SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 17
Baixar para ler offline
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Volume de Sólidos de
Rotação
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Escrito em: 30/03/2016 - Atualizado em: 19/11/2017.
Como determinar o volume de um sólido de rotação?
Contanto que o sólido rotacional não tenha nenhum espaço vazio, você pode
usar a fórmula:
V = π
b

[r()]2
d (Rotação em )
se o sólido for gerado em torno do eixo , ou então,
Vy = π
d
c
[(r(y)]2
dy (Rotação em y)
se o sólido for gerado em torno do eixo y.
OBS.: A maior dificuldade de se determinar o volume de um sólido de rotação
normalmente é determinar o raio de rotação (r() ou r(y)), do sólido. O raio
de rotação é a distância entre o eixo de rotação e a extremidade externa da área
rotativa. Lembre-se também que ele é sempre perpendicular ao eixo de rotação.
Exemplo 1: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y =
2 − 2 no intervalo [−, ].
Solução:
A primeira dica para resolver esse tipo de problema é desenhar o gráfico da
curva com a área por ela limitada. Isso ajudará você a visualizar o sólido cujo vol-
ume pretende-se determinar.
O gráfico a seguir mostra a região (em azul) limitada pela curva que será rota-
cionada.
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
a-a
a
Figura 1: Região a ser rotacionada.
Como o problema não diz sobre qual eixo a figura será rotacionada (x ou y)
vamos calcular o volume do sólido para as duas situações.
Usando X Como Eixo de Rotação:
O próximo passo, após representar a curva e a região limitada por ela grafica-
mente, é identificar se o sólido formado com a rotação em torno do eixo “x" é maciço
ou oco.
A melhor forma de saber isso é usando (literalmente) a sua imaginação. Se rota-
cionássemos a área em azul do gráfico 1 em torno do eixo "x" a uma alta velocidade
de longe veríamos uma esfera igual a esfera da figura 2.
z
x
y
a-a
a
Figura 2: Esfera maciça de raio a.
Com esse exercício imaginativo além de enxergar a forma do sólido também con-
seguimos ver que o mesmo não possui nenhuma cavidade, ou em outras palavras,
é solido maciço.
Como neste caso o sólido é maciço podemos partir para o próximo passo que é
determinar o raio de rotação.
O raio de rotação é a extensão do segmento (em vermelho na figura 3) com uma
extremidade no eixo  e outra na curva.
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
a-a
r()
Figura 3.
Determinar a extensão do raio de rotação, r() é bem simples: sua extensão é a
curva de cima menos a curva de baixo. Como a curva de cima é ƒ() = 2 − 2 e
a curva de baixo é o eixo  (g() = 0), o raio de rotação será
r() = ƒ() ˘ g() = 2 − 2 − 0 = 2 − 2
Assim, o volume do sólido rotacional será:
V = π

−
2 − 2
2
d =
4
3
π3
Note que este é exatamente o resultado que teríamos se usássemos a fórmula
Ve =
4
3
π · r3
que calcula o volume de uma esfera de raio r.
Usando Y Como Eixo de Rotação:
Como já esboçamos o gráfico da curva e da região por ela limitada vamos passar
para a próxima etapa que é: descobrir se o sólido criado pela rotação em torno do
eixo "y" gera um sólido maciço.
z
x
y
a-a
a
Figura 4: Meia esfera de raio a.
Pela imagem acima verificamos que o sólido formado é uma meia esfera maciça.
Assim, podemos determinar o raio de rotação (nesse caso r(y)) e calcular o volume
do sólido sem problemas.
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Olhando o gráfico a seguir é fácil verificar que o raio de rotação é limitada a
esquerda pela curva g(y) = 0 e ƒ(y) = 2 − y2.
a-a
r(y)
Figura 5.
Assim:
r(y) = ƒ(y) − g(y) = 2 − y2
logo o volume do sólido será:
Vy = π

