Números complexos divisão igualdade

SETOR A
ÍNDICE-CONTROLE DE ESTUDO

Aula 55 (pág. 44) AD TM TC








Terceirão – Caderno 6 – Código 830371610

Professor:

TERCEIRÃO 43 SISTEMA ANGLO DE ENSINO

55
LOGARITMOS: EXERCÍCIOS
Há inúmeras situações problemáticas em que a c) N(t) = 141 (Dado: 2 ≈ 1,41)
variável ou a incógnita ocorre no expoente de uma
50 ⋅ 2t = 141
potência. Nesses casos, a teoria dos logaritmos for-
nece recursos adequados para a busca de soluções. 50 ⋅ 2t = 100 ⋅ 1,41
50 ⋅ 2t = 100 ⋅ 2
2t = 2 ⋅ 2
1
2t = 21 ⋅ 2 2
1
t=1+
2
Em análises de crescimento populacional é comum
indicar o número N de elementos de uma população Resposta: 1,5
no instante t pela notação N(t). Dado que, numa dada
população, N(t) = 50 ⋅ 2t, obtenha t, tal que:
d) N(t) = 150 (Dado: log 3 ≈ 1,58 ⋅ log 2)
a) N(t) = 50
50 ⋅ 2t = 150
2t
50 ⋅ = 50 log 3
2t = 3 ∴ t = log2 3 = = 1,58
2t = 1 ∴ t = 0 log 2
Resposta: 0 Resposta: 1,58

b) N(t) = 100
50 ⋅ 2t = 100
2t = 2 ∴ t = 1 Caderno de exercícios – unidade II
Resposta: 1 TAREFA MÍNIMA
Faça o exercício 23 – série 8.

TAREFA COMPLEMENTAR
Faça os exercícios 22 e 26 – série 8.

56
NÚMEROS COMPLEXOS (FORMA ALGÉBRICA)
Número complexo é todo aquele da forma a + bi Observações
com a ∈  e b ∈ , sendo i a unidade imaginária de- 1. O conjunto dos números reais é um subconjunto do
finida de tal forma que i2 = –1. conjunto dos números complexos, isto é,  ⊂ C.
O número a chama-se parte real do complexo e é 2. Dado o número complexo z = a + bi, temos:
indicada por Re(z); o número b chama-se parte ima- a) z é um número real se e somente se b = 0.
ginária do complexo e é indicada por Im(z). b) z é um número imaginário puro, se e somente
se, a = 0 e b ≠ 0.

SISTEMA ANGLO DE ENSINO 44 TERCEIRÃO

1Potências de i com b) (1 + i)10 = [(1 + i)2]5
expoente natural = (2i)5
= 25 ⋅ i5
Quanto às potências de i, temos:
= 32i
i0 = 1
i1 = i
i2 = – 1 3. Dados os números z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – i,
i3 = i2 ⋅ i = – i obtenha:
i4 = i2 ⋅ i2 = 1 a) z1 + z2 = 2 + 3i + 1 – i
= 3 + 2i
Sendo i a unidade imaginária, n um número in-
teiro maior que 4 e r o resto da divisão de n por 4,
temos: b) z1 – z2 = 2 + 3i – (1 – i)
= 2 + 3i – 1 + i
n 4 ⇒ n=4⋅q+r = 1 + 4i
r q

Daí: c) z1 ⋅ z2 = (2 + 3i)(1 – i)
in = i4q + r = i4 ⋅ q ⋅ ir = (i4)q ⋅ ir = 1q ⋅ ir = ir = 2 – 2i + 3i – 3i2
ou seja: in = ir = 2 – 2i + 3i + 3
=5+i

2Operações com
números complexos 4. Sendo z1 = 1 – i e z2 = 2 + xi, x ∈ , obtenha x
para que z1 ⋅ z2 seja real.
As operações de adição, subtração e multipli- z1 ⋅ z2 = (1 – i)(2 + xi)
cação seguem as regras da álgebra, lembrando que
i2 = –1. = 2 + xi – 2i – xi2
= 2 + xi – 2i + x
= (2 + x) + (x – 2)i
z1 ⋅ z2 real → x – 2 = 0
∴ x=2

1. Complete: 5. Resolva em  a equação x2 + 9 = 0
a) i0 = 1 x2 = –9 ∴ x2 = 9i2 ∴
x =  3i
b) i1 = i
S = {3i, –3i}
c) i2 = –1

d) i3 = i2 ⋅ i = –i

e) i4 = i2 ⋅ i2 = 1

f) i19 = i3 = –i
Caderno de exercícios – unidade III
19 4
3 4 TAREFA MÍNIMA
Faça os exercícios 1 e 2 (até d) – série 11.

