OIM 2012 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012                                                                  ...
Soluções dos problemas1) Alternativa (A): Utilizando módulo, podemos perceber que 2012 ≡ 3 (mod 7). Logo, devemosperceber ...
6) Alternativa (B): Apenas os números quadrado perfeitos têm uma quantidade ímpar de divisores.Como o maior quadrado perfe...
1ª Solução: Podemos descobrir de que tipo é o triângulo ABQ sabendo a medida de seus ângulos. Como oeneágono é regular, sa...
Logo, AE = EG = GB = 5 e AE = EG + GB = 10 cm.2ª Solução: Baseando-se na figura mostrada acima, podemos mostrar que como o...
• A identidade de A é 3:Nesse caso, as possibilidades são 12, 21 e 30. Logo, temos 3 números cuja identidade é 3.• A ident...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012

1.066 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.066
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012

  1. 1. OIM 2012 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 201 ível 2 Gabarito Questão A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Anulada 13 14 15 16 17 18 19 20Obs.: • Cada questão da 1ª Fase vale 1 ponto (o total é de 20 pontos). • a questão A ULADA, todos os alunos devem receber 1 ponto.
  2. 2. Soluções dos problemas1) Alternativa (A): Utilizando módulo, podemos perceber que 2012 ≡ 3 (mod 7). Logo, devemosperceber o resto da divisão do número 3௡ por 7.Vejamos: 3଴ ≡ 1 (݉‫)7 ݀݋‬ 3ଵ ≡ 3 (݉‫)7 ݀݋‬ 3ଶ ≡ 2 (݉‫)7 ݀݋‬ 3ଷ ≡ 6 (݉‫)7 ݀݋‬ 3ସ ≡ 4 (݉‫)7 ݀݋‬ 3ହ ≡ 5 (݉‫)7 ݀݋‬ 3଺ ≡ 1 (݉‫)7 ݀݋‬Podemos ver que os restos se repetem de 6 em 6. Logo, o resto de 2012ଶ଴ଵଶ na divisão por 7 é 2. Logo, omenor número que devemos subtrair de 2012ଶ଴ଵଶ para obter um múltiplo de 7 é 2.2) Alternativa (B): Devemos na verdade procurar os números que não são múltiplos de 3 ∙ 8 = 24.O maiormúltiplo de 24 com 2 algarismos é 96 (4 ∙ 24) e o maior múltiplo de 24 com 3 algarismos é 975 (39 ∙ 24).Logo existem 39 − 4 + 2 = 37 múltiplos de 24 com 3 algarismos.Como existem 999 − 100 + 1 = 900números de 3 algarismos, temos 900 − 37 = 863 números que não são múltiplos nem de 3 nem de 8.3) Alternativa (A): Pela análise da figura, podemos ver que cada faixa sombreada pode ser transposta emcima de uma faixa branca, o que nos faz perceber que a área sombreada é metade da área total da figura. ଶ଴ଵଶLogo, essa área é de = 1006 cm². ଶ4) Alternativa (E): Vamos considerar o número natural ݊ representando o mdc(ܽ, ܾ). Partindo dainformação disponibilizada pelo enunciado, temos que mmc(ܽ, ܾ) = 2൫mdc(ܽ, ܾ)൯ → mmc(ܽ, ܾ) = 2݊.Por definição, sabemos que o produto do mdc pelo mmc de dois números naturais é equivalente ao produtodesses números, podemos afirmar que: mmc(ܽ, ܾ) ∙ mdc(ܽ, ܾ) = ܾܽSubstituindo os valores dados, temos que 2݊ ∙ ݊ = 8 → 2݊² = 8 → ݊ = 2. Logo, mmc(ܽ, ܾ) = 4 emdc(ܽ, ܾ) = 2. Concluímos então que ܽ e ܾ são 2 e 4 (não necessariamente nessa ordem e que ܽ + ܾ =2 + 4 = 6.5) Alternativa (C): Analisando os resultados, percebemos que ao digitar a multiplicação ‫ ݕݔ‬a calculadorafornece na verdade o resultado de (‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ) − ‫ .ݕ2 − ݕݔ‬Realmente, vemos que 4 ∙ 5 = (4ଶ + 5ଶ ) − 4 ∙5 − 2(5) = 11 e 7 ∙ 3 = (7ଶ + 3ଶ ) − 7 ∙ 3 − 2(3) = 31. Logo, se Gabriel digitar em sua calculadora ovalor 8 ∙ 7, sendo que, nesse caso, ‫ 8 = ݔ‬e ‫ ,7 = ݕ‬obterá como resultado (8ଶ + 7ଶ ) − 8 ∙ 7 − 2(7) = 43. 2
