Este documento discute testes de hipóteses para médias e proporções. Ele explica o processo de testes de hipóteses, incluindo a formulação de hipóteses nulas e alternativas, a seleção de um nível de significância, a coleta e análise de dados amostrais, e a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeição da hipótese nula. Exemplos ilustram testes bilaterais, unilaterais à direita e à esquerda para médias e proporções.

1. Teste de Hipóteses Para Médias e Proporções
Teste de Hipóteses é um processo de Inferência Estatística,
que permite decidir por um valor do parâmetro Ѳ ou por sua
modificação com um grau de risco conhecido.
Exemplos de hipóteses testadas:
 Os chips da marca A tem vida média = ;
 O equipamento A produz peças com menor variabilidade
que o equipamento B: < ;
 O aço produzido pelo processo A é mais duro que o aço
produzido pelo processo B: > .

2. O processo de inferência começa com a formulação de duas
hipóteses básicas :
: hipótese nula ou da existência.
: hipótese alternativa.
Exemplos de hipóteses genéricas:
:Ѳ= Para testes bilaterais
:Ѳ≠
:Ѳ= Para testes unilaterais à direita
:Ѳ>

3. :Ѳ= Para testes unilaterais à esquerda
:Ѳ<
:Ѳ= Para testes aplicados a valores do parâmetro
:Ѳ= obtidos após a decisão tomada em um dos
três testes anteriores.

4. O procedimento padrão para a realização de um Teste de
Hipóteses é o que se segue:
 Definem-se as hipóteses do teste: nula e alternativa;
 Fixa-se um nível de significância α;
 Levanta-se uma amostra de tamanho n e calcula-se uma
estimativa do parâmetro Ѳ;
 Usa-se para cada tipo de teste uma variável cuja
distribuição amostral do estimador do parâmetro seja a
mais concentrada em torno do verdadeiro valor do
parâmetro;
 Calcula-se com o valor do parâmetro , dado por , o
valor crítico, valor observado na amostra ou valor
calculado ( );

5.  Fixam-se duas regiões: uma de não rejeição de
(RNR) e uma de rejeição de ou crítica (RC) para o
valor calculado, ao nível de risco dado;
 Se o valor observado ( ) Região de Não Rejeição, a
decisão é a de não rejeitar ;
 Se Região crítica, a decisão é a de rejeitar .
Pode-se observar que quando se fixa α, determina-se para
os testes bilaterais, por exemplo, valores críticos
(tabelados), , tais que:
P( < ) = 1 – α → RNR
P( ≥ ) = α → RC

6. Testes de Hipotéses para a média de populações
normais com variâncias (σ²) conhecidas
Testes Bilaterais
Exemplo:
De uma população normal com variância 36, toma-se uma
amostra casual de tamanho=16, obtendo-se = 43. Ao nível
de 10%, testar as hipóteses:
:μ=
:μ≠

7. Teste Unilateral (Monocaudal) à Esquerda
Exemplo :
Uma fábrica anuncia que a taxa de nicotina dos seus
cigarros é abaixo de 26mg por cigarro. Analisando-se 10
cigarros obteve-se : 26, 24,23,22,28,25,27,26,28,24.
Sabe-se que esta taxa distribui-se normalmente com
variância 5,36mg. Pode-se aceitar a afirmação do fabricante
ao nível de 5%?

8. Teste Unilateral à Direita
Exemplo :
Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo
material em sua fabricação e acredita que aumentará a
resistência média, que é de 206Kg. A resistência das lajotas
tem distribuição normal com desvio padrão de 12Kg. Retira-
se uma amostra de 30 lajotas, obtendo = 210Kg. Ao nível
de 10%, pode o fabricante aceitar que a resistência média
de suas lajotas tenha aumentado?

9. Testes de Hipotéses para proporções
Procedimento
1. Fixam-se as Hipóteses : =
: ≠ , > , <
2. Fixa-se o nível α.
3. Retira-se uma amostra de tamanho n e define-se x:
no de sucesso, calculando = .
4. Determina-se com dados por , =
5. Define-se como variável Critério: Z=

10. 6. Definem-se as regiões RNR e RC da mesma forma
anterior e, com o mesmo procedimento, rejeita-se ou não
Exemplo:
Sabe-se por experiência que 5% da produção de um
determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é
contratado e produz 600 peças com 82 defeituosas. Ao
nível de 15%, verificar se o novo empregado produz peças
com maior índice de defeitos que o existente.