2. Calcule: TAREFA COMPLEMENTAR
a) (1 + i)2 = 12 + 2 ⋅ i + i2 = 2i Faça os exercícios 4 e 5 – série 11.


57
Números complexos (Divisão – Igualdade)

1Números complexos b)
i
=
conjugados 2–i
i(2 + i) 2
Chama-se conjugado do número complexo = = 2i + i 2 =
2–i
(2 – i)(2 + i) 2
z = x + yi, {x, y} ⊂ R, o número indicado por –, tal que
z
– = x – yi –1 + 2i 1 2
z = =– + i
5 5 5

2 divisão de Números complexos
Dados os números complexos z1 = a + bi e
z2 = c + di, z2 ≠ 0, o número z quociente de z1 por z2 2. Determine os reais x e y tais que:
é indicado por 2x + (y – 1)i = 8 + 3i
z 2x = 8 ∴ x = 4

123
z= 1 (I)
z2
y–1=3 ∴ y=4

Obtém-se a forma algébrica de z do seguinte modo: Resposta: x = 4 e y = 4
a) Toma-se o conjugado de z2, isto é, –2 = c – di.
z
b) Multiplicam-se o numerador e o denominador de (I)
por –2.
z

3. Obtenha z tal que 2z + – = 3i.
z
3Igualdade entre
números complexos Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1
Então:
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d 2 ⋅ (x + yi) + x – yi = 3i
{a, b, c, d} ⊂  2x + 2yi + x – yi = 3i
3x = 0 ∴ x = 0
123

3x + yi = 0 + 3i ⇒
y=3
Logo, z = 3i

1. Calcule:
2 + 3i
a) =
1+i
(2 + 3i)(1 – i) 2
= = 2 – 2i2+ 3i – 3i =
2
(1 + i)(1 – i) 1 –i
5+i 5 i
= = +
2 2 2
TAREFA MÍNIMA

TAREFA COMPLEMENTAR


58
Números complexos (MÓDULO)

Plano de Argand-gauss
||
z z
c) z1 = | 1 |
1
(z2 ≠ 0)
2 | z2 |
Vamos associar a cada número complexo z = x + yi,
{a, b} ⊂ , o par ordenado (x, y). Assim, no plano de d) | zn | = | z |n (n ∈ )
Argand-Gauss ou plano complexo, no qual o eixo e) | z1 + z2 | < | z1 | + | z2 |
das abscissas é o eixo real e o das ordenadas é o eixo
imaginário, o número z = x + yi será identificado pelo
ponto P(x, y), chamado afixo de z.

Im (eixo imaginário)

y P (afixo de z)

1. Calcule:
a) |3 + 4i| =
= 32 + 42 =  25 = 5

b) |2 – i| =
0 x Re (eixo real)
= 22 + (–1)2 =  5

2Módulo de um c) |i| =
número complexo = |0 + i| = 02 + 12 = 1

Chama-se módulo de um número complexo
z = x + yi, {x, y} ⊂ , o número real não negativo, indi-
2. Sendo z = 4 + yi, y ∈ , obtenha y tal que |z| = 5.
cado por |z|, tal que | z | =  x2 + y2 , ou seja, a distân-
|z| = 5
cia do afixo P de z até a origem zero.
O módulo também será indicado pela letra grega ρ. 42 + y2 = 5
Im
16 + y2 = 25
y=3
123

y2 = 9 ou
P y = –3
y
Resposta: y = –3 ou y = 3

3. Sendo x e y variáveis reais, esboce no plano com-
plexo o lugar geométrico dos afixos dos números
0 x Re
z = x + yi tais que |z – 2| = |z|.
|x + yi – 2| = |x + yi|
3 Propriedades do módulo |(x – 2) + yi| = |x + yi|