0
2 − y2
2
dy =
2
3
π3
Que é a metade do volume de uma esfera de raio .
Exemplo 2: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y = 3
e pela retas y = 8 e y = 0.
Solução:
O gráfico da curva e as retas que a limitam a área que será rotacionada (em
azul), é apresentado a seguir.
y = 3
y = 8
x
y
2
Fig. 1: Região entre as curvas.
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como novamente o problema não fornece a informação sobre que eixo a região
da figura 1 está sendo rotacionada vamos calcular o volume do sólido para os dois
casos.
Usando Y Como Eixo de Rotação:
A figura a seguir mostra como seria o sólido criado com a rotação da figura 1 em
torno do eixo y. Note que temos uma figura maciça.
z
x
y
Fig. 2: Rotação em y
Observe pela figura 1 que para a rotação em torno do eixo y temos r() = 3
y.
y = 3
y = 8
x
y
2
r(y)
Fig.3: Raio de rotação em vermelho
r() = 3
y − 0
Sendo assim, o volume do sólido será:
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Vy = π
8
0
[r(y)]2
dy
Vy = π
8
0
( 3
y)2
dy
Vy =
96
5
π
Usando X Como Eixo de Rotação:
A figura 3 mostra, mais ou menos, como seria o sólido gerado pela rotação da
figura 1 em x.
y
x
8
-8
Fig. 4: Rotação em x. Figura oca.
Aqui a rotação em  não gera uma figura maciça. Na verdade, o sólido mais se
parece com um cilindro encaixado num funil. Nesse caso o cálculo do volume é um
trabalho de três passos.
6
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
1◦ passo:
Encontramos o raio de rotação da curva que formaria o cilindro.
y
x
r()
8
-8
Fig. 4.1: Raio de rotação do cilindro.
y = 3
y = 8
x
y
2
r()
Fig. 4.2: r(x) limitado pela curva y = 8 e y = 0.
r() = 8 − 0 = 8
2◦ passo:
Encontramos o raio de rotação do “funil".
7
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
y
x
r ()
8
-8
Fig. 4.3: Raio de rotação do funil.
y = 3
y = 8
x
y
r ()
Fig. 4.4: r’(x) limitado por y = x3 e y = 0.
r () = 3
− 0 = 3
3◦ passo:
De posse de r() (raio de rotação do cilindro) e r () (raio de rotação do funil)
fazemos:
V = π
2
0
(r())2
− r ()
2
d
= π
2
0
82
− (3
)2
d
= π
2
0
64 − 6
d
8
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
=
768
7
π
Comentário:
Quando o sólido não é maciço a estratégia é calcular o volume da figura (como
se esta fosse maciça), o volume da cavidade e em seguida subtrair do primeiro
resultado o segundo. Já para saber se um sólido é ou não maciço utilize gráficos.
Lembre-se também que ao contrário do cálculo de uma área em que a integração ao
longo de qualquer eixo (x ou y) não influencia na resposta final o mesmo NAO ocorre
com o volume. A rotação em torno de um eixo ou outro (ver exemplo anterior) pode
mudar completamente a forma do sólido.
Exemplo 3: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y = −2 + 2 + 1 e y = 1 em torno do eixo .
Solução:
A área (em azul) limitada pelas curvas acima e que sofrerá a rotação é mostrada
na figura a seguir.

y
y = 1
y = −2 + 2 + 1
Fig. 1: Região que será rotacionada em azul.
Claramente percebemos que a rotação dessa área, em torno do eixo , gera um
sólido oco.
9
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Fig. 2. Sólido visto lateralmente (esquerda)
e de cima (direita).
Em vista disso procedemos assim:
Determinamos o raio de rotação da curva mais acima em relação ao eixo  de
rotação.
x
y
y=1
y = −2 + 2 + 1
r(x)
r() = (−2
+ 2 + 1) − 0 = −2
+ 2 + 1
Agora o raio de rotação da curva mais próxima
x
y
y=1
y = −2 + 2 + 1
r’(x)
10
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
r () = 1 − 0 = 1
E finalmente fazemos:
V = π
2
0
(r())2
− r ()
2
d
V = π
2
0
(−2
+ 2 + 1)2
− (1)2
d
V = π
2
0
4
− 43
+ 22
+ 4 d
V =
56
15
π
Exemplo 4: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y =
1
4
2 + 1, y = 0,  = 1 e  = 4 em torno do eixo .
Solução:
A região entre as curvas (em azul) a seguir gera claramente um sólido maciço
quando rotacionada em torno do eixo .
 = 1  = 4
1
4
2 + 1
Figura 1.
A extensão do raio de rotação será r() =
1
4
2 + 1 − 0.
 = 1  = 4
1
4
2 + 1
r()
11
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Figura 2: Raio de rotação.
Sendo assim:
V = π
4
1
[r()]2
d
V = π
4
1
1
4
2
+ 1
2
d
V =
2103
80
π
Exemplo 5: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
( − 1)2 = 20 − 4y, y = 1 e y = 3 em torno do eixo  = 1.
Solução:
A região a ser rotacionada aparece em azul na imagem a seguir:
( − 1)2 = 20 − 4y
eixo
R
y=1
y=3
Figura 1.
Note que o raio de rotação, neste caso é limitado pela curva y = (−1)2 = 20−4y
e pelo próprio raio de rotação  = 1. Assim:
r() = 20 − 4y + 1 − 1
r() = 20 − 4y
12
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
De modo que o volume será:
V = π
3
1
20 − 4y
2
dy
V = 24π
Exemplo 6: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y = 2 + 1 e y =  + 3 em torno do eixo .
Solução:
A figura a seguir mostra a região (em azul) a ser rotacionada.
2 + 1
 + 3
-1 2
Figura 1.
Claramente a região rotacionada em torno do eixo  gera uma figura oca. Se
sentir dificuldade em visualizar isso pode tentar fazer um esboço tridimensional do
sólido.
Assim vamos determinar o raio de rotação da curva mais externa.
13
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
2 + 1
 + 3
-1 2
R
r() = ( + 3) − 0
O raio de rotação da curva menos externa.
2 + 1
 + 3
-1 2
R
r () = 2
+ 1 − 0
Em seguida calculamos o volume.
V = π
2
−1
( + 3)2
− (2
+ 1)2
d
14
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
V =
117
5
π
Exemplo 7: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas
y =
6

