1. MÓDULO I – PARTE 3 MATEMÁTICA
Projeto
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EXPONENCIAL
1.2.2) Potências com expoente inteiro negativo
FUNÇÃO EXPONENCIAL.
m
 1
a) a −m =   , com a ≠ 0
1) POTENCIAÇÃO a
1.1) Definição
1.2.3) Potências com expoente fracionário:
Dados o número real a e o número inteiro positivo n, definimos
a operação potenciação de base a e expoente n como sendo m
n
o número real a ( a elevado a n ) tal que : a) a n = n am , com a real positivo e n inteiro maior que 1
an = a ⋅ a ⋅ 244
14 a ⋅ K3
4 ⋅a
n fatores
2) FUNÇÃO EXPONENCIAL
O número resultante dessa operação é denominado potência.
2.1) Definição
Exemplos:
Dado o número real positivo a, diferente de 1 (1 ≠ a > 0 ) , uma
4
a) 4 = 4 . 4 . 4 . 4 = 256
aplicação f de IR em IR recebe o nome de função exponencial,
quando a cada elemento x ∈ IR associa o elemento a ∈ IR.
x
3
b) (–4) = (–4) . (–4) . (–4) = –64
Usando a notação de função temos:
Observações:
a)
1
a =a f : IR → IR
x → f ( x ) = ax
a = 1 se, e somente se a ≠ 0
0
b)
0
Importante: 0 é uma indeterminação.
Exemplos:
c) Potências de bases não nulas elevadas a expoentes
pares têm resultados positivos. a) f(x) = 5x
2
(+3) = (+3) . (+3) = 9
2
(–3) = (–3) . (–3) = 9
b) f(x) = 2 + 0,3x–1
d) Potências de bases não nulas elevadas a expoentes
ímpares têm resultados com mesmo sinal da base. 2.2) Gráficos
3
(+3) = (+3) . (+3) . (+3) = 27 a) crescente se a > 1
3
(–3) = (–3) . (–3) . (–3) = – 27
Atenção: – 4 ≠ (–4)
2 2
1.2) Propriedades:
1.2.1) Dados a e b reais e m e n inteiros positivos, são válidas
as seguintes propriedades:
a) am ⋅ an = am + n
am
b) = am −n , com a ≠ 0
an
b) decrescente se 0 < a < 1
( )
n
m ⋅n
c) a m
=a
d) am ⋅ bm = ( a ⋅ b )
m
m
am  a 
e) =  , com b ≠ 0
bm  b 
2011
1

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3) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 2º tipo) se 0 < a < 1, o sinal da inequação fica invertido
3.1) Definição
Uma equação é chamada exponencial quando a incógnita a
ser determinada está no expoente.
Para resolver uma equação exponencial, devemos sempre
que possível reduzir ambos os membros da igualdade a uma
mesma base e igualar os expoentes em seguida.
Exemplos
a) 4 = 32 ⇔ 2 = 2 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5/2
x 2x 5
a x1 < a x 2 ⇒ x1 > x 2
2x x
b) 3 + 4.3 + 3 = 0
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
x 2 x x
(3 ) – 4.(3 ) + 3 = 0 (equação do 2º grau na variável 3 )
01) Resolva as equações
− ( −4 ) ± ( −4 )
2
− 4 ⋅ 1⋅ 3 1
2 5− x =
2
x 2x x
3 = a) b) 3 + 2. 3 - 15 = 0
2 ⋅1 8
25 x + 125
x
3 =
4±2
⇔ c) 4
x+2
– 32. 2
x–3
=12 d) = 5 x +1
2 6
x x
3 = 3 , logo x = 1 ou 3 = 1 , logo x = 0 02) (UFMS) Calcular x na igualdade:
0
 1 
4) INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS   ⋅ (0,5) 2 x = (0,25) 84− x
 0,125 
4.1) Definição
03) (UFSC) O valor de x que satisfaz a equação:
É qualquer desigualdades de potências:
54 x −12 1
x
a1>a
x
2 ou
x
a1<a
x
2 ou a
x
1 ≥ a
x
2 ou a
x
1 ≤ a
x
2
3x +8
= , é:
5 125
1º tipo) se a > 1, o sinal da inequação fica inalterado
1
04) (PM-00) A solução da equação 81x −1 = pertence
27
ao intervalo:
(A) [-1,0[ (B) [0,1] (C) [1,2[ (D) [-2,-1[ (E) [-3,-2]
05) (PM-04-1) Estima-se que daqui a t anos o número de
habitantes de uma determinada população seja dado pela
−2 t / 15
1
função P (t ) = 15000.  . Daqui a 30 anos, o
a <ax1 x2
⇒ x1 < x 2  2
número de habitantes será igual a:
(A) 120.000 (B) 180.000
(C) 240.000 (D) 260.000
06)(UNIRIO) O valor de x na equação
x-1 x+1 x
3 +2.3 - 3 = 16/27 ,é:
(A) 2 (B) 2/3 (C) 1/2 (D) -1/2 (E) -2
2011
2

