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Centro Educacional Adventista do Gama
3º Bimestre
Professora Andréia
9º ano
Matemática
Material de Apoio
Equações Biquadradas, Irracionais e fracionárias.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um
termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
Cuidado!
x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só
possui expoentes pares.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,
transformando-a numa equação do 2º grau.
Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação
biquadrada.
Sequencia prática
Substitua por ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
Resolva a equação ay2 + by + c = 0
Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0
dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a
nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
1) Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=4 e y''=9
Como x2= y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
2) Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=6 e y''= -10
Como x2= y, temos:
Logo, temos para o conjunto verdade: .
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações
são irracionais.
Ou seja:
Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando
transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os
membros da equação a uma potência conveniente.
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos
se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da
equação irracional dada (verificar a igualdade).
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação
a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.
1) Qual é o conjunto solução da equação ?
Solução
Logo, V= {58}.
2) Qual é o conjunto solução da equação ?
Solução
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
3) Qual é o conjunto solução da equação
Resolução:
Verificação:
7 = 7 (sentença verdadeira)
Portanto, S = {48}
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
As equações são expressões que utilizam LETRAS na representação de valores
desconhecidos. Algumas equações são apresentadas com frações em seu
desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas fundamentais para a
resolução. No caso das frações, devemos reduzir os denominadores ao mesmo valor,
aplicando o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado, devemos
dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar o resultado pelo numerador
correspondente.
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9º ano matutino
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Listão 8º ano
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Lista resolvida 9º ano
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Lista 7º ano
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Material de apoio 9ºano

  • 1. Centro Educacional Adventista do Gama 3º Bimestre Professora Andréia 9º ano Matemática Material de Apoio Equações Biquadradas, Irracionais e fracionárias.
  • 2. EQUAÇÕES BIQUADRADAS Observe as equações: x4 - 13x2 + 36 = 0 9x4 - 13x2 + 4 = 0 x4 - 5x2 + 6 = 0 Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos. Denominamos essas equações de equações biquadradas. Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma: ax4 + bx2 + c = 0 Exemplos: x4 - 5x2 + 4 = 0 x4 - 8x2 = 0 3x4 - 27 = 0 Cuidado! x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0 As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada. Sequencia prática Substitua por ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0. Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
  • 3. Exemplos: 1) Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0. Solução Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: y2 - 13y + 36 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos: y'=4 e y''=9 Como x2= y, temos: Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}. 2) Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0. Solução Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: y2 + 4y - 60 = 0 Resolvendo essa equação, obtemos: y'=6 e y''= -10 Como x2= y, temos: Logo, temos para o conjunto verdade: .
  • 4. EQUAÇÕES IRRACIONAIS Considere as seguintes equações: Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais. Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada (verificar a igualdade). É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. 1) Qual é o conjunto solução da equação ? Solução Logo, V= {58}.
  • 5. 2) Qual é o conjunto solução da equação ? Solução Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. 3) Qual é o conjunto solução da equação Resolução: Verificação: 7 = 7 (sentença verdadeira) Portanto, S = {48}
  • 6. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS As equações são expressões que utilizam LETRAS na representação de valores desconhecidos. Algumas equações são apresentadas com frações em seu desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas fundamentais para a resolução. No caso das frações, devemos reduzir os denominadores ao mesmo valor, aplicando o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado, devemos dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar o resultado pelo numerador correspondente. EXEMPLOS
  • 11. A prática leva a perfeição!!