MAT01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS – RESUMO
Para integrar funções racionais, assim como qualquer outro tipo de função, deve-se ter o
cuidado de escolher o método mais conveniente de forma a simplificar os cálculos e minimizar as
chances de erro.
O processo de integração deve ser escolhido com base no caso em que a função racional se
encaixar.
1º caso: substituição ou rearranjo algébrico
Exemplo 1: a função derivada do denominador está presente no numerador.
(2x+ 3)
∫ (x² +3x−5) dx u=x² +3x−5 du=(2x +3)dx = ∫ du = ln∣u∣+c = ln∣x² +3x−5∣+c
u
Exemplo 2: o integrando já está na forma de frações parciais.
(2x−1)
2x
dx
∫ (x² +1) dx=∫ (x²+1) dx−∫ (x²+ 1) =ln(x² +1)−arctan (x)+c
2º caso: o polinômio do denominador possui apenas raízes reais.
Deve-se aplicar o método das frações parciais de forma a transformar a função racional em
uma soma de frações algébricas cujas integrais sejam conhecidas. O polinômio do denominador
deve ser fatorado até que se obtenha termos irredutíveis. Após obter-se a soma de frações parciais
basta integrá-las separadamente usando um método conhecido de integração.
Exemplos desse caso estão desenvolvidos na parte do resumo que trata de frações parciais.
3º caso: o polinômio do denominador possui raízes complexas.
Deve-se aplicar o método do 2º caso nas partes do polinômio que contenham raízes reais.
Não se deve fatorar as partes do polinômio que contenham raízes complexas.
Exemplos desse caso estão desenvolvidos na parte do resumo que trata de frações parciais.
4º caso: o polinômio do numerador tem grau maior do que o do denominador.
É necessário realizar a divisão polinomial e verificar se existe necessidade de aplicação do
método descrito no 2º caso.
Exemplo 1: a divisão resulta em uma função de integral conhecida.
∫
(x² + x−2)
dx
( x−1)
( x² + x−2)÷(x −1)=(x +2)+ 0 =
∫ (x+2) dx
=
x²
+2x+ c
2
Exemplo 2: a divisão resulta na soma de uma função polinomial com uma função racional.
∫
=
(3x⁴+ 3x³−5x²+ x−1)
dx
(x² +x−2)
dx
∫ (3x²+1)dx +∫ (x² + x−2)
(3x⁴+3x³−5x²+ x−1)÷(x² + x−2)=(3x² +1)+
=
x³+ x+∫
1
( x² + x−2)
dx
( x² + x−2)
A integral da função racional está desenvolvida na parte do resumo que trata de frações parciais.
Elaborado por: Gustavo Fernandes

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FRAÇÕES PARCIAIS – RESUMO
A decomposição de uma função racional em frações parciais é um método algébrico que
pode ser usado como ferramenta para transformar funções racionais em funções cujas integrais são
conhecidas. Consiste em reescrever uma função racional em uma soma de frações.
dx
Integral resolvida pelo método das frações parciais: ∫
( x² + x−2)
dx
1º - Decompor o polinômio do denominador até se obter fatores irredutíveis. ∫
(x−1)(x +2)
2º - Aplicar o método das frações parciais. O número de frações parciais em que o denominador
será decomposto é igual ao número de fatores em que a variável x aparece.
1
A
B
=
+
→ Multiplicando por ( x−1)( x+2) → 1= A ( x+2)+B(x−1)
( x−1)(x+ 2) ( x−1) ( x+ 2)
3º - Determinar o valor das variáveis que estão no numerador das frações parciais. Um dos métodos
que pode ser usado é a substituição da variável x por um valor que anule algum dos fatores. Após
isso pode-se calcular o outro.
1
x=1 → 1= A (1+ 2)+ B(1−1) → 1=3A → A=
3
1
x=−2 → 1= A (−2+2)+ B(−2−1) → 1=−3B → A=−
3
4º - Substituir as frações parciais na integral e calcular usando métodos de integração conhecidos.
dx
1/3
1/3
1
dx
1
dx
∫ (x−1)( x +2)=∫ ( x−1 − x +2 )dx= 3 ∫ ( x−1) − 3 ∫ (x +2)
=
1
1
ln ∣x−1∣− ln∣x+ 2∣+c
3
3
Outros tipos de frações parciais:
Quando uma função racional de grau n é decomposta em uma soma de frações parciais
pode-se obter fatores irredutíveis de até grau n-1. Neste resumo são analisados apenas fatores
lineares (item anterior) e quadráticos.
Os fatores quadráticos podem ser redutíveis (possuem raízes reais) ou irredutíveis (possuem
raízes complexas). Para cada caso deve ser adotado um método diferente para a decomposição.
Exemplo 1: decomposição de uma função racional com fator quadrático redutível
O termo que está elevado ao quadrado também deve ser denominador de uma fração parcial.
(2x +4 ) (2x+ 4) A B
C
=
= + +
x³ −2x² x² ( x−2) x x² x−2
Exemplo 2:decomposição de uma função racional com fator quadrático irredutível
A fração parcial que tiver o fator quadrático no denominador terá Ax + B no numerador.
(x²+ x −2)
( x² + x−2)
( Ax+ B)
C
=
=
+
3x²−x² +3x−1 (3x−1)(x²+ 1)
x² +1
3x−1
Da mesma forma as frações parciais resultam em funções cujas integrais são conhecidas.
A integração da soma de frações parciais normalmente resulta em uma expressão
envolvendo ln e arctg.
Elaborado por: Gustavo Fernandes