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07) Quais das opções abaixo representam respectivamente as 10)(UNIFICADO) Segundo dados de uma pesquisa, a
x população de uma certa região do país vem decrescendo em
 1 relação ao tempo “t”, contado em anos, aproximadamente,
funções f(x) = 7 e g(x) =  
x
-0,25t
 7 segundo a relação P(t) = P(0) . 2 . Sendo P(0) uma
constante que representa a população inicial dessa região e
(A)
P(t) a população “t” anos após, determine quantos anos se
passarão para que essa população fique reduzida à quarta
parte da que era inicialmente.
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15
(B) 11)(UERJ-98)Uma empresa acompanha a produção diária de
um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d),
cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a
empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da
data de sua admissão.
Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função
x
y=e . y = ex
(C)
2,72
(D) 0,37
0,13
-2 -1 1 x
-0,2d
Utilizando f(d) = 100 - 100.e e o gráfico acima, a empresa
pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87
peças num mesmo dia, quando d for igual a:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
08) A lei abaixo representa o crescimento de uma população
de bactérias, que se reproduz rapidamente em um laboratório 12) (uff-2002-1f) A automedicação é considerada um risco,
de pesquisas: pois, a utilização desnecessária ou equivocada de um
N(t) = a . 2
bt medicamento pode comprometer a saúde do usuário:
onde N(t) é o número de bactérias no instante t (t em horas) e substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do
a e b são constantes reais. Sabendo que no início da corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
observação havia 3.000 bactérias e que, após duas horas de Depois de se administrar determinado medicamento a um
observação, havia 48.000, determine: grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de
certa substância em seus organismos alterava-se em função
a) os valores das constantes a e b. do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão:
-0,5 t
y = yo 2
b) o número de bactérias existentes após meia hora de
observação; em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração
c) o tempo mínimo necessário para que o número de bactérias da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial
seja maior que 3 milhões. após:
(A) 1/4 de hora (B) meia hora (C) 1 hora
09) (UFSE) Sejam x e y os números reais que tornam (D) 2 horas (E) 4 horas
verdadeiras as sentenças:
2 x + y − 2 = 30 13) (UERJ-06-2ºex) Na Tabela de Classificação Periódica, as
 x−y fileiras horizontais correspondem aos períodos, e as colunas
2 −2 = 0 verticais, aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos
2
Nessas condições, o valor de x é: são dispostos em ordem crescente de seus números
atômicos.
1 1
(A) (B) (C) 1 (D) 8 (E) 9
9 8
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3

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18) (AFA) Se x ∈ IR e 7
5x –3x
Considere três elementos químicos cujos números atômicos = 243, então 7 é igual a
são consecutivos, representados por x, y e z.
(A) 1/3 (B) 1/9
x y z 4
Na equação 2 + 2 + 2 = 7×16 , y é o número atômico de um
elemento químico da família denominada: (C) 1/27 (D) 1/81
(A) alcalinos
(B) halogênios 19) UFF 2001) - Em um meio de cultura especial, a quantidade
(C) calcogênios de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para
(D) gases nobres t ≥ 0, por Q(t) = k5 , sendo t o tempo, em minuto, e k uma
kt
constante.