− 3 e y = 3  em torno do eixo .
Solução:
O gráfico das curvas descritas é mostrado a seguir.
y = 6

− 3
y = 3 
1
Nesse caso, procedemos assim: calculamos o volume formado apenas pela curva
y = 3  e a reta  = 1.
y = 3 
1
r(x)
V = π
1
0
3 
2
d
15
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
V =
9
2
π
Agora calculamos o volume formado apenas pela curva y =
6

− 3 e a reta  = 1.
y = 6

− 3
1
r(x)
V
= π
2
1
6

− 3
2
d
V
= 9π(3 − 4 · og(2))
Finalmente somamos esses dois resultados.
V =
9
2
π + 9π (3 − 4 · og(2))
V = π
63 − 72 · og(2)
2
16
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Este trabalho está licenciado com uma
Licença Creative Commons -
Atribuição-NãoComercial-
CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por
isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do
mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos
de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com
Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer-
cícios entre em contato.
nbbedego@gm.com
.ƒcebook.com/theNmberType
.nmber890.ordpress.com
17

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Exercícios Resolvidos: Área com integrais
Exercícios Resolvidos: Área com integraisExercícios Resolvidos: Área com integrais
Exercícios Resolvidos: Área com integraisDiego Oliveira
 
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...wilkerfilipel
 
Revisão em -funções - calculo 1
Revisão   em -funções - calculo 1Revisão   em -funções - calculo 1
Revisão em -funções - calculo 1Eduardo Soares
 
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de função
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoExercícios resolvidos de máximo e mínimo de função
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoDiego Oliveira
 
Expressão analítica de uma função quadrática
Expressão analítica de uma função quadráticaExpressão analítica de uma função quadrática
Expressão analítica de uma função quadráticaPaulo Mutolo
 
Relatório pêndulo simples turma t5
Relatório pêndulo simples   turma t5Relatório pêndulo simples   turma t5
Relatório pêndulo simples turma t5Roberto Leao
 
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterlesamuelsaocristovao
 
Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosResistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
 
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento 1 gdl
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento  1 gdlAula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento  1 gdl
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento 1 gdlJunior Tonial Espinha
 

Mais procurados (20)

Exercícios Resolvidos: Área com integrais
Exercícios Resolvidos: Área com integraisExercícios Resolvidos: Área com integrais
Exercícios Resolvidos: Área com integrais
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Função de 1º Grau
Função de 1º GrauFunção de 1º Grau
Função de 1º Grau
 
Calculo a diva fleming solucionário
Calculo a   diva fleming solucionárioCalculo a   diva fleming solucionário
Calculo a diva fleming solucionário
 
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
Exercícios resolvidos sobre logaritmos (Inclui o uso das propriedades, restiç...
 
