Lista de exercícios de fixação - geometria analítica

1. PRODUTO VETORIAL
01) Dados os vetores u 
=( –1,3,2),v 
=(1,5,–2) e w 
=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
a) u 
v 
b) v 

 w
c) v 
(u 

)
 w
d) (v 
u 

) w
e)(u 
+v 

) f) (u 
– w
)(u 
+ w


) w
RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64)
f)(–3,–13,18)
02)Determinar o vetor x 

=(2,–3,0) e tal que x 
, paralelo ao vetor ao vetor w
 u 
= v , onde u 
=(1,–1,0) e v
=(0,0,2). RESP: x 
=(4.–6,0)
03) Determinar o vetor v 
, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que
satisfaz a seguinte condição; 10 ) k 7 j 2 i ( v     . RESP:   1, 5, 7v
04)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que w v u   ,sendo ) 1 , 1, 1( u   e ) 1, 1 , 2( w   .
RESP: v =(1,0,1)

=(–1,–1,0) e 2 v
05)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1 v

=(0,–1–1).
1
RESP:  1, 
1,1
3

=(3,0,1). Determine o vetor v
06) Dado o vetor 1 v

=(x,y,z), sabendo-se que v

é ortogonal ao eixo OX, que

 1 v
 v


 1 v
= 14 6 , e que v


=4. RESP: v  (0,  6, 4)

=(1,1,1) e v
07) Dados os vetores u

=(2,3,4), calcular:

e v
a) A área do paralelogramo de determinado por u

;

.
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u
RESP: a)A= . a. u6 b) . c . u 2 h 
08)Dados os vetores u 
=(2,1,1) e v  =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do paralelogramo
determinado por u 
e v 
seja igual a 62 u.a.(unidades de área).
RESP: =3
09) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao
eixo OY. Calcule as coordenadas de C.


1
RESP: (0,3,0) ou 

0 ,
5
0,

2. 10)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura
3 35
relativa ao lado BC. RESP: u.c.
7
h 
11) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3).
RESP: d=
3 35
7
u.c. (calcule a área do triângulo MNP; a distância entre o ponto P e a reta será a altura)
PRODUTO MISTO
01) Qual é o valor de x para que os vetores a 
=(3,–x,–2), b 
=(3,2,x) e c 
=(1,–3,1) sejam coplanares.
RESP: x=14 ou x=–2
02) Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma
mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1

= 2 i
03) Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u

– j

e

+k

= i
v

– j

e w

+ j

=x i

, seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3

–3k

=(1,1,0), v
04) Sejam os vetores u
  
   . Determinar o

=(2,0,1) e w1  3u  2v , w2  u  3v e w3 i j 2k
volume do paralelepípedo definido por 1 w , 2 w e 3 w . RESP: V=44 u.v.
05) Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do
quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.
RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)
06) São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de
20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AC , AB e AD .
RESP: m=6 ou m=2

=(1,1,0), v
07) Sendo u

=(2,1,3) e w

=(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro
ABCD, onde B=A+u 
. C=A+v 
e D=A+ w

.
19
RESP: S= ua
2
5
,V= uv
6
08) Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).
4 6
RESP: u.c.
11
h 
09)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,–
3,0). RESP:
5 174
58
u.c.

3. 10) Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo
coordenado OZ. Calcule:
a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ;
c)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12 3 6 3  u.c. c)
1
3 3
u.c.

, A O
11) São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que D O



e OA
OB

sejam coplanares, OD

 OC

 OB

= –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14.
RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)