14) A Meia-vida ou período de semi-desintegração é o tempo A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com
necessário para a desintegração de metade dos átomos o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25⋅Q(0).
radioativos (ou metade da massa) de um certo isótopo de um Assinale a opção que indica quantos bilhões de
elemento químico. A Química nos ensina que, na verdade, a bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo
massa desse isótopo não está sumindo: apenas está minuto.
diminuindo pelo fato de o isótopo se transformar em outro
isótopo. (A) 12,5 (B) 25 (C) 312,5
A lei que relaciona a massa m da amostra em função do
–t (D) 625 (E) 1000
número de meias-vidas t, é: m = m0⋅2 , onde m0 é a massa
inicial da amostra em gramas.
60
20) (UERJ-99-1ª FASE) Pelos programas de controle de
O cobalto 60, Co27 , tem meia-vida de 5 anos. Ele é usado tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do
–kt
em hospitais na radioterapia, para tratamento de pacientes com tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro e , em que Ro é
câncer. o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o
coeficiente de declínio.
Se uma amostra de 10g de cobalto 60 ficou guardada por
anos, e tem agora uma massa de 0,3125g, então essa amostra ficou O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%.
guardada por: Suponha que, com a implantação de um programa nesta
(A) 5 anos (B) 10 anos (C) 25 anos cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto
(D) 32 anos (E) 125 anos é, k = 10%. Use a tabela abaixo para os cálculos
necessários:
15) - Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos
que constataram a relação existente entre a eficiência de um
x
indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por e 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2
este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela
equação:
x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
–0,5t
Q = 100 – 98,5⋅e .
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual
a 0,2% , é de:
onde: Q ≡ Quantidade de peças produzidas mensalmente por
um funcionário; t ≡ anos de experiência; e ≡ número neperiano. (A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24
e ≈ 2,7 e ≈ 7,29 e ≈ 19,69 e ≈ 53,14
2 3 4
a) De acordo com a equação, quantas peças, aproximadamente, 21) Aristófanes, ao resolver a seguinte inequação
um funcionário com 2 anos de experiência deverá produzir 5x x +1
mensalmente? 1  1 
  ≤   , equivocadamente, escreveu o seguinte
b) Um funcionário que produza, aproximadamente 95 peças 3  27 
por mês, deverá ter quantos anos de experiência?
raciocínio:
( 2 )− x
x
 1  2
 =
*
16) O valor de x, tal que  , onde x ∈ IR + é:
 64 
(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 6 (E) 12
2-x 1+x
17) (AFA) A soma das raízes da equação 3 +3 = 28 é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2011
4

5. MÓDULO I – PARTE 3 MATEMÁTICA
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a) Indique e explique qual passagem, no raciocínio de 27) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do
Aristófanes, está ERRADA. número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas
abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o
b) Evitando o erro cometido por Aristófanes, resolva valor mais próximo desse número é:
corretamente a inequação em questão.
(A) 18.000
(B) 20.000
1010 + 1020 + 1030 (C) 32.000
22) ( UFF ) A expressão é: (D) 14.000
1020 + 1030 + 10 40 (E) 40.000
10
(A) 1 + 10
– 10
(B) 10
1010 − 1
(C)
2
1010 28) A figura mostra um esboço do gráfico da função
(D) y = a + b, com a, b ∈ IR, a > 0, a ≠ ·1 e b ≠ ·0. Então, o valor
x
2 2 2
10 de a – b é:
(E) 10
(A) – 3
23) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por (B) – 1
P(t) = α4 onde t ≥ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a
xt
(C) 0
população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a (D) 1
população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número (E) 3
de bactérias da colônia será:
(A) 6α
(B) 8α
(C) 9α
(D) 8α – 4
(E) α + 8 29) (UENF-2003) A inflação anual de um país decresceu no
período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado
x
por uma função exponencial do tipo f(x) = a.b , conforme
24) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a o gráfico abaixo.
cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas
t/3
é dado pela função n(t) = 100 . 2 . Nessas condições, pode-
se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois
de:
(A) 1 dia e 3 horas.
(B) 1 dia e 9 horas.
(C) 1 dia e 14 horas.