  3. 3. 6) Alternativa (B): Apenas os números quadrado perfeitos têm uma quantidade ímpar de divisores.Como o maior quadrado perfeito menor que 2012 é 1936 e √1936 = 44, temos que há 44 números de 1 a ,2012 com quantidade ímpar de divisores.7) Alternativa (D): O enunciado nos fornece a informação de que a área do triângulo escaleno é 40% daárea do triângulo isósceles e que juntos eles formam um quadrilátero de área 98 cm². Partindo disso,podemos afirmar que a área do quadrilátero é a soma da área do triângulo isósceles com a área do triânguloescaleno. Considerando como ‫ ݔ‬a área do triângulo isósceles, podemos afirmar que a área do triângulo ସ଴௫ ସ଴௫escaleno é . Logo, temos que ‫+ ݔ‬ = 98. Resolvendo a equação, temos que ‫ 07 = ݔ‬cm². Como ‫ݔ‬ ଵ଴଴ ଵ଴଴representa a área do triângulo isósceles, a área do triângulo escaleno é de 98 − 70 = 28 cm².8) Alternativa (B): João pode escolher 2 dos 4 números num total de 3 + 2 + 1 = 6 formas diferentes.Destas, apenas 2 têm como soma 8 (I + IV e II + III). Logo, a probabilidade de que João escolha 2 números ilidade ଶcuja soma seja 8 é = 33, 3%, mais próximo de 35%. , ଺9) Alternativa (B): Se o complemento de A ෡ C é 58°, temos que ABC = 90° - 58º = 32°. Como AB = AC, AB ෡ ෡então o triângulo ABC é isósceles e, consequentemente, A ෡ C = BAC = 32º. Percebemos que AB e DE são ABparalelas e são cortadas pelo segmento AE. Temos que B ෡ C = CED = 32°. BA ෡10) Alternativa (A): H 1 = 1H 2 = 2 + 4 = 6 = 2(1 + 2)H 3 = 3 + 6 + 9 = 18 = 3(1 + 2 + 3) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮H10 = 10 + 20 + 30 + ... + 100 = 550 = 10(1 + 2 + 3 + ... + 10)Logo, H1 + H 2 + H 3 + ... + H10 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)(31) = 55 × 31 = 170511) Alternativa (A): A figura abaixo ilustra o eneágono regular ABCDEFGHI com o ponto Q, tal que ABCDEFGHIAQ = BQ. 3
  4. 4. 1ª Solução: Podemos descobrir de que tipo é o triângulo ABQ sabendo a medida de seus ângulos. Como oeneágono é regular, sabemos que seus ângulos são congruentes. A soma de seus ângulos internos é ଵଶ଺଴°(9 − 2) ∙ 180° = 7 ∙ 180° = 1260°. Então, cada ângulo mede = 140°. ଽVemos que o segmento AE divide o eneágono em um pentágono ABCDE e em um hexágono AIHGFE. ෡ ෠ ෡ ෡ ෡Podemos constatar que ABC = BCD = CDE = 140º e BAE = AEB.Temos que num pentágono a soma dos ângulos internos é (5 − 2) ∙ 180° = 3 ∙ 180° = 540°. Logo, temos ෡ ෠ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡que ABC + BCD + CDE + BAE + AEB = 540°, de onde tiramos que BAE + AEB = 120° e ଵଶ଴° ෡ ෡consequentemente, que BAE = AEB = ෡ ෡ = 60°. Já que AQ = BQ, então temos que BAQ = ABQ = 60°, o ଶ ෡que nos leva a afirmar que AQB = 60° e que o triângulo ABQ é equilátero.2ª Solução: Perceba que BDEQ é um paralelogramo e, portanto, DE = BQ. Como BQ = AQ e BQ = AB,isto implica que AQ = AB e que AQ=AB=BQ, o que nos mostra que ABQ é equilátero.12) Questão Anulada.13) Alternativa (D): observado o último algarismo das potências de 2, 3 e 4 e sua periodicidade, podemosconstatar que o último algarismo de 22010 é 4, assim como o último algarismo de 32011 é 7 e o último 2010algarismo de 4 2012 é 6. Logo, o último algarismo de 2 + 32011 + 42012 é 4 + 7 + 6 = 17, cujo últimoalgarismo é 7.14) Alternativa (E): 1ª Solução: Vamos dividir a figura em 5 triângulos: A E d B C DPodemos ver que 4 dos 5 triângulos são equiláteros e um deles é isósceles, mas eles têm áreas equivalentes.Se traçarmos um segmento FG perpendicular à AD ligando os vértices dos dois triângulos equiláteroscentrais, como mostra a figura abaixo, perceberemos que AFG é igual a ECB, já que eles possuem seusângulos congruentes e seus lados iguais. A E F G d B C D 4
