “Antes Negativo; De P 2p
21 pp =
frequências esperadas nas células )(2
1
DAE += .
as frequênciasSe esperadas são inferiores a 5 , empregar a prova binomial em
substituição á de McNemar, neste caso, DAN += e { }DAx ,min= ;
3. Ca 2
Xso não se verifique que as frequências são inferiores a 5, calcular o valor de
com o emprego da seguinte fórmula:
( )
DA
DA
X
+
−−
=
2
2
1
com gl = 1
va
unilateral, basta dividir por dois o valor tabelado. Caso o valor de p, exibido pela
tabela, não supera
4. Mediante referência à tabela C, determinar o probabilidade, sob 0H , associada a um
valor tão grande quanto o valor observado de 2
X . Se se tratar de uma pro
α , rejeitar m
Exem lo 2.2.1:
Dada a seguinte tabela de resultados:
Tabela 2.2.1:
Marca A
Sucesso 19 11
0H e favor da hipótese alternativa.
p
Marca B
Sucesso Insucesso
Insucesso 4 16
(2.2.1)
26

ificância
de
Queremos saber qual a melhor marca de medicamentos com um nível de sign
05,0=α .
olução:Res
n diferenças
entre a m células (B e C). Se verificarmos
que B
então a m é melhor. Com base neste raciocínio, formulamos as nossas hipóteses:
McNemar demo strou que A ou D não contribui para a determinação das
arca A e a marca B, Mas sim através das restantes
> C, podemos concluir que a Marca A é melhor que a marca B, caso contrário, se B < C
arca B
0H : Não existe diferenças entre a marca A e a Marca B ( 2
1
marcaBmarcaA == pp )
01 : HH é falsa.
( )
1142857143,0
1619
11619
2
2
=
+
−−
=X com
omo 2
XX > então rejeitamos a hipótese nula, dando lugar à hipótese
alternativa, isto é, existe diferenças entre a marca A e a marca B, sendo a marca A melhor que
a marca B.
da probabilidade associada:
1=gl
Através da tabela C, calculamos uma aproximação do valor de )1(2
1 α−X :
0039,0)1()1( 2
95.0
2
1 ==− XX α
)1(2
95.C 0
Com a ajuda do computador, não é preciso recorrer à tabela, podendo calcular o valor
preciso
Output 2.2.1:
27

No Mathematica®, a função a utilizar será a mesma da binomial dando como
parâm ero total dos valores das células onde há mudança de comportamento entre
as ma as, a probabilidade (neste caso é 0,5) e o menor valor entre as células de mudança:
pmBinomial PValue 0.5, 4
etros: o núm
rc
n
One- Sided PValue - > 0.0592346
Two- Sided PValue - > 0.118469
om o Mathematica® chegamos à mesma conclusão do método pelas tabelas, com a
vanta
ilcoxon é mais poderoso que o teste dos sinais, pois, além de considerar o
sentido da diferença também tem em conta o seu valor e o posto em que se insere.
Para cada par, determinar a diferença ( ), com sinal, entre os dois valores;
2. Atribuir postos a esses ’s independentemente de sinal. No caso de d’s empatados,
atribuir a média dos postos empatados;
3. Atribuir a cada p inal inal – e ele representa;
4. Determinar
C
gem de ser com maior precisão.
2.3 Teste de Wilcoxon
O teste de W
Método:
1. id
id
osto o s + ou o s do d qu
T qu l à m s som ostos d esmo sinal;
5. Determinar N que é igual ao t d’s co l;
6. O processo para determinação nificân o valor o ervado de T vai depender
de N:
Se , a tabela G dá os valores críticos de T pa rsos tam
observado de T não supera o valor indicado na tabela, para um dado nível de significância e
um particular N, pode ser rejeitada;
Se , calcular o valor de z pela seguinte fórmu
e é igua enor da as de p e m
otal de m sina
da sig cia d bs
25≤N ra dive anhos de N. Se o valor
0H
25>N la:
24
12N)(1(
(
+
−
=
NN
N
T
z (2.3.1)4
+
)1+N
28

Determinar a sua pr ade ada, s , mediante referência à Tabela A.
Para uma prova bilateral, duplicar o valor de p dado.
Se o p assim obtido não for superior a
obabilid associ ob 0H
α , rejeitar
Exemplo 2.3.1:
valores que correspondem ao
núme nos em diferentes profissões divididos pelo
sexo:
Tabela 2.3.1:
Femin 55 8556 2972 324 19448 1790 5163 12495 7594 1128 3724 614
0H .
Na tabela seguinte apresentamos uma sequência de
ro de pessoas que trabalham à mais de 25 a
ino 47618 15110 65
Masculino 6523 16708 8883 7825 1002 442 11161 1661 6346 3153 4760 10946 10593 23565
Pretendemos determinar se existem grandes diferenças entre os sexos nas diferentes
ocupações.
esolução:
amos as hipóteses:
: Não há diferenças entre o sexo masculino e o feminino nas diferentes ocupações.
Há diferenças entre os sexos.
emos usar o teste de Wilcoxon, escolhendo um
R
Formul
0H
H :1
Ir 05,0=α .
Dispomos os dados numa tabela para calcular as diferenças e os postos:
29

Tabela 2.3.2:
iA iB iii BAd −= Postos
47618 56523 -8 12905
15110 16708 -1598 5
6555 8883 -2328 8
8556 7825 731 3
2972 1002 1970 7
324 442 -118 1
19448 11161 8287 11
1790 1661 129 2
5163 6346 -1183 4
12495 3153 9342 13
7594 4760 2834 9
1128 10946 -9818 14
3724 10593 -6869 10
614 2356 -1742 6
4591321173 =+++++=+T
6061014418512 =+++++++=−T 45},min{ == −+ TTT
Como N < 25 (N = 14) então estamos perante a um caso de pequenas amostras, neste
caso basta ver qual o valor tabelado de T descrito na tabela G:
Para um N = 14 e 05,0=α (prova bilateral) temos 21=tabeladoT
Como então aceitamos a hipótese, isto é, não existe diferenças entre os
sexos nas diferentes ocupações.
No SPSS®, basta introduzir os dados em duas series de variáveis, ficando com o
seguinte resultado:
tabeladoTT >
30

Output 2.3.1:
teste assimptotico. Não nos dá o valor de T mas
sim
Podemos observar que o SPSS faz umPodemos observar que o SPSS faz um
31
Output 2.3.1:
teste assimptotico. Não nos dá o valor de T mas
sim o valor da probabilidade associada. Neste caso , então podemos concluir que638,0=p
não existe diferenças entre os sexos.
31

Capítulo 3: Caso de duas amostras independentes
CAPITULO 3: CASO DE DUAS
ger a
tos, ap
ensões diferentes.
istribuições são contínuas, uma única ordem é sempre possível,
visto
AMOSTRAS INDEPENDENTES
Como os testes do capítulo 2, os testes, de seguida, apresentados, servem, de um modo
al, para determinar se as diferenças nas amostras constituem evidência convincente de um
diferença nos processos, ou tratamen licados a elas. A principal diferença é de que as
amostras são independentes e como tal, podem ter dim
3.1 Teste de Iterações de Wald-Wolfowitz
Seja duas amostras independentes mXXX ,,, 21 K e nYYY ,,, 21 K combinadas numa
única sequência ordenada da menor à maior, não deixando de identificar a sua amostra.
Assumindo que as suas d
que teoricamente não existem empates. Por exemplo, com 4=m e 5=n , a sequência
poder
distribuições são idênticas
para todo o x
esperam X e Y estejam bem misturadas na sequência obtida. Visto que, a dimensão
+ a ostra d ulação comum.
Com a r s idênticas precedida e
seguida por t ero total de iterações de uma amostra
ordenada é
iterações sugere ên o provém de uma única amostra, mas sim de
duas amostr as popula
menores que os i
configuração pa
também podem ticamente menores que os Y’s. Contudo, a ordem
inversa tamb e ta
iterações não po
Em primeiro lugar, o teste de iterações é apropriado quando a hipótese alternativa é
bilateral
ia ser X Y Y X X Y Y em que é indicado que o menor elemento pertence à amostra X, o
segundo menor da amostra Y, etc., e o valor maior pertence à amostra Y. Sobre a hipótese nula
de que as
)()(:0 xFxFH xY =
os que
nm N= constitui um am e dimensão N de uma pop
ite ação, definida em 1.4, como uma sequência de letra
uma letra diferen e ou nenhuma letra, o núm
um indicativo do grau de mistura. Um padrão de arranjos com muito poucas
que os N valores da sequ cia nã
as de du ções diferentes. Por exemplo, se todos os elemento de X são
elementos de Y, na sequência formada dever a ter só duas iterações. Esta
rticular pode indicar que não só as populações não são equivalentes, como
indicar que X’s são estocas
ém só contém duas iterações, , por nto, um teste baseado só no número total de
de distinguir estes casos.
32

)() xFx x≠ para alguns x
uma variável R aleatória como o número total de iterações numa ordem de m
aleatórios.
(:1 FH Y
Definimos
X e n Y valores
Desde que poucas iterações tendem a duvidar da hipótese nula quando a alternativa é
, O teste de iterações de Wald-Wolfowitz (1940) para um nível de significância1H α
geralmente tem a região de rejeição αcR ≤ onde αc é escolhido para ser o maior inteiro que
satisfaz αα ≤≤ )( cR quando 0H é verdadeira.
sde que as observações X e Y são dois tipos de objectos arranjados numa sequência
mente aleatória, se 0H é verdadeira, a distribuição da probabilidade nula de R é
stribuição 1.4.2 do corolário 1.4.1 para o teste de iterações de um
P
De
completa
igual é di a amostra, bastando
mudar
os Y’s são os objectos do tipo 2.
Este teste tem a particular vantagem de permitir comprovar qualquer tipo de diferença.
os aplicar a prova de Wald-Wolfowitz supõe-se que a variável em
estudo tenha distribuição básica contínua, e exige mensuração no mínimo ao nível de escala
ordin
e 2n para m e n respectivamente, assumindo que os X’s são os objecto do tipo 1 e1n
Para que possam
al.
Método:
Suponhamos que nn =1 e mn =2 , os passos a seguir são:
i. Dispor os 21 nn + valores numa única sequência ordenada;
ii. Determinar r = número de iterações;
iii. O método para determinação da significância do valor observado de r
dep h e
, a e F s o
ende do taman o de 1n 2n :
iv. Se 20,n 21 ≤n tab la I dá o valores crític s de r para um nível de
significância 0,05. Caso o valor observado de r não superar o valor tabelado
para os valores dados de e , então podemo ao nível de
gnificância
1n 2n s rejeitar 0H
si 05,0=α ;
v. Se um dos valores de e superar 20, podemos utilizar a seguinte
ormal:
1n 2n
aproximação à N
33

)1()( 21
2
21 −++ nnnn
Após a determ
)2(2
5.01
2
2
212121
21
21
−−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
=
nnnnnn
nn
nn
r
z (3.1.1)
inação do valor de z, determina-se a probabilidade associada
através da tabela A. Se o valor p não for maior quep α então devemos rejeitar
Teoricamente, não deveria ocorrer empates nos valores de uma prova de iterações,
que as populações, das quais se extraíram as amostras, deveriam ter distribuições
cont é o a p i bilidade das
mens l n o rr e a r e r s. Portanto,
por vezes, pode originar valores diferentes para
a hipótese nula;
Caso ocorram empates.
por
ínuas. Na aplicação do m todo, p r f lta de rec são ou de sensi
urações pode eventua me te co er mp tes nos dife ent s g upo
r . Assim para abranger todos os
epetir o método para todas as ordens diferentes.
Caso i c e o étodo é
inapl
Exemplo 3.1.1:
de discriminação de brilho) de 21 ratos
norm o número de tentativas de reaprendizagem de 8 ratos. Queremos saber se os dois
imais diferem nas suas taxas de aprendizagem (reaprendizagem).
A segui a t e r r feitas pelos
ratos do grupo g
Tabela 3.1.1:
Ratos A 20 55 29 24 75 56 31 45
casos, deve-se r
chegue a d ferentes de isõ s s bre a hipótese nula, então, este m
icável.
Num estudo destinado a comprovar a teoria da equipotencialidade, Ghiselli comparou o
número de tentativas de aprendizagem (numa tarefa
ais com
grupos de an
nte tabel dá-nos as tenta ivas de apr ndizagem ( eap endizagem)
A e do rupo B:
Ratos B 23 8 24 15 8 6 15 15 21 23 16 15 24 15 21 15 18 14 22 15 14
34

