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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Integração por Parte
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Escrito em 30/03/2016 e Atualizado em 24/11/2017
Quando se usa?
O objetivo da integração por partes é resolver integrais do tipo: h() d
(quando h(x) pode ser escrita como produto de duas outras funções).
Como se usa?
Devemos encontrar um valor  e um d e aplicar a equação:
 d =  − d
Dica:
Existe um método (não muito confiável), para escolher  e d e a memorização
do acrônimo LIATE, que significa: Logarítmica, Inversa, Algébrica, Trigonométrica
e Exponencial o ajudará a lembra-lo.
Nesse caso, costumamos ter sucesso tomando  como a função mais à esquerda
da lista acima e d como o resto do integrando.
Exemplo 1: Calcule e3
d
Solução:
Observando a dica dada, funções algébricas são melhores candidatos a  do que
funções exponenciais.
Fazendo então  =  e d = e3 d então:
d
d
 =
d
d
 ⇒ d = 1d
e também
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
d = e3d ⇒  = e3
d
e como e3
d =
1
3
e3
então  =
e3
3
(sem constante mesmo).
Assim:
d =  − d
⇒ e3
d = 
e3
3
−
1
3
e3
d
⇒ e3
d = 
e3
3
−
1
9
e3
+ k, onde k ∈ R
Exemplo 2: Calcule  · sn(5)d
Solução:
Fazendo  =  e d = sn(5)d então d = d e  = −
1
5
cos(5).
Assim,
d =  −  d
⇒  · sn(5)d = −

5
cos(5) − −
1
5
cos(5)d
= −

5
cos(5) +
1
5
cos(5)d
= −

5
cos(5) +
1
25
sn(5) + k onde k ∈ R.
Em alguns casos é necessário aplicar a integração por partes mais de uma vez
além de utilizar de certa álgebra para chegarmos ao resultado.
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 3: Encontre e
cos()d
Solução:
Fazendo  = e e d = cos()d então:
d
d
 =
d
d
e ⇒ d = ed
e também  = sen().
Sendo assim:
e
cos()d =  − d
= esen() − sen() · e
d
Para resolver esta segunda integral recorremos, novamente, a integração por
parte.
Fazendo  = e e d = sen()d, então d = ed e  = −cos() então:
e
cos()d = e
sen() − sen()e
d
⇒ e
cos()d = e
sen() − −e
cos() + e
cos()d
⇒ e
cos()d = e
sen() + e
cos() − e
cos()d
Observe que voltamos a integral inicial. Mas, agora podemos operar algebrica-
mente com ela.
e
cos()d + e
cos()d = e
sen() + e
cos()
⇒ 2 e
cos()d = e
sen() + e
cos()
⇒ e
cos()d =
e
2
(sen() + cos())
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
E por fim acrescentamos a contante k.
e
cos()d =
e
2
(sen() + cos()) + k
OBS.: A constante de integração na integração por parte é inserida SEMPRE no
final do processo, então nunca se esqueça disso.
Exemplo 4: Calcule sn5
()d
Solução:
Essa integral poderia ser calculada muito mais facilmente usando a técnica de
substituição por . Mas, vamos usar a integração por partes.
Fazendo  = sn4() e d = sn()d então d = 4sn3()cos()d e  = −cos().
Assim:
sn5
()d = −sn4
()cos() + 4 cos2
()sn3
()d
= −sn4()cos() + 4 (1 − sen2
())sn3
()d
= −sn4()cos() + 4 (sn3
() − sen5
())d
= −sn4()cos() + 4 sn3
()d − 4 sen5
()d
= 4 sen5
()d + sn5
()d = −sn4
()cos() + 4 sn3
()d
= 5 sen5
()d = −sn4
()cos() + 4 sn3
()d (1)
Podemos calcular sn3
()d usando novamente a integração por partes fazendo
 = sen2() e d = sen()d. Outra possibilidade é fazer a substituição por . Veja:
sn2
()sn()d
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
= (1 − cos2
())sn()d
chamando  de cos() então:
(2
− 1)d =
1
3
3
−  + c
= sn2
()sn()d =
1
3
cos3
() − cos() + c (2)
Substituindo (2) em (1) chegamos a solução:
5 sen5
()d = −sn4
()cos() + 4
1
3
cos3
() − cos() + c
= 5 sen5
()d = −sn4
()cos() +
4
3
cos3
() − 4cos() + 4c
= sen5
()d = −
sn4()cos()
5
+
4
15
cos3
() −
4
5
cos() + k
Onde k =
4
5
c e c ∈ R.
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Exercícios Resolvidos: Integração por parte