Sendo z, z1 e z2 números complexos, tem-se:
(x – 2)2 + y2 = x2 + y2
a) z ⋅ – = | z | 2
z x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2
–4x + 4 = 0 ∴ x = 1
b) | z1 ⋅ z2 | = | z1 | ⋅ | z2 |


16
Im b) Obtenha |z|, sabendo que – =
z .
z
– = 16 ∴ – ⋅ z = 16
z z
z
|z|2 = 16
Ou seja: |z| = 4

0 1 Re

4. Seja z um número complexo.
a) Mostre que z ⋅ – = |z|2.
z
Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1
Temos:
z ⋅ – = (x + yi)(x – yi)
z
= x2 – (yi)2 TAREFA MÍNIMA
= x2 – y2i2
= x2 + y2 TAREFA COMPLEMENTAR
= |z|2 Faça os exercícios de 14 a 16 – série 11.

59
Números complexos (Forma trigonométrica)

1 Argumento 2 Forma trigonométrica
ou forma polar
Seja P o afixo do número z = x + yi, z ≠ 0.
Ao ângulo ϕ, 0  ϕ  2π, que o sentido positivo do Dado o número complexo z = x + yi, z ≠ 0, de mó-
eixo real forma com a semirreta de origem zero e que dulo ρ e argumento ϕ, temos:
contém P, denomina-se argumento de z.
ρ = x + y
2 2

Im x
cos ϕ = ⇒ x = ρ ⋅ cos ϕ
ρ

P y
y
sen ϕ = ⇒ y = ρ ⋅ sen ϕ
ρ
Daí:

z = x + yi
z = ρ ⋅ cos ϕ + ρ ⋅ sen ϕ ⋅ i

Ou seja: z = ρ(cos ϕ + i ⋅ sen ϕ) ,
0 x Re
denominada forma trigonométrica ou polar do número
complexo z.


Exemplo: b) z = –1 + i
Consideremos o número z = 1 + 3 i.
Temos:

3 1





1 0


ρ =  (–1)2 + 12 = 2
0 1
ϕ = 135°
ρ = 12 + (3 )2 = 2 Então:
z = 2 (cos 135° + i sen 135°)
14243

1
cos ϕ =
2 π
ϕ=
3 3
cos ϕ = c) z = i
2

Portanto a forma trigonométrica de z = 1 + 3 i é:
π π
(
z = 2 cos + i sen
3 3 ) 1




0
Escreva na forma trigonométrica cada número abaixo:
ρ = 1 e ϕ = 90°
a) z = 3 + i z = 1 ⋅ (cos 90° + i sen 90°)

d) z = –3
1




0 3

ρ =  (3 )2 + 12 = 2 
14243

1 
sen ϕ = 3 0
2
ϕ = 30°
3 ρ = 3 e ϕ = 180°
cos ϕ =
2 z = 3 ⋅ (cos 180° + i sen 180°)

Então:
z = 2 ⋅ (cos 30° + i sen 30°)


TAREFA MÍNIMA TAREFA COMPLEMENTAR
Faça o exercício 11 (a até e) – série 11. Faça o exercício 11 (f até j) – série 11.
Faça o exercício a seguir.
4i
Dê a forma trigonométrica do número z = .
1+i
Resposta: z = 2 2 (cos 45° + i sen 45°)

