1) O documento apresenta as propriedades e definições básicas de funções logarítmicas, incluindo logaritmos, mudança de base, propriedades do logaritmo de produtos, quocientes e potências. 2) São fornecidos exemplos para calcular logaritmos pela definição e exercícios para fixação e aplicação de conceitos sobre funções logarítmicas. 3) As propriedades das funções logarítmicas são importantes para resolver problemas envolvendo escalas de intensidade e energia, como em terrem

1. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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LOGARÍTMICA
LOGARITMO. 2) log a a = 1
Definição: Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ Demonstração:log a a = x , pela definição
1, chama-se logaritmo de a na base b , o expoente que
se deve dar à base b de modo que a potência obtida x x 1
a = a >> a = a >> x = 1, dai log a a = 1
seja igual a a.
Em simbolos: se a , b ∈ R, 0 < b ≠ 1 e a > 0, então:
3) b log b a = a
log b a = x ⇔ b x = a Demonstração: Suponha log b a = x pela definição
x
b = a, o que ja diz a propriedade acima quando
Dizemos que: a é o logaritmando, b é a base do
logarítmo, e x é o logarítmo. fazemos à substituição.
Exemplos:
x x 2 4) Logaritmo do produto:
a) log 2 4 = x >> 2 = 4 >> 2 = 2 >> x = 2,
log c (a.b) = log c a + log c b
daí log 2 4 = 2
x
b) log 3 3 = x >> 3 = 3 >> 3 = 3
x 1
>> x = 1, Demonstração: Fazendo,
x
log c a = x por def. temos: a = c
daí log 3 3 = 1 y
log c b = y por def. temos: b= c
x x 0
c) log 6 1 = x >> 6 = 1 >> 6 = 6 >> x = 0, z
log c (a.b) = z por def. temos: a. b = c
daí log 6 1 = 0 x y z x+y z
c . c = c >> c = c , Daí:
x  1 x 1 -x
d) log 0,2 5 = x >>> (0,2) = 5 >>>   = 5 >>> 5
 5 z = x + y
1
= 5 - x = 1 e x = -1 ,
log c (a.b) = log c a + log c b
daí log 0,2 5= 1
5) Logaritmo do quociente:
Nomenclaturas:
 a
1) Antilogarítmo: log b a = x ⇔ a = anti log b x log c   = log c a − log c b
 b
Exemplo antilog 3 2 = 9 , pois log 3 9 = 2
Demosntração: Fazendo,
x
2) Cologarítmo: colog b a = − log b a. log c a = x por def. temos: a = c
Se 0 < b ≠ 1 e a > 0. log c b = y por def. temos: b= c
y
1  a  a z
Exemplo: colog 2 5 = − log 2 5 = log 2 log c   = z por def temos:   = c substituindo
5  b  b
Propriedades: x y z x y z
c : c = c >> c - = c , Daí:
1) log b 1 = 0 z = x − y
 a
log c   = log c a − log c b
Demonstração: log b 1 = x , pela definição
x x 0  b
b =1 >> b =b >> x = 0, dai log b 1 = 0
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2. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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6) Logaritmo da potência: Exemplos:
m a) f(x) = log3 x
log b n a m = . log b a
n b) f(x) = 4 + log2 x
Demonstração: Fazendo, Obs:
x
log b a = x por def. temos: a = b log x = log10 x
log b n a m = z por def. temos: am = (bn)z Função Log é a inversa da função exponencial
x m n z m.x n.z
Substituindo: (b ) = (b ) >>b =b ,daí Vejamos como construir os gráficos das funções:
m f(x) = log 2 x
n .z = m . x >> z = x y
n x f(x)
1/4 1
1/8 -3
m O
log bn a m = . log b a 1/4 -2
x
n 1/2 -1
1 0
2 1
7) Mudanças de base: -2
4 2
8 3
log c a
log b a =
log c b
Obs: gráfico corta o eixo X e se aproxima do eixo Y
Demonstração: Fazendo, (Dica: usar x = 1 e x = base)
x
log b a = x por def. temos: a = b
log c a = y por def. temos: a = c
y f(x) = log 1 x
2 y
z
log c b = z por def. temos: b = c
x f(x)
z x x y z x y
(c ) = b = a = c , Daí (c ) = c >> 8 -3
2
4 -2
y log c a 2 -1
z .x = y >> x = >> log b a = 1 0
z log c b 1/2 1
1/4 2
1/8 3 O
1/4 1 x
FUNÇÃO LOGARÍTMICA.