  5. 5. Logo, AE = EG = GB = 5 e AE = EG + GB = 10 cm.2ª Solução: Baseando-se na figura mostrada acima, podemos mostrar que como os triângulos AEF, EFC eFDC são iguais, AF = FD = 5, e AD = 10 cm. Pelos triângulos AFE, EFC e FDC serem semelhantes aotriângulo AGD, então AD = AG = GD =10 cm e como o triângulo GCB é isósceles, então AB mede 10 + 5= 15 cm. Logo, EB = AB - AE = 15 - 5 = 10 cm.15) Alternativa (E): Como o time Bom de Bola FC ganhou 68 pontos e perdeu 12 pontos no torneio defutebol, foram disputados 68 + 12 = 80 pontos nesse campeonato. Logo, 80 é 100% dos pontos. Utilizandouma regra de três simples, temos: 80 68 = → 80‫%58 = ݔ → 0086 = ݔ‬ 100 ‫ݔ‬Logo, o aproveitamento do Bom de Bola FC foi de 85% dos pontos disputados.16) Alternativa (C): De acordo com a segunda afirmação, Daniel não gosta de suco de pêssego. Já queCarlos e Eduarda gostam de sucos de mamão e laranja, respectivamente, Daniel também não tempreferência por esses sabores. Como Bernardo não gosta de suco de uva e Daniel tem a mesma opinião queele, Daniel também não gosta de suco de uva. Logo, o único sabor de suco que não foi citado é o suco queDaniel gosta, ou seja, suco de abacaxi.17) Alternativa (A): Vamos considerar x o valor do tempo que Antenor demorou para realizar a viagemde ida.Como a velocidade dele permaneceu constante, ele percorreu no total 84x km.Na volta, ele teve uma velocidade média de 72km/h, demorando uma hora a mais do que na ida (ou seja,x + 1 horas). Logo, ele percorreu no total 72( x + 1) km. Mas a distância percorrida na viagem de ida e naviagem de volta é a mesma. Então, 84 x = 72( x + 1) . Resolvendo a equação, obtemos x = 6 . Logo, adistância entre Mamolândia e Jabolândia é de 84 ⋅ 6 = 504 km.18) Alternativa (A): Analisando o enunciado, podemos perceber que ele diz que o número que procuramosdeixa resto 8 quando dividido por 7. Como o resto deve ser sempre menor que o divisor, podemos dizer quedizer isso é equivalente a dizer que o número deixa resto 1 quando dividido por 7. Logo, estamosprocurando o menor número que deixa resto 7 ao ser dividido por 8 e resto 1 ao ser dividido por 7. O menornúmero que cumpre essas condições é 15, cuja soma dos algarismos é 1 + 5 = 6.19) Alternativa (B): Observe que a maior soma possível para os algarismos de um número de 2 algarismosé 18 (equivalente a 9 + 9) e portanto, a maior identidade possível para o número A é 18. Como os númerosprimos menores que 18 são 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17, devemos procurar todos os números de 2 algarismos cujaidentidade seja um desses números. Analisemos cada caso:• A identidade de A é 2:As únicas possibilidades para este caso são 11 e 20 (já que não existem números de 2 algarismos quecomeçam com 0). Logo, temos 2 números cuja identidade é 2. 5
  6. 6. • A identidade de A é 3:Nesse caso, as possibilidades são 12, 21 e 30. Logo, temos 3 números cuja identidade é 3.• A identidade de A é 5:As possibilidades nesse caso são 14, 23, 32, 41 e 50, totalizando 5 números cuja identidade é 5.• A identidade de A é 7:As possibilidades para este caso são 16, 25, 34, 43, 52, 61 e 70. Portanto, temos 7 números cuja identidadeé 7.• A identidade de A é 11:Neste caso, as possibilidades são 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92. Logo, temos 8 números cuja identidade é11.• A identidade de A é 13:Temos as seguintes possibilidades: 49, 58, 67, 76, 85 e 9. Portanto, temos 6 números cuja identidade é 13.• A identidade de A é 17:As únicas possibilidades para este caso são 89 e 98. Logo, temos 2 números cuja identidade é 17.Após analisar todos os casos, concluímos que existem 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 6 + 2 = 33 números de 2algarismos cuja identidade é um número primo.20) Alternativa (A): Como o enunciado diz que a mistura tem 4 litros, sendo que há 1 litro a mais de leitedo que de café, podemos concluir que, inicialmente há 2,5 litros de leite e 1,5 litros de café. Colocados x 75litros de leite para que tenhamos 75% de café na mistura, basta que ( x) = 1,5 , donde x = 2 . 100 6

×