Resolu
s :
difer s
inação de brilho.
Os dois grupos de ratos diferem em relação à taxa de aprendizagem
(reaprendizagem).
A prova a escolher é a prova de Wald-Wolfowitz, pois é uma prova global para a
diferença entre duas amostras. O nível de significância a escolher será
ção:
Formulamos as hipóte es
0H : Não há ença entre os ratos normais e os ratos em período pós-operatório com
lesões corticais, no que diz respeito à aprendizagem (ou reaprendizagem) numa
tarefa de discrim
H :1
01,0=α .
Dispomos por ordem crescente e contamos o número de iterações:
Tabela 3.1.2:
20Valores 6 8 8 14 14 15 15 15 15 15 15 15 16 18
Grupo B B B B B B B B B B B B B B A
Iterações 1 2
Tabel
21 21 22 23 23 24 45 55 56 75
a 3.1.2 (continuação):
Valores 24 24 29 31
Grupo B B B B B B A B A A A A A A
Iterações 3 4 5 6
Neste caso o número de iterações é 61 =r , mas, note-se que há empates entre os dois
grupo
Tabela 3.1.3:
Valores 6 8 8 14 14 15 15 15 15 15 15 15 16 18 20
s, neste caso, teremos que repetir a contagem:
Grupo B B B B B B B B B B B B B B A
Iterações 1 2
35

Tabela 3.1.3 (continuação):
Valores 21 21 22 23 23 24 24 24 29 31 45 55 56 75
Grupo B B B B B B B A A A A A A A
Iterações 3 4
Assim, ficamos com 42 =r .
Dado que 81 =n e 20212 >=n , então não podemos recorrer à tabela F. Para que
possamos calcular a probabilidade associada teremos que fazer uma aproximação à Normal
com o auxilio da fórmula (3.2.1):
Para : Para41 =r 62 =r :
[ ]
)1218()218(
218)21)(8)(2()21)(8)(2(
5,01
218
)21)(8)(2(
4
2
1
−++
−−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=z
864,3=
[ ]
)1218()218(
218)21)(8)(2()21)(8)(2(
5,01
218
)21)(8)(2(
6
2
2
−++
−−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=z
908,2=
Recorrendo à Tabela A, calcula-se o valor da probabilidade associada:
Para um 864,31 ≥z , verificamos que
0=p
Para um 908,22 ≥z , verificamos que a
0014,0
a probabilidade é probabilidade é
1 2 =p
Ambas as probabilidades e , são inferiores a1p 2p 01,0=α . Deste modo, concluímos
que os dois grupos de animais diferem significativamente nas suas taxas de aprendizagem
(reaprendizagem).
e gnificância este
método não teria efeito.
Caso, alguma das probabilidades fossem superior do que o nível d si
Vejamos como o SPSS® apresentava o resultado:
36

Output 3.1.1:
Como pod
iterações, calcul a probabilidade associada. A conclusão a tirar seria a
mesma pelo tradicional
Como van
visto que, no m
cálculo de po
3.
Como no teste de iterações de Wald-Wolfowitz, o teste de U de Mann-Whitney (1947) é
baseado na ideia de que um padrão particular, exibido quando X e Y variáveis aleatórias estão
numa única fila postos em ordem crescente, fornece informação sobre a relação entre as suas
populações. Contudo, em vez de basear-se pelo núm
de Mann-Whitney é baseado na magnitude de Y’s em relação com os X’s, digamos que é a
posição dos Y’s numa sequência ordenada.
O objectivo deste teste é comprovar se dois grupos independentes foram ou não
extraídos duma população com a mesma mediana. Para isso, as amostras devem ser
independentes e aleatórias: uma extraída duma população com mediana não conhecida e
outra extraída de outra população com mediana desconhecida . O nível de mensuração
enos ordinal e as duas popul
A hipótese a comprovar é ver se as populações têm a mesma mediana, sendo a
altern
emos constatar, o SPSS® indica-nos o número mínimo e máximo de
ando para cada um
método .
tagem para o SPSS®, é o modo rápido como se calcula as probabilidades,
étodo tradicional, em caso de empates, temos que repetir a ordenação e o
dendo provocar maior número de erros.p ,
2 Teste U de Mann-Whitney
ero total de iterações, o critério do teste
1M
2M
tem que ser pelo m ações devem ter uma distribuição contínua.
ativa, as medianas serem diferentes ou uma maior do que a outra.
37

Método:
s aos valores, em caso de empate, fazer a média dos postos
correspondentes;
a determinar U basta recorrer à fórmula seguinte:
1. Determinar os valores 1n (=número de casos do menor grupo) e 2n ;
2. Dispor em conjunto os valores dos dois grupos, ordenando-os de forma ascendente;
3. Atribuir posto
4. Par
);min( 21 UU=U (3.2.1)
Sendo: 1
11 )1(
R
nn
nnU −211
2
+
+= e UnnU 1212 −=
com s postos atribuídos à amostra 1;
ar a significância do valor de depende de :
ma prova bilateral basta duplicar o valor
nstar na tabela, deve ser
inte tado como
1R = soma do
5. O método para determin 2n
i. Se 82 ≤n , a tabela J dá a probabilidade exacta associada a um valor tão
pequeno quanto o valor de U. Para u
obtido na tabela, Caso o valor de U não co
rpre UnnU −= 21' ;
ii. Se 209 ≤≤ n , é utilizada a tabela K, que dá os valores2 críticos de U para
níveis de significância de 0,001, 0,01, 0,025, 0,05 para um teste unilateral,
duplicando estes valores para u ilateral. Caso o valor observado de
aior do que /2, deve ser interpretado como U’ descrito na alínea
r
Se n pr abilidade deve r c ula atr és d pro ação
is i o al, av o r q a e rm :
ma prova b
U é m 21nn
ante ior;
iii. 202 > , a ob se alc da av e uma a xim
à d tribu ção N rm atr és d valo de z ue é nos d do p la fó ula
12
)1( 2121 ++ nnnn
2
21
−
=
nn
U
z
ostras, expressão utilizada será:
(3.2.2)
Caso ocorram empates, em grandes am
38

⎟⎟
⎠
⎞
−
−
∑T
N
2⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
N
NN
nn
nn
U
z
1)1(
2
3
21
21
onde: 21 nnN += e
12
tt
T
−
= sendo t o número de observaçõe
3
s empatadas para uma dada
posiç
e o valor observado de U tem probabilidade associada não superior a
ão.
αS , rejeitar a
hipótese nula.
Exemplo 3.2.1:
a disciplina de Estatística Aplicada, onde se encontra inscritos alunos do curso de
Matem
Tabela
N
ática (ensino de) e Matemática/Informática, registaram-se as seguintes classificações
numa das frequências:
3.2.1:
Mat. (ensino de) 10.5 16.5 11 9.8 17.1 1.5 14.8 9.9 9.8 10.3 8.7
Mat./Informática 11.4 12.9 10.1 7.9 8.8 12.8
O que se pode conclu édias das ordens das classificações.
Resolução:
ulamos as hipóteses:
ática
Há diferenças entre as médias das ordens (teste bilateral).
pós a contagem do número de casos em ambas as amostras temos:
(3.2.3)
ir acerca das m
Form
0
(ensino de) e de Matemática Informática
H : Não há diferenças entre as médias das ordens das notas dos alunos de Matem
H :1
A
39

40
61 =n e 112 =n
Calculemos U:
Tabela 3.2.2:
1,5 7,9 8,7 8,8 9,8 9,8 9,9 10,1 10,3 10,5 11 11,4 12,8 12,9 14,8 16,5 17,1
E I E I E E E I E E E I I I E E E
1 2 3 4 5,5 5,5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
34)141312842(
2
)16(6
1161 =+++++−
+×
+×=U
32341162 =−×=U 32)32;34min( ==U
Como 9 202 ≤n recorremos à tabela J:≤
Para 61 =n , 112 =n e 05.0=α (bilateral),
temos
m
populaçõ
Vej
Após a introdução dos valores, dá-nos o seguinte resultado:
Output 3.2
: 3=tabeladoU .1
Co o calculadotabelado UU < , podemos concluir que as duas amostras provêem de
es com a mesma média.
amos como podemos resolver este exemplo no SPSS®:
.1:

É claro que existe clara vantagens em utilizar o SPSS®. Pois, dá um quadro resume que
contém o valor exacto da probabilidade, a probabilidade assimptótica e tam ém o valor de U.
Tendo como principal vantagem o pouco tempo gasto para o emprego deste teste.
No Mathematica® coma ajuda da função npmMannWhitneyTest[list1,list2], fica:
Mat
Mat 0
rpm M
b
Ensino = 10.5, 16.5, 11, 9.8, 17.1, 1.5, 14.8, 9.9, 9.8, 10.3, 8.7
Informatica = 11.4, 12.9, 1 .1, 7.9, 8.8, 12.8
MannWhitneyTest MatEnsino, atInformatica
Title: Mann- Whitney Test
Sample Medians: 10.75, 10.3
Test Statistic: 32.
Distribution: Normal Approximation
2 - Sided PValue - > 0.919895
ina-se especificamente a dados de mensuração mínima na escala
ordinal. Esta prova tem como objectivo ver se as populações têm a mesma oscilação, isto é, o
teste de Moses é aplicável quando é previsto que um dos grupos tenha valores altos, e o outro
alores baixos.
deste teste é que não requer que as populações tenha medianas
iguais. Todavia, Moses (1952b) salienta que um teste baseado em medianas ou em postos
médios, por exemplo, o teste de Mann-Whitney, é mais eficiente, devendo, por
conse ialmente útil quando existem
razõe a priori para esperar que determinada condição experimental conduza a escores
extrem ou em outra direcção.
Mé
es são:
eja e o número de casos de controlo e experimentais respectivamente.
ar q eno arbitrário;
Esta função apenas dá um valor aproximado de p.
Podemos concluir que para fazer um teste com maior rigor e rapidez, o SPSS® seria a
melhor escolha, pois o SPPS® calcula o valor exacto.
3.3 Teste de Moses para reacções extremas
O teste de Moses dest
v
A principal vantagem
U
guinte, ser preferido à prova de Moses. Esta última é espec
s
os em uma
todo:
Os passos a seguir para o teste de Mos
S Cn En
1. Antes de reunir os dados deve-se especific Será um número pe uh .
41

2. Reunidos os dados, dispô-los em postos em uma única série conservando a
ntidade do grupo em cada posto;
D t m â n i d s
eliminar os postos mais extremos dos cada extremidade da respectiva
série, isto é,
ide
3. e er inar o valor de s , mbito ou abra gênc a o postos de controlo, apósh
h C ’s em
112 +−= CCsh (3.3.1)
onde, é o posto que corresponde o último grupo de controlo, retirando h valores
corresponde ao primeiro posto do grupo de controlo, retirando h
4. Determinar o valor de
2C
de controlo e 1
valores de controlo;
C
g , excesso do valor observado de sobre ,ou seja,
5. Determinar a probabilidade associada aos dados observados, calculando o valor de
pela fórmula:
hs hnC 2−
)2( hnsg Ch −−= ;
p
( )
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ Cn
E
⎞⎛ +
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ −⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝=+−≤
∑
EC
EC
Ch
nn
ini
ghnsp 2
⎞⎛ −++⎞⎛ −−+
=
g
i E
ihnhni
0
1222
m caso de ocorrência de empates entre grupos, considerar esses empates de todos
odos possíveis e determinar para cada um deles. A média desses p’s é então
utilizada para a decisão;
6. Se p não superar
pos m
α , rejeitar
xemplo 3.3.1:
s e o
grupo
inutos e o
grau d . o grau 20 significa que a pessoa tem pavor a
ratos.
(3.3.2)
.0H
E
Num estudo para avaliar o grau de medo, perante ratos, escolheu-se dois grupos de
indivíduos. O grupo C, constituído por 7 indivíduos, que trabalha diariamente com rato
E, formado por 6 indivíduos, têm dificuldades em controlar o medo, quando estão
próximos de ratos.
Quer o grupo C quer o grupo E estiveram em contacto com ratos durante 10 m
e medo foi medido numa escala de 0 a 20
Os resultados foram:
42

