Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definição de função matemática e exemplos de relações que representam funções;
2) Noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função;
3) Exemplos de funções compostas e determinação da função inversa.
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetorasJhone Cley
Este documento descreve três tipos de funções: injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Uma função injetora mapeia cada elemento do domínio para um único elemento do contradomínio. Uma função sobrejetora mapeia o domínio para todo o contradomínio. Uma função bijetora é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de números como p e e. Em seguida, explica o plano cartesiano e como representar funções nele através de coordenadas. Por fim, define diferentes tipos de funções como lineares, afins, identidade, constante, quadráticas e cúbicas.
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, de tal forma que cada elemento do conjunto de partida é mapeado para exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento x é o valor correspondente no conjunto de chegada, denotado por
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) Apresenta exemplos de funções do mundo real e sua representação gráfica.
3) Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função.
O documento apresenta os principais conceitos sobre conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções. Aborda conjuntos numéricos como os naturais, inteiros, racionais e reais. Explica operações entre conjuntos como intersecção, união, diferença e complementar. Também define relações e funções entre conjuntos e apresenta exemplos de representação gráfica.
Este documento apresenta 28 exercícios sobre funções racionais. Os exercícios abordam tópicos como determinar o domínio, zeros, assimptotas e representação gráfica de funções racionais dadas algébrica ou graficamente. Alguns exercícios pedem também para resolver inequações ou equações envolvendo funções racionais.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre funções matemáticas, incluindo construir gráficos de funções, determinar valores de x que satisfaçam expressões, esboçar gráficos de funções, calcular composições e derivadas de funções. As respostas fornecem gráficos detalhados de várias funções e cálculos algébricos para resolver os exercícios propostos.
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetorasJhone Cley
Este documento descreve três tipos de funções: injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Uma função injetora mapeia cada elemento do domínio para um único elemento do contradomínio. Uma função sobrejetora mapeia o domínio para todo o contradomínio. Uma função bijetora é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de números como p e e. Em seguida, explica o plano cartesiano e como representar funções nele através de coordenadas. Por fim, define diferentes tipos de funções como lineares, afins, identidade, constante, quadráticas e cúbicas.
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, de tal forma que cada elemento do conjunto de partida é mapeado para exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento x é o valor correspondente no conjunto de chegada, denotado por
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) Apresenta exemplos de funções do mundo real e sua representação gráfica.
3) Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função.
O documento apresenta os principais conceitos sobre conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções. Aborda conjuntos numéricos como os naturais, inteiros, racionais e reais. Explica operações entre conjuntos como intersecção, união, diferença e complementar. Também define relações e funções entre conjuntos e apresenta exemplos de representação gráfica.
Este documento apresenta 28 exercícios sobre funções racionais. Os exercícios abordam tópicos como determinar o domínio, zeros, assimptotas e representação gráfica de funções racionais dadas algébrica ou graficamente. Alguns exercícios pedem também para resolver inequações ou equações envolvendo funções racionais.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre funções matemáticas, incluindo construir gráficos de funções, determinar valores de x que satisfaçam expressões, esboçar gráficos de funções, calcular composições e derivadas de funções. As respostas fornecem gráficos detalhados de várias funções e cálculos algébricos para resolver os exercícios propostos.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de funções como identidade, constante, linear, afim e quadrática. Explica também o plano cartesiano e como representar graficamente diferentes tipos de funções.
1) O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como f(x) = ax + b e apresentando casos especiais como funções lineares, identidade e constantes.
2) Apresenta dois exercícios resolvidos, um determinando o valor de a para f(x) = ax + 2 passar por determinado ponto e outro resolvendo um sistema de equações para encontrar a função.
3) Discutem gráficos de funções do 1o grau, mostrando que são retas e como construí-los a partir de pontos ou igual
1. O documento apresenta conceitos fundamentais sobre relações e funções, incluindo produto cartesiano, relação, função, domínio, imagem e contra-domínio.
2. São descritas as principais funções como constante, do primeiro grau, do segundo grau e modular, com exemplos de seus gráficos.
3. Também são apresentados esquemas para estudar o sinal de funções do primeiro e segundo grau.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
Este documento fornece informações sobre fatoração de polinômios e resolução de equações de primeiro e segundo grau. Apresenta exemplos de fatoração por evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio perfeito. Explica também o teorema do resto de um polinômio e métodos de resolução de equações como substituição e adição.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções injetivas, sobrejetivas, bijetivas e suas inversas. Os exercícios abordam classificar funções destes tipos, calcular funções inversas, determinar seus domínios e imagens, e compor funções.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
1) O documento apresenta os conceitos de função exponencial e logarítmica, incluindo suas definições, gráficos e propriedades.
2) É dado um exemplo numérico de cálculo de logaritmo e outro de aplicação de logaritmo na resolução de um problema de juros compostos.
3) São fornecidos exercícios sobre esboço de gráficos, resolução de equações exponenciais e cálculo de logaritmos para fixação dos conceitos apresentados.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre relações e funções matemáticas. Os exercícios abordam tópicos como: explícitação de conjuntos e relações; domínio, contradomínio e imagem de relações; propriedades de relações como reflexividade, simetria e transitividade; definição e características de funções; composição e inversa de funções; e zeros de funções.
O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas no cálculo diferencial. Aborda conceitos como limite, continuidade, derivada, máximos e mínimos de funções. Apresenta também exemplos de cálculo de limites, regras de derivação e propriedades das derivadas.
Resumo do assunto baseado em diversos livros de matemática do Ensino Médio. Após o resumo encontra-se uma série de exercícios de livros e de vestibulares do Brasil todo. Todos os exercícios possuem gabarito, presente na última página do PDF.
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...MarcelloSantosChaves
1. The document discusses limits and continuities. It provides solutions to calculating the limits of 6 different functions as x approaches certain values.
2. The solutions involve algebraic manipulations such as factoring, simplifying, and applying limit properties. Various limit results are obtained such as 1, -6, 0.
3. The techniques demonstrated include making substitutions to simplify indeterminate forms, factoring, and taking limits of rational functions as the variables approach certain values.
1) O documento apresenta 17 situações-problema envolvendo equações do segundo grau. Os problemas abordam temas como raízes, determinação de valores desconhecidos, áreas de figuras geométricas e torneios esportivos.
2) As questões devem ser resolvidas calculando o discriminante, raízes ou outros elementos algébricos para determinar valores como comprimentos, áreas e números de times ou partidas.
3) A resolução envolve passos como isolamento da incógnita, fatoração, raiz quadrada e substituição para che
Uma função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função polinomial é dado pelo grau do polinômio na fórmula. Uma função composta é aquela resultante da composição de duas ou mais funções, onde a imagem de uma é o domínio da outra.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de funções como identidade, constante, linear, afim e quadrática. Explica também o plano cartesiano e como representar graficamente diferentes tipos de funções.
1) O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como f(x) = ax + b e apresentando casos especiais como funções lineares, identidade e constantes.
2) Apresenta dois exercícios resolvidos, um determinando o valor de a para f(x) = ax + 2 passar por determinado ponto e outro resolvendo um sistema de equações para encontrar a função.
3) Discutem gráficos de funções do 1o grau, mostrando que são retas e como construí-los a partir de pontos ou igual
1. O documento apresenta conceitos fundamentais sobre relações e funções, incluindo produto cartesiano, relação, função, domínio, imagem e contra-domínio.
2. São descritas as principais funções como constante, do primeiro grau, do segundo grau e modular, com exemplos de seus gráficos.
3. Também são apresentados esquemas para estudar o sinal de funções do primeiro e segundo grau.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento apresenta 30 questões sobre funções matemáticas. As questões abordam conceitos como conjunto domínio e imagem, gráficos de funções, identificação de relações que definem funções e cálculo de valores de funções.
Este documento fornece informações sobre fatoração de polinômios e resolução de equações de primeiro e segundo grau. Apresenta exemplos de fatoração por evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio perfeito. Explica também o teorema do resto de um polinômio e métodos de resolução de equações como substituição e adição.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções injetivas, sobrejetivas, bijetivas e suas inversas. Os exercícios abordam classificar funções destes tipos, calcular funções inversas, determinar seus domínios e imagens, e compor funções.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
1) O documento apresenta os conceitos de função exponencial e logarítmica, incluindo suas definições, gráficos e propriedades.
2) É dado um exemplo numérico de cálculo de logaritmo e outro de aplicação de logaritmo na resolução de um problema de juros compostos.
3) São fornecidos exercícios sobre esboço de gráficos, resolução de equações exponenciais e cálculo de logaritmos para fixação dos conceitos apresentados.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre relações e funções matemáticas. Os exercícios abordam tópicos como: explícitação de conjuntos e relações; domínio, contradomínio e imagem de relações; propriedades de relações como reflexividade, simetria e transitividade; definição e características de funções; composição e inversa de funções; e zeros de funções.
O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas no cálculo diferencial. Aborda conceitos como limite, continuidade, derivada, máximos e mínimos de funções. Apresenta também exemplos de cálculo de limites, regras de derivação e propriedades das derivadas.