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Integração por Parte Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Escrito em 30/03/2016 e Atualizado em 24/11/2017 Quando se usa? O objetivo da integração por partes é resolver integrais do tipo: h() d (quando h(x) pode ser escrita como produto de duas outras funções). Como se usa? Devemos encontrar um valor  e um d e aplicar a equação:  d =  − d Dica: Existe um método (não muito confiável), para escolher  e d e a memorização do acrônimo LIATE, que significa: Logarítmica, Inversa, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial o ajudará a lembra-lo. Nesse caso, costumamos ter sucesso tomando  como a função mais à esquerda da lista acima e d como o resto do integrando. Exemplo 1: Calcule e3 d Solução: Observando a dica dada, funções algébricas são melhores candidatos a  do que funções exponenciais. Fazendo então  =  e d = e3 d então: d d  = d d  ⇒ d = 1d e também 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA d = e3d ⇒  = e3 d e como e3 d = 1 3 e3 então  = e3 3 (sem constante mesmo). Assim: d =  − d ⇒ e3 d =  e3 3 − 1 3 e3 d ⇒ e3 d =  e3 3 − 1 9 e3 + k, onde k ∈ R Exemplo 2: Calcule  · sn(5)d Solução: Fazendo  =  e d = sn(5)d então d = d e  = − 1 5 cos(5). Assim, d =  −  d ⇒  · sn(5)d = −  5 cos(5) − − 1 5 cos(5)d = −  5 cos(5) + 1 5 cos(5)d = −  5 cos(5) + 1 25 sn(5) + k onde k ∈ R. Em alguns casos é necessário aplicar a integração por partes mais de uma vez além de utilizar de certa álgebra para chegarmos ao resultado. 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 3: Encontre e cos()d Solução: Fazendo  = e e d = cos()d então: d d  = d d e ⇒ d = ed e também  = sen(). Sendo assim: e cos()d =  − d = esen() − sen() · e d Para resolver esta segunda integral recorremos, novamente, a integração por parte. Fazendo  = e e d = sen()d, então d = ed e  = −cos() então: e cos()d = e sen() − sen()e d ⇒ e cos()d = e sen() − −e cos() + e cos()d ⇒ e cos()d = e sen() + e cos() − e cos()d Observe que voltamos a integral inicial. Mas, agora podemos operar algebrica- mente com ela. e cos()d + e cos()d = e sen() + e cos() ⇒ 2 e cos()d = e sen() + e cos() ⇒ e cos()d = e 2 (sen() + cos()) 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA E por fim acrescentamos a contante k. e cos()d = e 2 (sen() + cos()) + k OBS.: A constante de integração na integração por parte é inserida SEMPRE no final do processo, então nunca se esqueça disso. Exemplo 4: Calcule sn5 ()d Solução: Essa integral poderia ser calculada muito mais facilmente usando a técnica de substituição por . Mas, vamos usar a integração por partes. Fazendo  = sn4() e d = sn()d então d = 4sn3()cos()d e  = −cos(). Assim: sn5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 cos2 ()sn3 ()d = −sn4()cos() + 4 (1 − sen2 ())sn3 ()d = −sn4()cos() + 4 (sn3 () − sen5 ())d = −sn4()cos() + 4 sn3 ()d − 4 sen5 ()d = 4 sen5 ()d + sn5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 sn3 ()d = 5 sen5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 sn3 ()d (1) Podemos calcular sn3 ()d usando novamente a integração por partes fazendo  = sen2() e d = sen()d. Outra possibilidade é fazer a substituição por . Veja: sn2 ()sn()d 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA = (1 − cos2 ())sn()d chamando  de cos() então: (2 − 1)d = 1 3 3 −  + c = sn2 ()sn()d = 1 3 cos3 () − cos() + c (2) Substituindo (2) em (1) chegamos a solução: 5 sen5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 1 3 cos3 () − cos() + c = 5 sen5 ()d = −sn4 ()cos() + 4 3 cos3 () − 4cos() + 4c = sen5 ()d = − sn4()cos() 5 + 4 15 cos3 () − 4 5 cos() + k Onde k = 4 5 c e c ∈ R. 5
  • 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 6