Tabela 3.3.1:
Grupo C 6 5 10 7 12 3 8
Grupo E 0 4 11 18 9 19
Será que as duas amostras provêem da mesma população?
Resolução:
vidimos em dois casos: o da esquerda com
0H : Não há diferenças entre o grupo C e o grupo E.
:1H Há diferenças entre os dois grupos.
Di 0=h e o da direita com
po:
Tabela 3.3.2:
Posto 5 11 12 13
1=h .
Dispomos os valores em postos, conservando o gru
Tabela 3.3.3:
Posto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Grupo E C E C C C C E C E C E E
1 2 3 4 6 7 8 9 10
Grupo C C C C E C E C E EE C E
Determinamos o valor de g , com 10=hs e
7=Cn :
3)027(10 =×−−=g
Determinamos o valor de g , com 6=hs e
6149 =+−=hs101211 =+−=hs
:7=Cn
1)127(6 =×−−=g
lizando a fórmula 3.3.2:Então uti
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎞
⎜
⎛ −
⎟
⎞
⎜
⎛ +
∑
753 ii
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎞
⎜
⎛ +
∑
31 i
⎠
⎜
⎝=≤
=
7
13
6
9
6
0i
h
i
i
i
sp⎠
⎜
⎝ −⎟
⎠
⎜
⎝=≤
=
7
13
6
h
i
,0=
10
0i i
sp
2168 1795,0=
Sendo , concluímos que, para qualquer um dos casos, não e is05,0=α x te diferenças
entre os grupos C e E, sendo assim da mesma população., as amostras provêem
43

No SPSS®, após a introdução dos valores e escolha do teste, temos o seguinte
resultado:
Output 3.3.1:
Como podemos ver no SPSS®, ele calcula a probabilidade associada para um 1=h (por
e para um 0=h , assim não o precisamos de escolher um h no início do teste.
ematica®, o proc im
ele escolhido)
No Math ed ento a utilizar foi o npmMosesTest, este procedimento
aceita m h escolhi
Prim
Amo
Amo
rpmMosesTest amostra1, amostra2, 1
co o parâmetros as duas amostras, sendo a de controlo a primeira, e o do:
eiramente, criamos as duas listas e de seguida corremos o procedimento:
stra1 = 6, 5, 10, 7, 12, 3, 8
stra2 = 0, 4, 11, 18, 9, 19
h = 1; Sh 6=
Nc = 7; Ne = 6; N = 13
Valor Unilateral de p: 0.179487
Valor Bilateral de p: 0.358974
o podemos verificar, o Mathematica® dá-nos os valores de ambas a probabilidades
e as p
escala de medida pode ser em apenas nominal.
Com
rincipais variáveis do teste. As vantagens deste procedimento são a rapidez e a precisão
dos valores dados.
3.4 Teste da Qui-Quadrado ( 2
χ ) para duas amostras independentes
O objectivo deste teste é de comprovar que dois grupos diferem em relação a
determinada característica e, consequentemente, com respeito à frequência relativa com que
os componentes dos grupos se enquadram nas diversas categorias. Para a comprovação,
contamos o número de casos de cada grupo que recai nas diversas categorias, e comparamos a
proporção de casos de um grupo nas diversas categorias, com a proporção de casos do outro
grupo.
A
44

Método:
Os passos a seguir para o teste são:
1. Enquadrar as frequências observadas numa tabela de contingência . Utilizando
as k colunas para os grupos e as r linhas para as condições. Assim para este teste,
a ( ) de cada célula fazendo o produto dos totais
3. P rar dois casos:
Se
rk ×
2=k ;
ijE2. Determinar a frequência esperad
marginais referentes a cada uma e dividindo-o por N. (N é o total de casos);
ara determinar o valor de χ há que conside2
a fórmula será:
( )
2>r
∑∑
−
=
r k
ijij
E
EO
2
2
χ
= =
= número de casos observados na categoria i no grupo j
o grupo j sob
= número de grupos na classificação
i j ij1 1
ijO
ijE = número de casos esperados na categoria i n 0H
k
r = número de categorias na classificação;
Se 2=r então consideramos a seguinte tabela:
Tabela 3.4.1:
Grupo 1 Grupo 2 Total
Categoria 1 A B A+B
Categoria 2 C D C+D
Total A+C B+D N
Então temos a fórmula:
))()()((
2
2
2
DBCADCBA
N
BCADN
++++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
=χ
Esta fórmula é um pouco mais fácil da aplicar do que a fórmula (3.4.1), pois
requer apenas uma divisão. Além disso, tem a principal vantagem de
(3.4.2)
(3.4.1)
45

incorporar uma correcção de continuidade que melhora sensivelmente a
aproximação do 2
χ ;
4. Determinar a significância do valor observado de 2
χ com )1)(1( −−= krgl , com o
auxílio da tab C. Para um teste unilateral basta dividir por dois o nível de
significância indicado. Se a probabilidade indicada na tabela for inferior a
ela
α ,
rejeitar a hipótese nula.
Exemplo 3.4.1:
Um investigador estudou a relação entre os interesses vocacionais e a escolha do
currículo, e a taxa de desistência do curso universitário por parte de estudantes bem dotados.
Os indivíduos observados era no mínimo de 90 pontos
percentuais nos testes de admissão e que haviam resolvido mudar de carreira após a matrícula.
o pesquisador comparou os e lha curricular se manteve na
linha considerada desejável à vista do resultado obtido no Teste Vocacional de Strong (tais
casos sendo considerad como “positivos”) com os estudantes destacados cuja escolha
curricular se processou em sentido diverso do indicado pelo Teste de interesse. A hipótese do
inves da “positiva” acusam maior
frequência de permanência na faculdade ou no curso universitário inicialmente escolhido. Os
valores são dados na seguinte tabela:
Tabel
m estudantes classificados
studantes destacados cuja a esco
os
tigador é que os estudantes cuja escolha foi considera
a 3.4.2:
Positivo Negativo Total
Afastamento 10 11 21
Permanência 46 13 59
Total 56 24 80
Resolução:
: Não há diferenças entre os dois grupos no que diz respeito à proporção dos
estudantes que permanecem na faculdade.
0H
46

:1H A percentagem de permanência na faculdade é maior que os estudantes cuja a
escolha do currículo foi considerada “positiva”.
Iremos trabalhar com um nível de significância 05,0=α .
Considerando os valores dados pela tabela ficamos com:
)24)(56)(59)(21(
2
80
)46)(11()13)(10(80
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
=χ 424,5=
A probabilidade de ocorrência, sob , de com0H 424,52
≥χ 1=gl é
01,0)02,0(
2
1
=<p . Como este valor é inferior a 05,0=α , a decisão é rejeitar . Conclui-
se, pois, que os estudantes bem dotados cuja escolha de currículo foi considerando “positiva”
acusam maior frequência de permanência na universidade do que os estudantes bem dotados
cuja escolha foi considerada “negativa”.
No SPSS® temos o seguinte Output:
Output 3.4.1:
0H
O SPSS® dá-nos o valor de , com e sem o factor de correcção de continuidade e
calcula o valor assimptótico da prob ade associada
2
χ
abilid 009,0=p .
O procedimento para o Mathematica®, que será descrito a seguir, serve só para as
tabelas de contingência . Este procedimento tem a particularidade de ter uma opção para22×
47

a escolha dois tipos de co (1934) , já considerado
na fórmula 3.4.2, e o m ima considerado:
No caso de não escolhermos o método de correcção, o procedimento apenas calcula o
valor de
rrecção de continuidade: o método de Yates
étodo de Haber2
. Vejamos então para o exemplo ac
p sem utilizar um dos factores de correcção:
rpmChiSquare2x2Test 10, 11, 46, 13
Title: Chi Square Test
Distribution: Chi Square
Correction: None
Two- Sided P- Value: 0.00915693
One- Sided P- Value: 0.00457847
rpmChiSquare2x2Test 10, 11, 46, 13 mthd®yates
Correction: Yates
rpmChiSquare2x2Test 10, 11, 46, 13 mthd®haber
Correction: Haber
Qualquer um dos três casos chega à decisão de rejeitar a hipótese nula. Assim
os, que a percentagem de permanência na faculdade é maior que os estudantes cuja a
escolha do currículo foi considerada “pos
concluím
itiva”. Note-se que qualquer dos valores é
semelhante.
atica® está em clara vantagem em relação à utilização da tabela
ou me
Sendo assim o Mathem
smo do SPSS®.
siderando { }2,1,2,1:min === jiOO ij
2
Con temos:
Se entãoOOij 2≤ =D maior múltiplo de 0.5 que é OOij −< ou
se entãoOOij 2> 5.0−−= OOD ij o teste estatístico fica:
))()()((
23
2
DBCADCBA
DN
H
++++
=χ
48

Capítulo 4: Caso de k amostras relacionadas
CAPÍTULO 4: CASO DE K
AMOSTRAS RELACIONADAS
O objectivo principal dos testes que irão ser apresentados, é comprovar a hipótese de
que a
Há
igual tam
pode(m) N grupos pode ser
mensurado sob todas as k condições. Em tais planos, devem-se usar os testes estatísticos aqui
apres
tabela
de contingência.
odo, o teste de Cochran permite investigar quando um conjunto de k proporções
relacionadas difere significativamente.
Método:
Os passos a seguir para o teste são:
1. Para dados dicotom zados, at ir o valo ” a cada “su esso” e o valor “0” a cada
“insucesso”;
2. Dispor os dados numa tabela
s k amostras tenham sido extraídas da mesma população ou de populações idênticas.
dois planos básicos para comprovar k grupos. No primeiro deles, as k amostras de
anho são postas em correspondência de acordo com determinado(s) critério(s) que
afectar os valores das observações. Ou então cada um dos
entados.
4.1 Teste Q de Cochran
O modelo típico para o teste Q de Cochran (1950) envolve um conjunto de 2≥k
tratamentos que são aplicados independentemente para cada N indivíduos. Os resultados de
cada tratamento são guardados como uma variável dicotómica de sucesso e insucesso. Os uns
e zeros (que correspondem ao sucesso e insucesso respectivamente) são dispostos numa
Deste m
i ribu r “1 c
Nk × , com N linhas. N = número de
casos em cada k .
. Determinar o valor Q utilizando a fórmula:
k colunas e
grupos
3
( )
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
= N
i
N
i
ii
k
j
k
j
jj
LLk
GGkk
Q
1 1
2
1
2
1
2
1
(4.1.1)
50

onde é a soma dos valores das j colunas;
s valores das i linhas.
4. a significância do valor observado de Q pode ser determinada mediante referência à
uadrado com
: jG
L é a soma doi
tabela C, pois Q tem distribuição aproximadamente Qui-Q 1−= kgl .
Se a probabilidade associada à ocorrência, sob H , de um valor tão grande quanto0
um valor observado de Q não supera α , rejeita-se a hipótese nula.
Exemplo 4.1.1:
Cada um dos quatro fãs de futebol criou um s ma para antever os resultados dos
jogos da 1ª liga. Foram escolhidos ao acaso seis jogos, e cada um dos fãs anteviu o resultado
de cada jogo. Os resultados dos prognósticos foram pos num tabela, utilizando “1”
para um prognóstico bem sucedido e “0” para um prognóstico falhado. Os resultados são
apresentados na tabela 4.1.1. Queremos testar a hipótese de que cada fã tem um sistema de
igual efeito para antever os resultados dos jogos com um nível de significância de 5%.
Tabela 4.1.1:
Fãs
iste
dis tos a
Jogos 1 2 3 4 Totais
1 1 1 0 0 2
2 1 1 1 0 3
3 1 1 1 0 3
4 0 1 1 0 2
5 0 1 0 0 1
6 1 1 0 1 3
Totais 4 6 3 1 14
51

Resolução:
As hipóteses são as seguintes:
: Cada fã tem um sistema de igual efeito para antever os resultados dos jogos de
futebol.
Existe diferenças nos efeitos dos sistemas criados pelos fãs.
Primeiro dispomos os resultados de novo numa tabela, que será apenas uma
modificação da tabela 4.1.1:
Tabela 4.1.2:
Fãs
0H
:1H
Jogos 1 2 3 4 iL 2
iL
1 1 1 0 0 2 4
2 1 1 1 0 3 9
3 1 1 1 0 3 9
4 0 1 1 0 2 4
5 0 1 0 0 1 1
6 1 1 0 1 3 9
jG 4 6 3 1 14 36
2
1jG 6 36 9 1 62
auxílio da fórmula 4.4.1:Então, após o cálculo dos somatórios temos, com o
( )[ ] 8,7
36144
146243
2
=
−×
−××
=Q
Calculamos agora a significância do valor observado, com a ajuda da tabela C:
314 =−=gl
Assim, como 05,002,0 ≤≤ p e 05,0=α , rejeitamos a hipótese, concluindo que existe
diferen feitos dos sistemas criados pelos fãs.ças nos e
52