Resumo do assunto baseado em diversos livros de matemática do Ensino Médio. Após o resumo encontra-se uma série de exercícios de livros e de vestibulares do Brasil todo. Todos os exercícios possuem gabarito, presente na última página do PDF.
Profº. Marcelo Santos Chaves - Cálculo I (Limites e Continuidades) - Exercíci...MarcelloSantosChaves
1. The document discusses limits and continuities. It provides solutions to calculating the limits of 6 different functions as x approaches certain values.
2. The solutions involve algebraic manipulations such as factoring, simplifying, and applying limit properties. Various limit results are obtained such as 1, -6, 0.
3. The techniques demonstrated include making substitutions to simplify indeterminate forms, factoring, and taking limits of rational functions as the variables approach certain values.
1) O documento apresenta 17 situações-problema envolvendo equações do segundo grau. Os problemas abordam temas como raízes, determinação de valores desconhecidos, áreas de figuras geométricas e torneios esportivos.
2) As questões devem ser resolvidas calculando o discriminante, raízes ou outros elementos algébricos para determinar valores como comprimentos, áreas e números de times ou partidas.
3) A resolução envolve passos como isolamento da incógnita, fatoração, raiz quadrada e substituição para che
Uma função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função polinomial é dado pelo grau do polinômio na fórmula. Uma função composta é aquela resultante da composição de duas ou mais funções, onde a imagem de uma é o domínio da outra.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
O documento discute regras fundamentais de limites, incluindo: (1) a regra da constante, onde o limite de um valor k tende a k quando x tende a zero; (2) a regra da soma e diferença, onde o limite da soma ou diferença de duas funções é igual ao limite da primeira função mais ou menos o limite da segunda função; e (3) casos de indeterminação em limites e como resolvê-los.
O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
1) O documento descreve um CD contendo 302 questões de matemática sobre álgebra, porcentagem, trigonometria e estatística.
2) As questões são divididas em 6 unidades sobre esses conteúdos.
3) O CD é destinado a professores para elaboração de revisões e avaliações.
1) O documento apresenta definições e conceitos fundamentais de matemática, incluindo produto cartesiano, diagrama cartesiano, relação binária, função, tipos de função e função composta.
2) O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados com o primeiro elemento em A e o segundo em B.
3) Uma função mapeia cada elemento de um conjunto de entrada (domínio) para exatamente um elemento de um conjunto de saída (contradomínio).
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa.
2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções.
3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.
Funçao trig matriz determinante e sistema 2 x2GabrielaMansur
1) O documento discute sistemas lineares e matrizes. Apresenta 30 questões sobre determinantes, sistemas lineares, funções trigonométricas e operações com matrizes.
2) As questões abordam tópicos como classificação de sistemas lineares, cálculo de determinantes, resolução de sistemas lineares, gráficos de funções trigonométricas e operações com matrizes como soma, produto e transposta.
3) São solicitados cálculos, discussões e classificações relacionadas a esses conceitos da ál
1) O documento contém uma prova de matemática com 5 questões sobre operações matriciais. A primeira questão pede para escrever uma matriz 2x3 com elementos definidos por uma função. A segunda questão pede para determinar valores que satisfaçam uma igualdade matricial. A terceira questão pede para calcular a transposta da soma de duas matrizes. A quarta questão pede para calcular somas de matrizes. E a quinta questão pede para calcular produtos de matrizes.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com duas matrizes A e B e pede para calcular A+B.
2) Há um exercício envolvendo matrizes (Acafe - SC) para calcular o valor de 5x y 6.
3) São apresentados exercícios que envolvem operações como soma, subtração e produto de matrizes A, B e C para serem calculados.
Este documento apresenta conceitos matemáticos relacionados a matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda definições e exemplos de matrizes, operações com matrizes, matriz inversa e sistemas lineares na forma matricial. O objetivo é reforçar esses conteúdos e introduzir seus conceitos por meio de atividades envolvendo problemas, cálculos e uso de softwares.
O documento fornece informações sobre determinantes de matrizes. Em três frases ou menos:
1) Determinantes representam valores numéricos associados a matrizes e são calculados de diferentes formas dependendo da ordem da matriz. 2) Propriedades dos determinantes incluem que se uma linha ou coluna for nula ou proporcional a outra, o determinante será nulo. 3) O Teorema de Laplace permite calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 3 somando produtos de elementos por seus respectivos cofatores.
1. O documento apresenta uma prova de Álgebra Linear com três questões. A primeira questão pede para resolver operações matriciais como determinantes, inversas e produtos. A segunda questão pede para resolver sistemas lineares. A terceira questão pede para resolver determinantes e postos de matrizes.
2. O documento é uma prova de Álgebra Linear com três questões. A primeira questão pede para resolver operações matriciais. A segunda questão pede para resolver sistemas lineares. A terceira questão pede para resolver determinantes e postos de matrizes.
3.
1. O documento apresenta uma prova de Álgebra Linear com três questões.
2. A primeira questão pede para resolver exercícios envolvendo matrizes e sistemas lineares.
3. A segunda questão pede para analisar vetores e sistemas lineares.
4. A terceira questão pede para analisar determinantes e postos de matrizes.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
1) O documento apresenta conceitos básicos de matemática, incluindo conjuntos, números, operações com conjuntos e frações.
2) É definido o que são conjuntos, subconjuntos, união, interseção e diferença de conjuntos. Também são explicados os conjuntos numéricos fundamentais.
3) O texto descreve intervalos numéricos, partição de conjuntos e a fórmula para calcular o número de elementos da união de dois conjuntos. Por fim, é apresentada a definição de fração.
1) O documento apresenta os principais conceitos de cálculo 1, incluindo conjuntos numéricos, funções, pares ordenados e sistema cartesiano.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
3) São explicados os conceitos de par ordenado, sistema cartesiano e tipos de funções como polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas.
Este documento apresenta os principais conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes. Inicia definindo matrizes e apresentando exemplos de diferentes tipos como matrizes retangulares, quadradas, coluna, linha e nula. Em seguida, explica conceitos como diagonal principal, traço, matriz identidade, transposta, simétrica e anti-simétrica. Por fim, aborda operações com matrizes como igualdade, soma, subtração e multiplicação por uma constante.
1) O documento discute conceitos de resistência elétrica, circuitos e aplicações em situações como aquecimento de água.
2) É importante escolher a configuração correta de resistores e voltagem para maximizar a eficiência do aquecimento em emergências.
3) Fatores como material, dimensões, temperatura e organização em série ou paralelo afetam a resistência e o fluxo da corrente elétrica.
O documento apresenta quatro exercícios de física sobre dilatação térmica de materiais. O primeiro exercício pede para calcular o aumento de temperatura necessário para alongar uma barra de alumínio. O segundo calcula o aumento no comprimento de um fio de cobre quando a temperatura aumenta. O terceiro utiliza um gráfico para calcular a dilatação de um material quando a temperatura sobe para 500°C. O quarto explica que uma lâmina bimetálica curva devido às diferentes taxas de dilatação dos metais.
1) Um fazendeiro precisa de mais 2cm de arame para cercar seu terreno. Ele calcula que se a temperatura aumentar, o arame irá dilatar e ficar do tamanho certo devido a seu coeficiente de dilatação térmica.
O termômetro de Six e Bellani mede as temperaturas máxima e mínima do dia usando um tubo em forma de U com bulbos nas extremidades contendo álcool e mercúrio. A expansão do álcool com o calor empurra o mercúrio e um índice para cima, registrando a máxima, enquanto a contração com o frio empurra para baixo, registrando a mínima.
O documento apresenta 10 exercícios de cálculo de juros simples envolvendo taxas de juros anuais, mensais e bimestrais aplicadas em períodos que variam de 15 dias a 20 anos. As questões solicitam o cálculo de juros, montantes, capitais ou períodos necessários para a duplicação ou triplicação dos valores iniciais.
1) O documento apresenta 4 exercícios de física sobre dilatação térmica de materiais como aço, alumínio e concreto. Os exercícios envolvem calcular espaçamentos mínimos, temperaturas de encosto e dilatações lineares dadas coeficientes de dilatação e variações de temperatura.
O documento discute o valor do dinheiro no tempo em finanças. Ele aborda conceitos como valor presente, valor futuro, juros simples e compostos, e como esses conceitos são usados para comparar fluxos de caixa em diferentes momentos no tempo. O objetivo é fornecer ferramentas para avaliar decisões financeiras que envolvem custos e benefícios espalhados ao longo do tempo.
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, Betel, Ordenança para buscar a paz e fazer o bem, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
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que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
1. Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
CÁLCULO DIFERENCIAL
E
INTEGRAL
Prof
2. Cálculo Diferencial e Integral
AULA 01
1 - FUNÇÕES
1.1 - Conceito matemático de função
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável
dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos
numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a
linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois
conjuntos.
Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se produto
cartesiano (indica-se: A × B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o
primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
(Eq.1) A × B ={( x , y )/ x ∈ A e y ∈ B }.
Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em B a
qualquer subconjunto de A × B .
(Eq.2) r é relação de A em B ⇔ r ⊂ A × B .
Exemplo:
Sejam os conjuntos A ={0,1,2,3}, B ={0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que
y =2 x , x ∈ A e y ∈ B . Escrever os elementos dessa relação r .
Como x ∈ A :
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;
x =1 ⇒ y =2 ⇒ (1,2)∈ A × B ;
x =2 ⇒ y =4 ⇒ (2,4)∈ A × B ;
x =3 ⇒ y =6 ⇒ (3,6)∈ A × B .
Então, r ={(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
y
10
9
A r 0 B 8
0 2 7
1 4 6
2 6 5
3 8 4
10 3
2
1
0 x
1 2 3
[Fig.1]: Representação da relação por diagrama. [Fig.2]: Representação da relação por sistema cartesiano.
1
3. Cálculo Diferencial e Integral
Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos pares
( x , y ) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação
(no caso, y =2 x ).
1.2 - Definição de função
Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado
um e apenas um elemento y do conjunto B .
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique sua
resposta e apresente o diagrama da relação.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A ={0,5,15} e B ={0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B expressa
pela fórmula y = x +5, com x ∈ A e y ∈ B .
A 0 B
5
0 10
5 15
15 20
25
x =0 ⇒ y =5 ⇒ (0,5)∈ A × B ;
x =5 ⇒ y =10 ⇒ (5,10)∈ A × B ;
x =15 ⇒ y =20 ⇒ (15,20)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +5 é uma função de A em B .
2) Dados os conjuntos A ={−2,0,2,5} e B ={0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B expressa
pela fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
A B
-2 0
0 2
2 5
5 10
20
x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0)∈ A × B ;
x =2 ⇒ y =2 ⇒ (2,2)∈ A × B ;
x =5 ⇒ y =5 ⇒ (5,5)∈ A × B .
• O elemento −2 de A não está associado a nenhum elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
2
4. Cálculo Diferencial e Integral
3) Dados os conjuntos A ={−3,−1,1,3} e B ={1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa pela
2
fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
A B
-3 1
-1 3
1 6
3 9
x =−3 ⇒ y =9 ⇒ (−3,9)∈ A × B ;
x =−1 ⇒ y =1 ⇒ (−1,1)∈ A × B ;
x =1 ⇒ y =1 ⇒ (1,1)∈ A × B ;
x =3 ⇒ y =9 ⇒ (3,9)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x 2 é uma função de A em B .
4) Dados os conjuntos A ={16,81} e B ={−2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela
4
fórmula y = x , com x ∈ A e y ∈ B .
A B
-2
16
2
81 3
x =16 ⇒ y =−2 ou y =2 ⇒ (16,−2) e (16,2)∈ A × B ;
x =81 ⇒ y =3 ⇒ (81,3)∈ A × B .
• Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
• O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
1.3 – Notação de Função
Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:
f : A → B (lê-se: função de A em B )
x a y (lê-se: a cada valor de x ∈ A associa-se um só valor y ∈ B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.
Numa função g : R → R , dada pela fórmula y = x 2 −8, podemos também escrever g ( x )= x 2 −8.
Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x = 2 , ou g ( 2 )=−6.
3
5. Cálculo Diferencial e Integral
1.4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A → B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x a y = f ( x ) (a cada elemento x ∈ A corresponde um único y ∈ B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir
em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de
y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que
o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f : A→B
x a y= f (x)
D = A , CD = B , Im ={ y ∈ CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A ={−3,−1,0,2} e B ={−1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem da
função f : A → B definida por f ( x )= x +2.
f (−3)=(−3)+2=−1
f (−1)=(−1)+2=1
f (0)=(0)+2=2
f (2)=(2)+2=4
A -1 B
-3 0
-1 1
0 2
2 3
4
Im ={−1,1,2,4}
2) Dada a função f : R → R definida por f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R , calcular a e b , sabendo
que f (1)=4 e f (−1)=−2.
A lei de formação da função é f ( x )= a x + b ou y = a x + b .
f (1)=4 ⇒ x =1 e y =4 ⇒ 4= a ⋅1+ b (i)
f (−1)=−2 ⇒ x =−1 e y =−2 ⇒ −2= a ⋅(−1)+ b (ii)
De (i) e (ii), temos:
a + b = 4
−a + b = −2
2b = 2
⇒ b =1 e a =3
a =3 e b =1 ⇒ f ( x )=3 x +1.
4
6. Cálculo Diferencial e Integral
1.5 – Função Composta
2
Tome as funções f : A → B , definida por f ( x )=2 x , e g : B → C , definida por g ( x )= x .
Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A → B : a cada x ∈ A associa-se um único y ∈ B , tal que y =2 x .
g : B → C : a cada y ∈ B associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A → C , que faz a composição
entre as funções f e g :
A B C
g
f
y z
x
h
[Fig. 1]: Função composta
h : A → C : a cada x ∈ A associa-se um único z ∈ C , tal que z = y 2 = ( 2 x ) 2 =4 x 2 .
Essa função h de A em C , dada por h ( x )=4 x 2 , é denominada função composta de g e
f.
De um modo geral, para indicar como o elemento z ∈ C é determinado de modo único pelo
elemento x ∈ A , escrevemos:
z = g ( y )= g ( f ( x ))
Notação:
A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f )
(Eq.3) (g o f )( x )= g ( f ( x ))
Exemplos:
1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x )= x +1 e g ( x )=2 x 2 −3.
Determine:
a) f ( g ( x )).
f ( g ( x ))= f (2 x 2 −3)=2 x 2 −3+1=2 x 2 −2
f ( g ( x ))=2 x 2 −2.
b) g ( f ( x )).
g ( f ( x ))= g ( x +1)=2 ( x + 1) 2 −3=2( x 2 +2 x +1)−3=2 x 2 +4 x +2−3=2 x 2 +4 x −1
g ( f ( x ))=2 x 2 +4 x −1.
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x ))= g ( f ( x )).
f ( g ( x ))= g ( f ( x ))
2 x 2 −2=2 x 2 +4 x −1
−2=4 x −1
4 x =1−2
1
x =− .
4
5
7. Cálculo Diferencial e Integral
2) Sendo f ( x )=3 x −1 e f ( g ( x ))=6 x +8, determine g ( x ).
Como f ( x )=3 x −1, então f ( g ( x ))=3⋅ g ( x )−1.
Como f ( g ( x ))=6 x +8, então 3⋅ g ( x )−1=6 x +8.
3⋅ g ( x )−1=6 x +8
3⋅ g ( x )=6 x +8+1
6x + 9
g ( x )=
3
g ( x )=2 x +3.
1.6 – Função Inversa
Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições
abaixo:
• 1. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio
é correspondente de algum elemento do domínio.
• 2. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa f −1 se for bijetora.
1.6.1 – Determinação da Função Inversa
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua
inversa. Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida
“isolamos” o y , obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exemplo:
−1
1) Obter a lei da função inversa f da função f dada por y = x +2.
y = x +2 ⇒ função f .
x = y +2 ⇒ trocando a variável x por y e y por x .
y = x −2 ⇒ isolando y .
Então, y = x −2 é a lei da função inversa da função dada por y = x +2.
Logo:
f ( x )= x +2 e f −1 ( x )= x −2
2) Construir os gráficos das funções f e f −1 do exercício anterior, num mesmo sistema de
coordenadas.
y f
−1 Note que os gráficos 4
x f (x) x f (x)
das funções f e 3
f -1
−1 1 1 −1 2
f −1 são simétricos
0 2 2 0 1
em relação à reta
1 3 3 1 que contém as x
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
bissetrizes do 1o e 3o
2 4 4 2 quadrantes. -2
6
8. Cálculo Diferencial e Integral
x+5 ⎧3⎫
3) Determinar a função inversa g −1 da função g ( x )= , cujo domínio é D = R − ⎨ ⎬ .
2x − 3 ⎩2⎭
x+5
y= ⇒ função g .
2x − 3
y+5
x= ⇒ trocando a variável x por y e y por x .
2y −3
(2 y −3) x = y +5 ⇒ isolando y .
2 x y −3 x − y =5
y (2 x −1)=3 x +5
3x + 5 1
y= ⇒ 2 x −1≠0 ⇒ x ≠ .
2x −1 2
−1 ⎧1 ⎫ ⎧3⎫ 3x + 5
Logo, g : R − ⎨ ⎬ → R − ⎨ ⎬ dada por y = é a função inversa procurada.
⎩2⎭ ⎩2⎭ 2x −1
AULA 01 – EXERCÍCIOS 1
6) Sendo f ( x ) = , x ≠ 1 e g ( x) = 2 x − 4 ,
x −1
1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B =
{0, 1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
ache o valor de f ( g ( 2)) + g ⎜ f ⎜ ⎟ ⎟ .