Obs:
Definição
Dado o número real positivo b, diferente de 1 (1 ≠ b > 0) , uma 1) Se a base b > 1 f é crescente
aplicação f de IR*+ em IR recebe o nome de função
logarítmica, quando a cada elemento x ∈ IR*+ associa o 2) Se a base 0< b < 1 f é decrescente
elemento logb x ∈ IR.
Usando a notação de função temos:
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Calcule pela definição os seguintes logaritmos: 08) (UFF) Sejam x, y e p números reais positivos e p ≠
a) log 5 125 = c) log 1 32 = 1. Se log p(x+y) = m e logp x + logp y = n , então
4  x + y
log p   é:
1  xy 
b) log 5 = d) log 0,01 100 =
25 m
n
(A) m (B) (C) m . n
02) (Cesgranrio) Se log10 123 = 2,09, o valor de log10 n
1,23 é: (D) m + n (E) m - n
(A) 0,0209 (B) 0,09 (C) 0,209 09) (uerj-2005) Um aluno, para calcular o pH da água,
sabendo que seu produto iônico, a 25ºC, corresponde a
-14
(D) 1,09 (E) 1,209 10 , utilizou, por engano, a seguinte fórmula:
03) O valor de log 2 1.024 é :
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12
04) O valor de log 2 256 é : O valor encontrado pelo aluno foi igual a:
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 (E) 16 (A) 1,4 (B) 3,5 (C) 7,0 (D) 10,0
05) (UFF-97) Pode-se afirmar que o valor de log 18 é 10) (UFRS) - A raiz da equação log(log(x+1))=0 é:
igual a:
(A)0 (B) 1 (C) 9 (D) 10 (E) 11
(A) log 20 - log 2 (B) 3 log 6 10
11)(Cesgranrio) O valor de ∑ log j é:
log 36 j=1
(C) log 3 + log 6 (D) (E) (log 3) (log 6) (A) log (10!) (B) log (9!) (C) log 10
2 10
(D) log 10 (E) 0
06) (UFRuRJ) O valor da soma :
12)(PUC) - O valor de :
log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 , é igual a:
log 1 + log 2 + ... + log 25 é:
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 10 (E)1.000
(A) log (25!) (B) log 25 (C) log (1 + 2 +...+ 25)
log2 9
25
13) (UNI-RIO) O valor de 4 é:
(D) (log 25) (E) log 575
(A) 81 (B) 64 (C) 48 (D) 36 (E) 9
07) As indicações R1 e R2 , na escala Richter, de dois
terremotos estão realacionadas pela fórmula: 14) (UFF-2000) A figura representa o gráfico da função f
M  definida por: y
R 1 − R 2 = log 1  f ( x ) = log 2 x
 M2  Q
em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos P
terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela
crosta terrestre. Houve dois terremotos: um
correspondente a R1 = 8 e outro correspondente a
R2 = 6 . O
1 2 4 x
M1
Calcule a razão .
M2
A medida do segmento PQ é igual a:
(A) 6 (B) 5 (C) log 2 5 (D) 2 (E) log 2
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4. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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15) A figura a seguir mostra o gráfico da função
logaritmo na base B. O valor de B é:
(A) 1/4 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 10
16) (UERJ 2003-1ª fase) O logaritmo decimal do
número positivo x é representado por log x.
