Este documento apresenta definições, propriedades e gráficos de várias funções importantes, incluindo funções afim, quadrática, modular, exponencial e logarítmica.

1. FUNÇÕES
As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu
livro-texto (Stewart, vol1); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser
encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções
importantes.
Definição: Dizemos que y é uma função de x se para cada valor atribuído a x existe em único
valor correspondente para y. Neste caso, denotamos y = f ( x ) . O conjunto de valores que
podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O
conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor x é chamado
de imagem da função e é denotado por Im f ou If.
a : coeficient e angular
FUNÇÃO AFIM: y = ax+b 
b : coeficient e linear
a<0
a=0
a>0
b<0 b=0 b>0

2. FUNÇÃO QUADRÁTICA y = ax 2 + bx + c a ≠ 0

a, b, c ∈ R
a>0
a<0
∆>0 ∆=0 ∆<0
Observações: ∆ = b 2 − 4 ac
∆ = Discriminante de f
∆ > 0 : 2 raízes reais diferentes
∆ = 0 : 2 raízes reais iguais
∆ < 0 : raízes complexas não reais

3. FUNÇÃO MODULAR
A função modular f : IR → IR é definida por f (x) = |x|, se:
 x, se x ≥ 0
f (x ) = x = 
− x, se x < 0
f(x) = |x| f(x) = |x – 2|
Exemplos:
1) Resolver |3x – 2| = 2:
3x - 1 = 2 ⇒ x = 1 ou

• | 3x - 1 | = 2 ⇒  3x - 1 = − 2 ⇒ x = - 1 Resposta: S = {1, -1/3}

 3
2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3|
2x - 1 = x + 3 ⇒ x = 4 ou

• | 2x - 1 | = | x + 3 | ⇒  -2 Resposta: S = {4, -2/3}
2x - 1 = - (x + 3) ⇒ x =

 3

4. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA
y (x) = n x
1
ou
y(x ) = x n
n par
Dom f=[0;+∞)
Im f=[0;+∞)
n ímpar
Dom f= R
Im f=R

5. GRÁFICOS DE y = x n
DOMÍNIO D,
FUNÇÃO f GRÁFICO SIMETRIA
IMAGEM I
D = [0,∞)
f ( x) = x não há
I = [0,∞)
D = IR
eixo y
f ( x) = x 2
(função par)
I = [0,∞)
D = IR
origem
f ( x) = x 3 (função ímpar)
I = IR
D = IR
eixo y
f ( x ) = x 2/ 3
(função par)
I = [0,∞)
D = IR
origem
f ( x) = x 1/ 3
(função ímpar)
I = IR
D = IR
eixo y
f ( x) = x
(função par)
I = [0,∞)
1 D = IR – {0}
origem
f (x)=
x (função ímpar)
I = IR – {0}

6. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a ≠ 1, chamamos função exponencial de
base “a” a função f de IR → IR que associa a cada x real o número ax .
Podemos escrever, também: f: IR → IR
x → ax
Exemplos de funções exponenciais em IR:
a) f(x) = 2x  1
x
d) f ( x ) = e − x =  
x e
1 
b) f(x) =  
2 e) f(x) = 10x
c) f(x) = ex
O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:
1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1
função crescente função decrescente
Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.
Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax , corta o eixo y no ponto (0, 1).

7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para cada número real positivo b ≠ 1 , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo
a função f : ( 0, ∞ ) → IR , que a cada número real positivo x associa o número real f (x ) = log b X .
A função logaritmo de x na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:
b>1 0<b<1
Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se
0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua
imagem é o conjunto de todos os números reais.

8. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos
gráficos estão abaixo.
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente

9. Tipos importantes de funções:
Função par: Se f ( x ) = f ( −x ) , para todo x ∈ Domf então dizemos que a função f(x) é uma
função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eixo y).
Exemplos: f(X) = x2 é uma função par, já que f ( −x ) = ( −x ) 2 = x 2 = f ( x ) .
g(x) = cos(x) é uma função par, já que f ( −x ) = cos( −x ) = cos( x ) = f ( x) .
Função ímpar: Se f ( x ) = −f ( −x ) , para todo x ∈ Domf então dizemos que a função f(x) é uma
função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem).
Exemplos: f(X) = x3 é uma função par, já que f ( −x ) = ( − x )3 = −x 3 = − f ( x ) .
g(x) = sen(x) é uma função ímpar, já que f ( −x ) = sen( − x) = −sen( x) = − f ( x ) .
Função injetora: Se para quaisquer x1 e x 2 no domínio de f(x), x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos: f(x) = x3 é uma função injetora, já que se x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) = x1 ≠ x 3 = f ( x 2 ) .
3
2
f(x) = x não é injetora, já que se x1 = 2 e x 2 = −2 temos x1 ≠ x 2 , mas
2
f ( x 1 ) = f ( 2) = 22 = 4 = ( −2) 2 = f ( −2) = f ( x 2 ) .
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio.
Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam g : A → B e f : Im g → C . A função f o g : A → C dada por
f o g( x) = f (g( x ) ) é a função composta de f com g.
Exemplos:
Se f ( x ) = x 2 + 3 e g( x) = sen( x ) então f o g( x ) = f (g( x )) = f (sen( x ) ) = (sen( x ) ) + 3 .
2
Se h( x ) = e x e u( x ) = tg( x ) então h o u( x ) = h(u( x ) ) = h(tg( x )) = e tg( x ) .
Observação: Em geral, f o g( x ) ≠ g o f ( x ) . No exemplo anterior, se f ( x ) = x 2 + 3 e
g( x) = sen( x ) então ( ) (
g o f ( x ) = g(f ( x )) = g x 2 + 3 = sen x 2 + 3 ) e
( )
f o g( x ) = (sen( x )) + 3 ≠ sen x 2 + 3 = g o f ( x ) .
2
Função inversa: Se y = f ( x ) é uma função bijetora então a função g(y) tal que
g( y ) = x ⇔ y = f ( x ) é a função inversa de f(x). Muitas vezes denotamos a função inversa de f
por f-1.

10. Exemplos:
Se f ( x ) = x 3 então y = x 3 ⇔ x = 3 y e a função inversa de f(x) é g( y ) = f −1 ( y ) = 3 y
ou transformando para x, f −1( x) = 3 x .
Observação: As funções f(x) e g(y) são inversas se e somente se f ( g( y )) = y e g( f ( x )) = x . Ou
seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as
compostas dão as funções identidades.
Exemplos: Se f ( x ) = x + 1 e ( )
f −1( x) = x − 1 então f f −1 ( x ) = f ( x − 1) = ( x − 1) + 1 = x e
( )
f −1 (f ( x) ) = f −1 (x + 1) = ( x + 1) − 1 = x . Assim, como f f −1 ( x ) = f −1 (f ( x ) ) = x então f(x) e f-1(x) são
inversas.
Resultado útil: Se c é um número real positivo então:
• O gráfico de f(x) + c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima.
• O gráfico de f(x) - c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo.
• O gráfico de f(x + c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda.
• O gráfico de f(x - c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita.
Ou seja,
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.1. Atual editora. São Paulo, 2000.
3) Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo – vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2001.
4) Stewart J. Cálculo – vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 2001.

11. EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES
1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:
a) y = x + 2 4 − 3x
d) d) y =
b) y = - x + 1 2
c) y = 2x e) y = -2x +3
2) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:
a) y = 2x2 c) y = 4x – x2
b) y= - x2 +3x d) y = 2x2 - 10x + 7
3) Determine os valores de x que satisfazem a cada uma das expressões abaixo:
a) 5 x − 3 = 12 1
d) x −3 <
2
b) 2 x − 3 = 7 x − 5
e) − 2x − 7 ≥ 3
3x + 8
c) =4
2x − 3
4) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) y = | x | +2 c) y = x2 - 4
b) y = | x +2| d) y = |x2 – 4|
5) Construa os gráficos das seguintes funções:
a) y = x c) y = x +3
b) y = x +3 d) y = 4 x
6) Complete com verdadeiro ou falso, com x e y pertencentes aos reais.
a) ( ) (x + y ) = x 2 + y 2
2
e) ( ) log 3 (x + y ) = log 3 x + log 3 y, x.y > 0
) (x.y ) = x 2 .y 2 x y x+y
2
b) ( f) ( ) + = , x.y ≠ 0
y x y+x
c) ( ) x 2 + y2 = x + y
g) ( ) x2 = x
d) ( ) (x + y )2 =x+y
7) Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 2x x
1 
x d) f(x) =   - 3
1  2
b) g(x) =  
2 e) g(x) = 3.2x
c) h(x) = 2x + 2 x
f) h(x) = 2