⎜ 2 ⎟
4x + 3. Faça o diagrama de g e verifique ⎝ ⎝ ⎠⎠
se g é uma função de A em B. Em caso
1
afirmativo escreva o conjunto imagem. 7) Se f ( x ) = , qual o valor de x para que
2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em x −1
R definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). f(f(x)) = 1?
Determine o seu conjunto imagem. 2x + 6
3) Sejam f e g funções reais definidas, para 8) Dada a função f ( x ) = com x ≠ 5.
x −5
todo o número real não nulo, por: calcule:
⎛ 5⎞
f ( x ) = ⎜ 3 x − 8 + ⎟( x − 2 ) e a) f-1(x)
⎝ x⎠ b) f-1(4)
5⎛ 3⎞
(
g ( x ) = ⎜1 − ⎟ x 2 − 3 x + 2
3⎝ x ⎠
)
Se a e b são números reais distintos tais
que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + Respostas:
b 1) sim, Im{0, 3}
4) Considere a função f(x) real, definida por 2) Im = {-1, 0, 3}
f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. 3) 3
Determine o valor de f(0) 4) 29
5) Determine o domínio das seguintes 5) a) D = R
funções: b) D = R – {-1, 1}
a) f ( x) = 4 x − 5 ⎧ 1⎫
c) D = ⎨ x ∈ R | x ≤ ⎬
b) f ( x ) =
3 ⎩ 2⎭
x −1 d) D = {x ∈ R | −3 < x < 4, e, x ≠ 2}
2
c) y = 1 − 2 x 6) – 9
x +1 1 7x 7) x =
3
d) f ( x ) = + −
x+3 4− x x−2 2
5x + 6
8) a) b) 13
x−2
7
9. Cálculo Diferencial e Integral
AULA 02
2- FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela
cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.
2.1 - Função polinomial do 1o grau
A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um
polinômio de grau 1.
Representação da função polinomial do 1o grau:
f ( x )= a x + b , com a , b ∈ R ( a ≠0). a e b são os coeficientes e x a variável
independente.
Exemplo:
Em uma função polinomial do 1o grau, y = f ( x ), sabe-se que f (1)=4 e f (−2)=10. Escreva a
⎛ 1⎞
função f e calcule f ⎜ − ⎟.
⎝ 2⎠
Se f é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: y = a x + b . Usando os dados do
problema:
f (1)=4 ⇒x =1 e y =4. Então, a ⋅1+ b =4 ⇒ a + b =4 (i).
f (−2)=10 ⇒ x =−2 e y =10. Então, a ⋅(−2)+ b =10 ⇒ −2 a + b =10 (ii).
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = 4 a + b = 4
(ii) −2 a + b = 10 ⋅(−1) 2a − b = −10
3a = −6 ⇒ a =−2
Se a =−2, então −2+ b =4 ⇒ b =6.
A função f é dada por f ( x )=−2 x +6.
⎛ 1⎞
Cálculo de f ⎜ − ⎟:
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
f ⎜ − ⎟ =−2⋅ ⎜ − ⎟ +6=1+6=7
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
A função é f ( x )=−2 x +6 e f ⎜ − ⎟ =7.
⎝ 2⎠
2.1.1 - Função linear
Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b . No caso de b =0, temos f ( x )= a x , e
ela recebe o nome especial de função linear.
Obs.: Se, em uma função linear tivermos a =1, teremos f ( x )= x ou y = x , que se dá o nome de
função identidade.
8
10. Cálculo Diferencial e Integral
2.1.2 – Gráfico de uma função polinomial do 1o grau
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do domínio
à variável x e calculamos as respectivas imagens.
Exemplo:
Construir o gráfico da função real f dada por y =2 x −1.
x y Par ordenado
−2 −5 (−2,−5)
−1 −3 (−1,−3)
0 −1 (0,−1)
1 1 (1,1)
2 3 (2,3)
3 5 (3,5)
y
5
4
3
2
1
-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3
-4
-5
Definição 9: O gráfico da função linear y = a x ( a ≠0) é sempre uma reta que passa pela origem
do sistema cartesiano.
Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y = a x + b ( a ≠0) intercepta o eixo das
ordenadas no ponto (0, b ).
2.1.3 – Determinação de uma função a partir do gráfico
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x )= a x + b .
Exemplo:
1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
y
5
4
3
2
1
-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3
-4
-5
9
11. Cálculo Diferencial e Integral
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
x =−1 e y =−1 ⇒ −1= a ⋅(−1)+ b ⇒ − a + b =−1 (i).
x =1 e y =3 ⇒ 3= a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =3 (ii).
(i) −a + b = −1
(ii) a + b = 3
2b = 2
b =1
⇒
Se b =1, então a + b =3 ⇒ a +1=3 ⇒ a =2
Logo:
A função é f ( x )=2 x +1.
2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
y
5
4
3
2
1
-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-3
-4
-5
Sabendo-se que y = a x + b , do gráfico, temos que:
x =1 e y =1 ⇒ 1= a ⋅(1)+ b ⇒ a + b =1 (i).
x =2 e y =−2 ⇒ −2= a ⋅(2)+ b ⇒ 2 a + b =−2 (ii).
(i) a + b = 1 ⋅(−1) −a − b = −1
(ii) 2a + b = −2 2a + b = −2
a = −3 ⇒ a =−3
Se a =−3, então −3+ b =1 ⇒ ⇒ b =4
Logo:
A função é f ( x )=−3 x +4.
2.1.4 - Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o
grau
Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x )= a x + b .
Podemos determinar que:
• i) A função f é crescente se o coeficiente a >0;
• ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0.
Exemplo:
10
12. Cálculo Diferencial e Integral
Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:
i) f ( x )=2 x +1 ii) g ( x )=−2 x +1
y y
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
-2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
i) Aumentando os valores atribuídos ii) Aumentando os valores
a x , aumentam também os valores atribuídos a x , diminuem os valores
correspondentes da imagem f ( x ). correspondentes da imagem g ( x ).
2.1.5 - Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau
Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temos
f ( x )>0, f ( x )<0 ou f ( x )=0.
2.1.5.1 - Zero de uma função polinomial do 1o grau
Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x )= a x + b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f ( x )=0.
Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )= a x + b , a ≠0, é a
abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .
Exemplo:
Dada a lei de formação da função y =−2 x −4, construir o gráfico e determinar os valores
reais de x para os quais: a) y =0; b) y >0 e c) y <0.
y
5
4
Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0.
3 O zero da função é: −2 x −4=0 ⇒ −2 x =4 ⇒ 2 x =−4 ⇒
2 x =−2.
1 Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa
x =−2.
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
-2 A solução do problema é:
-3
-4
• a) f ( x )=0 ⇒ { x ∈ R ; x =−2};
-5
• b) f ( x )>0 ⇒ { x ∈ R ; x <−2};
• c) f ( x )<0 ⇒ { x ∈ R ; x >−2}.
11
13. Cálculo Diferencial e Integral
2.1.5.2 – Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau
f ( x )= a x + b , a ≠0
b
Zero da função: a x + b =0 ⇒ x =−
a
a >0 a <0
b x b x
a a
f (x ) <0 f (x ) >0 f (x ) >0 f (x ) <0
b x b x
a a
b b
f ( x )= 0 ⇒ x = − f ( x )= 0 ⇒ x = −
a a
b b
f ( x )> 0 ⇒ x > − f ( x )> 0 ⇒ x < −
a a
b b
f ( x )< 0 ⇒ x < − f ( x )< 0 ⇒ x > −
a a
2.2 – Inequações do 1o grau
Definição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode ser
reduzida a uma das formas:
• a x + b ≥0;
• a x + b >0;
• a x + b ≤0;
• a x + b <0.
com a , b ∈ R e a ≠0.
Exemplo:
2
Verificar se 4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o grau.
2
4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1)
2 2
4 x −4− x ≥3 x − x − x
4 x −3 x + x −4≥0
2 x −4≥0
2
Logo, 2 x −4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x +1)− x ≥3 x − x ( x +1) é uma inequação do 1o
grau.
2.2.1 - Resolução de inequações do 1o grau
Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
12
14. Cálculo Diferencial e Integral
Exemplos:
2
1) Resolver a inequação seguinte: 4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1). Represente a solução na reta real.
2
4( x −1)− x ≥3 x − x ( x +1)
2 2
4 x −4− x ≥3 x − x − x
4 x −3 x + x −4≥0
2 x ≥4
x ≥2
x
S={ x ∈ R ; x ≥2} 2
x − 1 4(1 − x ) x 2 − x
2) Resolver a inequação seguinte: + > + . Represente a solução na reta real.
3 2 4 6
x − 1 4(1 − x ) x 2 − x
+ > +
3 2 4 6
Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:
4 x − 4 + 24 − 24 x 3x + 4 − 2 x
>
12 12
Simplificando:
−20 x +20> x +4
−20 x − x >−20+4
−21 x >−16
Multiplicando por (−1):
21 x <16
16
x<
21
16
S={ x ∈ R ; x < }
21
x
16
21
2.2.2 - Sistemas de inequações do 1o grau
Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção
dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
Resolver a inequação −1<2 x −3≤ x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta real.
Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
(i) −1 < 2 x −3 (i) x > 1
(ii) 2 x −3 ≤ x (ii) x ≤ 3
(i) x
(ii) x
(i) ∩ (ii) x
1 3
S={ x ∈ R ; 1< x ≤3}
13
15. Cálculo Diferencial e Integral
2.2.3 - Inequação-produto e inequação-quociente
2
Uma inequação do 2o grau do tipo x +2 x −8≥0 pode ser expressa por um produto de
inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade:
x 2 +2 x −8≥0 ⇒ ( x −2)⋅( x +4)≥0.
Definição 17: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente,
fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir,
determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do
produto e do quociente de números reais.
Exemplos:
2
1) Resolver a inequação ( x + x −2)⋅(− x +2)≤0.
2
( x + x −2)⋅(− x +2)≤0 ⇒ ( x +2)⋅( x −1)⋅(− x +2)≤0
f(x) = x +2 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −2 a > 0
g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0
h(x) = − x +2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a < 0
f (x )
g(x )
h(x )
f (x ) g(x ) h(x )
-2 1 2
S={ x ∈ R ; −2≤ x ≤1 ou x ≥2}
− 3x + 1
2) Resolver a inequação ≥0.
x−2
f(x) = −3 x +1 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = 1/3 a<0
g(x) = x −2 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 2 a<0
f (x )
g(x )
f (x )
g(x ) 1 2
3
1
S={ x ∈ R ; ≤ x <2}
3
14
16. Cálculo Diferencial e Integral
x2 − 9
3) Resolver a inequação ≤0.
x−2
x2 − 9 ( x + 3) ⋅ ( x − 3)
≤0 ⇒ ≤0
x−2 x−2
f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0
g(x) = x −3 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 3 a > 0
h(x) = x −2 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 2 a > 0
f (x )
g(x )
h(x )
f (x ) g(x )
h(x ) -3 2 3
S={ x ∈ R ; x ≤−3 ou 2< x ≤3}
x2 + 2x − 3
4) Determine o domínio da função y= .
x −5
x2 + 2x − 3 ( x + 3) ⋅ ( x − 1)
≥0 ⇒ ≥0
x −5 x −5
f(x) = x +3 ⇒ f(x) = 0 ⇒ x = −3 a > 0
g(x) = x −1 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 1 a > 0
h(x) = x −5 ⇒ h(x) = 0 ⇒ x = 5 a > 0
f (x )
g(x )
h(x )
f (x ) g(x )
h(x ) -3 1 5
D={ x ∈ R ; −3≤ x ≤1 ou x >5}
15
17. Cálculo Diferencial e Integral
AULA 02 – EXERCÍCIOS 9) João possui um terreno de 1000m2, no
qual pretende construir uma casa. Ao
engenheiro responsável pela planta, ele
1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine: impõe as seguintes condições: a área
a) f(2) destinada ao lazer (piscina, churrasqueira,
b) o valor de x para que f(x) = 0 etc) deve ter 200m2, e a área interna da casa
2) Em uma função polinomial do 1o grau, y = mais a área de lazer devem ultrapassar 50%
f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. da área total do terreno; além disso, o custo
para construir a casa deverá ser de, no
⎛ 1⎞
Escreva a função f e calcule f ⎜− ⎟ máximo, R$ 200.000,00. Sabendo que o
⎝ 2⎠ metro quadrado construído nessa região
3) Um vendedor recebe mensalmente um custa R$ 500,00, qual é a área interna da
salário composto de duas partes: uma parte casa que o engenheiro poderá projetar?
fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,
que corresponde a uma comissão de 8% do 10) Determinar o domínio da função
total de vendas que ele fez durante o mês. x −1
a) Expressar a lei da função que y=
representa seu salário mensal − x+3
b) Calcular o salário do vendedor que
durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00
em produtos
4) Num determinado país, o gasto
governamental com educação, por aluno em
escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de
1985, e de 3.600 dólares em 1993.
Admitindo que o gráfico do gasto por aluno
em função do tempo seja constituído de
pontos de uma reta:
a) Obtenha a lei que descreve o gasto por
aluno (y) em função do tempo (x),
considerando x = 0 para o ano de 1985, x =
1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de
1987 e assim por diante.
b) Em que ano o gasto por aluno será o
Respostas:
dobro do que era em 1985?
1) a) 8
b) 2/5
5) Considere as funções f e g definidas em R
2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7
por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x
3) a) y = 900 + 0,08x
a) Ache as raízes das funções f e g
b) R$ 4900,00
b) Sabendo que os gráficos de f e g são
4) a) y = 75x + 3000
retas concorrentes, calcule as coordenadas
b) 2025
do ponto de intersecção.
5) a) 8 e 0
b) (2, 6)
6) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x)
≤ 0 ⎧ 1⎫
6) S = ⎨x ∈ R | x ≥ ⎬
⎩ 2⎭
7) Determinar o conjunto verdade da
⎧ 16 ⎫
x − 1 4(1 − x) x 2 − x 7) S = ⎨ x ∈ R | x < ⎬
inequação: + > + ⎩ 21⎭
3 2 4 6
8) S = {x ∈ R | x ≥ 3}
⎧2 x − 1 ≥ 5
8) Resolver o sistema ⎨ 9) entre 300m2 e 400m2
⎩− x − 3 < 0
10) D = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3}
16
18. Cálculo Diferencial e Integral
AULA 03
2.3 - Função polinomial do 2o grau
2
Definição 18: A função f : R → R dada por f ( x )= a x + b x + c , com a , b e c reais e a ≠0,
denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por
a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a =0 temos uma função do 1o grau ou uma
função constante.
Exemplo:
f do 2o grau, em que f (0)=5, f (1)=3 e f (−1)=1. Escreva a lei de
Considere a função
formação dessa função e calcule f (5).
Resolução
Tome f ( x )= a x 2 + b x + c , com a ≠0.
f (0) = 5 ⇒ a (0)2+ b (0)+ c = 5 ⇒ c = 5 c = 5
f (1) = 3 ⇒
a (1)2+ b (1)+ c = 3 ⇒ a +b = −2
i)
2
f (−1) = 1 ⇒
a (−1) + b (−1)+ c = 1 ⇒ a −b = −4
ii)
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a + b = −2
(ii) a − b = −4
(i)+(ii) 2a = −6 ⇒ a = −3 ⇒ b = 1
2
A lei de formação da função será f ( x )=−3 x + x +5
2
f (5)=−3(5) +(5)+5
f (5)=−65.
2.3.1 - Gráfico de uma função quadrática
O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada
parábola.
Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa
representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função
quadrática:
(i) (ii) (iii)
Concavidade Zeros ou raízes Vértice
2.3.2 - Concavidade
A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x )= a x 2 + b x + c
do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :
17
19. Cálculo Diferencial e Integral
a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO
[Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática.
2.3.3 - Zeros de uma função quadrática
Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x )= a x 2 + b x + c são as raízes da
2
equação do 2o grau a x + b x + c =0, ou seja:
− b ± b 2 − 4ac
Raízes: x = .
2a
2
Considerando Δ= b −4 a c , pode-se ocorrer três situações:
−b+ Δ −b− Δ
• i) Δ>0 ⇒ as duas raízes são reais e diferentes: x1 = e x2 = .
2a 2a
b
• ii) Δ=0 ⇒ as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x1 = x2 =− .
2a
• iii) Δ<0 ⇒ não há raízes reais.
2
Obs.: Em uma equação do 2o grau a x + b x + c =0, a soma das raízes é S e o produto é P tal que:
b c
S= x1 + x2 =− e P= x1 ⋅ x2 = .
a a
Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau são as
abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .
2.3.4 - Vértice da parábola
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( xV , yV ) em cada uma:
y Eixo de simetria y
V( xV , yV )
x1 x2
x1 x2 x x
V( xV , yV )
[Fig.5]: Vértice de parábolas (Δ>0 para as duas).
18
20. Cálculo Diferencial e Integral
Uma forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é:
x1 + x2
• xV = , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
2
2
• yV = a xV + b xV + c , já que o xV foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é aplicando as fórmulas:
b Δ
• xV =− e yV =− .
2a 4a
2.3.5 - Gráfico de uma parábola
Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com
mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.
Exemplos:
1) Construir o gráfico da função y = x 2 +2 x , determinando sua imagem.
a =1>0 ⇒ concavidade voltada para cima.
y
Zeros da função: x 2 +2 x =0 ⇒ x ( x +2)=0 ⇒ x1 =0 e x2 =−2. 5
4
Ponto onde a 3
parábola corta o x =0 ⇒ y =0 ⇒ (0,0) 2
eixo y : 1
b 2 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
Vértice da
xV =− =− =−1 V -2
parábola: 2a 2 -3
⇒ V (−1,−1)
Δ 4 -4
yV =− =− =−1 -5
4a 4
Imagem: y ≥−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≥−1}
2) Construir o gráfico da função y =− x 2 +4 x −5, determinando sua imagem.
a =−1<0 ⇒ concavidade voltada para baixo.
y
Zeros da função: − x 2 +4 x −5=0 ⇒ Δ=−4. ∃ zeros reais.