2 3
Então, a soma das raízes de log x — log x = 0 é
igual a:
19) (UERJ-2004-1ªfase) Seja ββ a altura de um som,
(A) 1 (B) 101 (C) 1000 (D) 1001 medida em decibéis. Essa altura βββ está relacionada
com a intensidade do som, I, pela expressão abaixo, na
-12 2
17) (UERJ-2006-1ºEX) O pH desse sistema-tampão qual a intensidade padrão, I0, é igual a 10 W / m .
pode ser calculado pela seguinte expressão:
pH = pKa + log10
[HCO ] −
3
[H 2 CO3 ] Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram
aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de
Considere o pH fisiológico e o pKa iguais a 7,4 e 6,1, som.
respectivamente.
[HCO ] −
3
Para que esse pH seja mantido, a razão
[H 2CO3 ]
deverá ser igual a:
(A) 0,1 (B) 2,5 (C) 10,0 (D) 20,0
18) (UERJ-2006-1ºEX) A intensidade I de um terremoto, Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir
medida pela escala Richter, é definida pela equação de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade
abaixo, na qual E representa a energia liberada em de emissão de sons está na faixa de risco é de:
kWh.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
20) (uff-2003-1f) Segundo Resnick e Halliday, no livro
Física, vol. 2, 4ª ed., a intensidade relativa IR de uma
onda sonora, medida em decibel (dB), é definida por:
O gráfico que melhor representa a energia E, em função  I 
-3
da intensidade I, sendo E0 igual a 10 kWh, está I R = 10 log 10  
I 
indicado em:  0
2
sendo I a intensidade sonora medida em Watt/m e Io a
intensidade sonora de referência (correspondente ao
2
limiar da audição humana) também medida em Watt/m .
Apresentam-se, a seguir, os valores em dB das
intensidades relativas (IR) das ondas sonoras
correspondentes a algumas situações particulares.
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5. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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Situação Particular IR (dB)
Limiar da audição humana 0
Susurro médio 20
Conversa normal 65
Limiar da dor 120
2
Na unidade Watt/m , pode-se afirmar que:
(A) a intensidade sonora do sussurro médio é menor
que 10 vezes a intensidade sonora do limiar da audição
humana; Sejam M,N os pontos de interseção dos dois gráficos e
P,Q susa respectivas projeções sobre o eixo x.
(B) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a
intensidade sonora do limiar da audição humana; Determine a área do trapézio MNQP.
10
(C) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 10 25) (UFRJ-2001-PE) Seja x0 , x1 , ... , xn , ... uma
vezes a intensidade sonora de um sussurro médio; seqüência infinita de números reais. Sabendo que x0
=10 e que os logaritmos decimais
(D) a intensidade sonora do limiar da dor é,
aproximadamente, o dobro da intensidade sonora de
uma conversa normal; a 0 = log x0 , a1 = log x1 ,..., a n = log x n ,...
(E) a intensidade sonora de uma conversa normal é formam uma PG de razão 1/2, calcule o valor limite do
4
menor que 10 vezes a intensidade sonora de um produto
sussurro
médio. Pn = x0 ⋅ x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n
1 quando n tende a infinito.
21) (UFRJ 2001) - Considere log b = x , sendo a > 0, a
a
2 26) (UFRJ-98) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico
≠ 1, b > 0 e b ≠ 1. Calcule o valor de log a b . abaixo expressa a variação de log y em função de log x,
onde log é o logaritmo na base decimal.
log y
22) (ufrj-2001-não esp)
Os números a, b e c são tais que seus logaritmos 6
decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em
progressão aritmética.
Sabendo que log b = 2, determine o produto abc. 2
23) (UFF - 2ºFASE) -Determine o valor de x na
equação 2 log x
2 3 18
log x + log x + log x + ... + log x = 342
Determine uma relação entre x e y que não
24) (UFRJ-2000) A figura a seguir mostra os gráficos
envolva a função logaritmo.
das funções f e g, definidas no intervalo de ]0,4] por:
x x
f ( x) = − ln x e g( x ) = − (ln x ) 2 , 27) (uerj-2005) Um pesquisador, interessado em
2 2 estudar uma determinada espécie de cobras, verificou
onde ln expressa o logaritmo na base neperiana e (e ≅ que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas
2,7). M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de seus
3
comprimentos L, em metros, ou seja M = a x L , em
que a é uma constante positiva.