60 e 61
Números complexos
(Operações na forma trigonométrica)
Produto de dois números temos:
na forma trigonométrica z1z2 = 10 ⋅ 2 ⋅ cos ( π + π ) + i sen ( π + π )
3 6 3 6
Dados os números complexos não nulos:
π π
z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) e z1z2 = 20 ⋅ cos + i sen
2 2
z2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2),
temos que: z1z2 = 20 ⋅ [0 + i]
z1z2 = 20 i
z1 ⋅ z2 = ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ [cos (ϕ1 + ϕ2) + i ⋅ sen (ϕ1 + ϕ2)]
z1 10
Demonstração:
π π
( )
π π
z2 = 2 ⋅ cos 3 – 6 + i sen 3 – 6 ( )
z1z2 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1) ρ2 (cos ϕ2 + i sen ϕ2) z1 π π
z2 = 5 ⋅ cos 6 + i sen 6
z1z2 = ρ1ρ2 [cos ϕ1 cos ϕ2 + i sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 +
+ i sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2] z1 3 1 z1 53 5
z2 = 5 ⋅ 2 + i ⋅ 2 , ou seja: z2 = 2 + 2 i
z1z2 = ρ1ρ2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 – sen ϕ1 ⋅ sen ϕ2) +
+ i (sen ϕ1 ⋅ cos ϕ2 + sen ϕ2 ⋅ cos ϕ1)] Dados um número inteiro n e um número complexo
z1z2 = ρ1ρ2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sen (ϕ1 + ϕ2)] c.q.d. não nulo,

Para a divisão temos: z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ),

z1 ρ1 temos que:
z2 = ρ2 [cos (ϕ1 – ϕ2) + i sen (ϕ1 – ϕ2)]
zn = ρn ⋅ [cos (nϕ) + i sen (nϕ)]
Exemplo:
π π
Dados: z1 = 10 ⋅ cos ( 3
+ i sen
3 ) e Exemplo:
π π
( π
z2 = 2 ⋅ cos + i sen
π
) (
Dado: z = 2 ⋅ cos
6
+ i sen ,
6 )
6 6
temos:


z = 2 (cos 30° + i sen 30°)
z3 = 23 cos 3 ⋅ ( π ) + i sen (3 ⋅ π )
6 6 z10 = 210 ⋅ [cos 300° + i sen 300°]
π π
z3 = 8 ⋅ cos
2
+ i sen
2 z10 = 1.024 ⋅
1
2
+i⋅ –
3
2 ( )
z3 = 8 ⋅ [0 + i]
z10 = 512 – 512 3 i
z3 = 8i

3. Diz-se que um número complexo z é uma das raí-
zes quadradas de um complexo w se, e somente
se, z2 = w. Mostre que 2 + i e –2 – i são raízes
quadradas de 3 + 4i.
Devemos mostrar que (2 + i)2 e (–2 –i)2 são iguais a
1. Dados os números na forma trigonométrica:
3 + 4i.
z1 = 8 (cos 90° + i sen 90°)
Assim,
e
(2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
z2 = 4 (cos 30° + i sen 30°)
e
escreva na forma algébrica:
(–2 –i)2 = 4 + 4i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
a) z1 ⋅ z2
z1 ⋅ z2 = 8 ⋅ 4 [cos 120° + i sen 120°]
4. Calcule as raízes quadradas de 4i.
1 
= 32 – + i 3 1o modo
2 2
Passando para a forma trigonométrica temos:
= –16 + 16 3 i
π π
z
(
4i = 4 cos + i sen
2 2 )
b) z1
2 Seja uma raiz: z = x (cos α + i sen α).
z1 8 π π
z2 = 4 [cos 60° + i sen 60°] z2 = 4 cos( 2
+ i sen
2 )
1 3 π π
=2
2
+i
2
= 1 + 3 i x2 (cos 2α + i sen 2α) = 4 cos ( 2
+ i sen
2 )
x2 = 4 ∴ x = 2 (pois x  0)
2. Escreva na forma algébrica o número (3 + i)10. e
π
Seja z = 3 + i 2α = + h 2π, h ∈ 
2
π
∴ α= + h π, h ∈ 
4
1 π 5π
Como 0  a  2π, α = ou α =
4 4

Assim,
π π
0

3
(
z = 2 cos
4
+ i sen
4
= )
ρ =  (3 )2 + 12 = 2
=2 ( 2
2
+i
2
2 )
= 2 + i 2
14243

cos ϕ =
3
2
ϕ = 30°
(
z = 2 cos
5π
4
+ i sen
5π
4
= )
1
sen ϕ =
2 =2 – ( 2
2
–i
2
2 )
= – 2 – i 2


