(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas

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Exercícios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmica.
Propriedades operatórios dos loagaritmos.

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(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas

  1. 1. 1 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”. (Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE LOGARITMOS Elaborado por: Mathusso Jucuiana1 Lembre-se antes da definição de logaritmo: xNb =log , com Nbx = . 1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos: a) b) c) d) e) f) g) h) 2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental: a) b) c) d) 3. Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental: a) b) c) d) 4. Calcule o valor: a) b) c) Continua => 1 Licenciado em ensino de Matemática pela Universidade Católica de Moçambique. Lecciona matemática desde 2010 (6ª à 10ª Classe). 2 3 32 444)4( 4log64log 3232 3 416 2 =⇔=⇔ =⇔=⇔ =⇔= xx xx xx 8 1 4 1 2 1 2 1 4 2 1 )5( 5log5log 4 2 1 5625 4 =⇔×=⇔ =⇔=⇔ == xx x x x 61/661 5 1 5 1 10 2 log 1000000 64 log)000064,0(log 61 6 6 5 1 55 1 −=⇔−=−⇔=−⇔       =               ⇔=⇔ == −       − xxx x x x ( ) 6 1 2 1 3 1 3 1 277 7log7log 3 1 2 3 1 7 3 49 2 =⇔×=⇔ =⇔=⇔ == xx x x x ( ) ( ) ( ) 3557 7 5 1 22 2log128log 7 5 1 7 2 2 5 15 =⇔×=⇔ =⇔=   ⇔ == xx x x x ( ) ( ) 4 3 2 3 2 2 1 13 3log33log33log 2 2 1 1 3 2 1 99 2 =⇔ =⇔+=⇔ =×= + x x x ( ) 4 3 8 6 22 2log64log 8 6 8 6 2 8 2 =⇔=⇔=⇔ == xx x x 222 2 1 log 4 1 log 100 25 log25,0log 2 22 222 −=⇔=⇔=⇔ =⇔== − xx xx x N NN =⇔ =⇔= 125 53log 3 5 N NN =⇔ =⇔= 256 28log 8 2 N NN =⇔ =      ⇔−= 512 1 2 1 9log 9 2 ( ) NNN =⇔=⇔= 332log 2 3 33481log 44 =⇔=⇔= aaa ( ) 5413log1 81log3log813log 4 3 333 =+=+= +=× 3692log2log 64log512log 64 512 log 6 2 9 2 222 =−=−= −= ( ) 116321 2log2log2log1 64log8log4log2log 64842log 6 2 3 2 2 2 2222 2 =+++= +++= +++ =××× ( ) 33 3 3 3 33333333939 2 1 27log 2 1 2 1 223 2 1 9 =⇔=⇔ =⇔=⇔=×⇔×=⇔=⇔= aa aaaaaa ( ) 22 221024201024log 2 10102102020 =⇔=⇔ =⇔=⇔=⇔= aa aaaa 1010210log 2 =⇔=⇔= aaa
  2. 2. 2 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”. (Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com Continuação d) e) f) 5. Calcule o valor das expressões: a) b) c) d) e) f) 6. Determinar o valor de x para o qual: a) b) c) d) Continua => 415132 17log7log 7log343log49log 7 34349 log 3 7 2 7 777 7 =−=−+= −+= −+=       × 2 3 2 58 2 5 432log16log 2 5 2log32log 42log16log 32log16log 42 5 24 4 22 42 2 = − = −=−∴ == == =− ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3log125loglog 35log125log 125loglog 1 3 15 3 1 3 55 5 3 1 −=⇔       =      ⇔= == = − x x ( ) ( ) 101033 10331024log 64 27 log8log 102log1024log 3 3 4 log 4 3 log 64 27 log 3 2 1 log2log8log 1024log 64 27 log8log 2 3 4 2 1 10 22 3 3 43 3 3 4 3 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2 3 4 2 1 −=−+−= −−−−=−−∴ == −=      == −=      == =−− − − 6 17 6 8918 3 4 2 3 316log33log001,0log 3 4 2log16log 2 3 3log3log 27log27log33log33log 310log 10 1 log 1000 1 log001,0log 16log33log001,0log )2()3( )6( 8310 4 28 2 3 3 2 1 3 3 2 1 33 2 33 3 103101010 8310 3 −= −+− = −+    −=−+∴ ==→ === ==×=→ −====→ =−+ × − 3 4 5log 5log 3log 4log 555 555 3 5 4 5 5 53log 4log 3log 1 4log 3log 5log 4log 3log44log3log 4 5 5 5 5 5 5 4554 == ==== == × × ×× lo ( ) 7 5 3log 3log 7log 5log 333 333 7 3 5 3 1 3 37log 5log 7log 1 5log 7log 3log 5log 7log5log5log7log 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 5335 − = ==== == −− × × −××− −− − 10 522log22log 25log222 2 5 2 2 5log5log2 2 22 = ×=⇔=⇔ =⇔= ( ) 9 4 18 8 18 4 2 4 18 2 4 3 6 2 2 1 2 3 6 20 2log6 10log0 2log2log 100 1 log0 8log 64 1 log 01,0log1log 2 3 2 2 10 3 2 6 2 10 42 103 2 2 −=−= − ×−= − − = ×− − =       ××− −+ = ×− + = × + = × + − − 2 2 221287128log 777 =⇔=⇔=⇔= xxxx 322828log 3 2 =⇔=⇔=⇔= xx xx ( ) xxx =⇔=⇔= 6443log 3 4 ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2log 1 2 1 −=⇔      =      ⇔=      ⇔= − xx xx
