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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivada Lateral com Limite
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 24/10/2016 - Atualizado em 17/10/2018
Dado uma função ƒ() diferenciável num ponto (, b) ∈ R2, então a derivada a
esquerda (ƒe
) e a direita (ƒd
) de ƒ é respetivamente:
ƒe
= lim
→−
ƒ() − ƒ()
 − 
e
ƒd
= lim
→+
ƒ() − ƒ()
 − 
Exemplo 1: Calcule se existir, o valor da derivada da função ƒ() = |1 − 2|
quando  = 1.
Solução:
Primeiro calcula-se a derivada a direita.
lim
→1+
ƒ() − ƒ(1)
 − 1
= lim
→1+
|1 − 2| − 0
 − 1
Como  tende a 1 pela direita (ou seja x é um pouco maior que 1) então |1− 2| =
2 − 1:
lim
→1+
|1 − 2|
 − 1
= lim
→1+
2 − 1
 − 1
= lim
→1+
( − 1)( + 1)
( − 1)
= lim
→1+
( + 1)
= 1 + 1 = 2
Agora determinamos a derivada a esquerda.
lim
→1−
ƒ() − ƒ(1)
 − 1
= lim
→1−
|1 − 2| − 0
 − 1
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como  tende a 1 pela esquerda (ou seja,  é um pouco menor que 1) então
|1 − 2| = 1 − 2 de modo que:
lim
→1−
|1 − 2|
 − 1
= lim
→1−
1 − 2
 − 1
= lim
→1−
(1 − )(1 + )
( − 1)
= lim
→1−
−(1 + ) = −(1 + 1) = −2
Como a derivada a esquerda e a direita da função são diferentes então afirma-se
que a função ƒ() = |1 − 2| não possui derivada em  = 1.
Exemplo 2: Dada a função ƒ() =
2 se  ≤ 2
 + 2 se  > 2
verifique se ela é diferen-
ciável em  = 2.
Solução:
Verificando a derivada a direita
Quando  tende a 2 pela direita  é maior que 2 e portanto ƒ() = ( + 2).
lim
→2+
( + 2) − (2 + 2)
 − 2
= lim
→2+
 − 2
 − 2
= 1
Verificando a derivada a esquerda
Quando  tende a 2 pela esquerda  é menor que 2 e portanto ƒ() = 2.
lim
→2−
2
= 22
= 4
CONCLUSÃO: Como os limites laterais são diferentes a função não é derivável
em  = 2.
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 3: Verifique se a função ƒ() = | − 2| é derivável em  = 2.
Solução:
Verificando a derivada a esquerda
lim
→2−
ƒ() − ƒ(2)
 − 2
= lim
→2−
| − 2| − 0
 − 2
lim
→2−
2 − 
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= −1
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 − 2
= lim
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lim
→2+
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 − 2
= 1
CONCLUSÃO: A função não é derivável neste ponto.
Exemplo 4: Verifique se a função ƒ() = 1/3 é derivável em  = 0.
Solução:
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lim
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= lim
→0+
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= lim
→0+
1/3

= lim
→0+
1
2/3
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
=
1
0
= ∞
Como a primeira derivada lateral resultou em uma singularidade nem é necessário
realizar a segunda, pois isso já é o suficiente para se afirmar que a função não é
derivável em  = 0.
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Derivada lateral com limite

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Derivada Lateral com Limite Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 24/10/2016 - Atualizado em 17/10/2018 Dado uma função ƒ() diferenciável num ponto (, b) ∈ R2, então a derivada a esquerda (ƒe ) e a direita (ƒd ) de ƒ é respetivamente: ƒe = lim →− ƒ() − ƒ()  −  e ƒd = lim →+ ƒ() − ƒ()  −  Exemplo 1: Calcule se existir, o valor da derivada da função ƒ() = |1 − 2| quando  = 1. Solução: Primeiro calcula-se a derivada a direita. lim →1+ ƒ() − ƒ(1)  − 1 = lim →1+ |1 − 2| − 0  − 1 Como  tende a 1 pela direita (ou seja x é um pouco maior que 1) então |1− 2| = 2 − 1: lim →1+ |1 − 2|  − 1 = lim →1+ 2 − 1  − 1 = lim →1+ ( − 1)( + 1) ( − 1) = lim →1+ ( + 1) = 1 + 1 = 2 Agora determinamos a derivada a esquerda. lim →1− ƒ() − ƒ(1)  − 1 = lim →1− |1 − 2| − 0  − 1 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Como  tende a 1 pela esquerda (ou seja,  é um pouco menor que 1) então |1 − 2| = 1 − 2 de modo que: lim →1− |1 − 2|  − 1 = lim →1− 1 − 2  − 1 = lim →1− (1 − )(1 + ) ( − 1) = lim →1− −(1 + ) = −(1 + 1) = −2 Como a derivada a esquerda e a direita da função são diferentes então afirma-se que a função ƒ() = |1 − 2| não possui derivada em  = 1. Exemplo 2: Dada a função ƒ() = 2 se  ≤ 2  + 2 se  > 2 verifique se ela é diferen- ciável em  = 2. Solução: Verificando a derivada a direita Quando  tende a 2 pela direita  é maior que 2 e portanto ƒ() = ( + 2). lim →2+ ( + 2) − (2 + 2)  − 2 = lim →2+  − 2  − 2 = 1 Verificando a derivada a esquerda Quando  tende a 2 pela esquerda  é menor que 2 e portanto ƒ() = 2. lim →2− 2 = 22 = 4 CONCLUSÃO: Como os limites laterais são diferentes a função não é derivável em  = 2. 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 3: Verifique se a função ƒ() = | − 2| é derivável em  = 2. Solução: Verificando a derivada a esquerda lim →2− ƒ() − ƒ(2)  − 2 = lim →2− | − 2| − 0  − 2 lim →2− 2 −   − 2 = −1 Verificando a derivada a direita lim →2+ ƒ() − ƒ(2)  − 2 = lim →2+ | − 2| − 0  − 2 lim →2+  − 2  − 2 = 1 CONCLUSÃO: A função não é derivável neste ponto. Exemplo 4: Verifique se a função ƒ() = 1/3 é derivável em  = 0. Solução: Derivada a direita: lim →0+ 1/3 = lim →0+ 1/3 − 01/3  − 0 = lim →0+ 1/3  = lim →0+ 1 2/3 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA = 1 0 = ∞ Como a primeira derivada lateral resultou em uma singularidade nem é necessário realizar a segunda, pois isso já é o suficiente para se afirmar que a função não é derivável em  = 0. Aulas particulares para: Ensino Fundamental e Médio; Cálculo i e ii; Estatística e matemática financeira. WhatsApp: (77)98111-9211 Email: nibblediego@gmail.com 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber.890m.com 5