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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Área Entre Curvas
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/11/2018
Nos problemas anteriores determinamos apenas a área de curvas que não inter-
ceptavam o eixo no qual realizamos a integração. Agora estudaremos dois casos
em que isso ocorre.
O que preciso saber?
No cálculo de área entre curvas a sua habilidade de esboçar gráficos será essen-
cial.
Exemplo 1: Ache á área limitada pelas curvas y = −, y = 2 −  usando a
integração em y.
Solução:
Vamos observar a área (em azul) que desejamos calcular.
2
-2
2
-2 (2,0)
Neste caso queremos realizar a integração ao longo do eixo y o problema é que
ambas as curvas interceptam esse eixo.
Assim, antes de realizar a integração, você deve deslocar as funções. Neste
caso, duas unidades para direita.
Deslocando as funções em duas unidades para a direita y = − se torna y =
−( − 2) ou y = 2 − . E a curva y = 2 −  se torna y = 2 − ( − 2) ou y = 4 − .
Os gráficos das funções deslocadas é mostrado a seguir.
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
(4, 0)
(0, 2)
Note que as curvas ainda têm as mesmas formas. Na verdade, apenas as “pu-
xamos" para direita.
Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas.
y = 2 −  ⇒  = 2 − y
y = 4 −  ⇒  = 4 − y2
A integral que fornece a área da curva limitada por  = 4 − y2 será:
(4, 0)
(0, 2)
A1 =
2
0
4 − y2
dy
Já a integral que nos fornece a área limitada pela curva  = 2 − y e o eixo y será.
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
(4, 0)
(0, 2)
A2 =
2
0
(2 − y)dy
A área entre as curva será então a primeira menos a segunda integral (A1 − A2).
(4, 0)
(0, 2)
A = A1 − A2
A =
2
0
4 − y2
dy −
2
0
(2 − y)dy
A =
2
0
2 + y − y2
dy
A = 2y
y2
2
−
y3
3
2
0
A =
10
3

3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 2: Encontre a área entre a curva y = 3 − 2 e o eixo  no intervalo [1,
4].
Solução:
Fazendo o gráfico da função obtemos o seguinte.
4
1
3
Novamente temos um pequeno problema aqui, pois nos foi solicitado a inte-
gração ao longo do eixo , contudo a curva acaba interceptando esse eixo. Ao
contrário do problema anterior não podemos simplesmente deslocar a função para
cima.
Neste caso podemos fazer o seguinte: dividimos a área em questão em duas
áreas. Uma acima do eixo e outra abaixo.
4
1
3
A2
A1
E calculamos cada uma separadamente.
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3
1
(3 − 2
)d =
32
2
−
3
3
3
1
=
20
6
4
3
(3 − 2
)d =
32
2
−
3
3
4
3
= −
11
6
Note que essa última integral resultou num valor negativo o que não faz sentido
já que nenhuma área pode ser negativa. Neste caso, o que nos interessa então é o
módulo do resultado.
Finalmente somamos ambos os resultados.
20
6
+
11
6
=
31
6
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Exercícios Resolvidos: Área entre curvas

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Área Entre Curvas Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/11/2018 Nos problemas anteriores determinamos apenas a área de curvas que não inter- ceptavam o eixo no qual realizamos a integração. Agora estudaremos dois casos em que isso ocorre. O que preciso saber? No cálculo de área entre curvas a sua habilidade de esboçar gráficos será essen- cial. Exemplo 1: Ache á área limitada pelas curvas y = −, y = 2 −  usando a integração em y. Solução: Vamos observar a área (em azul) que desejamos calcular. 2 -2 2 -2 (2,0) Neste caso queremos realizar a integração ao longo do eixo y o problema é que ambas as curvas interceptam esse eixo. Assim, antes de realizar a integração, você deve deslocar as funções. Neste caso, duas unidades para direita. Deslocando as funções em duas unidades para a direita y = − se torna y = −( − 2) ou y = 2 − . E a curva y = 2 −  se torna y = 2 − ( − 2) ou y = 4 − . Os gráficos das funções deslocadas é mostrado a seguir. 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA (4, 0) (0, 2) Note que as curvas ainda têm as mesmas formas. Na verdade, apenas as “pu- xamos" para direita. Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas. y = 2 −  ⇒  = 2 − y y = 4 −  ⇒  = 4 − y2 A integral que fornece a área da curva limitada por  = 4 − y2 será: (4, 0) (0, 2) A1 = 2 0 4 − y2 dy Já a integral que nos fornece a área limitada pela curva  = 2 − y e o eixo y será. 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA (4, 0) (0, 2) A2 = 2 0 (2 − y)dy A área entre as curva será então a primeira menos a segunda integral (A1 − A2). (4, 0) (0, 2) A = A1 − A2 A = 2 0 4 − y2 dy − 2 0 (2 − y)dy A = 2 0 2 + y − y2 dy A = 2y y2 2 − y3 3 2 0 A = 10 3  3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 2: Encontre a área entre a curva y = 3 − 2 e o eixo  no intervalo [1, 4]. Solução: Fazendo o gráfico da função obtemos o seguinte. 4 1 3 Novamente temos um pequeno problema aqui, pois nos foi solicitado a inte- gração ao longo do eixo , contudo a curva acaba interceptando esse eixo. Ao contrário do problema anterior não podemos simplesmente deslocar a função para cima. Neste caso podemos fazer o seguinte: dividimos a área em questão em duas áreas. Uma acima do eixo e outra abaixo. 4 1 3 A2 A1 E calculamos cada uma separadamente. 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 3 1 (3 − 2 )d = 32 2 − 3 3 3 1 = 20 6 4 3 (3 − 2 )d = 32 2 − 3 3 4 3 = − 11 6 Note que essa última integral resultou num valor negativo o que não faz sentido já que nenhuma área pode ser negativa. Neste caso, o que nos interessa então é o módulo do resultado. Finalmente somamos ambos os resultados. 20 6 + 11 6 = 31 6 5
  • 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 6