1.
Limite de fun¸˜es de duas vari´veis reais
co a
Defini¸˜o: Seja f uma fun¸˜o de duas vari´veis cujo dom´
ca ca a ınio D cont´m pontos arbitrariamente pr´ximos de
e o
(a, b). Dizemos que o limite de f (x, y) quando (x, y) tende a (a, b) ´ L e escrevemos
e
lim f (x) = L
(x,y)→(a,b)
se para todo > 0 existe um n´mero correspondente δ > 0 tal que
u
se 0 < (x − a)2 + (y + b)2 < δ ent˜o |f (x, y) − L| < .
a
3x2 y
Problema: Mostrar que lim(x,y)→(0,0) x2 +y 2 = 0.
Pela defini¸˜o de limite, temos que mostrar que
ca
para todo > 0 existe um δ > 0 tal que
3x2 y
se 0 < (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ ent˜o
a x2 +y 2 −0 < .
Reescrevendo:
para todo > 0 existe um δ > 0 tal que
3x2 y
se 0 < x2 + y 2 < δ ent˜o
a x2 +y 2 < .
ınio da fun¸˜o ´ Dom f = R2 (0, 0).
Obs.: O dom´ ca e
Demonstra¸˜o
ca
3x2 y
1a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de
ca o e x2 +y 2
Como y 2 ´ sempre um n´mero positivo, sabemos que
e u
x2 ≤ x2 + y 2 . (1)
Em outras palavras, x2 somado a algum n´mero positivo tem necessariamente que ser maior ou igual a si
u
pr´prio.
o
Dividindo ambos os lados da desigualdade (1) por x2 + y 2 , encontramos:
x2
≤ 1. (2)
x2 + y2
Note que tal divis˜o s´ pode ser feita porque temos certeza que x2 + y 2 > 0, pois (0, 0) n˜o pertence ao dom´
a o a ınio
da fun¸˜o.
ca
Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o (2) por 3|y|, obtemos
ca
3x2 |y|
≤ 3|y|. (3)
x2 + y 2
Mas, pelas propriedades de m´dulo |y| =
o y 2 , ent˜o 3|y| = 3 y 2 . Assim,
a
3x2 |y|
≤3 y2 . (4)
x2 + y 2
Sabemos que y 2 ≤ x2 + y 2 , ent˜o
a y2 ≤ x2 + y 2 . Logo, 3 y 2 ≤ 3 x2 + y 2 . Da´
ı,
3x2 |y|
≤3 y2 ≤ 3 x2 + y 2 . (5)
x2 + y 2
Pela propriedade transitiva das desigualdades (se a < b < c ent˜o a < c), conclu´
a ımos que
3x2 |y|
≤3 x2 + y 2 . (6)
x2 + y 2
1

2.
3x2 |y| 3x2 y
Como x2 e y 2 s˜o n´meros maiores ou iguais que zero,
a u x2 +y 2 = x2 +y 2 . Ent˜o,
a
3x2 y
≤3 x2 + y 2 . (7)
x2 + y 2
2a parte: manipula¸˜o l´gica e alg´brica de
ca o e x2 + y 2
Dada a desigualdade 0 < x2 + y 2 < δ, multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos
0<3 x2 + y 2 < 3δ. (8)
3a parte: conclus˜es
o
A partir de (7) e (8), obtemos
3x2 y
≤3 x2 + y 2 < 3δ. (9)
x2 + y 2
e conclu´
ımos, usando a propriedade transitiva das desigualdades, que
3x2 y
< 3δ. (10)
x2 + y 2
Escolhemos, convenientemente, δ = 3. Note que δ > 0, pois, por hip´tese,
o > 0. Substituindo δ em (10),
obtemos
3x2 y
< . (11)
x2 + y 2
3x2 y
Assim, provamos que para todo > 0, existe um δ > 0 tal que x2 +y 2 < sempre que 0 < x2 + y 2 < δ.
2