Este documento discute funções logarítmicas, incluindo seu domínio, gráficos e resolução de equações e inequações logarítmicas. Fornece exercícios resolvidos sobre esses tópicos e questões de vestibulares relacionadas a funções logarítmicas.

1. Questões resolvidas no final
Função Logarítmica
Exercícios: ................................................................................................................ 1
Gráfico da função logarítmica....................................................................................... 2
Construção de Gráficos da função logarítmica .............................................................. 2
Inequações Logarítmicas............................................................................................... 4
Questões de Vestibular ................................................................................................. 5
Respostas:................................................................................................................... 11
Seja a um número positivo e diferente de 1. Chama-se função logarítmica de base a, a
*
função f de R+ em R , definida por: f(x)=logax.
*
Observação: O domínio da função logaritmo é R+ e o contradomínio é R .
Exercícios:
1. Determine o domínio da função f(x)=log7(2x-26).
Resolução:
f ( x ) = log 7 (2 x − 26 ) → 2 x − 26 > 0 → x > 13
Df = {x ∈ R; x > 13} ou Df =]13, + ∞[
2. Determine o domínio da função f(x)=log(4-3x)123.
3. Determine o domínio da função f(x)=log(x-2)(5x-x2 ).
4. Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=log(3x-1)
b) f(x)=log3x2
c) f(x)=log1/2(x+2)+log1/2(3+x)
d) f(x)=log1/2[(x+2).(3+x)]
log 3 ( x + 2)
e) f ( x) =
log 5 (3 − x )
f) f(x)=log(5-25x)
5. Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=log(2x+5) 5
b) f(x)=log(x2-1) x
c) f ( x) = log (3 x − 4 ) (x 2 − 9 )
d) f(x)=log(12-x2)(2x-6)
e) f(x)=log(x2-2)(3-x2)

2. Gráfico da função logarítmica
Examinemos dois exemplos:
Exemplo 1: Fazer o gráfico da função f(x)=log2x.
X ¼ ½ 1 2 4
Y -2 -1 0 1 2
Exemplo 2: Fazer o gráfico da função f(x)=log1/2x.
X ¼ ½ 1 2 4
Y
Observação: Gráfico I a>1 a função é crescente e o gráfico II a função é decrescente.
Construção de Gráficos da função logarítmica
Seja G o gráfico da função definida por y=f(x) e seja k ≠ 0 .

3. Exercícios
6. Esboce o gráfico das funções:
a) f(x)=1+log3x b) f(x)= -1 + log1/3x
7. Esboce o gráfico da função f ( x ) = log 2 ( x + 1) .

4. 8. Esboce o gráfico da função f ( x ) = log 3 | x | .
9. Esboce o gráfico da função f ( x ) = log 1 | x | .
2
10. Esboce o gráfico da função f ( x ) =| log 1 x | .
2
11. Esboce o gráfico da função f ( x ) =| log 2 | x || .
12. Esboce o gráfico da função f ( x ) =| log 1 ( x − 1) | +1.
2
13. Esboce o gráfico da função f ( x ) = − | log 2 x | .
Inequações Logarítmicas
Para aprendermos as regras de resoluções que envolvem logaritmos, lembremos
inicialmente a definição: ax=y equivale a dizer que logay=x.
Do estudo da função exponencial, temos as equivalências:
Se a > 1 → x1 < x2 ⇔ a x1 < a x2
.
Se 0 < a < 1 → x1 < x2 ⇔ a x1 > a x2
Para o estudo das inequações logarítmicas, temos:
Se a > 1 → log a x1 < log a x2 ⇔ x1 < x2
Se 0 < a < 1 → log a x1 < log a x2 ⇔ x1 > x2
Exercícios
14. Resolva a inequação: log5(2x-3)<log57.
15. Resolva a inequação: log 1 (8 − 2 x ) ≥ 3 .
3
16. Resolva a inequação: log12(x-1)+log12(x-2) ≤ 1 .
17. Resolva a inequação: log(x+4)3 > log(x+4)7.
1
18. Resolva a inequação: log 1 x ≥ 8 − 7 log x .
2
2
19. Resolva a inequação, sendo a>1 e a ≠ 1 : log a (2 x − 6) < log a ( x + 1).

