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M AT E M Á T I C A
19 a
Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e
y = 16 – 0,125, é verdade que
a) x = y
b) x > y
c) x . y = 2 2
d) x – y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.
Resolução
                           0,25
                        1
1º) x = (0,25)0,25 = –––        = (2 – 2)0,25 = 2 – 0,5
                        4
2º) y = 16 – 0,125 = (24) – 0,125 = 2 – 0,5
3º) x = y = 2 – 0,5


20 b
Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função f, de *
                                                   +
em , definida por f(x) = logbx, com b ∈ * e b ≠ 1.
                                          +




O módulo do número complexo z = b2 – bi é
                                                6
a) 3       b) 2 3    c) 2 5     d) 3 10 e) 2 . 4
Resolução
1) f(x) = logbx ⇒ f(3) = logb3 = 2 ⇒ b2 = 3 ⇒ b = 3,
   pois b > 0
                        2
2) z = b2 – bi = ( 3 ) –        3i=3–         3i
                            2
3) z =     32 + (–     3) = 12 = 2 3


21 c
O vigésimo quinto termo da seqüência
(sen 30°, sen 60°, sen 90°, sen 120°, sen 150°,...) é
       3         1       1         3
a) – –––– b) – ––– c) ––– d) –––– e) 1
      2          2       2        2

Resolução
A seqüência (sen 30°, sen 60°, sen 90°, ..., sen an,…),

OBJETIVO                              F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3
tal que (an) = (30°; 60°; 90°;…), é uma progressão arit-
mética de primeiro termo a1 = 30° e razão r = 30°.
Seu 25° termo é
a25 = a1 + 24 . r = 30° + 24 . 30° = 750°.
O 25° termo da seqüência apresentada é
                          1
sen 750° = sen 30° = ––– .
                          2


22 e
Na circunferência trigonométrica abaixo, considere o
                       π
arco AM, de medida ––– radianos.
                       3




Então,
a) AP = 1          b) MN =     3            c) ON =         2
         1
d) AN = –––        e) OP = 2
         3
Resolução




                       π
Como OA = 1 e AP = tg ––– = 3 , então
                       3
no ∆OAP, retângulo, tem-se:


OP2 = OA2 + AP2 ⇒ OP2 = 1 + 3 = 4


OBJETIVO                           F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3
Portanto: OP = 2

23 c
Na figura abaixo, as retas r e s são definidas por
y = 4 + 2x e y = 4 – 2x, respectivamente.




Considere todos os retângulos que têm um dos lados
           —                   —            —
contido em AB, um vértice em AC e outro em BC.
Sobre as áreas desses retângulos, a maior delas é, em
unidades de área, igual a
a) 1     b) 2       c) 4       d) 8            e) 16
Resolução
A partir do enunciado, temos A(– 2;0), B(2;0) e C(0;4).




Sejam MN = a e NP = b as medidas dos lados do re-
tângulo MNPQ. Como ∆CMN ~ ∆CAB, temos:
            a     4–b
           ––– = ––––––– ⇔ a = 4 – b
            4       4
A área do retângulo MNPQ é igual a
A = a . b = (4 – b) . b = – b2 + 4b, que assume valor
máximo quando b = 2.


OBJETIVO                        F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3
Portanto, Amáxima = – 22 + 4 . 2 = 4



24 d
Em um tetraedro ABCD, tome 12 pontos distintos no
interior de suas faces: 5 na ABC, 4 na ACD e 3 na
ADB. Considere todas as retas traçadas por dois des-
ses pontos, sendo um em cada face.
Tomando-se ao acaso uma dessas retas, a proba-
bilidade de ela ter sido traçada por um ponto da face
ABC e um da face ACD é
    12       15          1         20        5
a) –––    b) –––     c) –––     d) –––   e) –––
    47       47          3         47        8
Resolução




Existem:

a) 5 . 4 = 20 retas determinadas por um ponto de ABC
   e um ponto de ACD.

b) 5 . 3 = 15 retas determinadas por um ponto de ABC
   e um ponto de ADB e

c) 4 . 3 = 12 retas determinadas por um ponto de ACD
   e um ponto de ADB.