11. Problemas:
1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros
consomem, em média, 11 litros por 100 km rodados,
com desvio padrão de 0,8 lt. Uma revista decide testar
esta afirmação e analisa 35 carros desta marca,
obtendo 11,4 lts/100 km como consumo médio.
Supondo que o consumo siga uma distribuição normal,
ao nível de 10% o que a revista concluirá sobre o
anúncio da fábrica?
2. A altura dos adultos de uma cidade tem distribuição
normal com média de 164 cm e desvio padrão de 5,82
cm. Para saber se as condições sociais desfavoráveis
vigentes na parte pobre da cidade redundam em
alturas mais baixas, levantou–se uma amostra de 144

12. adultos desta parte da cidade, obtendo-se a média de
162cm. Pode-se afirmar que os residentes desta parte
da cidade são em média mais baixos que a média da
cidade ao nível de 5%?
3. Em uma experiência sobre percepção extra-sensorial,
um indivíduo A, é solicitado a declarar a cor vermelha
ou preta de cartas tiradas ao acaso de um baralho de
50 cartas (proporção 50% preta ou vermelha). Se A
identifica corretamente 32 cartas, este resultado é
significativo ao nível de 5% para indicar que A tem
PES?
4. Um candidato a deputado estadual afirma que terá
60% dos votos dos eleitores de uma cidade. Um
instituto de pesquisa colhe uma amostra de 300

13. eleitores desta cidade, encontrando 160 que votarão no
candidato. Este resultado mostra que a afirmação do
candidato é correta, ao nível de 5%?
5. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas
produzidas por uma firma foi calculada em 1570 horas,
com desvio padrão de 120 horas. Sabe-se que a
duração das lâmpadas dessa firma tem distribuição
normal com média de 1600 horas. Ao nível de 1%
testar se houve alteração na duração média das
lâmpadas.
6. A população de um país apresenta altura média de 170
cm e desvio padrão de 5 cm. A altura tem distribuição
normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou

14. média de 167 cm. Podemos afirmar, ao nível de 5%,
que esta amostra é representativa do país?
7. Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se 40
caras. Baseado neste resultado pode-se afirmar, ao
nível de 5%, que a moeda não é honesta?
8. O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas
tem distribuição normal com média de 4,5 salários
mínimos, com desvio padrão de 0,5 salários mínimos.
Uma amostra de 49 empregados de uma grande
empresa apresentou um salário médio de 4,3 s.m. Ao
nível de 5%, podemos afirmar que esta empresa paga
salários inferiores à média das indústrias siderúrgicas?

15. 9. Um exame padrão de inteligência tem sido usado por
vários anos com média de 80 pontos e desvio padrão
de 7 pontos. Um grupo de 25 estudantes é ensinado,
dando-se ênfase à resolução de testes. Se este grupo
obtém média de 83 pontos no exame, há razões para
se acreditar que a ênfase dada mudou o resultado do
teste ao nível de 10%?
10. Um fabricante de medicamento afirma que ela é 90%
eficaz na cura de uma alergia, em um determinado
período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga
curou 150 pessoas. Testar ao nível de 1% se a
afirmação do fabricante é legítima?

16. T.H. Com variância desconhecida
Distribuição t de Student
11. A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por
uma empresa era de 1120 horas. Uma amostra de 8
lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida
média de 1070 horas, com desvio padrão de 125h e
distribuição normal para a vida útil. Testar a hipótese
de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao
nível de 1%.

17. TH para a variância de uma População Normal
com Média Conhecida
: =
: ≠ ou > ou <
= ou =
Exemplo :
De uma população normal com média 300, levantou-se
uma amostra de 26 elementos, obtendo-se :
= 129000
Ao nível de 5%, testar as hipóteses :
: =
: < 0

18. TH para a da População Normal com Desconhecida
Distribuição de pode ser demonstrada como
uma com (n-1) graus de liberdade.
= como = - )2
→ - )2 = ( →
=( → =

19. TH para
: =
: ≠ ou > ou <
= ou =
Exemplo:
Avaliou-se em 240kg o desvio padrão das tensões de
ruptura de certos cabos produzidos por uma fábrica. Depois
de ter sido introduzida uma mudança no processo de
fabricação destes cabos, as tensões de ruptura de uma
amostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de
300kg. Investigar a significância do aumento aparente da
variância, ao nível de 5%.