  3. 3. 3 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”. (Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com Continuação e) f) 7. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b: a) Seja igual a 0. Solução: O valor de x deve ser 1. b) Seja igual a 1. Solução: O valor de x deve ser igual a valor de b. c) Seja igual a -1. Solução: O valor de x deve ser inverso de b. II PARTE 1. Calcule: a) b) c) d) 2. Calcule o valor de x: a) b) c) d) e) 3. Calcule: a) b) c) d) e) 4. Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule       c ba 2 . log . Solução: 12214295235loglogloglog 22 2 =−=−+=−+=−+=      × cba c ba 5. Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule 3 12log x . Solução: ( ) 3log 3 1 2log 3 2 3log2log32log12log 3 1 3 2 3 1 23 xxxxxx +=+=×= 6. Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100log a Solução: ( ) 5log22log25log2log52log100log 2222 aaaaaa +=+=×= Continua => 122 2 1 2 2 1 log 1 2 −=⇔=⇔=⇔= − xx xx 1 4 3 4 3 3 4 4 3 3 4 log 1 4 3 −=⇔       =      ⇔=      ⇔=      − x x xx 33log27log 3 33 == 3 5 1 log5log125log 3 5 1 3 5 1 5 1 =      == 4 5 2 1 2 5 2 2 5 2 5 2 222log 2log32log 2 5 22 5 2 5 24 2 2 =⇔ ×=⇔÷=⇔=⇔ =⇔=⇔ == x xxx x x x 3 3 2 log 3 2 log 27 8 log 3 3 23 3 3 2 3 2 =      == 2238log 33 =⇔=⇔= xxx 4 1 4 1 16 1 2 16 1 log 2 22 =⇔      =⇔=⇔= xxxx 3225log 5 2 =⇔=⇔= xxx 2 3 32333log27log 323 39 2 =⇔=⇔=⇔=⇔= xxxx x 5 2 1 2 1 2 2 1 32log 5 5 2 1 −=⇔      =      ⇔=      ⇔= − xx xx 32log 3 2 −=− 2 1 7log7log 2 1 77 == 75 7log5 = 2137 222 3log7log3log7log 2222 =×= ×=+ 40104522222 25log225log22 22 =×=××=×=+
  4. 4. 4 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”. (Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com Continuação 7. Resolva as seguintes equações: ( ) ( ) { }3 3 2 6 62610221022102log2102log 2 24 2 = =⇔−=⇔−=⇔+−=⇔=+⇔=+⇔=+ S xxxxxxx ( )( ) 21loglog 32 =−x ( ) ( ) ( ) 60 17717127log 2 2222222 1 == −=−⇔+=+⇔+=+⇔=++ x xxxxxxxx ( ) ( ) ( ) { }3 33993363633 6log33log6log13log6log1log3log 2222222 = =⇔÷=⇔=⇔+=⇔=−⇔ =−⇔=−⇔=−+ S xxxxx xxx ( ) ( ) ( )       −= −=⇔−=⇔−=⇔ =+⇔=+⇔=+⇔=++ 2 1 2 1 12212 122122log112log11log2log 3333 S xxx xxxx f) 0222logloglog2loglog2 222 =−⇔=⇔=⇔+= xxxxxxxx ( ) ( ) ( ) 0323274424472 14722 1 72 log21log72log 2222 22 2 22 2 2 =−−⇔=−⇔+−=−+⇔−=−+⇔ −=−+⇔=      − −+ ⇔=−−−+ xxxxxxxxxx xxx x xx xxx NB: Para as equações que são preciso recorrer a fórmula de Báskhara para achar a sua solução, apenas levamos o x com o qual é possível tornar verdadeira a equação logaritmica. Daí termos apenas uma solução ao invés das duas soluções obtidas. Isto não descarta a ideia de termos duas soluções numa equação como o caso do número que segue. Continua => ( ) ( ) { }10 1019913121log 2 3 = =⇔+=⇔=−⇔=−⇔=− S xxxxx d) e) ( ) { }2 02 2 0 2 4 2 22 2 22 2 22 2 42 12 01422 2 4 212121 22 = =∧=⇔=∧=⇔ − =∧ + = ⇔ ± =⇔ ± =⇔ × ××−−± =⇔ −±− = S xxxxxx xxx a acbb x ( ) { }3 13 2 2 2 6 2 42 2 42 2 42 2 162 12 31422 2 4 212121 22 = −=∧=⇔ − =∧=⇔ − =∧ + =⇔ ± =⇔ ± =⇔ × −××−−± =⇔ −±− = S xxxxxx xxx a acbb x a) b) c) g) ⇒Indeterminado
  5. 5. 5 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”. (Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com Continuação 8. Determine a solução da equação: ( ) ( ) ( )72log13log2log 222 −+=−+− xxx ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] 0209 0146451446572232 72log2log32log72log13log2log 2 22 222222 =+−⇔ =++−−⇔−=+−⇔−=−−⇔ −+=−−⇔−+=−+− xx xxxxxxxxx xxxxxx { }4;5 4 2 8 5 2 10 2 19 2 19 1 19 2 19 12 201499 2 4 2121 22 = ==∧==⇔ − =∧ + =⇔ ± =⇔ ± == × ××−± =⇔ −±− = S xxxx xxx a acbb x

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