No SPSS® temos os seguintes resultados:
Output 4.1.1: Output 4.1.2:
De mas teremos maior certeza de rejeitar a hipótese nula
se activás aior precisão como consta no Output 4.1.2.
No a®, ransQTest:
rpm
facto, p está entre 0,01 e 0,05,
semos a opção de fazer um teste com m
Mathematic utilizaremos a função npmCoch
resultados = 1, 1, 0, 0 , 1, 1, 1, 0 , 1, 1, 1, 0 , 0, 1, 1, 0 , 0, 1,
0, 0 , 1, 1, 0, 1
CochransQTest resultados , mthd®approx
Title: Cochran Q Test
Test Statistic: 7.8
Totals: 4, , 3, 1
tion: Chi quare
Column 6
SDistribu
PValue:
rpmCoch
0.0503311
ransQTest resultados , mthd®exact
Title: Cochran Q Test
Test Statistic: 7.8
Column Totals: 4, 6, 3, 1
Distribution: Exact
PValue: 0.0481771
a tabela na lista “resultados”. Com a opção para approx, obtemos um
valor aproximado de , baseado na distribuição da Qui-Quadrado com três graus
de lib
Foi introduzida
053311,0=p
erdade, com este valor aceitava-se a hipótese nula o que seria um erro. Porém,
rejeitávamos (com )05,0=α se escolhêssemos o método exacto.
53

Para concluir, o Mathematica® é, de facto, o is indicado para os cálculos, porque dá-
nos os valores com maior precisão, emb re tados originassem respostas
diferentes. Cabe ao investigad
4.2 Teste de Friedman
uando os dados de k amostras correspondentes se apresentam pelo menos em escala
ordinal, o teste de Friedman (1937) é útil para comprovar de que as k amostras tenham sido
extraídas da mesma população.
M
Os p
Dispor os valores numa tabela de dupla entrada com k colunas e N linhas;
3. Determinar a soma dos postos da cada coluna: ;
cular o valor de , pela fórmula:
ma
ora os dois sul
or escolher.
Q
étodo:
assos a seguir para o teste são:
1.
2. Atribuir postos de 1 a k aos valores de cada linha;
jR
2
rχ
( )∑=
+−
+
=
4. Cal
k
2
j)1
jr kNR
kNk 1
2
)1(
(
1
χ
onde:N é o nú
k número de colunas;
soma das ordens na coluna.
5. O método para determinar a probabilidad
associado a valor observado de depende dos tamanhos de N e k:
bela N dá-nos as probabilidades exactas associadas a valores tão grandes
q m observado para k=3 com N de 2 a 9 e para k=4 com N de 2 a 4.
cedidos os valores
ui-
2
3
mero de linhas;
é o
jR a
e de ocorrência sobre a hipótese nula
2
rχ
i. A ta
2
rχuanto u
Caso os valores tenham ex da tabela N, a probabilidade
associada pode ser determinada mediante referência à distribuição Q
Quadrado (Tabela C) com 1−= kgl ;
6. Se a probabilidade obtida pelo método adequado indicado no item 5 não superar α,
ita-se H0.
(4.2.1)
reje
54

Exemplo 4.2.1:
A fim de avaliar se houve progressão na aprendizagem, um professor reteve as médias
de um grupo de 4 alunos no final de cada trimestre:
Tabela 4.2.1:
Alunos A B C D
1º Trimestre 8 15 11 7
Considerando um 05,0=α , que conclusão poderá tirar?
Hipóteses:
: Não houve progressão na aprendizagem ao longo do ano escolar;
Houve progressão ao longo do ano escolar.
Atribuímos os postos através da seguinte tabela e calculamos as somas:
Tabela 4.2.2:
Alunos 1º Trimestre 2º Trimestre 3º Trimestre
Resolução:
0H
:1H
A 1 2 3
B 1 2.5 2.5
C 1 2 3
D 1 2 3
jR 4 8.5 11.5
2
jR 16 72.25 132.25
Assim, fica:
e então4=N 3=k [ ] 125,7)13(4325,13225,7216
434
122
=+××−++×
××
=rχ
55

56
Com o auxílio da Tabela N temos 042,00046,0 ≤≤ p . Assim, com 05,0=α ,
rejeitamos a hipótese zagem ao longo do
no es
nula, concluindo que houve progressão na aprendi
a colar.
No SPSS®, chegamos à mesma conclusão, pois, dá-nos um 022,0=p .
Output 4.2.1:
pmFriedmanTest = medias
No Mathematica®, dá-nos a aproximação à Qui-Quadrado, sendo o valor mais preciso
do que o SPSS®.
medias = 8, 15, 11, 7, 14, 17, 13, 10, 15, 17, 14, 12
r
Title: Friedman Test
2, 13.5, 14.5Sample Medians: 1
Test Statistic: 7.6
Distribution: ChiSquare
PValue: 0.0223708

Capítulo 5: Caso para k amostras independentes
CAPÍTULO 5: CASO DE K
AMOSTRAS INDEPENDENTES
Na análise de dados de pesquisa, o pesquisador frequentemente precisa decidir se
s valores amostrais quase sempre são um tanto diferentes, e o problema é
deter
populaçõ que podem ser esperadas entre amostras
aleatórias da popu .
O objectivo
da mesma população ou de populações idênticas em relação às médias.
ao nível o
ão os seguintes passos a percorrer:
tos de 1 a N;
terminar o valor de R (soma dos postos) para cada um dos k grupos de postos;
3. Caso não o m c r e u mula:
diversas variáveis independentes devem ser consideradas como proveniente da mesma
população. O
minar se as diferenças amostrais observadas sugerem realmente diferenças entre as
es ou se são apenas variações casuais
mesma lação
5.1 Teste de Kruskal-Wallis
do teste de Kruskal-Wallis (1952) é ver se as diferentes k amostras provêem
O teste supõe que a variável tenha distribuição contínua, e exige mensuração no mínimo
rdinal.
Método:
S
1. Dispor, em postos, as observações de todos os k grupos numa única série,
atribuindo-lhes pos
2. De
corram e pates, alcular o valo de H p la seg inte fór
)1+(3−
j)1 1+
∑(
=
12 k 2
j
=
N
n
R
N
H
onde: = número de amostras;
, número de casos em todas as amostras combinadas;
a das ordens na amostra j (colunas).
a uma delas a média das respectivas ordens. O
valor de pates, sendo assim, é necessário introduzir um
factor de correcção. Deste modo, para o calculo de H deve-se utilizar a fórmula:
(5.1.1)
N j
k
jn = número de casos na amostra j
∑= jnN
jR = som
Se houver empates, atribui-se a cad
H é influenciado pelos em
57

NN
T
R
H
k
−
+ =
2
1
2
o en n me se s m s um o de valores
em s);
H depende do
tamanho de k e do tamanho dos grupos:
i. Se e
N +(3
njN(N j
j
−3
−
∑1
=
∑)1 1
)
1
nde: T = tt −3
(s do o ú ro de ob rvaçõe e patada n grup
patado
4. O método para determinar a significância do valor observado de
3=k 5,, 321 ≤nnn
e associada, sob
, pode-se utilizar a tabela O para determinar a
probabilidad , de um H tão grande quanto o observado;
ii. Em outros casos, a significância de um valor tão grande quanto o valor
0H
observado de H pode ser determinado mediante referência à tabela C, com
1−= kgl ;
5. Se a probabilidade associada ao valor observado de H não superar o nível de
significância previamente fixado, rejeitar em favor de
lo 5.1.1:
Em 1996 nas semifinais da corrida de obstáculos a cavalo femininos de 400 metros os
tempos foram os seguintes:
Tabela 5.1.1:
Atleta 1 54.88 54.96 55.91 55.99 56.67 57.29
0H 1H .
Exemp
Atleta 2 54.67 54.87 54.95 56.27 58.33 81.99
Atleta 3 55.66 56.46 56.74 57.86 58.90 59.56
Utilize o teste de Kruskal-Wallis, com 05,0=α , para testar se existe diferenças entre as
atletas.
Resolução:
As hipóteses a testar são:
: Não há diferenças entre as atletas;
Há diferenças entre as atletas.
Dispomos os postos consoante os dados:
5 1( . .2)
0H
:1H
58

Tabela 5.1.
Atleta 1
Posto 3
2:
54.88 54.96 55.91 55.99 56.67 57.29
471 =R
3 5 7 8 11 1
Atleta 2
Posto
54.67
1 2 4 9 15 18
54.87 54.95 56.27 58.33 81.99
492 =R
Atleta 3
Posto
55.66
6
56.46
10
56.74
12
57.86
14
58.90
16
59.56
17
753 =R
Como não há empates, calculamos H pela fórmula 5.1.1:
85, 42
6
75
6
49
6)18(
2
=+−=H
Output 5.1.1:
)118(3
4712
⎢
⎡
)118( ⎣+
2
⎥
⎤2
+
⎦
+
A partir da tabela C, observamos que o valor de p está entre 0,3 e 0,2, concluindo, a um
nível de significância de 0,05, que não há diferenças entre as atletas.
No SPSS temos o mesmo resultado mas com maior rigor e rapidez, pois sabemos agora
que 24,0=p :
No Mathematica® o resultado apresenta-se com maior número de casas decimais:
rpmKruskalWallisTest tabela
Title: Kruskal
Sample Medi
Wallis Test
ans: 55.9, 55.61, 57.3
Test Statistic: 2.8538
PVa ue - > 0.240052l
59

Capítulo 6: Medidas de Correlação
CAPITULO 6: MEDIDAS DE CORRELAÇÃO
6.1 Coeficiente de Correlação por postos de Kendall: τ
Suponhamos que um número de alunos está classificado por postos de acordo com as
suas habilidades em matemática e em música. A seguinte tabela mostra os valores de cada
aluno
B C D E F G H I J
designado por letras:
Tabela 6.1.1:
Aluno: A
Matemática: 7 4 3 10 6 2 9 8 1 5
Música: 5 7 3 1 9 6 2 8 410
Queremos saber se há alguma relação entre a habilidade na matemática e na música.
Observando os resultados da tabela anterior, vemos que a concordância entre eles está longe
de ser perfeita, mas alguns alunos ocupam a mesma ou perto da mesma posição entre as duas
disciplinas. Podemos ver a correspondência mais facilmente se na tabela for dada uma ordem
natural aos resultados de matemática:
Aluno: I F C B J E A H G D
Tabela 6.1.2:
Matemática: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Música: 8 9 3 7 4 1 5 2 6 10
intensidade da correlação dos postos. esta medida (que será um coeficiente que
designamos por
O que queremos saber é uma medida de correspondência entre estas duas variáveis, ou
medir a
τ ) deve ter as seguintes propriedades:
Se a correspondência entre os postos for perfeita, por exemplo, se todos os indivíduos
tiverem o mesmo posto nas duas disciplinas, τ deve ser +1, indicando uma correlação
perf
S
eita positiva;
e houver uma discordância perfeita, por exemplo, se um dos postos for o inverso do
outro, τ deve ser –1, indicando uma correlação perfeita negativa;
Se houver um crescime lo dnto do va r e τ en e , o deve corresponder a um
acré
tre –1 1 entã
scimo na relação entre as duas variáveis.
60