Revisão em -funções - calculo 1
Revisão   em -funções - calculo 1Revisão   em -funções - calculo 1
Revisão em -funções - calculo 1
 
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de função
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de funçãoExercícios resolvidos de máximo e mínimo de função
Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de função
 
Expressão analítica de uma função quadrática
Expressão analítica de uma função quadráticaExpressão analítica de uma função quadrática
Expressão analítica de uma função quadrática
 
Relatório pêndulo simples turma t5
Relatório pêndulo simples   turma t5Relatório pêndulo simples   turma t5
Relatório pêndulo simples turma t5
 
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
 
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
 
Derivadas direcionais
Derivadas direcionaisDerivadas direcionais
Derivadas direcionais
 
Superfícies quadricas revisão
Superfícies quadricas   revisãoSuperfícies quadricas   revisão
Superfícies quadricas revisão
 
Aula 14 épura e ponto
Aula 14   épura e pontoAula 14   épura e ponto
Aula 14 épura e ponto
 
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
 
Função.quadratica
Função.quadraticaFunção.quadratica
Função.quadratica
 
Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosResistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
Resistência dos materiais - Exercícios Resolvidos
 
Aula 27 espaços vetoriais
Aula 27   espaços vetoriaisAula 27   espaços vetoriais
Aula 27 espaços vetoriais
 
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento 1 gdl
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento  1 gdlAula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento  1 gdl
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento 1 gdl
 

Semelhante a Volume sólidos rotação curvas

VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptx
VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptxVOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptx
VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptxGabrielBarbosa867714
 
Coment obf nivel2_3fase
Coment obf nivel2_3faseComent obf nivel2_3fase
Coment obf nivel2_3faseThommas Kevin
 
Aulão de geometria espacial
Aulão de geometria espacialAulão de geometria espacial
Aulão de geometria espacialJota Sousa
 
Aplicações da integração
Aplicações da integraçãoAplicações da integração
Aplicações da integraçãoCarlos Campani
 
CinemáTica Rotacional
CinemáTica RotacionalCinemáTica Rotacional
CinemáTica Rotacionalguestf9bbf1
 
Orp c ap resolvida 8
Orp c ap   resolvida 8Orp c ap   resolvida 8
Orp c ap resolvida 8Ci Man
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
 
Apostila 2011
Apostila   2011Apostila   2011
Apostila 2011ACE Ace
 
Ciclo_Trigonometrico.ppt
Ciclo_Trigonometrico.pptCiclo_Trigonometrico.ppt
Ciclo_Trigonometrico.pptJoneiMangabeira
 
Solucoes comentadas matematica_uerj_univ
Solucoes comentadas matematica_uerj_univSolucoes comentadas matematica_uerj_univ
Solucoes comentadas matematica_uerj_univOswaldo Stanziola
 
04. movimento em duas e três dimensões
04. movimento em duas e três dimensões04. movimento em duas e três dimensões
04. movimento em duas e três dimensõesleonardoenginer
 
Funções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptxFunções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptxCristianoTaty
 

Semelhante a Volume sólidos rotação curvas (20)

VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptx
VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptxVOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptx
VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO-2 2 2.pptx
 
Ma22 unidade 22
Ma22 unidade 22Ma22 unidade 22
Ma22 unidade 22
 
Centroide
CentroideCentroide
Centroide
 
Coment obf nivel2_3fase
Coment obf nivel2_3faseComent obf nivel2_3fase
Coment obf nivel2_3fase
 
Aulão de geometria espacial
Aulão de geometria espacialAulão de geometria espacial
Aulão de geometria espacial
 
Aplicações da integração
Aplicações da integraçãoAplicações da integração
Aplicações da integração
 
CinemáTica Rotacional
CinemáTica RotacionalCinemáTica Rotacional
CinemáTica Rotacional
 
Orp c ap resolvida 8
Orp c ap   resolvida 8Orp c ap   resolvida 8
Orp c ap resolvida 8
 
Cones alunos
Cones   alunosCones   alunos
Cones alunos
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
 
Integração cálculo 4
Integração cálculo 4Integração cálculo 4
Integração cálculo 4
 
Apostila 2011
Apostila   2011Apostila   2011
Apostila 2011
 
Ciclo_Trigonometrico.ppt
Ciclo_Trigonometrico.pptCiclo_Trigonometrico.ppt
Ciclo_Trigonometrico.ppt
 
Solucoes comentadas matematica_uerj_univ
Solucoes comentadas matematica_uerj_univSolucoes comentadas matematica_uerj_univ
Solucoes comentadas matematica_uerj_univ
 
Matemática aula 35 - circunferência
Matemática   aula 35 - circunferênciaMatemática   aula 35 - circunferência
Matemática aula 35 - circunferência
 
Lista Cálculo
Lista CálculoLista Cálculo
Lista Cálculo
 
1. esfera fórmulas e questões
1. esfera   fórmulas e questões1. esfera   fórmulas e questões
1. esfera fórmulas e questões
 