/ 5
4
Ponto onde a 3
parábola corta o x =0 ⇒ y =−5 ⇒ (0,−5) 2
eixo y : 1
b 4 -5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
Vértice da
xV =− =− =2 V
parábola: 2a − 2 -2
⇒ V (2,−1) -3
Δ −4 -4
yV =− =− =−1 -5
4a − 4
Imagem: y ≤−1 para todo x Real Im ={ y ∈ R ; y ≤−1}
19
21. Cálculo Diferencial e Integral
2.3.6 - Estudo do sinal da função quadrática
Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser
dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.
f ( x )= a x 2 + b x + c com ( a , b e c ∈ R e a ≠0)
a >0 a <0
x1 x2
x
x1 x2 x
f ( x )>0 para x < x1 ou x > x2 f ( x )<0 para x < x1 ou x > x2
f ( x )<0 para x1 < x < x2 f ( x )>0 para x1 < x < x2
f ( x )=0 para x = x1 ou x = x2 f ( x )=0 para x = x1 ou x = x2
x1 x2
x
x1 x2 x
f ( x )>0 para x ≠ x1 f ( x )<0 para x ≠ x1
f ( x )<0 ∃ x real
/ f ( x )>0 ∃ x real
/
f ( x )=0 para x = x1 = x2 f ( x )=0 para x = x1 = x2
x
x
f ( x )>0 ∀ x real f ( x )<0 ∀ x real
f ( x )<0 ∃ x real
/ f ( x )>0 ∃ x real
/
f ( x )=0 ∃ x real
/ f ( x )=0 ∃ x real
/
2.4 - Inequações do 2o grau
Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode ser
reduzida a uma das formas:
• a x 2 + b x + c ≥0;
• a x 2 + b x + c >0;
• a x 2 + b x + c ≤0;
• a x 2 + b x + c <0.
com a , b , c ∈ R e a ≠0.
20
22. Cálculo Diferencial e Integral
2.4.1 - Resolução de inequações do 2o grau
Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplo:
2
1) Resolver a inequação x −3 x +2>0.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −3 x +2.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
x 2 −3 x +2=0
Duas raízes reais
Δ=1>0 ⇒
diferentes.
3±1 x1 =1 1 2 x
x=
2 x2 =2
S={ x ∈ R ; x <1 ou x >2}. Obs: somente valores positivos.
2
2) Resolver a inequação x −10 x +25≥0.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 −10 x +25.
Concavidade para
a =1>0 ⇒
cima.
x 2 −10 x +25=0
Δ=0 ⇒ Raiz dupla (única).
10 x
x1 = x2 = 5
2 x =5
S= R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.
2
3) Resolver a inequação −2 x +5 x −6≥0.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )=−2 x 2 +5 x −6.
a =−2<0 ⇒ Concavidade para baixo.
2 x
−2 x +5 x −6=0
Δ=−23<0⇒ Não possui zeros reais.
∃ x real
/
S=∅. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.
2.4.2 - Sistemas de inequações do 2o grau
Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção
dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
21
23. Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo:
⎧2 x 2 + 8 ≥ x 2 − 6 x
1) Resolver o sistema de inequações ⎨ .
⎩x + 5 < 0
Resolução
2 2 2 2 2
(i) ⇒ 2 x +8≥ x −6 x ⇒ 2 x +8− x +6 x ≥0 ⇒ x +6 x +8≥0.
(ii) ⇒ x +5<0.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 +6 x +8.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
x 2 +6 x +8=0
Δ=4>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.
−6±2 x1 =−4 x
x= -4 -2
2 x2 =−2
-4 -2 x
S(i)={ x ∈ R ; x ≤−4 ou x ≥−2}. Reta real:
Resolução de (ii): x +5<0 ⇒ x <−5.
-5 x
S(ii)={ x ∈ R ; x ≤−5}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):
(i) -4 -2 x
(ii) -5 x
(i) ∩ (ii) -5 x
S={ x ∈ R ; x ≤−5}.
2
2) Resolver a inequação x −4< x −4≤ x +2.
Resolução
2 2 2
(i) ⇒ x −4< x −4 ⇒ x −4− x +4<0 ⋅(−1) ⇒ x − x >0.
2 2 2
(ii) ⇒ x −4≤ x +2 ⇒ x −4− x −2≤0 ⇒ x − x −6≤0.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x )= x 2 − x .
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
x 2 − x =0 x ( x −1)=0 ⇒ Zeros={0,1}.
Duas raízes reais
Δ=1>0 ⇒
diferentes.
1± 1 x1 =0 0 1 x
x=
2 x2 =1
0 1 x
S(i)={ x ∈ R ; x <0 ou x >1}. Reta real:
22
24. Cálculo Diferencial e Integral
Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x )= x 2 − x −6.
a =1>0 ⇒ Concavidade para cima.
x 2 − x −6=0
Δ=25>0 ⇒ Duas raízes reais diferentes.
1± 5 x1 =−2 x
x= -2 3
2 x2 =3
-2 3 x
S(ii)={ x ∈ R ; −2≤ x ≤3}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) ⇒ (i)∩(ii):
(i) 0 1 x
(ii) -2 3 x
(i) ∩ (ii) -2 0 1 3 x
S={ x ∈ R ; −2≤ x <0 ou 1< x ≤3}.
2.4.3 - Inequação-produto e inequação-quociente
Definição 24: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente,
fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do
produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de
números reais.
Exemplos:
2 2
1) Resolver a inequação ( x −2 x −3)⋅(− x −3 x +4)>0.
Resolução
f(x) = x 2 −2 x −3 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=16 > 0 ⇒ x1 -1 3
= e x2 =
g(x) = 2
− x −3 x +4 ⇒ a < 0 ⇒ Δ=25 > 0 ⇒ x1 1
= −4 e x2 =
f(x) g(x)
-4 1 x
-1 3 x
-1 3 x -4 1 x
23
25. Cálculo Diferencial e Integral
f (x )
g(x )
f (x ) g(x )
-4 -1 1 3
S={ x ∈ R ; −4< x <−1 ou 1< x <3}.
x 2 − 5x + 6
2) Resolver a inequação ≥0.
x 2 − 16
Resolução
f(x) = x 2 −5 x +6 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=1 > 0 ⇒ x1 = 2 e x2 = 3
g(x) = x 2 −16 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=64 > 0 ⇒ x1 = −4 e x2 = 4
f(x) g(x)
2 3 x -4 4 x
2 3 x -4 4 x
f (x )
g(x )
f (x )
g(x ) -4 2 3 4
S={ x ∈ R ; x <−4 ou 2≤ x ≤3 ou x >4}.
x 2 − 3x − 10
3) Determine o domínio da função f ( x )= .
x−6
Resolução
x 2 − 3 x − 10
f só representa um número real se ≥0.
x−6
f(x) = x 2 −3 x −10 ⇒ a > 0 ⇒ Δ=49 > 0 ⇒ x1 = −2 e x2 = 5
g(x) = x −6 ⇒ a > 0 ⇒ g(x) = 0 ⇒ x = 6
f(x) g(x)
-2 5 x 6 x
-2 5 x 6 x
24
26. Cálculo Diferencial e Integral
f (x )
g(x )
f (x )
g(x ) -2 5 6
D ={ x ∈ R ; −2≤ x ≤5 ou x >6}.
AULA 03 – EXERCÍCIOS f(5) = - 65
2) 4
1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0) 3) 5 e -1
= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de 4) 1/3
formação dessa função e calcule f(5). 5) 52
2) Determine o valor de m para que a ⎛ 3 11 ⎞
parábola que representa graficamente a 6) V ⎜ ,− ⎟
função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto (1,
⎝ 10 20 ⎠
6) 7) a = 1 e b = - 8
3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x ⎧ 1⎫
8) Im = ⎨ y ∈ R / y≥− ⎬
–5 ⎩ 4⎭
4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. 9) O valor mínimo da função é y = - 25/4
Sabendo que essa função possui dois zeros 10) O retângulo que terá a maior área será o
reais iguais, determine o valor real de k. de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima
5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas será de 400 cm2.
raízes reais, m e n, de modo que
⎧ 1⎫
1 1 5 11) ⎨ p ∈ R /p> ⎬
+ = . Determine o valor de f(-1) ⎩ 4⎭
m n 12
nessa função 12) S = {x ∈ R | x ≤ −1, ou , x ≥ 1}
6) Determinar as coordenadas do vértice V 13) S = R
da parábola que representa a função f(x) = - 14) S = {x ∈ R | −2 ≤ x < 0 ou 1 < x ≤ 3}
5x2 + 3x – 1.
15) S = {x ∈ R| x < - 3 ou -1< x <2}
7) Determinar a e b de modo que o gráfico
da função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha
o vértice no ponto (4, - 25)
8) Determinar o conjunto imagem da função
f(x) = x2 – 3x + 2
9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor
máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor?