Consideremos qualquer par de a por exemplo, o par AB. Os seus
ostos, 7 e 4, ocorrem em ordem inversa (a ordem natural 1,...,10 é a ordem directa) e
consequentemente atribu em directa,
deveríamos atribuir +1. Na segunda variável (música) no par AB os postos estão em ordem
directa, deste modo, atribuímos +1.
cada par áveis estavam (+1) ou não
(-1) i i
O m
lunos da tabela 6.1.1,
p
ímos o valor a este par –1. Se o par estivesse em ord
Agora, multiplicamos os dois valores do par que dá (-1)(+1)=-1. É evidente que para
os valores seria +1 e –1, que significaria que ambas as vari
gua s em termos de ordem.
esmo procedimento é feito para todos os 45 pares.
O total de resultados positivos são 21=P e os negativos são 24−=− Q . Adicionando
mos o resultado final 3os dois te −=S .
os postos são idênticos emos postos são idênticos emSe cada um, e se os 45 valores forem positivos então o valor
máxi
e cada um, e se os 45 valores forem positivos então o valor
máximo de S é 45. Portanto calculamos o valormo de S é 45. Portanto calculamos o valor τ como:
07,0
45possívelmáximoResultado
−=−=
O valor próximo de zero indica que existe uma correlação muito pequena entre as duas
3actualResultado
Consideremos o caso geral. Se tivermos duas variáveis com n valores para comparar. O
número de pares para comparar é
variáveis.
( )1
22⎠⎝
1
=⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
nn
n
. Este é o número máximo de resultados
possíveis. Se é a soma dos resultados obtidos, então definimos o coeficiente de correlação
como:
−
S
)1( −nn
2
=
S
τ
atemática) está na ordem
natur da
4 1 5 2 6 10
Existe um modo prático de determinar o valor de S (número de resultados positivos):
Considerando a tabela 6.1.2. em que a primeira variável (m
al, a segun variável apresenta a seguinte sequência:
8 9 3 7
Considerando o primeiro valor, 8, observamos que a direita existen dois valores
maiores. Então contribui-se para P o valor +2. Tendo em atenção o 9, encontramos, à direita,
a contribuição de +1 para P e assim sucessivamente. Assim temos o valor de P que é
(6.1.1)
61

21122431512 =++++++++=P
(6.1.2)
à vari bém à variável Y postos de 1 a n.
Note-se que na tabela 6.1.1 os postos já foram atribuídos;
m na ordem
natural. No exemplo acima referido será a tabela 6.1.2;
ervar a ocorrência dos postos de Y quando os postos de X se acham na ordem
natural. Determinar o valor de S (soma dos resultados de todos os pares) pelo
processo acima descrito;
4. Se não há empates, aplicar a fórmula 6.1.1.
Em caso de haver observações empatadas, atribuímos às observações empatadas a média
dos postos que lhe caberiam se não houvesse empate.
m
consequentemente,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
2
2
n
PS
Método:
1. Atribuir postos de 1 a n ável X. Atribuir tam
2. Ordenar os n indivíduos de maneira que os postos de X se apresenta
3. Obs
O efeito dos e pates consiste em modificar o denominador da fórmula 6.1.1. Neste
caso temos:
( ) ( ) yx TnnTnn
S
−−−−
=
1
2
1
2
τ (6.1.3)
11
onde: ∑ −= )1(2
1
ttTx , t sendo o número de observações empatadas em cada grupo
de empates na variável X.
∑ −= )1(2y
empates na v
1
ttT , t sendo número de observações empatadas em cada grupo de
ariável Y.
n indivíduos constituem uma amostra aleatória de alguma população, pode-se
comp
Se os
rovar se o valor observado de τ indica existência de associação entre as variáveis X e Y
na população. O método depende do tamanho de n:
Para 10. a tabela Q dá a probabilidade associada (unilateral) a um valor tão
grande quanto um S observado;
. Para n>10, pode-se calcular o valor de z associado a
≤n1.
2 pela fórmula:τ
62

( )
( )
52 +n
z =
τ
(6.1.4)
19 −nn
A tabela A dá a probabilidade associada a um valor tão grande quanto um z observado.
Se o valor de p não superar α , 0H pode ser rejeitada.
Retomando o exemplo da tabela 6.1.1, vejamos o que acontece no SPSS®:
Output 6.1.1:
O coeficiente (τ ) é dado com maior precisão e, claro, com rapidez. O SPSS® também
existência ou não de associação entre as variáveis. Neste caso,
dá-nos o valor da probabilidade associada, assim podemos comprovar se o coeficiente indica
α>p , sendo ele de 0.05,
podemos concluir que o coeficiente indica existência de associação.
O Mathematica®, com a função KendallRankCorrelation, dá-nos apenas o coeficiente,
mas é neste software que consegue-se m ior precisão
N KendallRankCorrelation 7, 4, 3, 10, 6, 2, 9, 8, 1, 5, 5, 7, 3, 10,
1, 9, 6, 2, 8, 4
a
- 0.0666667
63

6.2 Coeficiente de Correlação por postos de Spearman: Sr
É uma medida de associação que exige que ambas as variáveis se apresentem em escala
ordinal, de modo que os objectos ou indivíduos em estudo possam dispor-se por postos em
duas séries ordenadas.
Consideremos a tabela 6.1.1, vamos subtrair os postos da música pelos de matemática e
amostrar os resultados na seguinte tabela:
Tabela 6.2.1:
Aluno: A B C D E F G H I J
Matemática: 7 4 3 10 6 2 9 8 1 5
Música: 5 7 3 10 1 9 6 2 8 4
id 2 -3 0 0 5 -7 3 6 -7 1
2
id 4 9 0 0 25 49 9 36 49 1
O somatório das diferenças id deve dar zero (serve como ferramenta de verificação),
Também na tabela mostra o quadrado das diferenças. Denotando o som
porque é a soma das diferenças de duas quantidades que cada uma delas vai de 1 a 10.
atório destas
diferenças por ∑=
iciente de Spearman como
n
i
id
0
definimos o coef
2
nn
d
r
n
i
i
−=
∑
s
−
=
3
Da qual, aplicada ao exemplo, fica
0
2
6
1
( )
(6.2.1)
103,0
149369492500946
1 −=
10103
−
+++++++++
−=rS
Método:
postos a variável X, de 1 a n. O mesmo para a variável Y;
2. Determinar o valor das diferenças de cada indivíduo e elevá-lo ao quadrado (Como
mostrado na tabela 6.2.1);
3. Calcular aplicando a fórmula (6.2.1).
1. Dispor em
Sr
64

Caso haja empates: Quando a proporção de empates na variável X ou na var é
grande, deve-se incorporar um factor de correcção
iável Y
12
observações
3
tt
T
−
= , onde t é o número de
empatadas em determinado posto. Assim, temos a fórmula de para o caso de
empa
sr
tes:
∑ ∑ 22
2 yx
∑ ∑∑ =
−+
= 1
222
dyx
r
n
i
i
S
nde:
(6.2.2)
o ∑ ∑−
−
= x
12
T
nn
x2
e
3
∑ ∑−
−
= y
12
em que ∑ yxT ou é o somatório sobre os vários valores de T para todos os grupos de
observações empatadas.
Se os indivíduos constituem uma amostra aleatório de uma população, pode-se
Y na população. O método dep
T
nn
y2
comprovar se o valor observado de indica a existência de associação entre as variáveis X e
ende do tamanho de n:
valores críticos de para níveis de significância
0,05 e 0,01 (teste unilateral).
3
Sr
1. Para n de 4 a 30, a tabela P, dá os Sr
2. Para 10n , pode-se determinar a significância de um valor tão grande quanto um
Sr observado calcula-se o valor de t associado aquele valor, pela fórmula:
≥
)2(2
2
−≈
−
= n
S
S t
n
rt
Em seguida determina-se a sign
1− r
ificância do valor com o auxilio da tabela B.
o valor calculado anteriormente:
Output 6.2.1:
(6.2.2)
Através do SPSS®, constatamos o mesm
65

É também apresentado a significância do coeficiente que, neste caso, com um 05,0=α ,
podemos concluir que o valor indica a existência de associação entre as variáveis.
No Mathematica® apenas é fornecido o coeficiente, mas com maior número de casas
decimais:
N SpermanRankCorrelation 7, 4, 3, 10, 6, 2, 9, 8, 1, 5, 5, 7, 3, 10,
1, 9, 6, 2, 8, 4
- 0.10303
6.3 Coeficiente de Concordância de Kendall:
Já conhecemos dois coeficientes (
W
τ e Sr ) para a determinação da concordância entre
dois conjuntos de postos. Suponhamos que temos k conjuntos de postos, poderia parecer
razoá
k
tomar va
lo de
Método:
número de juízes classificadores. Dispor os postos observados numa tabela
vel determinar os coeficientes entre todos os pares possíveis de postos e então calcular a
média entre eles para saber o grau de concordância das k amostras. Adoptando tal método,
teremos que calcular ⎟
⎞
⎜
⎛k
coeficientes de correlação de postos o que seria impraticável se⎟
⎠
⎜
⎝2
lores muito grandes.
O cálcu W é muito mais simples:
1. Se n é o número de objectos ou indivíduos a serem classificados em postos, e k o
nk × ;
2. Para cada indivíduo, ou objecto, determinar , soma dos postos atribuídos àquele
indivíduo pelos k juízes;
pela fórmula seguinte:
jR
3. Determinar S
∑=
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
−=
n
j
j
j
j
n
RS
1
1
4. Calcular o valor de W utilizando a fórmula:
∑ ⎟
⎞
⎜
⎛ n
R
2
(6.3.1)
(6.3.2)
)(
12
1 32
nnk
S
W
−
=
66

Se houver observações empatadas, atribui-se a elas a média dos postos que lhes
caberiam se não ho nt uz um ct o tiv a ula.uvesse empates. I rod -se fa or c rrec o n fórm
( )
12
3
∑ −
=
tt
T
onde t é o número de observações empatadas em ç a o e será a soma
e todos os grupos de empates dentro de qualquer um dos k conjuntos de postos.
iente de concordância de Kendall é
rela ão a um d do p sto ∑
d
Com a correcção para empates incorporada, o coefic
∑−−
=W
1
T
Tknnk )(
12
onde ∑T
T é o somatório
S
32
sobre todos os valores de T para todos os k conjuntos de postos.
odemos comprovar a significância de qualquer valor observado de W determinando a
probabilidade associada à ocorrência, sob , de um valor tão grande quanto o S a que está
associado. A de da probabilidade depende de :
1. Se , a tabela R dá os valores críticos de s o os W’s significativos
aos níveis 0.05 e 0.01;
2. Se , podem s utilizar a fórm
P
H0
terminação n
7≤n S as ociad com
7>n o ula:
)1(
12
1
+nkn
2
=
S
χ com gl = n – 1
Se o valor do é igual ou superior ao valor exibido na tabela C para um dado nível
de significância e com -1 graus de liberdade, então (de que não há relacionamento entre
os k conjuntos de postos) pode ser rejeitada.
Exemplo 6.3.1:
- Produtividade, Q - Qualidade do
serviço e M – Motivação dos colaboradores) para análise das suas performances no mercado
onde estão inseridas. A tabela seguinte apresenta os resultados obtidos:
(6.3.3)
(6.3.4)
(6.3.5)
2
χ
n 0H
Sete empresas foram avaliadas em três critérios (P
67

Tabela 6.3.1:
Empresa
Critérios
A B C D E F G
P 65 52 80 48 92 77 68
Q 58 45 76 58 88 88 55
M 70 56 83 61 75 70 70
Calcular o coeficiente de concordância de Kendall.
Resolução:
Primeiramente atribuímos os postos em cada critério e de seguida calculamos a soma
dos postos por empresa:
Tabela 6.3.2:
Empresa
Critérios
A B C D E F G
P 3 2 6 1 7 5 4
Q 3.5 1 5 3.5 6.5 6.5 2
M 4 1 7 2 6 4 4
jR 10,5 4 18 6,5 19,5 15,5 10
A média das somas dos postos de cada empresa é calculada de seguida:
12
7
84
7
105,155,195,61845,10
7
7
1
==
++++++
=
∑=j
jR
Portanto o valor de S é
De seguida calculamos os valores para os empates:
Sendo
+−+−+−+−+−+−= 222222
)125,15()125,19()125,6()1218()124()125,10(S
205)1210( 2
=−+
1
12
)22()22( 33
=
−+−
=QT e 2
12
)33( 3
=
−
=MT então 321 =+=∑T
T
Logo, obtemos o coeficiente pela fórmula 6.3.4:
68

844.0=
)3(3)77()3(
12
Concluímos, assim, que existe uma forte correlação entre as diversas empresas.
1
205
32
−−
=W
No SPSS®, era muito mais fácil, pois, não teríamos que efectuar muitos cálculos com a
vantagem de não haver erros desnecessários.
Output 6.3.1:
Através do “Output” podem ir, alé onada correlação, que esta
m te pa corre tras
os conclu
ra medir o grau de
m da já menci
edida é significan lação entre as 7 amos .
69

