Alguns exemplos resolvidos demonstrando como determinar o cálculo de área com integral.

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Área Com Integrais
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017
O que preciso saber?
No cálculo de área entre curvas a sua habilidade de esboçar gráficos será essen-
cial.
Exemplo 1: Calcule a área entre as curvas y = 2 e y = 4.
Solução:
Não é exatamente necessário fazer um gráfico das duas funções, mas tal prática
ajuda muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gráfico das duas funções que
se interceptam nos pontos (0, 0) e (4, 16).
(0, 0)
(4, 16)
Usando a integração em X:
Primeiro determinamos a área A1 limitada pela curva y = 4 e o eixo  no inter-
valo [0, 4].
A1 =
4
0
4 d
1

2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
(0, 0)
(4, 16)
Já a área A2 limitada pela curva y = 2 e o eixo  será:
A2 =
4
0
2
d
(0, 0)
(4, 16)
Assim a área entre as curvas (A) será a primeira integral menos a segunda (A1 −
A2).
A = A1 − A2
A =
4
0
4 d −
4
0
2
d
A = 22
4
0
−
3
3
4
0
=
32
3
 (unidade de área).
(0, 0)
(4, 16)
2

3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Usando a integração em Y:
A integração em y é feita em relação ao eixo y. Para aplica-la antes temos de
determinar as funções inversas das curvas.
y = 2 ⇒  = y
y = 4 ⇒  =
y
4
Na verdade, y = 2 implicaria em  = ± y, mas como as interseções entre as
curvas ocorrem apenas no primeiro quadrante usamos o resultado positivo.
Assim, a área limitada pela curva  = y (em vermelho abaixo) e o eixo y é o
resultado da integral A1
(0, 0)
(4, 16)
A1 =
16
0
y dy
Já a área limitada pela curva  =
y
4
(em amarelo a seguir) e representada pela
integral A2.
(0, 0)
(4, 16)
A2 =
16
0
y
4
dy
3

4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Assim, a área entre as curvas será o resultado da primeira integral menos a
segunda (A1 − A2).
(0, 0)
(4, 16)
A = A1 − A2
A =
16
0
y dy −
16
0
y
4
dy
A =
2 y3
3
16
0
−
1
8
y2
16
0
=
32
3

OBS.: Note que neste segundo caso (integração em y) usamos limites de inte-
gração diferentes do primeiro caso (integração em x). Na integração em x usou-se
a abscisa dos pontos de interseção, enquanto na integração em y usa-se as orde-
nadas.
Exemplo 2: Calcule a área limitadas pelas curvas y = 3  e y =
6

− 3.
Solução:
O gráfico das funções é o seguinte:
21
3
y = 3  em vermelho e y = (6/) − 3 em preto
4

5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Usando a integração em X:
Note que a região entre as curvas ora é limitada superiormente por y = 3  ora
por y =
6

− 3.
Para resolver este problema dividimos a área que desejamos calcular em duas
(A1 e A2), calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dos
resultados.
A1 A2
21
3
Note que a área A1 é limitada apenas por y = 3 , então terá a medida da área
igual a:
A1 =
1
0
3  d
= 2 
Já a área A2 é limitada apenas pela curva y =
6

− 3, então terá área igual a:
A2 =
2
1
6

− 3 d
= 6 · n|2| − 3 
Finalmente fazendo A = A1 + A2 chegamos ao resultado final A = 6 · n|2| − 1 ua .
Usando a integração em Y:
Primeiro encontramos as funções inversas das curvas dadas.
y = 3  ⇒  =
y2
9
5

6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
y =
6

− 3 ⇒  =
6
y + 3
Agora determinamos a área limitada pela curva  =
6
y + 3
e pelo eixo y.
1
3
2
Chamaremos esse resultado de A1.
A1 =
3
0
6
y + 3
dy
Em seguida determinamos a área limitada pela curva  =
y2
9
e o eixo y.
1
3
2
Chamaremos esse resultado de A2.
A2 =
3
0
y2
9
dy
6

7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Agora deve ser possível perceber que a área entre as curvas (A) é a primeira integral
menos a segunda.
21
3
A =
3
0
6
y + 3
−
y2
9
dy = 6 · n|y + 3|
3
0
−
y3
27
3
0
= 6 · n|2| − 1
Exemplo 3: Ache á área limitada pelas curvas y = −, y = 2 −  e o eixo .
Solução:
O gráfico das curvas é colocado a seguir.
2
-2 (2, 0)
Integrando em X:
Primeiro encontramos a integral que nos fornecerá a área limitada pela curva
y = 2 −  e o eixo 
7

8. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
2
-2
2
-2 (2, 0)
A1 =
2
−2
2 −  d
e em seguida a integral que nos dará a área limitada por y = − e o eixo .
2
-2
2
-2 (2, 0)
A2 =
0
−2
− d
Assim, a área entre as duas curvas será a primeira integral menos a segunda
(A1 − A2).
2
-2
2
-2 (2,0)
8

9. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
A = A1 − A2
A =
2
−2
2 −  d −
0
−2
− d
A =
2
−2
( 2 − )d +
0
−2
 d
A =
16
3
− 2
A =
10
3

Ou seja,
10
3

Exemplo 4: Encontre a área entre as curvas y = 3 − 62 + 8 e y = 2 − 4.
Solução:
O gráfico de ambas as funções é mostrada a seguir.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
1
2
3
9

10. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
A área situada no intervalo [0, 3] da abscisa é igual a:
A1 =
3
0
(3
− 62
+ 8) − (2
− 4) d
Já no intervalo [3, 4] é igual á:
A2 =
4
3
(2
− 4) − (3
− 62
+ 8) d
sendo assim:
A = A1 + A2
A =
3
0
(3
− 62
+ 8) − (2
− 4) d +
4
3
(2
− 4) − (3
− 62
+ 8) d
A =
3
0
(3
− 72
+ 12)d +
4
3
(−3
+ 72
− 12)d
A
45
4
+
7
12
A
71
6
.
10

11. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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