04. movimento em duas e três dimensões
04. movimento em duas e três dimensões04. movimento em duas e três dimensões
04. movimento em duas e três dimensões
 
Funções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptxFunções de várias variáveis.pptx
Funções de várias variáveis.pptx
 
Remember 11
Remember 11Remember 11
Remember 11
 

Mais de Diego Oliveira

Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumuladaExercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumuladaDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Média Geométrica
Exercícios Resolvidos: Média GeométricaExercícios Resolvidos: Média Geométrica
Exercícios Resolvidos: Média GeométricaDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Média Aritmetica
Exercícios Resolvidos: Média AritmeticaExercícios Resolvidos: Média Aritmetica
Exercícios Resolvidos: Média AritmeticaDiego Oliveira
 
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexos
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexosExercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexos
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexosDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaExercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Integração por parte
Exercícios Resolvidos: Integração por parteExercícios Resolvidos: Integração por parte
Exercícios Resolvidos: Integração por parteDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integral
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralExercícios Resolvidos: Aplicação da integral
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Reta secante
Exercícios Resolvidos: Reta secanteExercícios Resolvidos: Reta secante
Exercícios Resolvidos: Reta secanteDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia
Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia
Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia Diego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
Exercícios Resolvidos: Teorema de RolleExercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
Exercícios Resolvidos: Teorema de RolleDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Reta paralela
Exercícios Resolvidos: Reta paralelaExercícios Resolvidos: Reta paralela
Exercícios Resolvidos: Reta paralelaDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalExercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoExercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Sentido da função
Exercícios Resolvidos: Sentido da funçãoExercícios Resolvidos: Sentido da função
Exercícios Resolvidos: Sentido da funçãoDiego Oliveira
 
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteExercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
 
Derivação com logaritmo
Derivação com logaritmoDerivação com logaritmo
Derivação com logaritmoDiego Oliveira
 
Derivada de funções trigonométricas inversas
Derivada de funções trigonométricas inversasDerivada de funções trigonométricas inversas
Derivada de funções trigonométricas inversasDiego Oliveira
 
Derivada lateral com limite
Derivada lateral com limiteDerivada lateral com limite
Derivada lateral com limiteDiego Oliveira
 
Sentido da Concavidade
Sentido da ConcavidadeSentido da Concavidade
Sentido da ConcavidadeDiego Oliveira
 

Mais de Diego Oliveira (20)

Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
 
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumuladaExercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
 
Exercícios Resolvidos: Média Geométrica
Exercícios Resolvidos: Média GeométricaExercícios Resolvidos: Média Geométrica
Exercícios Resolvidos: Média Geométrica
 
Exercícios Resolvidos: Média Aritmetica
Exercícios Resolvidos: Média AritmeticaExercícios Resolvidos: Média Aritmetica
Exercícios Resolvidos: Média Aritmetica
 
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexos
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexosExercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexos
Exercícios resolvidos: Parte real e imaginária de números complexos
 
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaExercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
 
Exercícios Resolvidos: Integração por parte
Exercícios Resolvidos: Integração por parteExercícios Resolvidos: Integração por parte
Exercícios Resolvidos: Integração por parte
 
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integral
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralExercícios Resolvidos: Aplicação da integral
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integral
 
Exercícios Resolvidos: Reta secante
Exercícios Resolvidos: Reta secanteExercícios Resolvidos: Reta secante
Exercícios Resolvidos: Reta secante
 
Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia
Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia
Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia
 
Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
Exercícios Resolvidos: Teorema de RolleExercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
 
Exercícios Resolvidos: Reta paralela
Exercícios Resolvidos: Reta paralelaExercícios Resolvidos: Reta paralela
Exercícios Resolvidos: Reta paralela
 
Exercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normalExercícios Resolvidos: Reta normal
Exercícios Resolvidos: Reta normal
 
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absolutoExercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
Exercícios Resolvidos: Máximo e minimo absoluto
 
Exercícios Resolvidos: Sentido da função
Exercícios Resolvidos: Sentido da funçãoExercícios Resolvidos: Sentido da função
Exercícios Resolvidos: Sentido da função
 
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteExercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangente
 
Derivação com logaritmo
Derivação com logaritmoDerivação com logaritmo
Derivação com logaritmo
 
Derivada de funções trigonométricas inversas
Derivada de funções trigonométricas inversasDerivada de funções trigonométricas inversas
Derivada de funções trigonométricas inversas
 