5. 20. Determine o domínio da função f ( x) = log 1 (log 2 x ) .
2
(
Log 1 x 2 − 5 x + 8 ) 1
21. Resolva a inequação 3 2
> .
3
Questões de Vestibular
22. (FUVEST-SP) O número x>1 tal que log x 2 = log 4 x , é:
2
a)
4
2
b) 2
c) 2
d )2 2
2
e)4
9 1
23. (Uneb-BA) O número real x, tal que log x = , é:
4 2
81 3 81 1 3
a) − b) − c) d) e)
16 2 16 2 2
1
−
 1  2
 0,25 + 
24. UF-ES) O valor da expressão m = 

3 . − 62
 1 
( ) , e’:
 log 2  64 
  
 
1 1 5
a) b) c )1 d) e) 2 5
25 2 5
25. (F.Porto Alegre-RS) Se log8=k, então log5 vale:
a) k 3
b) 5k − 1
2k
c)
3
k
d) 1+
3
k
e) 1 −
3
26. A curva da figura representa o gráfico da função y=logax (a>1) . Dos pontos B(2,0)
e C=(4,0) saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva
em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retângulo BCED vale3, prove que
a área do triângulo ABD, onde A=(1,0), vale 1/2.

6. 27. (UF-MG) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função
 1 
f ( x ) = log 2   . Qual é o valor de f(1)?
 ax + b 
28. Determine m de modo que a equação de segundo grau (na variável x) x2-
4.x+log2m=0 apresente duas raízes reais e distintas.
 9b 
29. (UF-CE) Resolva a equação 2. log x + log b − log 3 = log 4  , onde log representa
x 
o logaritmo decimal.
30. (VUNESP) Considere a função f, definida por f(x)=logax. Se f(a)=b e
f(a+2)=b+1, os respectivos valores de a e b são:
a) 2 e 1
b) 2 e 2
c) 3 e 1
d) 3 e 2
e) 4 e 1
31. (FUVESP-SP) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O
valor de b é:
a) ¼
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10

7. 32. (ufscar 2004) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual
a 3n, conclui-se que f(n)
a) 2
b) 2 2
c) 3
d) 3 2
e) 4
33. (ITA-73) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece a função
X (t ) = C .e k .t , onde X(t) é o número de bactérias no tempo t ≥ 0 ; C e k são
constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o
número inicial de bactérias X(0), duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim
de 6 horas?
a) 3 vezes o número inicial
b) 2,5 vezes o número inicial
c) 2 2 vezes o número inicial
d) 23 2 vezes o número inicial
e) nenhuma das respostas anteriores
34. (CESGRANRIO-76) Uma substância radioativa esta em processo de
desintegração, de modo que no instante t, a quantidade não desintegrada é A(t) -
A(0).e-3t , onde A(0) indica a quantidade de substância no instante t=0. O tempo
necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre é:
1
a)
3
b) 2.e −3
1
c) . e
3
d ) det er min ável somente se for conhecido o valor de A(0 )
1
e) . log e 2
3
35. //MACKENZIE 2005
36.

8. 37. (MACKENZIE-2005)
38. (MACKENZIE-2005)
39.

9. 40.
41. // MAKC 2005
42.
43. MAKC 2005
44. (ExPCex, out/2005, q08)
A curva da figura representa o gráfico da função f ( x ) = log 2 x. Dados
log 10 2 = 0,30 e log 10 12 = 1,08 . Com base nesses dados, a soma das áreas dos dois
retângulos hachurados é, aproximadamente,

10. ( ) 1,60
( ) 2,08
( ) 2,10
( ) 2,60 *
( ) 3,60
45. (Vunesp-SP, bb48, page 54) Se a e b são raízes da equação a seguir:
2x 8x 0
log 2 x log 2 x 2 0 = 0 , com x>0, então a+b é igual a: ® c)
1 2 3
2
a)
3
3
b)
4
3
c)
2
4
d)
3
4
e)
5

11. Respostas:
1) Df = {x ∈ R; x > 13} ou Df =]13, + ∞[
4
2) Df = (−∞; [−{1}
3
3) Df=]2; 5[ - {3}
4) a) x>1/3; b) R*; c) x> -2; d) x<-3 ou x> -2; e) -2<x<3 e x ≠ 2 ; f) x<1/2
5) a) x> -5/2 e x ≠ −2 ; b) x>1 e x ≠ 2 ; c) x>3; d) 3 < x < 2 3 e x ≠ 11 ; e)
6) /
.
b)
a)
7)
8)