10) Considerar todos os possíveis retângulos
que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre
esses retângulos, determinar aquele que terá
área máxima. Qual será essa área?
11) Determinar p de modo que a função
f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores
positivos para todo x real.
12) Resolver a inequação –x2 + 1 ≤ 0
13) Determinar o conjunto solução da
inequação x2 – 10x + 25 ≥ 0
14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 ≤
x+2
x2 +1
15) Resolver a inequação <1
x+3
Respostas
1) f(x) = - 3x2 + x + 5
25
27. Cálculo Diferencial e Integral
AULA 04
3 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
3.1 – Revisão de Potenciação
3.1.1 - Potências com expoente natural
Sendo a um número real e n um número natural, com n ≥2, definimos:
(Eq.4) a n = a ⋅ 4243 .
1a ⋅ a ⋅K ⋅ a
n fatores
Para n =1 e n =0 são definidos:
(Eq.5) a1 = a .
(Eq.6) a 0 =1 ( a ≠0).
3.1.2 - Potências com expoente inteiro
Se a é um número real não-nulo ( a ≠0) e n um número inteiro e positivo, definimos:
1
(Eq.7) a −n = .
an
3.1.3 - Potências com expoente racional
m
Se a é um número real positivo e um número racional, com n inteiro positivo,
n
definimos:
m
n
(Eq.8) a n = am .
3.1.4 -Potências com expoente real
Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos números
2
reais. Temos, por exemplo: 10 =25,954553519470080977981828375983.
3.1.4.1 - Propriedades
Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:
• am ⋅ an = am+n .
• a m : a n = a m − n ( a ≠0).
• ( a m )n = a m⋅n .
• ( a ⋅ b )n = a n ⋅ b n .
n
⎛ a ⎞ an
• ⎜ ⎟ = n ( b ≠0).
⎝b⎠ b
26
28. Cálculo Diferencial e Integral
Exemplos
3 6 10
1) Dê o resultado mais simples de ( 5 ⋅ 5 ): 5 .
Resolução
Usando as propriedades, temos:
3 6 10 3+6 10 9 10 9−10 −1 1
( 5 ⋅ 5 ): 5 =( 5 ): 5 = 5 : 5 = 5 =5 = .
5
−2 3
⎛2⎞ ⎛1⎞
2) Calcule o valor da expressão ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −6 .
0
⎝3⎠ ⎝2⎠
Resolução
−2 3 2 3
⎛2⎞ ⎛1⎞ 0 ⎛3⎞ ⎛1⎞ 9 1 18 + 1 − 8 11
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ − 6 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ −1= + −1= = .
⎝3⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 4 8 8 8
2 x +5 − 2 x + 2
3) Simplifique .
2x
Resolução
2 x +5 − 2 x + 2 2 x ⋅ 25 − 2 x ⋅ 2 2 2 x ⋅ (25 − 2 2 ) 5 2
= = = 2 − 2 =28.
x x x
2 2 2
4
4) Calcule 8 3 .
Resolução
4
3 4
• Primeira resolução: 8 3 = 8 = 3 4096 =16.
4
3
4
3⋅ 4 4
• Segunda resolução: 8 3 = ( 2 )3 = 2 3
= 2 =16.
0,7 0,2
5) Determine o valor de 81 : 81 .
Resolução
810,7 : 810, 2 = 810,7−0, 2 = 810,5 = (34 ) 0,5 = 32 =9.
2 2 5
10) Qual o valor de (10 ) : ( 0,1) ?
Resolução
2⋅ 2 −1 5
(10 2
) 2 5
: ( 0,1) = 10 : (10 ) = 10 2 : 10 −5 = 10 2−( −5) = 10 7 =10000000.
3.2 - Equações exponenciais
Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente.
Exemplo:
• 2 x =16.
• 3 x +1 + 3 x −2 =9.
27
29. Cálculo Diferencial e Integral
• 3 x −1 =27.
2x 2x
• 10⋅ 2 −5⋅ 2 −1=0.
3.2.1 -Resolução de equações exponenciais
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e
propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:
x p
Definição 26: Se a >0, a ≠1 e x é a incógnita, a solução da equação a = a é x= p.
Exemplos:
1) Resolver a equação 4 x =512.
Resolução
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2o membros da equação em
potências de mesma base:
9
4 x =512 ⇒ ( 2 2 ) x = 29 ⇒ 2 2 x = 29 ⇒ 2 x =9 ⇒ x = .
2
⎧9 ⎫
S= ⎨ ⎬ .
⎩2⎭
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um
aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:
• a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois?
• b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
Resolução
50
• a) Obs: 50%= =0,5
100
Um ano depois: 8000+0,5⋅8000=8000⋅(1+0,5)=8000⋅1,5
2
Dois anos depois: (8000⋅1,5)⋅1,5=8000⋅ (1,5)
2 3
Três anos depois: (8000⋅ (1,5) )⋅1,5=8000⋅ (1,5)
Produção P, t anos depois: P=8000⋅ (1,5)t
• b) Fazendo P=40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
t
40500=8000⋅ (1,5)
Resolvendo a equação:
t
40500=8000⋅ (1,5)
40500 3
⇒ (1,5)t = . Obs: 1,5= .
8000 2
t
⎛ 3 ⎞ 81
⇒ ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 16
t
⎛3⎞ 3
4
⇒ ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 24
t 4
⎛3⎞ ⎛3⎞
⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ t =4.
⎝2⎠ ⎝2⎠
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.
28
30. Cálculo Diferencial e Integral
x+2
3) Determine o conjunto solução da equação 81 =1 no universo dos números reais.
Resolução
Sabendo que 810 =1, temos:
81x+ 2 =1 ⇒ 81x+ 2 = 810 ⇒ x +2=0 ⇒ x =−2.
S={−2}.
3.2.2 - Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios
Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas
transformações e artifícios.
Exemplos:
1) Resolver a equação 4 x −5⋅ 2 x +4=0.
Resolução
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada:
4 x −5⋅ 2 x +4=0 ⇒ ( 2 2 ) x −5⋅ 2 x +4=0 ⇒ ( 2 x ) 2 −5⋅ 2 x +4=0.
Fazendo 2 x = y , temos a equação do 2o grau em y :
5 ± 25 − 16
y 2 −5 y +4=0 ⇒ y = ⇒ y1 =4 e y 2 =1.
2
x
Voltando à igualdade 2 = y :
y1 =4:
2 x = y ⇒ 2 x =4 ⇒ 2 x = 2 2 ⇒ x =2.
y 2 =1:
2 x = y ⇒ 2 x =1 ⇒ 2 x = 2 0 ⇒ x =0.
S={0,2}.
x 2− x
2) Determine o conjunto solução da equação 5 − 5 =24.
Resolução
Preparando a equação, temos:
1 25
5 x − 5 2− x =24 ⇒ 5 x − 5 2 ⋅ 5 − x =24 ⇒ 5 x −25⋅ x
=24 ⇒ 5 −
x
=24.
5 5x
x
Fazendo 5 = y , temos:
25 2 2 ⎧ y1 = 25
y− =24 ⇒ y −25=24 y ⇒ y −24 y −25=0 ⇒ ⎨
y ⎩ y2 = −1
x
Voltando à igualdade 5 = y :
y1 =25:
5 x = y ⇒ 5 x =25 ⇒ 5 x = 5 2 ⇒ x =2.
y 2 =−1:
5 x = y ⇒ 5 x =−1 ⇒ Esta equação não tem raiz em R , pois 5 x >0, para todo x real.
S={2}.
3.3 - Função exponencial
Definição 27: A função f : R → R dada por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1) é denominada função
exponencial de base a .
29
31. Cálculo Diferencial e Integral
3.3.1 - Gráfico da função exponencial no plano cartesiano
Dada a função f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1), temos dois casos para
traçar seu gráfico: (i) a >1 e (ii) 0< a <1.
• (i) a >1.
1) Traçar o gráfico de f ( x )= 2 x .
x f ( x )= 2 x
1 y
−2
4
8
1 7
−1
2 6
5
0 1
4
1 2 3
2
2 4
1
3 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
x
OBS.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência a , ou seja, se a >1 a função f ( x )= a x é
crescente.
• (ii) 0< a <1.
x
⎛1⎞
2) Traçar o gráfico de f ( x )= ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
x
⎛1⎞
x f ( x )= ⎜ ⎟
⎝2⎠ y
−3 8 8
−2 4 7
6
−1 2 5
0 1 4
3
1
1 2
2 1
1
2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
4
30
32. Cálculo Diferencial e Integral
x
Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência a , ou seja, se 0< a <1 a função
f ( x )= a x é decrescente.
Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:
3.3.2 - Características da função exponencial
Seja f : R → R , definida por f ( x )= a x (com a >0 e a ≠1).
• Domínio da função f são todos os números reais ⇒ D = R .
∗
• Imagem da função f são os números reais positivos ⇒ Im = R+ .