20. Problemas
1. De uma população normal X com média 1000, levanta-
se uma amostra de 15 elementos, obtendo-se
= 200. Ao nível de 1%, testar.
: =
: >
2. De uma população normal levantou-se uma amostra
de 10 observações, obtendo os seguintes valores: 10,
8, 15, 11, 13, 19, 21, 13, 15 e 14. Sabendo-se que a
população tem média = 14, ao nível de 5%, testar :
: =
: ≠

21. 3. Observou-se durante vários anos a produção mensal
de uma indústria, verificando-se que essa produção se
distribuía normalmente com variância 300. Foi adotada
uma nova técnica e, durante 24 meses, verificou-se a
produção mensal, constatando-se que = 10000 e
= 400. Há razões para se acreditar que a qualidade da
produção piorou, ao nível de 10%?
4. De uma população normal com média desconhecida,
levantou-se uma amostra casual de 21 elementos:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
Ao nível de 10%, testar se a variância populacional é
menor que 4.

22. Erros De Decisão
Nos Testes de Hipóteses podemos cometer dois tipos
de erros:
1. Rejeitarmos uma hipótese nula verdadeira; é
denominado erro de espécie ou erro tipo I.
2. Não rejeitamos uma falsa; é chamado erro de
espécie ou erro tipo II.
Probabilidade de cometer os erros do tipo I e II
P(I)-Probabilidade de se cometer erro tipo I =
P ( cair na RC do teste), isto é :
(-∞, ] U [ , +∞)
Se verdadeiro, concluímos que P(I) = P( α→

23. P(I) = α
P(II)-Probabilidade de se cometer erro tipo II : P(II)=β
P(II)= β=P{ - . ≤ ≤ + . | = }
Exemplos
1. De uma população normal, levantou-se uma amostra e
calculou-se ao nível de 1% que . = 5. Admitindo as
hipóteses :
:μ=
: μ = 110
probabilidade de cometermos um erro do tipo II,
isto é, de não rejeitarmos , sendo verdadeira.
Não rejeitamos quando (95 , 105)

24. 2. Calcular P(I) ou P(II) conforme o caso no seguinte problema.
De uma população normal levantou-se uma amostra de
tamanho 16, obtendo-se = 18. Sabendo-se que a variância
da população é 64, analisar ao nível de 10% as hipóteses (usar
teste bi-lateral):
:μ= = 1,64 = = =2→
: μ = 25 . = 3,28
3. De uma população normal com σ = 100 tiramos uma amostra
de n=100 observações, obtendo-se 1016,4 para limite crítico
(num teste mono-caudal à direita). Ao nível de 5%, determinar
a Função Poder de um Teste (P( =1-β) sendo:
:μ=
: μ = 1018

25. Problemas
1. Determine para α=10%, n=35 e σ=10 os valores de que
levariam a rejeitar : μ = (usar teste bi-caudal). Calcule β
se : μ = 53
2. Afirma-se que 50% das pessoas tem 2 resfriados por ano.
Decidimos rejeitar esta afirmação se, entre 400 pessoas, 216
ou mais tiverem 2 resfriados ou mais por ano. Qual a
probabilidade de cometer um erro do tipo I.

26. 3. Um químico deseja testar a dureza de certo material,
composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão.
Obtém 322, 328, 326 e 320 graus centígrados numa amostra.
Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do
chumbo, mas quando verifica este índice, a distribuição é
normal com variância 4. O químico estabelece, ao nível de
10% de risco, o teste:
:μ= (metal puro)
: μ ≠ 325 (metal não puro)
Que resultado obtém o químico no teste?

27. 4. Posteriormente o químico verifica que o ponto de fusão do
chumbo é 327,4C. Se o químico realizasse 100 testes, com 100
amostras do mesmo tamanho, em quantos aceitaria que o
metal é puro?