(D) 1 dia e 19 horas.
25) Os pontos A = ( 1 , 6 ) e B = ( 2 , 18 ) pertencem ao gráfico
x n
da função y = na . Então, o valor de a é:
(A) 6 (D) 16 Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de
(B) 9 (E) 18 declínio.
(C) 12
30) (UNIRIO-2004-1ªF) Há exatamente um ano, José iniciou
26) Abaixo temos os esboços dos gráficos das funções f e g, uma criação de coelhos e, durante este período, o número de
x
sendo f(x) = a . O valor de g(g(–1)) + f(g(3)) é: coelhos duplicou a cada 3 meses. Hoje, preocupado com a
falta de espaço para os coelhos, José vai vender parte dessa
(A) 1 criação, de modo que apenas a quantidade inicial fique com
(B) 2 ele. Se N0 denota a quantidade inicial de coelhos, então a
(C) 3 quantidade a ser vendida é:
(D) 3/2
(E) 5/2 (A) 15 N0 (B) 13 N0 (C) 12 N0
(D) 8 N0 (E) 7 N0
2011
5

6. MÓDULO I – PARTE 3 MATEMÁTICA
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31) (UERJ–2007) Em 1772, o astrônomo Johann Elert Bode, 33) (UNICAMP – 2003) O processo de resfriamento de um
βt
considerando os planetas então conhecidos, tabelou as determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + α3 , onde T(t) é
medidas das distâncias desses planetas até o Sol. a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado
em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante,
e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um
congelador com temperatura de -18ºC. Um termômetro no
corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a
-16ºC após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo
2
no congelador é apenas   ºC superior à temperatura
3
ambiente.
A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu a expressão 34) (UNICAMP - 2002) Considere a equação:
abaixo, com a qual se poderia calcular, em unidades x 22 − x
astronômicas, o valor aproximado dessas distâncias: 2 + m - 2m - 2 = 0,
onde m é um número real.
3 ⋅ 2n − 2 + 4
10 a) Resolva essa equação para m = 1.
Atualmente, Netuno é o planeta para o qual n = 9, e a medida b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação
de sua distância até o Sol é igual a 30 unidades astronômicas. tem uma única raiz real.
A diferença entre este valor e aquele calculado pela expressão
de Bode é igual a d. DESAFIOS
O valor percentual de |d|, em relação a 30 unidades
astronômicas, é aproximadamente igual a:
35) O resto da divisão por 9 de é:
(A) 29% (C) 35%
(B) 32% (D) 38%
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 6 (E) 8
32) (UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obtidos pelo IBGE,
36) O professor Bruno Vianna sai do Rio de Janeiro com
relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de
destino a Salvador, viajando com velocidade constante. Passa
15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma
x por um marco que contém um número de dois algarismos.
curva de equação y = 30k + 10, em que k > 0, representada a
Uma hora depois passa por outro marco, contendo o mesmo
seguir:
número de dois algarismos, mas em ordem inversa. Uma hora
depois passa por um terceiro marco, contendo os mesmos
algarismos, separados por um zero. Lembrando que a
velocidade é constante, podemos afirmar que Bruno
desenvolveu na viagem uma velocidade de:
(A) 45 km/h (B) 65 km/h (C) 80km/h
(D) 120km/h (E) 135 km/h
1/30
a) Determine o valor de k. (k = (1/3) )
b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor
estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
2011
6

7. MÓDULO I – PARTE 3 MATEMÁTICA
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GABARITO 22)
1010 + 1020 + 1030
=
01) a) x = ± 2 2 b) x=1 c) x=0 d) x=2 ou x =1 1020 + 1030 + 10 40
1010 (1 + 1010 + 10 20 ) 1010
02) x = 42 03) x = 17 = = 1010−20 = 10 −10 (Gab : B)
10 20 (1 + 1010 + 10 20 ) 10 20
04) A 05) C 06) E 07) B
29)
08) a) a=3.000 b=2 b) 6.000 c) aprox 5h x
f(x) = a.b ,
09) E 10) B 11) B 12) E
13) B 14) C
15) a) Aprox. 64 peças/mês. b) Aprox. 6 anos de experiência
16) E 17) A 18) C 19) C
3
20) C 21) a) 4ª Passagem. b) x ≥ Observe que 960 é o valor inicial da função exponencial f, logo
2 a = 960
22) B 23) C 24) A 25) B f(x) = 960.b ,
x
(substituindo o ponto (7;7,5), teremos:)
26) C 27) D 28) E 29) 50% 7,5 = 960 . b
7
7,5 1
7
30) A 31) A = b7
  =b
7
960
1
2
 1  30 75
32) a) k =  b) 40% e 40 % = 13,33%
9600
= b7 1
b = = 0,5
3 3 2
1
= b7
35) D 36) A 128
b = 50%
Resolução de algumas questões:
–t
33)
14) m = m0⋅2 Consideremos que a temperatura TA também seja expressa
em graus Celsius.