Conclusão
CONCLUSÃO
Ap ação, dos v odos para a esta o paramétric
de dois softwares de aplicação nos vários métodos, d várias conclusões.
Estas conclusões são ap a e su
conter os diferentes mé métod quer d
(Tabelas), q tiliz ç nas á c
características para ca ar.
Quadro 1: Caso de uma am
Processo de
Resolução:
ós esta explan ários mét tística nã a, com abordagem
po emos tirar
m formato de quadro re
os de resolução,
resentadas de seguid
todos nas linhas e os
mo. Cada quadro irá
o método tradicional
uer a u a ão do computador, colunas. O quadro ir onter as principais
da método em particul
ostra
Tabelas SPSS® Mathematica®
Teste da Binomial
Fornece dados em
relação à amostra.
apr m
maior n.º de casas
decimais.
Nem sempre é
possível determinar
o valor exacto de p;
Apenas para
pequenas amostras;
Recorre-se à tabela
A.
Valor de p com
precisão e rapidez
Pode-se utilizar
para grandes
amostras;
O valor de p é
esentado co
Qu
para uma
amostra
v
temo alo;
Utiliza-se a tabela C.
infor este
(ex.: valor esperado,
graus de liberdade).
com exactidão.
i-Quadrado
Não calculamos o
alor de p, apenas
s um interv
Calcula um valor
assimptótico;
Dá-nos algumas
mações do t
Dá o valor de p
Kolmogorov-
Smirnov para
uma amostra
Não calculamos o
valor de p, apenas
temos um intervalo;
Utiliza-se a tabela
E;
Dá-nos a dimensão
da amostra, as
diferenças máximas;
Calcula o valor de p
assimptótico.
Não foi possível
conseguir um
procedimento que
fizesse o teste.
Iterações para
uma amostra
Não calculamos o
valor de p, apenas
temos um intervalo
das iterações;
Utiliza-se a tabela
F.
Dá-nos o valor de r,
e da probabilidade
assimptótica.
Após a conversão
para zeros e uns,
calcula a
probabilidade e o
número de iterações.
70

Conclusão
Quadro 2: Caso de duas amostras s
Processo de
Resolução:
SPSS® Mathematica®
relacionada
Tabelas
Teste dos sinais
po
o valo
S
m
R
is
p
Fornec
rela
empa
positivos e negativos.
U
distr
par
O v
pre
n.º de casas decimais.
Nem sempre é
ssível determinar
r exacto de p;
ó para dimensões
enores que 25;
ecorre-se à tabela
D.
d
Utiliza a
tribuição Binomial
ara o cálculo da
probabilidade
e dados em
ção ao teste:
tes, sinais
tiliza também a
ibuição binomial
a o cálculo de p;
alor de p é o mais
ciso com maior
Teste de
McNemar
É empregue a
f
dá-
que
é c
val
Nã
Calcula um valor
distr
O calculo de p é
pr
pm
[]
órmula 2.2.1 que
nos o resultado
, posteriormente,
omparado com
ores da tabela C;
o temos o cálculo
de p.
assimptótico,
utilizando a
ibuição Binomial.
n
feito através de
ocedimento
BinomialPValue
, o mesmo da
Binomial.
Teste de
Wilcoxon
co
d
os
tabela G;
O c
as
b
n
Não calculamos o
valor de p, apenas
mparamos o valor
e T calculado com
tabelados na
álculo do valor
simptótico de p é
aseado nos números
egativos.
Não foi possível
conseguir um
procedimento.
71

Conclusão
Quadro 3: Caso de duas amostras independentes
Processo de Resolução: Tabelas SPSS® Mathematica®
Teste de Wald-
Wolfowitz
F, caso as dimensões
não superar 20, neste
aso não se calcula
valor da
c o
a
c
Não foi possível
probabilidade,
apenas compara-se o
número de iterações.
Caso contrário,
recorre-se à tabel
A.
Fornece o número
mínimo de iterações e
o número máximo,
alculando para cada
um deles a
probabilidade
associada.
conseguir um
procedimento que
fizesse o teste.
Teste U de
Mann-Whitney
C or
à
,
abela K e J.
e
U r
exacto.
probabilidade com
maior número de
casas decimais.
alculamos o val
de U recorrendo
fórmula 3.2.1, que
posteriormente, é
comparado com os
valores apresentados
Calcula o valor d
e o valor de p, que
assimptótico, quer
Calcula o valor
aproximado da
na t
Teste de Moses para
reacções extremas
Não é preciso tabelas,
Dá-nos a dimensão
d , as
diferenças máximas;
a .
l,
ma em
de não haver erros;
apenas recorre-se à
fórmula 3.3.2 para o
cálculo de p;
a amostra
ssimptótico
O processo é o
mesmo do manua
s com a vantag
Mais rápido.
Qui-Quadrado duas
amostras
o
va nas
r
aproximado da
1. S
2. C
Yates;
3. C
Hab
Mas, só para tabela
2x2.
independentes
Não calculamos
lor de p, ape
temos um intervalo;
Utiliza-se a tabela C.
Calcula o valo
probabilidade
associada.
Calcula o valor de
p de três modos:
em correcção;
orrecção de
orrecção de
er.
72

Conclusão
Quadro 4: Caso de k amostras
Processo de
Resolução:
T
tre um teste exacto e
teste assimptótico;
Igual ao SPSS®, mas
com maior precisão.
este Q de Cochran
(Amostras
C, para o cálculo da
probabilidade de
Podemos escolher
en
um
relacionadas) ocorrência de Q. Calcula o valor de Q
Teste Friedman
(Amostras
relacionadas)
Calculamos um
intervalo para a
probabilid
recorrendo à Qui-
Do mesmo modo
ade com o Quadrado com k-1
que o SPSS®, mas
com maior precisão.
auxílio da tabela N. graus de liberdade.
Teste de Kruskal-
Wallis
Recorre-se à
Tabela O para o
cálculo da
probabilidade;
Calcula um valor
(Amostras
independentes)
as amostras só
podem ser no
máximo dimensão
não superior a cinco.
aproximado da
probabilidade,
recorrendo à Qui-
Quadrado com k-1
graus de liberdade.
Igual ao SPSS, mas
com maior rigor.
Quadro 5: Medidas de Correlação
Processo de
Resolução:
Coeficiente de
correlação por postos
de Kendall: τ
O, estando limitado a
dimensões não
superiores a 10;
Para o cálculo do
coeficiente pode
haver erro.
Calcula o coeficiente e
também a
probabilidade
associada sob a
hipótese nula.
Apenas dá o
coeficiente;
O coeficiente é
apresentado com
maior número de
casas decimais.
Coeficiente de
correlação por postos
de Spearman ( )
Recorre-se à tabela P
para os valores
críticos de
Calcula o
coeficiente, como
também a sua
probabilidade
associada.
Apenas dá o
coeficiente.
Sr Sr .
Coeficiente de
concordância de
Kendall (W)
Fácil cometer erros
no calculo do
coeficiente,
principalmente em
caso de empate.
Calcula o
coeficiente e a
probabilidade
associada;
Apresenta a média
dos postos para cada
amostra;
Não foi possível
apresentar um
procedimento que
calcula-se o
coeficiente.
Se observarmos atentamente este resume, compreendemos que as tabelas estão inadequadas
para amostras de grandes dimensões, a melhor solução para este problema será recorrer ao
computador.
73

Conclusão
O SPSS® é mais fácil de trabalha te de fácil utilização, tornando-
uma ferramenta “popular”. O “output” de cada teste tem a vantagem de poder ser
a
ue o SPSS® pode fazer no campo da Estatística.
a
ão Paramétrica, pois poder-se-á desenvolver função para testar hipóteses utilizando os
s procedimentos, aqui utilizados, apresentam resultados com mais precisão do que o
S
r, pois apresenta um ambien
se
form tado ao gosto do utilizador. Este trabalho desenvolvido, é apenas uma ínfima parte do
q
O M thematica® é uma ferramenta preciosa na Matemática e em particular para a Estatística
N
diferentes métodos da Estatística.
O
SPS ®, podendo escolher o número de casas decimais com a função N[]. A programação
destes procedimentos encontra-se em anexo.
74

Bibliografia
BIBLIOGRAFIA
Gibbons, Jean Dickinson e Chakraborti, Subhabrata, (1991) Nonparametric Statistical
Inference, Third Edition, Dekker, Estados Unidos da América;
Siegel, Sidney, (1975) Estatística Não-Parametrica para as ciências do
comportamento, McGraw-Hill, Brasil;
Daniel, W. W., Applied Nonparametric Statistic, Second Edition, PWS-Kent, Estados
Unidos da América;
Wonnacott, Thomas H. e Wonnacott, Ronald J., Introductory Statistic, Fifth Edition;
Kendall, Maurice e Gibbons, Jean Dickinson, (1990) Rank Correlation Methods, Fifth
Edition, Oxford University Press, Estados Unidos da América;
Kotz, Samuel e Johnson, Norman L., (1982) Encyclopedia of Statistical Sciences,
Volume 2, Wiley-Interscience, Estados Unidos da América;
Mello, F. Galvão de Mello, Probabilidades e Estatística conceitos e métodos
fundamentais, volume I e II, Escobar Editora;
Abell, Martha L., Braselton, James P. e Rafter, John A., (1999) Statistic with
Mathematica®, Academic Press, Estados Unidos da América;
Sernadas, A. e Sernadas C., (1996) Programação em Mathematica, Secção de Ciências
da Computação, Departamento de Matemática IST, Lisboa;
Carmo, José, (1998) Introdução à Programação em Mathematica, Secção de Ciências
da Computação, Departamento de Matemática IST, Lisboa.
75

Bibliografia
ANEXOS
Estatística
Não Paramétrica
Testes de Hipóteses e Medidas de Associação
75

Anexo 0
Anexo 0
No SPSS® é preciso pesar os dados para que se possa aplicar alguns dos métodos. Estes
são:
Teste da Qui-Quadrado, quer para uma amostra, quer para duas amostras independentes,
Teste de Kolmogorov-Smirnov;
Teste de McNemar.
Para pesar os dados é preciso realizar os seguintes passos:
76

Anexo I: Caso de uma amostra
I.1 T
SP
este da Binomial:
SS®
Mathematica®
OffGeneralspell1;
<< Statistics`DiscreteDistributions`
upperPSum p0, s :=Modulek
bdistBinominalDistribution
upboundPDFbdists
onetai = CDFbdists
twotai=onetai
k=n;
whileAndPDFbdist k <= upbounds <> s
twotai=ltwora+PDFbdist; k=k-1;
twotai=Mintwotai;
onetai, twotail;
77

lowerPSum, p0, s :=Modulek,
bdist=BinomialDistribution, p0;
upbound,
tai= i+PDFbdistk; k=k+1;
npmB
If pHat <= p0, pvals lowerPSum p0, s;
Print “OneSidedPValue -> “, pvals1;
I.2 Teste da Qui-quadrado ( ) de uma amostra
SPSS®
upboundPDFbdist;
dists;onetai=l1-CDFb
twotai=lonetai1;
k=0;
whilePDFbdistk <=
two ltwota
Mintwotai, l1;
onetai, ltwotail
ino PValue0, s := Modulebdist, pvmial al, spHat,
bdist=binomialDistribution p0;
Hat=sp n;
If pHat <= p0, pvals upperPSum, p0, s;
Print “TwoSidedPValue -> “, pvals2
2
χ
78

Mathematica®
<< tatisticsS ‘ContinuousDistributions’,
QuiQuadrada1Amostra
Function Amostra;
Modulei, Ei,
i=1;
x=0;
Ei=NSumAmostraj, j, 1, LengtAmostra
LengtAmostra
Whilei <= LengtAmostra
x=x+Amostrai-Ei^2 Ei;
i = i+1
gl = LengtAmostra1;
Print “PValue”, 1-CDFChiSquareDistribution gl, x
I.3 Teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra
SPSS®
79

I.4 Teste de iterações de uma amostra
SPSS®
Mathematica®
ffGeneral spell1;O
<< Statistics`NormalDistribution`
<< Statistics`DataManipulation`
ropValxs := If x!=medAppendTo newListx
, m0 :=Module,
If y < m0, 0, 1
ndFirstOne dlist := Module,
k=1;
while listk != 1, k=k+1
ndFirstZero k:=Module,
k=1;
While listk !=0, k=k+1;
d
fy
fi
fi
80

Anexo II: Caso de duas amostras relacionadas
Anexo II: Caso duas amostras relacionadas
dos testes deste anexo tem o seguinte passo:
Passo (*):
A seguir à introdução dos dados qualquer um
81

II.1
SPSS®
Teste dos Sinais
Passo (*)
Mathematica®
OffGeneralspell1;
<< Statistics`DiscreteDistributions`
Option spmSignTestFrequencies sided -> 2
82