Derivada lateral com limite
Derivada lateral com limiteDerivada lateral com limite
Derivada lateral com limite
 
Sentido da Concavidade
Sentido da ConcavidadeSentido da Concavidade
Sentido da Concavidade
 

Último

v19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
v19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbv19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
v19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbyasminlarissa371
 
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfDIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfIedaGoethe
 
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdfGeometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdf
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdfO Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdfPastor Robson Colaço
 
cartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdf
cartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdfcartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdf
cartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdfIedaGoethe
 
O guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdf
O guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdfO guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdf
O guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdfErasmo Portavoz
 
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveAula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveaulasgege
 
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...LuizHenriquedeAlmeid6
 
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptxDoutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptxThye Oliver
 
Atividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu AbrigoAtividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu AbrigoMary Alvarenga
 
Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteirosBingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteirosAntnyoAllysson
 
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdfPLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdfProfGleide
 
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 anoAdelmaTorres2
 
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdfMapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdfangelicass1
 
Slide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptx
Slide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptxSlide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptx
Slide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptxconcelhovdragons
 
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptxSlides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANOInvestimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANOMarcosViniciusLemesL
 
Habilidades Motoras Básicas e Específicas
Habilidades Motoras Básicas e EspecíficasHabilidades Motoras Básicas e Específicas
Habilidades Motoras Básicas e EspecíficasCassio Meira Jr.
 
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão LinguísticaA Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão LinguísticaFernanda Ledesma
 

Último (20)

v19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
v19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbv19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
v19n2s3a25.pdfgcbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
 
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfDIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
 
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdfGeometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdf
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdfO Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
 
cartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdf
cartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdfcartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdf
cartilha-pdi-plano-de-desenvolvimento-individual-do-estudante.pdf
 
O guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdf
O guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdfO guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdf
O guia definitivo para conquistar a aprovação em concurso público.pdf
 
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveAula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
 
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
 
treinamento brigada incendio 2024 no.ppt
treinamento brigada incendio 2024 no.ppttreinamento brigada incendio 2024 no.ppt
treinamento brigada incendio 2024 no.ppt
 
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptxDoutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
 
Atividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu AbrigoAtividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu Abrigo
 
Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteirosBingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
 
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdfPLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdf
 
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
 
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdfMapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
 
Slide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptx
Slide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptxSlide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptx
Slide de exemplo sobre o Sítio do Pica Pau Amarelo.pptx
 
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptxSlides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
 
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANOInvestimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
 
Habilidades Motoras Básicas e Específicas
Habilidades Motoras Básicas e EspecíficasHabilidades Motoras Básicas e Específicas
Habilidades Motoras Básicas e Específicas
 
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão LinguísticaA Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
 