2o modo
Seja z = x + yi, {x, y} ⊂  e i2 = –1
(x + yi)2 = 4i
x2 – y2 + 2xyi = 4i
x2 – y2 = 0
14243

2
2xy = 4 ∴ y = TAREFA MÍNIMA
x
c Aula 60
4
x2 – = 0 ∴ x4 = 4 ∴ x = 6 2 Faça o exercício 12 – série 11.
x2
c Aula 61
2 2 Faça os exercícios 15 e 17 – série 11.
Se x = 2 , então y = ⋅ = 2
2 2
TAREFA COMPLEMENTAR
2 2 c Aula 60
Se x = – 2 , então y = – ⋅ = – 2
2 2 Faça o exercício 16 – série 11.
Assim, c Aula 61
z = 2 + i 2 ou z = – 2 – i 2 Faça os exercícios 19 e 20 – série 11.

62
Polinômios: Introdução
Chamamos polinômio de grau n na variável x a Dados os polinômios:
toda expressão da forma
A(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 +
anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a2x2 + a1x1 + a0 , a1x1 + a0
em que os expoentes n, n – 1, n – 2, … sejam todos e
números naturais e os coeficientes an, an – 1, an – 2, …, B(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … + b2x2 +
a2, a1 e a0 sejam números complexos, com an ≠ 0 e x
b1x1 + b0,
sendo uma variável complexa.
Se, na expressão acima, os coeficientes forem to- dizemos que A(x) e B(x) são polinômios idênticos e
dos nulos, teremos o polinômio nulo e, nesse caso, escrevemos A(x)  B(x) se, e somente se, eles tiverem
não se define o grau. os mesmos coeficientes, isto é, an = bn, an – 1 = bn – 1
etc.
São exemplos de polinômios: Assim, por exemplo, sendo a, b e c constantes,
P(x) = 2x3 + x2 – 7x + 0,8 (o grau de P(x) é 3) teremos:
P(x) = (3 + 4i)x2 – πx (o grau de P(x) é 2) ax2 + bx + c  3x + 5 se, e somente se,
P(x) = 7x (o grau de P(x) é 1) a = 0, b = 3 e c = 5.
P(x) = –3 (o grau de P(x) é 0) Se, num polinômio P(x), substituirmos a variável
P(x) = 0x2 + 0x + 0, isto é, P(x) = 0 e não existe o grau x por um número r dado e efetuarmos as operações
de P(x). indicadas, obteremos um número P(r) que é chama-
3
1 do de valor numérico de P(x) para x = r.
Expressões como x–1 + x–2 + x–3 e 3 + 5x 2 não Dizemos que r é uma raiz (ou que r é um zero) de
são polinômios. P(x) se, e somente se, P(r) = 0.


Assim, por exemplo, com P(x) = x2 – x – 2, temos 2. Sabe-se que existem constantes a e b, tais que
P(1) = –2, P(0) = –2 e P(–1) = 0. Portanto, –1 é um zero a(x – 1) + b(x + 1)  5x – 1.
de P(x). Obtenha essas constantes.
Dado o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, temos
P(0) = d e P(1) = a + b + c + d. 1o modo
Note que, em todo polinômio P(x), P(0) é o termo in- Efetuamos as multiplicações indicadas no primeiro
dependente de x, e P(1) é a soma de seus coeficientes. membro e agrupamos os termos semelhantes.
ax – a + bx + b  5x – 1
(a + b)x – a + b  5x – 1
Resolvendo o sistema a + b = 5 e –a + b = –1, obtemos
a = 3 e b = 2.