Clean spmSignTestFrequencies
npmSignTestFrequencies f1, f2, opts := Modules, n, tail,
s=f1;
n=f1+f2;
tail=sided opts
Option spmSignTestFrequencies
If s <= n 2,
pval = N CDFBinomialDistribution 1, 2, s,
pval = 1-N CDFBinomialDistribution 1, 2, s;
Iftail == 2, pval = 2*pval;
Print “TitleSignTest”;
Print “Distribution “BinominalDistribution, n, “, 1 2 “;
Print tail “ – sided p-value -> “, pval;
II.2 Teste dos McNemar
SPSS®
Passo (*)
83

II.3 Teste
S
de Wilcoxon
PSS®
Passo (*)
84

Anexo III: Caso de duas amostras independentes
ir à introdução dos dados qualquer um dos testes (excepto o teste da Qui-
Quadrado) do Anexo III tem o seguinte Passo:
Passo (**):
A segu
85

III.1 Teste de Wald-Wolfowitz
SPSS®
Na página seguinte:
Passo (**)
86

de U de Mann-Whitney
SPSS®
III.2 Teste
Na página seguinte:
Passo (**)
87

III.3 Teste de Moses para reacções extremas
SPSS®
Passo (**)
88

III.4 Teste da Qui-quadrado ( ) para duas amostras independentes
SPSS®
2
χ
89

90

Anexo IV: Caso de k amostras relacionadas
Anexos IV: Caso de k amostras relacionadas
Após a introdução dos dados, é feito o seguinte passo, comum a todos:
asso (***):P
91

IV.1 Teste de Q de Cochran
SPSS®
Passo (***)
IV.2 Teste de Friedman
SPSS®
Passo (***)
92

93

Anexo V: Caso de k amostras independentes
Anexo V: Caso de k amostras independentes
V.1 Teste de Kruskal-Wallis
SPSS®
94

Anexo VI: Medidas de Correlação
Anexo VI: Medidas de Correlação.
As medidas de correlação estão por defeito no Mathematica® portanto neste
anexo só apresento os passos para o SPSS®:
VI.1 Coeficiente de correlação por postos de Kendall: τ
95

VI.2 Coeficiente de correlação por postos de Spearman: Sr
96

VI.3 Coeficiente de concordância de Kendall: W
97

A A
E t c
o ra é a
tes óte edi Ass
T BEL S
sta ísti a
Nã Pa m tric
Tes de Hip ses e M das de ociação
75

Tabelas
Tabela A
Probabilidades associadas a valores tão ext s observados de z na Distribuição Normal
O corpo da tabela dá as probabilidades unilaterais de z sob H0. A coluna da margem esquerda dá os valores de z
com uma décima, e a linha superio emplo, a probabilidade
tera u
remos quanto os valore
r dá os valores com duas décimas. Assim, por ex
≥zunila l p de 11,0 o 11,0−≤ é 45,0 62=p
z 0,00 0,01 0,02 0,03 4 0 0,08 0,090,0 0,05 0,06 ,07
0,0 0,5000 0, 0, 4 0 81 0,46414960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 4761 0, 721 ,46
0,1 0,4602 0, 0, 4443 0,4404 0,4364 0,4325 0 86 0,42474562 0,4522 4483 0, ,42
0,2 0,4207 68 9 90 0,3 97 0,38590,41 0,412 0,40 0,4052 0,4013 0,3974 936 0,38
0,3 0,3821 83 5 07 0, 0,35 20 0,34830,37 0,374 0,37 0,3669 0,3632 3594 57 0,35
0,4 0,3446 09 2 36 0, 0,31 56 0,31210,34 0,337 0,33 0,3300 0,3264 3228 92 0,31
0,5 0,3085 50 5 81 0, 0,284 10 0,27760,30 0,301 0,29 0,2946 0,2912 2877 3 0,28
0,6 0,2743 09 6 43 0, 0,251 83 0,24510,27 0,267 0,26 0,2611 0,2578 2546 4 0,24
0,7 0,2420 0, 0, 2296 0,2266 0,2236 0,2206 0 77 0,21482389 0,2358 2327 0, ,21
0,8 0,2119 0, ,192 94 0,18670,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 1949 0 2 0,18
0,9 0,1841 14 8 62 0, 0,166 35 0,16110,18 0,178 0,17 0,1736 0,1711 1685 0 0,16
1,0 0,1587 62 9 15 0, 0,142 01 0,13790,15 0,153 0,15 0,1492 0,1469 1446 3 0,14
1,1 0,1357 35 4 92 0, 0,121 90 0,11700,13 0,131 0,12 0,1271 0,1251 1230 0 0,11
1,2 0,1151 31 2 93 0, 0,102 03 0,09850,11 0,111 0,10 0,1075 0,1056 1038 0 0,10
1,3 0,0968 51 4 18 0, 0,085 38 0,08230,09 0,093 0,09 0,0901 0,0885 0869 3 0,08
1,4 0,0808 0, 0, 0749 0,0735 0,0721 0,0708 0 94 0,06810793 0,0778 0764 0, ,06
1,5 0,0668 55 3 30 0, 0,058 71 0,05590,06 0,064 0,06 0,0618 0,0606 0594 2 0,05
1,6 0,0548 37 6 16 0, 0,047 65 0,04550,05 0,052 0,05 0,0505 0,0495 0485 5 0,04
1,7 0,0446 36 7 18 0, 0,038 75 0,03670,04 0,042 0,04 0,0409 0,0401 0392 4 0,03
1,8 0,0359 51 4 36 0, 0,030 01 0,02940,03 0,034 0,03 0,0329 0,0322 0314 7 0,03
1,9 0,0287 81 4 68 0, 0,024 39 0,02330,02 0,027 0,02 0,0262 0,0256 0250 4 0,02
2,0 0,0228 0, 0, 0207 0,0202 0,0197 0,0192 0 88 0,01830222 0,0217 0212 0, ,01
2,1 0,0179 74 0 66 0, 0,015 46 0,01430,01 0,017 0,01 0,0162 0,0158 0154 0 0,01
2,2 0,0139 36 2 29 0, 0,011 13 0,01100,01 0,013 0,01 0,0125 0,0122 0119 6 0,01
2,3 0,0107 04 2 99 0, 0,008 87 0,00840,01 0,010 0,00 0,0096 0,0094 0091 9 0,00
2,4 0,0082 80 8 75 0, 0,006 66 0,00640,00 0,007 0,00 0,0073 0,0071 0069 8 0,00
2,5 0,0062 60 9 57 0, 0,005 49 0,00480,00 0,005 0,00 0,0055 0,0054 0052 1 0,00
2,6 0,0047 0, 0, 0038 37 0,00360045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0039 0, 0,00
2,7 0,0035 0, 0, 0028 27 0,00260034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0029 0, 0,00
2,8 0,0026 25 4 23 0, 0,002 20 0,00190,00 0,002 0,00 0,0023 0,0022 0021 1 0,00
2,9 0,0019 18 8 17 0, 0,001 14 0,00140,00 0,001 0,00 0,0016 0,0016 0015 5 0,00
3,0 0,0013 13 3 12 0, 0,001 10 0,00100,00 0,001 0,00 0,0012 0,0011 0011 1 0,00
3,1 0,0010 09 9 09 0, 0,000 07 0,00070,00 0,000 0,00 0,0008 0,0008 0008 8 0,00
3,2 0,0007
3,3 0,0005
3,4 0,0003
3,5 0,00023
3,6 0,00016
3,7 0,00011
3,8 0,00007
3,9 0,00005
4,0 0,00003
76

Tabelas
Tabela B
Valores críticos de t.
ân o teNível de signific cia para ste unilateral
0, 01 051 0,05 0,025 0, 0,005 0,00
Nív icâ est ateel de sig fni ncia para to e bil ral
gl
10,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,00
1 8 3 63,6 53,07 6,314 12,706 1,821 56 636, 78
2 6 9,9 61,88 2,920 4,303 6,965 25 31, 00
3 8 5,81,63 2,353 3,182 4,541 41 12,924
4 1,533 2, 2 2,77 7 4,6 8,613 6 3,74 04 10
5 6 4,01,47 2,015 2,571 3,365 32 6,869
6 01,44 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
7 51,41 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408
8 397 31, 1,860 2,306 2,896 3, 55 5,041
9 31,38 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781
10 21,37 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587
11 31,36 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437
12 61,35 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318
13 350 01, 1,771 2,160 2,650 3, 12 4,221
14 51,34 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140
15 11,34 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073
16 71,33 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015
17 1,333 1, 0 2,11 7 2,8 3,974 0 2,56 98 65
18 01,33 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922
19 81,32 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883
20 51,32 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
21 31,32 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819
22 11,32 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
23 91,31 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768
24 81,31 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
25 61,31 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725
26 5 706 2 6 2,4 2,779 ,7071,31 1, ,05 79 3
27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689
28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674
29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660
30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373
∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290
77

Tabelas
Tabela C
Valores críticos de Qui-Quadrado
Pro adradobabilidade, sob H , de ≥2
χ qui-qu0gl
0, 0, 0,95 0, 80 0,70 50 0, 20 0,10 0,05 0, 01 0,00199 98 90 0, 0, 30 0, 02 0,
1 016 00 3 3 0, 0 4 15 45 1, 4 1 84 5 3 ,830,00 0, 06 0,00 9 016 ,06 0, 0, 07 1,6 2,7 3, ,41 6,6 10
2 0, 04 10 0,2 0 5 71 1,39 2, 3 2 ,61 5,99 7, ,8202 0, 0, 1 ,4 0, 41 ,2 4 82 9,21 13
3 0,1 42 2,37 3,6 4 25 7,81 9, 1 ,34 6,270,11 8 0,35 0,58 1,01 1, 6 ,64 6, 84 1 1
4 0,4 9 36 4,8 5 78 9,49 11 7 13,28 8,470,30 3 0,71 1,06 1,65 2,1 3, 8 ,99 7, ,6 1
5 0,55 0,75 1,15 1,61 2,34 3,00 4,35 6,06 7,29 9,24 11,07 13,39 15,09 20,51
6 0,87 1,13 1,64 2,20 3,07 3,83 5,35 7,23 8,56 10,64 12,59 15,03 16,81 22,46
7 1,24 1,56 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,32
8 1,65 2,03 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34 9,52 11,03 13,36 15,51 18,17 20,09 26,12
9 2,09 2,53 3,33 4,17 5,38 6,39 8,34 10,66 12,24 14,68 16,92 19,68 21,67 27,88
10 2,56 3,06 3,94 4,87 6,18 7,27 9,34 11,78 13,44 15,99 18,31 21,16 23,21 29,59
11 3,05 3,61 4,57 5,58 6,99 8,15 10,34 12,90 14,63 17,28 19,68 22,62 24,73 31,26
12 3,57 4,18 5,23 6,30 7,81 9,03 11,34 14,01 15,81 18,55 21,03 24,05 26,22 32,91
13 4,11 4,77 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34 15,12 16,98 19,81 22,36 25,47 27,69 34,53
14 4,66 5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34 16,22 18,15 21,06 23,68 26,87 29,14 36,12
15 5,23 5,98 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34 17,32 19,31 22,31 25,00 28,26 30,58 37,70
16 5,81 6,61 7,96 9,31 11,15 12,62 15,34 18,42 20,47 23,54 26,30 29,63 32,00 39,25
17 6,41 7,25 8,67 10,09 12,00 13,53 16,34 19,51 21,61 24,77 27,59 31,00 33,41 40,79
18 7,01 7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34 20,60 22,76 25,99 28,87 32,35 34,81 42,31
19 7,63 8,57 10,12 11,65 13,72 15,35 18,34 21,69 23,90 27,20 30,14 33,69 36,19 43,82
20 8,26 9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34 22,77 25,04 28,41 31,41 35,02 37,57 45,31
21 8,90 9,91 11,59 13,24 15,44 17,18 20,34 23,86 26,17 29,62 32,67 36,34 38,93 46,80
22 9,54 10,60 12,34 14,04 16,31 18,10 21,34 24,94 27,30 30,81 33,92 37,66 40,29 48,27
23 10,20 11,29 13,09 14,85 17,19 19,02 22,34 26,02 28,43 32,01 35,17 38,97 41,64 49,73
24 10,86 11,99 13,85 15,66 18,06 19,94 23,34 27,10 29,55 33,20 36,42 40,27 42,98 51,18
25 11,52 12,70 14,61 16,47 18,94 20,87 24,34 28,17 30,68 34,38 37,65 41,57 44,31 52,62
26 12,20 13,41 15,38 17,29 19,82 21,79 25,34 29,25 31,79 35,56 38,89 42,86 45,64 54,05
27 12,88 14,13 16,15 18,11 20,70 22,72 26,34 30,32 32,91 36,74 40,11 44,14 46,96 55,48
28 13,56 14,85 16,93 18,94 21,59 23,65 27,34 31,39 34,03 37,92 41,34 45,42 48,28 56,89
29 14,26 15,57 17,71 19,77 22,48 24,58 28,34 32,46 35,14 39,09 42,56 46,69 49,59 58,30
30 14,95 16,31 18,49 20,60 23,36 25,51 29,34 33,53 36,25 40,26 43,77 47,96 50,89 59,70
78

