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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Máximo e Mínimo Absoluto
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 18/04/2014 - Atualizado em 31/10/2018
O que são os máximos e mínimos?
O máximo valor absoluto de ƒ() é o maior valor que ƒ() assume num intervalo
[, b]. Analogamente o mínimo absoluto é o menor valor que ƒ() assume neste
mesmo intervalo.
Como encontrar um ponto de máximo ou mínimo?
Para determinar o máximo e/ou mínimo absoluto de ƒ() no intervalo [, b]
segue-se os seguintes passos:
Deriva-se a função ƒ().
Calcula-se os valores de  para o qual D(ƒ()) = 0.
Seja 0, 1, . . . , n os valores de  calculados no passo anterior calcula-
se: ƒ(1), . . ., ƒ(n) e também ƒ() e ƒ(b).
O maior valor de ƒ() calculado é o máximo absoluto.
O menor valor de ƒ() calculado é o mínimo absoluto.
Exemplo 1: Ache os extremos absolutos de f(x) = sn(2)+ cos(2) no intervalo
[0, π].
Solução:
Primeiro derivamos ƒ():
D(ƒ()) = 2cos(2) − 2sen(2)
Em seguida determinamos quais os valores de  resulta em D(ƒ()) = 0.
D(ƒ()) = 0
⇒ 2cos(2) − 2sen(2) = 0
⇒ cos(2) − sen(2) = 0
⇒ cos(2) = sen(2)
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Sabe-se que seno(θ) é igual ao cos(θ) quando θ =
π
4
. Assim, fazendo 2 =
π
4
teremos  =
π
8
.
Agora calculamos ƒ(π/4), ƒ(0) e ƒ(π).
ƒ(π/8) = sn(2(π/8)) + cos(2(π/8)) = 1.41
ƒ(0) = sn(2 · 0) + cos(2 · 0) = 1
ƒ(π) = sn(2π) + cos(2π) = −1
Logo f(π/8) é o ponto de máximo e f(π) é ponto de mínimo.
Exemplo 2: Ache os extremos absolutos de f(x) = 3 + 2 −  + 1 no intervalo
[-2, 0.5].
Solução:
A derivada de ƒ() é:
D(ƒ()) = 32 + 2 − 1.
Cujos zeros ocorrem para  = 1/3 e  = −1.
Fazendo ƒ(−1) e ƒ(1/3) chega-se à:
ƒ(−1) = (−1) + (1) − (−1) + 1 = 2
ƒ(1/3) ∼= 0.81
Testando agora os extremos do intervalo
ƒ(−2) = 1 e ƒ
1
2
= 1.875
Chegamos a conclusão de que o máximo absoluto ocorre em  = −1, quando
ƒ() = 2. E o mínimo absoluto ocorre quando  = 1/3, quando ƒ() = 0.81
Exemplo 3: Ache os extremos absolutos de ƒ() = 4 − 162 + 2 no intervalo [-1,
3].
Solução:
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
A derivada da função é D(ƒ()) = 43 − 32
Cujos zeros ocorrem para  = 0, e  = ±2 2.
Testando estes valores e os extremos do intervalo [-1, 3] chega-se à:
ƒ(0) = 2
ƒ(2 2) = −94
Não precisamos calcular ƒ(−2 2), pois −2 2 não pertence ao intervalo [−1, 3]
ƒ(−1) = −13
ƒ(3) = −61
Logo o valor de máximo ocorre para  = 0 e o valor de minimo para  = 2 2.
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Máximo e Mínimo Absoluto Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 18/04/2014 - Atualizado em 31/10/2018 O que são os máximos e mínimos? O máximo valor absoluto de ƒ() é o maior valor que ƒ() assume num intervalo [, b]. Analogamente o mínimo absoluto é o menor valor que ƒ() assume neste mesmo intervalo. Como encontrar um ponto de máximo ou mínimo? Para determinar o máximo e/ou mínimo absoluto de ƒ() no intervalo [, b] segue-se os seguintes passos: Deriva-se a função ƒ(). Calcula-se os valores de  para o qual D(ƒ()) = 0. Seja 0, 1, . . . , n os valores de  calculados no passo anterior calcula- se: ƒ(1), . . ., ƒ(n) e também ƒ() e ƒ(b). O maior valor de ƒ() calculado é o máximo absoluto. O menor valor de ƒ() calculado é o mínimo absoluto. Exemplo 1: Ache os extremos absolutos de f(x) = sn(2)+ cos(2) no intervalo [0, π]. Solução: Primeiro derivamos ƒ(): D(ƒ()) = 2cos(2) − 2sen(2) Em seguida determinamos quais os valores de  resulta em D(ƒ()) = 0. D(ƒ()) = 0 ⇒ 2cos(2) − 2sen(2) = 0 ⇒ cos(2) − sen(2) = 0 ⇒ cos(2) = sen(2) 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Sabe-se que seno(θ) é igual ao cos(θ) quando θ = π 4 . Assim, fazendo 2 = π 4 teremos  = π 8 . Agora calculamos ƒ(π/4), ƒ(0) e ƒ(π). ƒ(π/8) = sn(2(π/8)) + cos(2(π/8)) = 1.41 ƒ(0) = sn(2 · 0) + cos(2 · 0) = 1 ƒ(π) = sn(2π) + cos(2π) = −1 Logo f(π/8) é o ponto de máximo e f(π) é ponto de mínimo. Exemplo 2: Ache os extremos absolutos de f(x) = 3 + 2 −  + 1 no intervalo [-2, 0.5]. Solução: A derivada de ƒ() é: D(ƒ()) = 32 + 2 − 1. Cujos zeros ocorrem para  = 1/3 e  = −1. Fazendo ƒ(−1) e ƒ(1/3) chega-se à: ƒ(−1) = (−1) + (1) − (−1) + 1 = 2 ƒ(1/3) ∼= 0.81 Testando agora os extremos do intervalo ƒ(−2) = 1 e ƒ 1 2 = 1.875 Chegamos a conclusão de que o máximo absoluto ocorre em  = −1, quando ƒ() = 2. E o mínimo absoluto ocorre quando  = 1/3, quando ƒ() = 0.81 Exemplo 3: Ache os extremos absolutos de ƒ() = 4 − 162 + 2 no intervalo [-1, 3]. Solução: 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA A derivada da função é D(ƒ()) = 43 − 32 Cujos zeros ocorrem para  = 0, e  = ±2 2. Testando estes valores e os extremos do intervalo [-1, 3] chega-se à: ƒ(0) = 2 ƒ(2 2) = −94 Não precisamos calcular ƒ(−2 2), pois −2 2 não pertence ao intervalo [−1, 3] ƒ(−1) = −13 ƒ(3) = −61 Logo o valor de máximo ocorre para  = 0 e o valor de minimo para  = 2 2. 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 4