Volume sólidos rotação curvas

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Volume de Sólidos de Rotação Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Escrito em: 30/03/2016 - Atualizado em: 19/11/2017. Como determinar o volume de um sólido de rotação? Contanto que o sólido rotacional não tenha nenhum espaço vazio, você pode usar a fórmula: V = π b  [r()]2 d (Rotação em ) se o sólido for gerado em torno do eixo , ou então, Vy = π d c [(r(y)]2 dy (Rotação em y) se o sólido for gerado em torno do eixo y. OBS.: A maior dificuldade de se determinar o volume de um sólido de rotação normalmente é determinar o raio de rotação (r() ou r(y)), do sólido. O raio de rotação é a distância entre o eixo de rotação e a extremidade externa da área rotativa. Lembre-se também que ele é sempre perpendicular ao eixo de rotação. Exemplo 1: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y = 2 − 2 no intervalo [−, ]. Solução: A primeira dica para resolver esse tipo de problema é desenhar o gráfico da curva com a área por ela limitada. Isso ajudará você a visualizar o sólido cujo vol- ume pretende-se determinar. O gráfico a seguir mostra a região (em azul) limitada pela curva que será rota- cionada. 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA a-a a Figura 1: Região a ser rotacionada. Como o problema não diz sobre qual eixo a figura será rotacionada (x ou y) vamos calcular o volume do sólido para as duas situações. Usando X Como Eixo de Rotação: O próximo passo, após representar a curva e a região limitada por ela grafica- mente, é identificar se o sólido formado com a rotação em torno do eixo “x" é maciço ou oco. A melhor forma de saber isso é usando (literalmente) a sua imaginação. Se rota- cionássemos a área em azul do gráfico 1 em torno do eixo "x" a uma alta velocidade de longe veríamos uma esfera igual a esfera da figura 2. z x y a-a a Figura 2: Esfera maciça de raio a. Com esse exercício imaginativo além de enxergar a forma do sólido também con- seguimos ver que o mesmo não possui nenhuma cavidade, ou em outras palavras, é solido maciço. Como neste caso o sólido é maciço podemos partir para o próximo passo que é determinar o raio de rotação. O raio de rotação é a extensão do segmento (em vermelho na figura 3) com uma extremidade no eixo  e outra na curva. 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA a-a r() Figura 3. Determinar a extensão do raio de rotação, r() é bem simples: sua extensão é a curva de cima menos a curva de baixo. Como a curva de cima é ƒ() = 2 − 2 e a curva de baixo é o eixo  (g() = 0), o raio de rotação será r() = ƒ() ˘ g() = 2 − 2 − 0 = 2 − 2 Assim, o volume do sólido rotacional será: V = π  − 2 − 2 2 d = 4 3 π3 Note que este é exatamente o resultado que teríamos se usássemos a fórmula Ve = 4 3 π · r3 que calcula o volume de uma esfera de raio r. Usando Y Como Eixo de Rotação: Como já esboçamos o gráfico da curva e da região por ela limitada vamos passar para a próxima etapa que é: descobrir se o sólido criado pela rotação em torno do eixo "y" gera um sólido maciço. z x y a-a a Figura 4: Meia esfera de raio a. Pela imagem acima verificamos que o sólido formado é uma meia esfera maciça. Assim, podemos determinar o raio de rotação (nesse caso r(y)) e calcular o volume do sólido sem problemas. 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Olhando o gráfico a seguir é fácil verificar que o raio de rotação é limitada a esquerda pela curva g(y) = 0 e ƒ(y) = 2 − y2. a-a r(y) Figura 5. Assim: r(y) = ƒ(y) − g(y) = 2 − y2 logo o volume do sólido será: Vy = π  0 2 − y2 2 dy = 2 3 π3 Que é a metade do volume de uma esfera de raio . Exemplo 2: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y = 3 e pela retas y = 8 e y = 0. Solução: O gráfico da curva e as retas que a limitam a área que será rotacionada (em azul), é apresentado a seguir. y = 3 y = 8 x y 2 Fig. 1: Região entre as curvas. 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Como novamente o problema não fornece a informação sobre que eixo a região da figura 1 está sendo rotacionada vamos calcular o volume do sólido para os dois casos. Usando Y Como Eixo de Rotação: A figura a seguir mostra como seria o sólido criado com a rotação da figura 1 em torno do eixo y. Note que temos uma figura maciça. z x y Fig. 2: Rotação em y Observe pela figura 1 que para a rotação em torno do eixo y temos r() = 3 y. y = 3 y = 8 x y 2 r(y) Fig.3: Raio de rotação em vermelho r() = 3 y − 0 Sendo assim, o volume do sólido será: 5
  • 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Vy = π 8 0 [r(y)]2 dy Vy = π 8 0 ( 3 y)2 dy Vy = 96 5 π Usando X Como Eixo de Rotação: A figura 3 mostra, mais ou menos, como seria o sólido gerado pela rotação da figura 1 em x. y x 8 -8 Fig. 4: Rotação em x. Figura oca. Aqui a rotação em  não gera uma figura maciça. Na verdade, o sólido mais se parece com um cilindro encaixado num funil. Nesse caso o cálculo do volume é um trabalho de três passos. 6