Observe os gráficos abaixo.
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6. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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LOGARÍTMICA
.
(A) 9 h 20 min
(B) 10 h 36 min
(C) 8 h 50 min
(D) 10 h 10 min
30) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Para melhor estudar o
Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus
instrumentos de observação.
4
Admita um filtro que deixe passar da intensidade da
5
luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a
menos de 10% da original, foi necessário utilizar n
filtros.
Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual
a:
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
31) (UFF-2011-1ªF) O índice de Theil, um indicador
Aquele que melhor representa log M em função de log L usado para medir desigualdades econômicas de uma
é o indicado pelo número: população, é definido por:
(A) I M 
(B) II T = ln A
M  sendo:

(C) III  G 
(D) IV
1 n
x1 + x 2 + ... + x n
28) (uerj-2005-2f) Em uma cidade, a população que
vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas.
MA =
N
∑x
i =1
i =
N
A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a
segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas e
de crescimento permaneçam constantes nos próximos
anos. n
A) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios
MG = N
∏x
i =1
i = N x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n ,
hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o
número de habitantes das favelas daqui a um ano. respectivamente, as médias aritmética e geométrica das
rendas x1 , x2, ..., xN (consideradas todas positivas e
B) Essas duas populações serão iguais após um medidas com uma mesma unidade monetária) de cada
determinado tempo t , medido em anos. um dos N indivíduos da população.
Com base nessas informações, assinale a afirmativa
1 incorreta.
Se t= , determine o valor de x.
log x
(A) T = ln (M A ) − ln (M G )
29) A temperatura do cadáver de uma vítima de M 
assassinato foi medida as 11 h. Neste momento, o (B) ln A  ≥ 0 para todo x >0 , i = 1,...,N
 x 
médico da polícia constatou que a temperatura era de  i 
33,9ºC. Admite-se que a temperatura normal de uma x
pessoa viva é de 36,5º e que o corpo esfria obedecendo (C) i ≤ M A para todo i = 1,...,N
à Lei T = k ⋅ 2
−0 , 25 t
em que T é a temperatura do corpo N
(em ºC) t horas após a morte e k é uma constante. (D) Se x1 = x 2 = ... = x n , então T = 0
Pode-se afirmar que a morte da vítima ocorreu n
MA  1  MA  MA   M 
(E) T = 1
aproximadamente às:
N
∑ ln
  =  ln
 N   x  + ln x
   + ... + ln A  
  x 
(Use: log 2 = 0,30 ; log 33,9 = 1,53 e log 36,5 = 1,56) i =1  xi    1   2   N 
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7. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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32) (UFF-2010-1ªF) 34) (UFRJ-07-PNE) Seja f :]0, ∞[ → R dada por
f (x) = log 3 x
A Escala de Palermo foi desenvolvida para ajudar
especialistas a classificar e estudar riscos de impactos
de asteróides, cometas e grandes meteoritos com a
Terra. O valor P da Escala de Palermo em função do
risco relativo R é definido por: Sabendo que os pontos (a,-β), (b,0), (c,2) e (d,β)
estão no gráfico de f, calcule b + c + ad.
P = log10 ( R)
35) (UFRJ-2008-PNE)
Por sua vez, R é definido por: Dados a e b números reais positivos, b ≠ 1, define-se
σ logaritmo de a na base b como o número real x tal que
R= x
f × ∆T b = a, ou seja, x = logb a.
Para α ≠ 1, um número real positivo, a tabela ao lado
Sendo σ a probabilidade de o impacto ocorrer, ∆T o
tempo (medido em anos) que resta para que o impacto
fornece valores aproximados para α x e α −x .
ocorra e
−4
f = 0,03× E 5
a frequência anual de impactos com energia E (medida
em megatoneladas de TNT) maior do que ou igual à
energia do impacto em
questão.