A probabilidade de escolher ao acaso uma dessas
retas e ela ter sido traçada por um ponto da face ABC

                         20          20
e um da face ACD é –––––––––––––– = –––– .
                    20 + 15 + 12     47




OBJETIVO                        F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3

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Fatec1 mat 2004

  • 1. M AT E M Á T I C A 19 a Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e y = 16 – 0,125, é verdade que a) x = y b) x > y c) x . y = 2 2 d) x – y é um número irracional. e) x + y é um número racional não inteiro. Resolução 0,25 1 1º) x = (0,25)0,25 = ––– = (2 – 2)0,25 = 2 – 0,5 4 2º) y = 16 – 0,125 = (24) – 0,125 = 2 – 0,5 3º) x = y = 2 – 0,5 20 b Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função f, de * + em , definida por f(x) = logbx, com b ∈ * e b ≠ 1. + O módulo do número complexo z = b2 – bi é 6 a) 3 b) 2 3 c) 2 5 d) 3 10 e) 2 . 4 Resolução 1) f(x) = logbx ⇒ f(3) = logb3 = 2 ⇒ b2 = 3 ⇒ b = 3, pois b > 0 2 2) z = b2 – bi = ( 3 ) – 3i=3– 3i 2 3) z = 32 + (– 3) = 12 = 2 3 21 c O vigésimo quinto termo da seqüência (sen 30°, sen 60°, sen 90°, sen 120°, sen 150°,...) é 3 1 1 3 a) – –––– b) – ––– c) ––– d) –––– e) 1 2 2 2 2 Resolução A seqüência (sen 30°, sen 60°, sen 90°, ..., sen an,…), OBJETIVO F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3
  • 2. tal que (an) = (30°; 60°; 90°;…), é uma progressão arit- mética de primeiro termo a1 = 30° e razão r = 30°. Seu 25° termo é a25 = a1 + 24 . r = 30° + 24 . 30° = 750°. O 25° termo da seqüência apresentada é 1 sen 750° = sen 30° = ––– . 2 22 e Na circunferência trigonométrica abaixo, considere o π arco AM, de medida ––– radianos. 3 Então, a) AP = 1 b) MN = 3 c) ON = 2 1 d) AN = ––– e) OP = 2 3 Resolução π Como OA = 1 e AP = tg ––– = 3 , então 3 no ∆OAP, retângulo, tem-se: OP2 = OA2 + AP2 ⇒ OP2 = 1 + 3 = 4 OBJETIVO F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3
  • 3. Portanto: OP = 2 23 c Na figura abaixo, as retas r e s são definidas por y = 4 + 2x e y = 4 – 2x, respectivamente. Considere todos os retângulos que têm um dos lados — — — contido em AB, um vértice em AC e outro em BC. Sobre as áreas desses retângulos, a maior delas é, em unidades de área, igual a a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 Resolução A partir do enunciado, temos A(– 2;0), B(2;0) e C(0;4). Sejam MN = a e NP = b as medidas dos lados do re- tângulo MNPQ. Como ∆CMN ~ ∆CAB, temos: a 4–b ––– = ––––––– ⇔ a = 4 – b 4 4 A área do retângulo MNPQ é igual a A = a . b = (4 – b) . b = – b2 + 4b, que assume valor máximo quando b = 2. OBJETIVO F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3
  • 4. Portanto, Amáxima = – 22 + 4 . 2 = 4 24 d Em um tetraedro ABCD, tome 12 pontos distintos no interior de suas faces: 5 na ABC, 4 na ACD e 3 na ADB. Considere todas as retas traçadas por dois des- ses pontos, sendo um em cada face. Tomando-se ao acaso uma dessas retas, a proba- bilidade de ela ter sido traçada por um ponto da face ABC e um da face ACD é 12 15 1 20 5 a) ––– b) ––– c) ––– d) ––– e) ––– 47 47 3 47 8 Resolução Existem: a) 5 . 4 = 20 retas determinadas por um ponto de ABC e um ponto de ACD. b) 5 . 3 = 15 retas determinadas por um ponto de ABC e um ponto de ADB e c) 4 . 3 = 12 retas determinadas por um ponto de ACD e um ponto de ADB. A probabilidade de escolher ao acaso uma dessas retas e ela ter sido traçada por um ponto da face ABC 20 20 e um da face ACD é –––––––––––––– = –––– . 20 + 15 + 12 47 OBJETIVO F A T E C - D e z e m b r o /2 0 0 3