12. 9)
10)
11) //
12)
13) /

13. 3
14) < x<5
2
215
15) ≤x<4
54
16) 2 < x ≤ 5
17) Como 3>7, imponha: 0<x+4<1.
18) Faça uma mudança de variável log 1 x = y , obtenha a inequação
2
y − 8y + 7
2
1 1
≥ 0 e resolva. Solução: 0 < x ≤ ou ≤ x < 1
y 128 2
19) 3<x<7, com 0<a<1; a>1, x>7
Encontre o domínio: x>3; e divida em dois casos: I. a>1, resolva a inequação; II. 0<a<1
e resolva a inequação. Resposta: I. 3<x<7; II. x>7
20) 1 < x ≤ 2
x > 0

Condições de existência: e , domínio da função: 1 < x ≤ 2
log x > 0
 2
21) 2<x<3
22) 2 2
log 4 2
= log 4 x → (log 4 x )2 =
1
log x 2 = log 4 x →
log 4 x 2
( )
2 2
2
log 4 x = + → x = 4 2 = 22 2 = 2 2
2
( )
2 2
2 − − 1
log 4 x = − → x = 4 2 = 22 2 = 2− 2 =
2 2 2
Como no enunciado x>1, segue que a resposta: 2 2
81
23)
16

14. 2 4
9 1 9 3 3 81
log x = → = x1 / 2 →   = x1 / 2 → x =   =
4 2 4 2 2 16
24) d)
1 1
− − −
1
 1  2  1 1  2  1 1  2
 0,25 +   +  +
m= ( )
3 . − 62  =  4 3 .(− 36)

=  2 3 .(− 36)

  1 
 log 2  64 
 


 log 2 64 −1



 log 2 2 6


−1



( )
   
1 1
− −
3+ 2  2  5  2 1
 6   6  − +1 / 2
 5  2 −1 / 2  1 
.(− 36 ) =  .(− 36 ) .(− 36) = [5]
1
= = =  =
 −6  − 6   − 36  5 5

 
 
 

5
=
5
25) e
1
log 8 = k → k = 3. log 2 → log 2 = k
3
10 1
log 5 = ? → log 5 = log = log 10 − log 2 = 1 − .k
2 3
(log a 4 + log a 2).2
26) A área do trapézio BCED= = 3 à loga2=1. A área do
2
1. log a 2 1.1 1
triângulo ABD= = = .
2 2 2
27) - 2
 1 
f (0 ) = log 2 
1 1 0
 = log 2 = 0 → = 2 → b = 1
 a.0 + b  b b
 1 
f (5) = −4 → f (5) = log 2 
1
 = −4 → = 2 − 4 → 5a + 1 = 16
 a.5 + 1  5a + 1
5a = 15 → a = 3
 1 
f (1) = log 2  −1
 = log 2 4 = −2
 3.1 + 1 
28) 0 < m < 16
x 2 − 4.x + log 2 m = 0
∆ = (− 4)2 − 4. log 2 m > 0 →16 − 4. log 2 m > 0 → 4 − log 2 m > 0
1
→ − log 2 m > −4 → log 2 m < log 2 2 − 4 → m < e m>0
6
1
Re sp : 0 < m <
16
29) 3

15.  9b  2 b  9b 
 4  → log x . 3 = log 4  →
2. log x + log b − log 3 = log   
x  x 
b 9b
x2. = → x 6 = 27 → x 2 = 3 → x = 3
3 x 4
30) a)
f (a ) = log a a = 1 = b
f (a + 2 ) = log 2 (a + 2) = 1 + 1 → a + 2 = 2 2 → a = 4 − 2 = 2
31) d) 4
f (0,25) = log b = log b 2 − 2 = log b 2 − 2 = −1 → = b −1
1 1
4 4
b=4
32) 3
 X (t ) = C.e k .t → X (0) = C

 X (4 ) = C .e = 2.C → k = ln (2 )
4. k 1/ 4
33)  ® 2 2
 X (t ) = C.e
t . ln ( 2 )1 / 4
= C .e ln 2 = C.2 t / 4
t/4

 X (6 ) = C .2 = C .2 = C . 2 = C.2 2
6/4 3/ 2 3
34) e)
35) /
36) //

16. 37)
38) //
39) //

17. 40)
41) //
42) //

18. 43)
??? − 3 < x < − 2 ou 2 < x < 3
Referências bibliográficas
Bb48. Scipione di Pierro Neto, Sérgio Orsi Filho — Quanta, Matemática em
Fascículos para o Ensino Médio — Fascículo 5, 1ª. Edição, Editora Saraiva, 2000