2o modo
Pela identidade, podemos afirmar que a igualdade
1. Considere em  o polinômio
a(x – 1) + b(x + 1) = 5x – 1 é verificada para qualquer
P(x) = x3 (3x2 + 5)2 – 8.
valor de x.
a) Qual é grau de P(x)?
x = 1 ⇒ a(1 – 1) + b(1 + 1) = 5 – 1
3x2 + 5 é um polinômio de grau 2 2b = 4 ∴ b = 2
(3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 4 x = –1 ⇒ a(–1 – 1) + b(–1 + 1) = –5 – 1
x3 (3x2 + 5)2 é um polinômio de grau 7 –2a = –6 ∴ a = 3
x3 (3x2 + 5)2 – 8 é um polinômio de grau 7 Resposta: a = 3, b = 2
Resposta: 7

3. Determine as constantes a e b, tais que
a b 5x – 1
b) Obtenha o termo independente de x. + =
x + 1 x – 1 x2 – 1
P(0) = 03 (3 ⋅ 02 + 5)2 – 8 = –8 para todo x, x ≠ –1 e x ≠ 1.
Resposta: –8 a(x – 1) + b(x + 1) = 5x – 1
(x + 1)(x – 1) x2 – 1
Como os denominadores são idênticos, basta impor que
os numeradores também sejam iguais.
Assim, devemos ter:
a(x – 1) + b(x + 1)  5x – 1
c) Obtenha a soma dos coeficientes de P(x).
Do exercício anterior, temos a resposta.
P(1) = 13 (3 ⋅ 12 + 5)2 – 8 = 56
Resposta: a = 3 e b = 2
Resposta: 56

d) Calcule P(i).
P(i) = i3 (3 ⋅ i2 + 5)2 – 8
P(i) = –i(–3 + 5)2 – 8
P(i) = –8 –4i
TAREFA MÍNIMA
Resposta: –8 – 4i Faça os exercícios 1, 3, 4 e 6 – série 5.

TAREFA COMPLEMENTAR
Faça os exercícios de 8 a 12 – série 5.


63
Polinômios: divisão (método da chave)
Dados os polinômios P(x) e D(x), nos quais D(x) 2. Obtenha a constante real m de modo que
não é um polinômio nulo, existe um único par de po- 2x3 + 3x2 + mx + m + 1 seja divisível por x2 + 1.
linômios Q(x) e R(x), tais que
1o modo
P(x)  D(x) ⋅ Q(x) + R(x) e R(x)  0 ou o grau de 2x3 + 3x2 + mx + m + 1 x2 + 1
R(x) é menor que o grau de D(x).
2x + 3
Dizemos que Q(x) e R(x) são, nessa ordem, o quo-
–2x3 –2x
ciente e o resto da divisão de P(x) por D(x). P(x) é o
dividendo, e D(x) é o divisor. 3x2
+ (m – 2)x + m + 1
Assim, sendo P(x) = x5 + x3 + x + 7 e D(x) = x3, te- –3x2 –3
mos, na divisão de P(x) por D(x), o quociente (m – 2)x + m – 2
Q(x) = x2 + 1 e o resto R(x) = x + 7, pois:
Devemos ter m – 2 = 0, isto é, m = 2
x5 + x3 + x + 7  x3 ⋅ (x2 + 1) + (x + 7).
Resposta: 2
Note que o grau de R(x) é menor que o grau de
D(x). 2o modo
Dizemos que P(x) é divisível por D(x) se, e so- Sendo Q(x) o quociente dessa divisão, temos
mente se, o resto da divisão de P(x) por D(x) for 2x3 + 3x2 + mx + m + 1  (x2 + 1) ⋅ Q(x)
nulo, isto é, P(x)  D(x) ⋅ Q(x).
Com x = i, temos
2i3 + 3i2 + m ⋅ i + m + 1  (i2 + 1) ⋅ Q(i)
–2i – 3 + m ⋅ i + m + 1 = 0
m – 2 + (m – 2)i = 0 + 0i
Como m ∈ , devemos ter m = 2

1. Obtenha o quociente e o resto da divisão de
5x3 + x + 7 por x2 – x.
5x3 + 0x2 + x + 7 x2 – x
–5x3 + 5x2 + 0x + 0 5x + 5
0x3 + 5x2 + x + 7
–5x2 + 5x + 0
6x + 7

Resposta: O quociente é 5x + 5
O resto é 6x + 7

TAREFA MÍNIMA TAREFA COMPLEMENTAR
Faça o exercício 15 – série 5. Faça os exercícios 16 e 17 – série 5.


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