Fonte: http://neo.jpl.nasa.gov/risk/doc/palermo.html
De acordo com as definições acima, é correto afirmar
que:
(A) P = log 10 (σ ) + 2 − log 10 (3) + log10 (E ) + log10 (∆T )
4
5
P = log10 (σ ) + 2 − log10 (3) − log10 (E ) + log10 (∆T )
4
(B)
5
P = log10 (σ ) + 2 − log10 (3) + log10 (E ) − log10 (∆T )
4
(C)
5
Com base nesta tabela, determine uma boa
P = log10 (σ ) + 2 log10 (3) + log10 (E ) − log10 (∆T )
4 aproximação para:
(D)
5
a) o valor de α;
P = log10 (σ ) − 2 log10 (3) + log10 (E ) − log10 (∆T )
4
(E)
5
1
b) o valor de logα .
33) (UERJ-2010-2ªfase) Suponha que x e y são 10
números reais positivos que apresentam logaritmos com
bases diferentes, conforme
as igualdades a seguir:
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8. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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36) (UERJ-2011-2ªfase) b) o valor de x que satisfaz a equação f(x) = −1;
Considere a equação:
c) os valores de x que satisfazem a inequação f(x) > 0.
DESAFIOS:
com x > 0
39) (IME-2005) Sejam a,b,c e d números reais positivos
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para e diferentes de 1. Sabendo que loga d, logb d e logc
a solução dessa equação: d são termos consecutivos de uma progressão
aritmética, demonstre que:
c 2 = (ac) loga d
Obs: Esta questão foi anulada por erro no enunciado.
40) (IME-2011) O valor de y real positivo na equação:
(5 y )log x 5
− (7 y )
log x 7
= 0 , onde x é um número real
maior do que 1, é:
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está (A) 70 (B) 35 (C) 1
incompleto.
1 1
(D) (E)
Resolva a equação e determine corretamente o seu 35 70
conjunto-solução.
37) (UERJ-2008-1ªFASE) Admita que, em um GABARITO:
determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a
intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a 01) a) 3 b) -2 c) -5/2 d) -1 02) B 03) D
equação
04) C 05) C 06) A 07) 100
08) E 09) C 10) C 11) A
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h,
em centímetros, e Io é a intensidade na superfície.
12) C 13) A 14) B 15) D
Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a
intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela
observada na superfície. 16) D 17) D 18) B 19) B
A profundidade do ponto P, em metros, considerando
log2 = 0,3, equivale a: 2 −2
21) log a b =
6
20) C 22) a.b.c=10
(A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2 x
38) (UFF-2011-2ªF – G) Seja f a função definida por
5 7 (e − 1)2
f ( x) = x , x ∈ R , x ≠ ln 23) 100 24) 25) 100
3e − 7 3 4
Determine: 2
26) y = 100 x 27) C
a) o menor inteiro maior do que f(ln 3);
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28) a) 1,265 milhões 29) B 30) C 35)
a) α = α 3 × α −2 = 15,625 × 0,16 = 2,5
1+ 5
31) B 32) C 33)
2 1 1
b) x = log α   ⇔ α x = = 0,1. Da tabela,
 10  10
34) 11 35) a) 2,5 b) aprox −2,5
verifica-se que 0,1 ≈ 0,101 = α
−2 , 5
. Então x ≈ −2,5
36) S = {1,8} 37) C
36)
38) a) 3 b) ln (2/3) c) x > ln (7/3)
Gabarito de alguns exercícios resolvidos:
33)
38)
Desafios:
34)
39)
Como log 3 x = y ⇔ 3 y = x e os pontos dados
pertencem ao gráfico da função f (x) = log 3 x segue
que:
R: 11
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10. MÓDULO I – PARTE 4 MATEMÁTICA
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40)
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