Tabelas
Tabela D
Probabilidades associadas a valores tão pequenas quanto os valores observados de x no Teste Binomial.
O corpo da tabela dá as probabilidades unilaterais de z, sob , do teste binomial, quando P = Q = ½.
Omitiram-se as vírgulas decimais nos p’s.
x
0H
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
N
5 031 188 500 812 969 *
6 016 109 344 656 891 984 *
7 008 062 227 500 773 938 992 *
8 004 035 145 363 637 855 965 996 *
9 002 020 090 254 500 746 910 980 998 *
10 001 011 055 172 377 623 828 945 989 999 *
11 006 033 113 274 500 726 887 967 994 * *
12 003 019 073 194 387 613 806 927 981 997 * *
13 002 011 046 133 291 500 709 867 954 989 998 * *
14 001 006 029 090 212 395 605 788 910 971 994 999 * *
15 004 018 059 151 304 500 696 849 941 982 996 * * *
16 002 011 038 105 227 402 598 773 895 962 989 998 * *
17 001 006 025 072 166 315 500 685 834 928 975 994 *999
18 001 004 015 048 119 240 407 593 760 881 952 985 999996
19 002 010 032 084 180 324 500 676 820 916 968 990 998
20 001 006 021 058 132 252 412 588 748 868 942 979 994
21 001 004 013 039 095 192 332 500 668 808 905 961 987
22 002 008 026 067 143 262 416 584 738 857 933 974
23 001 005 017 047 105 202 339 500 661 798 895 953
24 001 003 011 032 076 154 271 419 581 729 846 924
25 002 007 022 054 115 212 345 500 655 788 885
* 1,0 ou aproximadamente 1,0
79

Tabelas
Probabilidades associadas a valores tão pequenas quanto os valores observados de x no Teste Binomial.
O corpo da tabela dá as probabilidades unilaterais de z, sob , do teste binomial, quando P = Q = ½.
Omitiram-se as vírgulas decimais nos p’s.
x
0H
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
N
5 031 188 500 812 969 *
6 016 109 344 656 891 984 *
7 008 062 227 500 773 938 992 *
8 004 035 145 363 637 855 965 996 *
9 002 020 090 254 500 746 910 980 998 *
10 001 011 055 172 377 623 828 945 989 999 *
11 006 033 113 274 500 726 887 967 994 * *
12 003 019 073 194 387 613 806 927 981 997 * *
13 002 011 046 133 291 500 709 867 954 989 998 * *
14 001 006 029 090 212 395 605 788 910 971 994 999 * *
15 004 018 059 151 304 500 696 849 941 982 996 * * *
16 002 011 038 105 227 402 598 773 895 962 989 998 * *
17 001 006 025 072 166 315 500 685 834 928 975 994 999 *
18 001 004 015 048 119 240 407 593 760 881 952 985 996 999
19 002 010 032 084 180 324 500 676 820 916 968 990 998
20 001 006 021 058 132 252 412 588 748 868 942 979 994
21 001 004 013 039 095 192 332 500 668 808 905 961 987
22 002 008 026 067 143 262 416 584 738 857 933 974
23 001 005 017 047 105 202 339 500 661 798 895 953
24 001 003 011 032 076 154 271 419 581 729 846 924
25 002 007 022 054 115 212 345 500 655 788 885
* 1,0 ou aproximadamente 1,0
80

Tabelas
Tabela E
Valores críticos de D no Teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra.
Nível de Significância para
)()(máx 0 XSXFD N−=
N
0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
1 0,900 0,925 0,950 0,975 0,995
2 0,684 0,726 0,776 0,842 0,929
3 0,565 0,597 0,642 0,708 0,828
4 0,494 0,525 0,564 0,624 0,733
5 0,446 0,474 0,510 0,565 0,669
6 0,410 0,436 0,470 0,521 0,618
7 0,381 0,405 0,438 0,486 0,577
8 0,358 0,381 0,411 0,457 0,543
9 0,339 0,360 0,388 0,432 0,514
10 0,332 0,342 0,368 0,410 0,490
11 0,307 0,326 0,352 0,391 0,468
12 0,295 0,313 0,338 0,375 0,450
13 0,284 0,302 0,325 0,361 0,433
14 0,274 0,292 0,314 0,349 0,418
15 0,266 0,283 0,304 0,338 0,404
16 0,258 0,274 0,295 0,328 0,392
17 0,250 0,266 0,286 0,318 0,381
18 0,244 0,259 0,278 0,309 0,371
19 0,237 0,252 0,272 0,301 0,363
20 0,231 0,246 0,264 0,294 0,356
25 0,21 0,22 0,24 0,27 0,32
30 0,19 0,20 0,22 0,24 0,29
35 0,18 0,19 0,21 0,23 0,27
Mais de 35
N
07,1
N
14,1
N
22,1
N
36,1
N
63,0
81

Tabelas
82
Tabela F
Valores críticos de r no teste de Iterações
O corpo das tabelas FI e FII contém diversos valores críticos de r para vários valores de n1 e n2. Para o teste de
iterações de uma amostra, qualquer valor de r não superior ao exibido na tabela FI ou não inferior ao exibido na
tabela FII é significativo ao nível 0,05. Para o teste de iterações de Wald-Wolfowitz qualquer valor de r não
superior ao exibido na tábua FI é significativo ao nível 0,05.
Tabela FI
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
5 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5
6 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6
7 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
8 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7
9 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8
10 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9
11 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9
12 2 2 3 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
13 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 10
14 2 2 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11
15 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12
16 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12
17 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 12 12 13
18 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13
19 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 13
20 2 3 4 5 6 6 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 13 13 14

Tabelas
83
Tabela FII
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2
3
4 9 9
5 9 10 10 11 11
6 9 10 11 12 12 13 13 13 13
7 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 15
8 11 12 13 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17
9 13 14 14 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 18
10 13 14 15 16 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20
11 13 14 15 16 17 17 18 19 19 19 20 20 20 21 21
12 13 14 16 16 17 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22
13 15 16 17 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23
14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 22 23 23 23 24
15 15 16 18 18 19 20 21 22 22 23 23 24 24 25
16 17 18 19 20 21 21 22 23 23 24 25 25 25
17 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 25 26 26
18 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 26 26 27
19 17 18 20 21 22 23 23 24 25 26 26 27 27
20 17 18 20 21 22 23 24 25 25 26 27 27 28

Tabelas
84
Tabela G
Valores críticos de T no teste de Wilcoxon
Nível de significância para teste unilateral
N 0,025 0,01 0,005
Nível de significância para teste bilateral
0,05 0,02 0,01
6 0
7 2 0
8 4 2 0
9 6 3 2
10 8 5 3
11 11 7 5
12 14 10 7
13 17 13 10
14 21 16 13
15 25 20 16
16 30 24 20
17 35 28 23
18 40 33 28
19 46 38 32
20 52 43 38
21 59 49 43
22 66 56 49
23 73 62 55
24 81 69 61
25 89 77 68

Tabelas
85
Tabela J
Probabilidades associadas a valores tão pequenos quanto os valores observados de U no
teste de Mann-Whitney

Tabelas
teste de Mann-Whitney (continuação)
86

Tabelas
teste de Mann-Whitney (continuação)
87

Tabelas
88
Tabela K
Valores críticos de U no teste de Mann-Whitney
Tabela KI. Valores críticos para um teste unilateral
com α=0,001 e um teste bilateral com α=0,002
Tabela KII. Valores críticos para um teste unilateral
Tabela KIII. Valores críticos para um teste unilateral
Tabela KIV. Valores críticos para um teste unilateral

Tabelas
Tabela N
Probabilidades associadas a valores tão grandes quanto os valores observados de χr2 no teste de Friedman
89

Tabelas
Probabilidades associadas a valores tão grandes quanto os valores observados de χr2 no teste de Friedman
(continuação) para k = 4
90

Tabelas
Tabela O
Probabilidades associadas a valores tão grandes quanto os valores observados de H no
teste de Kruskal-Wallis.
91

Tabelas
Probabilidades associadas a valores tão grandes quanto os valores observados de H no
teste de Kruskal-Wallis.
92

Tabelas
93
Tabela P
Valores Críticos de rS, coeficiente de correlação de Spearman
Nível de significância
N (unilateral)
0,05 0,01
4 1,000
5 0,900 1,000
6 0,829 0,943
7 0,714 0,893
8 0,643 0,833
9 0,600 0,783
10 0,564 0,746
12 0,506 0,712
14 0,456 0,645
16 0,425 0,601
18 0,399 0,564
20 0,377 0,534
22 0,359 0,508
24 0,343 0,485
26 0,329 0,465
28 0,317 0,448
30 0,306 0,432

Tabelas
94
Tabela Q
Probabilidades associadas a valores tão grandes quanto os valores observados de S no
coeficiente de correlação de Kendall
S Valores de N S Valores de N
4 5 8 9 6 7 10
0 0,625 0,592 0,548 0,540 1 0,500 0,500 0,500
2 0,375 0,408 0,452 0,460 3 0,360 0,386 0,431
4 0,167 0,242 0,360 0,381 5 0,235 0,281 0,364
6 0,042 0,117 0,274 0,306 7 0,068 0,191 0,300
8 0,042 0,199 0,238 9 0,028 0,119 0,242
10 0,0083 0,138 0,179 11 0,0083 0,068 0,190
12 0,089 0,130 13 0,0014 0,035 0,146
14 0,054 0,090 15 0,015 0,108
16 0,031 0,060 17 0,0054 0,078
18 0,016 0,038 19 0,0014 0,054
20 0,0071 0,022 21 0,00020 0,036
22 0,0028 0,012 23 0,023
24 0,00087 0,0063 25 0,014
26 0,00019 0,0029 27 0,0083
28 0,000025 0,00012 29 0,0046
30 0,00043 31 0,0023
32 0,000012 33 0,0011
34 0,000025 35 0,00047
36 0,0000028 37 0,00018
39 0,000058
41 0,000015
43 0,0000028
45 0,00000028

Tabelas
95
Tabela R
Valores críticos de s no coeficiente de concordância de Kendall
Valores adicionais
k N para N=3
3* 4 5 6 7 k s
Valores ao nível de significância de 0,05
3 64,4 103,9 157,3 9 54,0
4 49,5 88,4 143,3 217,0 12 71,9
5 62,6 112,3 182,4 276,2 14 83,8
6 75,7 136,1 221,4 335,2 16 95,8
8 48,1 101,7 183,7 299,0 453,1 18 107,7
10 60,0 127,8 231,2 376,7 571,0
15 89,8 192,9 349,8 570,5 864,9
20 119,7 258,0 468,5 764,4 1 158,7
Valores ao nível de significância de 0,01
3 75,6 122,8 185,6 9 75,9
4 61,4 109,3 176,2 265,0 12 103,5
5 80,5 142,8 229,4 343,8 16 121,9
6 99,5 176,1 282,4 422,6 18 140,2
8 66,8 137,4 242,7 388,3 579,9 158,6
10 85,1 175,3 309,1 494,0 737,0
15 131,0 269,8 475,2 758,2 1 129,5
20 177,0 364,2 641,2 1 022,2 1 521,9
* Observe os valores adicionais para N=3 constantes à direita da tabela
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Secção de Estatística e Investigação Operacional
Filipe Gago da Câmara ©
Câmara, Filipe Gago (2001) “Estatística Não Paramétrica:
Testes de hipóteses e medidas de associação” Monografias da
SEIO. Depto. Matemática da Univ. dos Açores: Ponta
Delgada, www.uac.pt/~amendes (ID 1.431)
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