Exercícios resolvidos de derivada lateral com limite para a disciplina de cálculo um.

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivada Lateral com Limite
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 24/10/2016 - Atualizado em 17/10/2018
Dado uma função ƒ() diferenciável num ponto (, b) ∈ R2, então a derivada a
esquerda (ƒe
) e a direita (ƒd
) de ƒ é respetivamente:
ƒe
= lim
→−
ƒ() − ƒ()
 − 
e
ƒd
= lim
→+
ƒ() − ƒ()
 − 
Exemplo 1: Calcule se existir, o valor da derivada da função ƒ() = |1 − 2|
quando  = 1.
Solução:
Primeiro calcula-se a derivada a direita.
lim
→1+
ƒ() − ƒ(1)
 − 1
= lim
→1+
|1 − 2| − 0
 − 1
Como  tende a 1 pela direita (ou seja x é um pouco maior que 1) então |1− 2| =
2 − 1:
lim
→1+
|1 − 2|
 − 1
= lim
→1+
2 − 1
 − 1
= lim
→1+
( − 1)( + 1)
( − 1)
= lim
→1+
( + 1)
= 1 + 1 = 2
Agora determinamos a derivada a esquerda.
lim
→1−
ƒ() − ƒ(1)
 − 1
= lim
→1−
|1 − 2| − 0
 − 1
1

2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como  tende a 1 pela esquerda (ou seja,  é um pouco menor que 1) então
|1 − 2| = 1 − 2 de modo que:
lim
→1−
|1 − 2|
 − 1
= lim
→1−
1 − 2
 − 1
= lim
→1−
(1 − )(1 + )
( − 1)
= lim
→1−
−(1 + ) = −(1 + 1) = −2
Como a derivada a esquerda e a direita da função são diferentes então afirma-se
que a função ƒ() = |1 − 2| não possui derivada em  = 1.
Exemplo 2: Dada a função ƒ() =
2 se  ≤ 2
 + 2 se  > 2
verifique se ela é diferen-
ciável em  = 2.
Solução:
Verificando a derivada a direita
Quando  tende a 2 pela direita  é maior que 2 e portanto ƒ() = ( + 2).
lim
→2+
( + 2) − (2 + 2)
 − 2
= lim
→2+
 − 2
 − 2
= 1
Verificando a derivada a esquerda
Quando  tende a 2 pela esquerda  é menor que 2 e portanto ƒ() = 2.
lim
→2−
2
= 22
= 4
CONCLUSÃO: Como os limites laterais são diferentes a função não é derivável
em  = 2.
2

3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 3: Verifique se a função ƒ() = | − 2| é derivável em  = 2.
Solução:
Verificando a derivada a esquerda
lim
→2−
ƒ() − ƒ(2)
 − 2
= lim
→2−
| − 2| − 0
 − 2
lim
→2−
2 − 
 − 2
= −1
Verificando a derivada a direita
lim
→2+
ƒ() − ƒ(2)
 − 2
= lim
→2+
| − 2| − 0
 − 2
lim
→2+
 − 2
 − 2
= 1
CONCLUSÃO: A função não é derivável neste ponto.
Exemplo 4: Verifique se a função ƒ() = 1/3 é derivável em  = 0.
Solução:
Derivada a direita:
lim
→0+
1/3
= lim
→0+
1/3 − 01/3
 − 0
= lim
→0+
1/3

= lim
→0+
1
2/3
3

4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
=
1
0
= ∞
Como a primeira derivada lateral resultou em uma singularidade nem é necessário
realizar a segunda, pois isso já é o suficiente para se afirmar que a função não é
derivável em  = 0.
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