12. 8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
a) f (x ) = log 1 x c) f (x ) = ln( x + 1) e) f (x ) = log 1 (− x )
4 2
d) f (x ) = ln( x − 2)
b) f (x ) = log 2 x f) f (x ) = − log 1 x
3
9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 3 sen x b) y = 2 - sen x
 π x
c) y = sen  x −  d) y = 2 sen
 2 4
10) Calcule f o g( x ) , g o f ( x ) , f o f ( x ) e g o g ( x) para as seguintes funções:
a) f ( x ) = x + 10 e g ( x) = sen ( x )
b) f ( x ) = x 2 + 3x e g ( x ) = 2 x − 7
f (x + h ) − f (x )
11) Simplifique a expressão onde
h
a) f ( x ) = x 2 − 3x
1
b) f ( x ) =
x
c) f ( x ) = ( x + 2) 2

13. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES
1)
y = X+2 4.0 y = -x+1 4.0 y = 2x 4.0
3.0 3.0 3.0
2.0 2.0 2.0
1.0 1.0 1.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
−1.0 −1.0 −1.0
−2.0 −2.0 −2.0
−3.0 −3.0 −3.0
−4.0 −4.0 −4.0
y = (4-3x)/2 4.0 y = -2x+3 4.0
3.0 3.0
2.0 2.0
1.0 1.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−1.0 −1.0
−2.0 −2.0
−3.0 −3.0
−4.0 −4.0
2)
y = 2*x^2 4.0 y = -x^2+3x 4.0 y = 4x-x^2 4.0 y = 2x^2-10x+7
6.0
3.0 3.0 3.0 5.0
4.0
2.0 2.0 2.0 3.0
2.0
1.0 1.0 1.0
1.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 −4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 −6.0−5.0 −4.0−3.0−2.0−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
−1.0
−1.0 −1.0 −1.0
−2.0
−2.0 −2.0 −2.0 −3.0
−4.0
−3.0 −3.0 −3.0 −5.0
−4.0 −6.0
−4.0 −4.0
−7.0
3) 4 
c) S=  ,4
 9   11 
a) S=  − ,3
 5   5 7
d) S =  x ∈ R | < x < 
2 8   2 2
b) S=  , 
5 9  e) S = {x ∈ R | x ≥ −2 ou x ≤ −5}

14. 4)
a) y = | x | +2 c) y = x2 - 4
b) y = | x +2| d) y = |x 2 – 4|
5)
a) y = x c) y = x +3
b) y = x +3 d) y = 4 x

15. 6)
a) F exemplo: (5 + 3) 2 ≠ 5 2 + 3 2 e) F O correto é
b) V log 3 (x ⋅ y ) = log 3 x + log3 y, x.y > 0
32 + 42 ≠ 3 + 4 2 1 2 +1
c) F exemplo: f) F exemplo: + ≠
1 2 1+ 2
d) F exemplo: (− 2 + 1)2 ≠ −2 + 1 g) V
7)
a) f(x) = 2x c) h(x) = 2x + 2 e) g(x) = 3.2x Observação:
3.2x ≠ 6x
x
 1
b) g( x) =   x
 2 1 
d) f(x) =   - 3
x
2 f) h(x) = 2
8)
a) Dom f = {x ∈ R / x > 0} b) Dom f = {x ∈ R / x > 0}

16. c) Dom f = {x ∈ R / x > −1} e) Dom f = {x ∈ R / x < 0 }
d) Dom f = {x ∈ R / x > 2} f) Dom f = {x ∈ R / x > 0}
9)
a) c)
b)
d)

17. 10) a) f o g( x ) = sen ( x) + 10
g o f ( x ) = sen ( x + 10 )
f o f (x ) = x + 10 + 10
g o g ( x ) = sen( sen ( x))
b) f o g( x ) = ( 2 x − 7) 2 + 3( 2 x − 7)
g o f ( x ) = 2( x 2 + 3x ) − 7
f o f ( x) = ( x 2 + 3x ) 2 + 3( x 2 + 3 x)
g o g ( x ) = 2( 2x − 7) − 7
11) a) 2x-3+h
−1
b)
x ( x + h)
c) 2x+4+h