No texto percebemos que a massa inicial de cobalto 60 é de A) Do enunciado, podemos concluir que:
10g, logo m0 = 10
0 = 18 + α ⋅· 3 90β

- 16 = - 18 + α · 3
270β
m = 10 . 2−
t
Resolvendo esse sistema, obtemos:
queremos saber quanto tempo ele levou para chegar a uma −1
massa de 0,3125g (lembrando que t é o nº de meias-vida e α = 54 e β=
não de anos). 90
−t
0,3125 = 10 ⋅ 2 −t 55  1 
t
2
=  B) -18 + = -18+ 54 ⋅ 3 90
0,3125 10 5  2  3
= 2 −t
10 5 t −t
 5  1 2
0,03125 = 2 −t   =  = 54 ⋅ 3 90
 10   2  3
t
3125 1 5
1 1
t
−t
=    =  1
100000  2  2 2 = 27 ⋅ 3 90
3
t =5 t
−
Ou seja nesse tempo o isótopo chegou a 5 meias-vida, como
60
3 −4 = 3 90 ∴ t = 360
foi dito no texto que “O cobalto 60, Co27 , tem meia-vida de 5
anos”, teremos:
5 x 5 = 25 anos (Gab : C)
2011
7

8. MÓDULO I – PARTE 3 MATEMÁTICA
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EXPONENCIAL
34)
4m
2 + m ⋅ 2 2− x - 2 ⋅m -2 = 0 ⇔ 2 +
x x
- 2m - 2 = 0
2x
x 4m
Com 2 = t, temos t + - 2m - 2 = 0, que é equivalente à
t
2
equação t - 2t - 2mt + 4m = 0.
Temos: t(t - 2) - 2m(t - 2) = 0
(t - 2m)(t - 2) = 0 (*)
A- Com m = 1 na equação (*), resulta:
(t - 2)(t - 2) = 0
t=2
2 =2∴ x=1
x
Resposta: {1}
B- Da equação (*), temos t = 2m ou t = 2.
x x
Isto é,2 = 2m ou 2 = 2.
x
Com m = 1, temos 2 = 2, cuja solução única é dada por x
= 1.
Com m ≤ 0, a equação 2 = 2m não admite solução real
x
x
e, portanto, a equação 2 = 2 nos conduz, de novo, à
solução única x = 1.
Resposta: m = 1 ou m ≤ 0.
35)
Para calcular o resto da divisão por 9, basta somar os
algarismos: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, 1 + 5 = 6. O resto é 6.
(Gab: D).
36) 1º marco : XY = 10X + Y
2º marco: YX = 10Y + X
3º’marco: X0Y=100X + Y ou Y0X=100Y + X
Como a vel é cte o trajeto entre (1º e 2º)marcos = trajeto
entre(2º e 3º)marcos logo inferior a 100. Logo o nº de
centenas é 1. Ou seja x=1 ou y=1, claro que x=1 pois 1ºm
<2ºm x<y. Daí:
2º marco - 1º marco = 3º marco - 2ºmarco
(10y +1) – (10 + y ) = (100 + y) – (10y + 1) >> y = 6
Marcos: 16 , 61 e 106 >> Velocidade : 61 – 16 = 106 – 61 =
45km em 1h = 45 km/h
(Gab: A)
2011
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