  • 7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 1◦ passo: Encontramos o raio de rotação da curva que formaria o cilindro. y x r() 8 -8 Fig. 4.1: Raio de rotação do cilindro. y = 3 y = 8 x y 2 r() Fig. 4.2: r(x) limitado pela curva y = 8 e y = 0. r() = 8 − 0 = 8 2◦ passo: Encontramos o raio de rotação do “funil". 7
  • 8. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA y x r () 8 -8 Fig. 4.3: Raio de rotação do funil. y = 3 y = 8 x y r () Fig. 4.4: r’(x) limitado por y = x3 e y = 0. r () = 3 − 0 = 3 3◦ passo: De posse de r() (raio de rotação do cilindro) e r () (raio de rotação do funil) fazemos: V = π 2 0 (r())2 − r () 2 d = π 2 0 82 − (3 )2 d = π 2 0 64 − 6 d 8
  • 9. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA = 768 7 π Comentário: Quando o sólido não é maciço a estratégia é calcular o volume da figura (como se esta fosse maciça), o volume da cavidade e em seguida subtrair do primeiro resultado o segundo. Já para saber se um sólido é ou não maciço utilize gráficos. Lembre-se também que ao contrário do cálculo de uma área em que a integração ao longo de qualquer eixo (x ou y) não influencia na resposta final o mesmo NAO ocorre com o volume. A rotação em torno de um eixo ou outro (ver exemplo anterior) pode mudar completamente a forma do sólido. Exemplo 3: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas y = −2 + 2 + 1 e y = 1 em torno do eixo . Solução: A área (em azul) limitada pelas curvas acima e que sofrerá a rotação é mostrada na figura a seguir.  y y = 1 y = −2 + 2 + 1 Fig. 1: Região que será rotacionada em azul. Claramente percebemos que a rotação dessa área, em torno do eixo , gera um sólido oco. 9
  • 10. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Fig. 2. Sólido visto lateralmente (esquerda) e de cima (direita). Em vista disso procedemos assim: Determinamos o raio de rotação da curva mais acima em relação ao eixo  de rotação. x y y=1 y = −2 + 2 + 1 r(x) r() = (−2 + 2 + 1) − 0 = −2 + 2 + 1 Agora o raio de rotação da curva mais próxima x y y=1 y = −2 + 2 + 1 r’(x) 10
  • 11. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA r () = 1 − 0 = 1 E finalmente fazemos: V = π 2 0 (r())2 − r () 2 d V = π 2 0 (−2 + 2 + 1)2 − (1)2 d V = π 2 0 4 − 43 + 22 + 4 d V = 56 15 π Exemplo 4: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas y = 1 4 2 + 1, y = 0,  = 1 e  = 4 em torno do eixo . Solução: A região entre as curvas (em azul) a seguir gera claramente um sólido maciço quando rotacionada em torno do eixo .  = 1  = 4 1 4 2 + 1 Figura 1. A extensão do raio de rotação será r() = 1 4 2 + 1 − 0.  = 1  = 4 1 4 2 + 1 r() 11
  • 12. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Figura 2: Raio de rotação. Sendo assim: V = π 4 1 [r()]2 d V = π 4 1 1 4 2 + 1 2 d V = 2103 80 π Exemplo 5: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas ( − 1)2 = 20 − 4y, y = 1 e y = 3 em torno do eixo  = 1. Solução: A região a ser rotacionada aparece em azul na imagem a seguir: ( − 1)2 = 20 − 4y eixo R y=1 y=3 Figura 1. Note que o raio de rotação, neste caso é limitado pela curva y = (−1)2 = 20−4y e pelo próprio raio de rotação  = 1. Assim: r() = 20 − 4y + 1 − 1 r() = 20 − 4y 12
  • 13. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA De modo que o volume será: V = π 3 1 20 − 4y 2 dy V = 24π Exemplo 6: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas y = 2 + 1 e y =  + 3 em torno do eixo . Solução: A figura a seguir mostra a região (em azul) a ser rotacionada. 2 + 1  + 3 -1 2 Figura 1. Claramente a região rotacionada em torno do eixo  gera uma figura oca. Se sentir dificuldade em visualizar isso pode tentar fazer um esboço tridimensional do sólido. Assim vamos determinar o raio de rotação da curva mais externa. 13
  • 14. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 2 + 1  + 3 -1 2 R r() = ( + 3) − 0 O raio de rotação da curva menos externa. 2 + 1  + 3 -1 2 R r () = 2 + 1 − 0 Em seguida calculamos o volume. V = π 2 −1 ( + 3)2 − (2 + 1)2 d 14
  • 15. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA V = 117 5 π Exemplo 7: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas y = 6  − 3 e y = 3  em torno do eixo . Solução: O gráfico das curvas descritas é mostrado a seguir. y = 6  − 3 y = 3  1 Nesse caso, procedemos assim: calculamos o volume formado apenas pela curva y = 3  e a reta  = 1. y = 3  1 r(x) V = π 1 0 3  2 d 15
  • 16. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA V = 9 2 π Agora calculamos o volume formado apenas pela curva y = 6  − 3 e a reta  = 1. y = 6  − 3 1 r(x) V = π 2 1 6  − 3 2 d V = 9π(3 − 4 · og(2)) Finalmente somamos esses dois resultados. V = 9 2 π + 9π (3 − 4 · og(2)) V = π 63 − 72 · og(2) 2 16
  • 17. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 17