• A curva da função passa pelo ponto (0,1).
• A função é crescente para a base a >1.
• A função é decrescente para a base 0< a <1.
3.4 - Inequações exponenciais
Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.
3.4.1 - Resolução de inequações exponenciais
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:
• 1) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
• 2) Verificar a base da exponencial, a >1 ou 0< a <1, aplicando as propriedades abaixo.
Caso (i): a >1 Caso (ii): 0< a <1
am > an ⇒ m > n am > an ⇒ m < n
As desigualdades têm mesmo As desigualdades têm sentidos
sentido diferentes
Exemplos:
1) Resolva a inequação 2 x >32.
Resolução
Como 25 =32, a inequação pode ser escrita:
2 x > 25 ⇒ Caso (i): a >1.
⇒ x >5.
S={ x ∈ R ; x >5}.
2
+2 x
2) Resolva a inequação ( 3 )3 x ≥1.
Resolução
2
+2 x 2
+2 x
( 3 )3 x ≥1 ⇒ ( 3 )3 x ≥( 3) 0 ⇒ Caso (i): a >1.
2
⇒ 3 x +2 x ≥0
Tome f ( x )=3 x 2 +2 x
⎧ 2
2⎪ x1 = −
f ( x )=0 ⇒ 3 x +2 x =0 ⇒ ⎨ 3
⎪ x2 = 0
⎩
2
0 x
3 S={ x ∈ R ; x ≤−2/3 ou x ≥0}.
31
33. Cálculo Diferencial e Integral
x +3 2 x −7
⎛1⎞ ⎛1⎞
3) Resolva a inequação ⎜ ⎟ <⎜ ⎟ .
⎝2⎠ ⎝2⎠
Resolução
x +3 2 x −7
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ <⎜ ⎟ ⇒ Caso (ii): 0< a <1.
⎝2⎠ ⎝2⎠
x +3>2 x −7 ⇒ − x >−10 ⋅(−1) ⇒ x <10.
S={ x ∈ R ; x <10}.
AULA 04 – EXERCÍCIOS Respostas:
1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, 1) a) 800 bactérias
reproduz-se em condições ideais. Supondo b) 9 horas
que, por divisão celular, cada bactéria dessa 2) a) 3/2
cultura dê origem a duas outras bactérias b) 4
idênticas por hora. 3) a) {0, 3}
a) Qual a população dessa cultura após 3 b) {2, 3}
horas do instante inicial? c) {1, 2}
b) Depois de quantas horas a população 4) x = 0
dessa cultura será de 51.200 bactérias? 5) a) 0,59m3
2) Resolva as equações: b) f(n) = 1 . (0,9)n
a) 2
1+ x
+ 8 = 72 6) a) {x ∈ R / x ≤ −1, ou , x ≥ 4}
3x b){x ∈ R / x > 3}
x−4
b) 4 − =0 c) {x ∈ R / x < 0}
81
3) Determine o conjunto solução das 7) {x ∈ R / x ≥ 2}
seguintes equações:
a) 3 2 x − 28.3 x + 27 = 0
b) 2 + 32 = 12.2
2x x
16 x + 64
c) = 4 x +1
5
4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine x
para que f(g(x)) = 2.
5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de
óleo de um tanque. A capacidade do tanque é
de 1 m3 e, inicialmente, esta cheio.
a) Após o 5o golpe, qual o valor mais
próximo para o volume de óleo que
permanece no tanque?
b) Qual é a lei da função que representa o
volume de óleo que permanece no tanque
após n golpes?
6) Resolva as inequações:
a) ( 5) x 2 −3 x
≥ ( 5) 4
3 x −1 x +5
⎛1⎞ ⎛1⎞
b) ⎜ ⎟ <⎜ ⎟
⎝3⎠ ⎝ 3⎠
2 X +2
C) 2 − 0,75 ⋅ 2 x + 2 < 1
7) Determine o domínio da função
y = 2 x−2 − 1
32
34. Cálculo Diferencial e Integral
AULA 05
4 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA
4.1 – Definição de Logaritmo
Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a ≠1, existe um único número real
x de modo que a x = b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se
log a b .
Podemos então, escrever:
(Eq.9) a x = b ⇔ x = log a b (1≠ a >0 e b >0).
Na igualdade x = log a b , temos:
• a é a base do logaritmo;
• b é o logaritmando ou antilogaritmo;
• x é o logaritmo.
Exemplos:
Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:
1) log 2 32 = x .
2 x =32 ⇒ 2 x = 25 ⇒ x =5.
2) log 4 16 = x .
4 x =16 ⇒ 4 x = 4 2 ⇒ x =2.
3) log 8 x =1.
81 = x ⇒ x =8.
4) log 3 81 = x .
3 x =81 ⇒ 3 x = 34 ⇒ x =4.
5) log 5 1 = x .
5 x =1 ⇒ 5 x = 50 ⇒ x =0.
OBS. 1: log b ⇒ significa log10 b . Quando não se indica a base, fica subentendido que a
base é 10.
4.2 - Conseqüências da definição
Tome 1≠ a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se
verificar que:
33
35. Cálculo Diferencial e Integral
• 1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
log a 1 =0, pois a 0 =1.
• 2) O logaritmo da própria base é igual a 1.
log a a =1, pois a1 = a .
• 3) O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente.
log a a m = m , pois a m = a m .
• 4) O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b .
a log a b = b , pois a x = b ⇔ x = log a b .
4.3 - Propriedades dos logaritmos
• 1) Logaritmo de produto
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0).
• 2) Logaritmo de quociente
⎛x⎞
log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y (1≠ a >0, x >0 e y >0).
⎜ y⎟
⎝ ⎠
• 3) Logaritmo de potência
log a x m = m ⋅ log a x (1≠ a >0, x >0 e m ∈ R ).
4.4 - Cologaritmo
Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1≠ a >0) é o logaritmo do inverso desse
número b na base a .
⎛1⎞
(Eq.10) co log a b = log a ⎜ ⎟ ⇒ co log a b =− log a b (1≠ a >0 e b >0).
⎝b⎠
Exemplo:
Sabendo que log 3= a e log 5= b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .
• a) log 15
log 15= log (3⋅5)= log 3+ log 5= a + b .
• b) log 675
log 675= log ( 33 ⋅ 5 2 )= log 33 + log 5 2 =3 log 3+2 log 5=3 a +2 b .
• c) log 2
log 2= log 10 = log 10− log 5=1− b .
5
4.5 - Mudança de base
As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em
muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única
base.
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.
34
36. Cálculo Diferencial e Integral
Seja: log a b = x ⇒ a x = b .
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:
log c b
log c a x = log c b ⇒ x ⋅ log c a = log c b ⇒ x = , mas x = log a b .
log c a
Então:
log c b
(Eq.11) log a b = (1≠ a >0, 1≠ c >0 e b >0).
log c a
Exemplos:
1) Sendo log 2=0,3 e log 3=0,4, calcule log 2 6 .
log 6 log( 2 ⋅ 3) log 2 + log 3 0,3 + 0,4 0,7 7
log 2 6 = = = = = = .
log 2 log 2 log 2 0,3 0,3 3
2) Resolva a equação log 2 x + log 4 x + log16 x =7.
A condição de existência é x >0.
Transformando para a base 2:
log 2 x + log 4 x + log16 x =7
log 2 x log 2 x
log 2 x + + =7
log 2 4 log 2 16
log 2 x log 2 x
log 2 x + + =7
2 4
4 log 2 x + 2 log 2 x + log 2 x 28
=
4 4
7 log 2 x =28
log 2 x =4
24 = x
x =16 ⇒ 16 satisfaz a condição de existência.
Logo, o conjunto solução é:
S={16}.
3) Resolva a equação log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5.
Condições de existência são: x +2>0 e x −2>0 ⇒ x >−2 e x >2. Então: x >2.
log 2 ( x +2)+ log 2 ( x −2)=5
log 2 [( x +2)⋅( x −2)]=5
5
( x +2)⋅( x −2)= 2
x 2 −4=32
x 2 =36
x 2 =±6 ⇒ −6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.
Logo, o conjunto solução é: S={6}.
35
37. Cálculo Diferencial e Integral
4.6 - Função logarítmica
∗ x
A função exponencial g : R → R+ definida por g ( x )= a (com 1≠ a >0) é bijetora. Nesse caso,
podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.
∗
Definição 30: A função f : R+ → R definida por f ( x )= log a x (com 1≠ a >0) é chamada função
logarítmica de base a .
4.6.1 - Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico
da função exponencial.
Seja f : R+ → R , tal que y = log a x e f −1 : R → R+ , tal que y = a x . Os gráficos de f e f −1
∗ ∗
serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.
• (i) a >1.
y
y =x
8
7
6
5
4
3
y =loga x
2
1
y= ax -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Gráfico da função logarítmica e exponencial ( a >1).
• (ii) 0< a <1.
y
y =x
8
y= ax 7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
y =loga x
Gráfico da função logarítmica e exponencial (0< a <1).
36