Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.

1. AULA 01
LIMITES E CONTINUIDADE
PROFESSOR JOÃO ALESSANDRO
JULHO - 2012

7. Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha.
Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de
comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico.
Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do
pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)

8. Noção Intuitiva
Sucessões Dizemos
numéricas que:
Os termos tornam-se cada vez
1, 2, 3, 4, 5, .... maiores, sem atingir um limite x→+∞
1 2 3 4 5 Os números aproximam-se
, , , , ,..... cada vez mais de 1, sem x→1
2 3 4 5 6 nunca atingir esse valor
Os termos tornam-se cada vez
1, 0, -1, -2, -3, ... menor, sem atingir um limite x→-∞
3 5 6 Os termos oscilam sem tender
1, ,3, ,5, ,7,... a um limite
2 4 7

9. Definição de Limites
 Seja f(x) definida em um intervalo aberto
em torno de “a” (um número real), exceto
talvez em a.
c a d
 Dizemos que f(x) tem limite L quando x
tende a “a” e escrevemos

10. Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de
x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figura 1:

11. Definição informal de limite
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em
torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os
valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para
x0 e escrevemos: lim f(x) = L
x→ x0
x0

12.  Definição de Limite
y
L+ε
L
L -ε
0 a- δ a a+ δ x
O limite de uma função y = ƒ(x) , quando x tende a “a“ , a ∈ R ,
indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“ , se para qualquer ε
(épsilon), ε ∈ R , ε > 0 , por menor que seja, existir δ (delta), δ ∈
R , δ > 0 , tal que:
Ix–aI <δ → I ƒ(x) - L I < ε .

13. Exemplo - Limites
Seja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y x y
1,5 4 0,5 2
1,3 3,6 0,7 2,4
1,1 3,2 0,9 2,8
1,05 3,1 0,95 2,9
1,02 3,04 0,98 2,96
1,01 3,02 0,99 2,98

14. Limites
4,0
3,5
3,0
y
2,5
2,0
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
x

15. Limites
Nota-se que quando x tende para 1, pelos
dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,
ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim,
diz-se que:
lim f ( x) = lim(2 x + 1) = 3
x →1 x →1
Neste caso o limite é igual ao valor da função.
lim = f(1) = 3
f(x)
x→1

16. Limites
x2 + x − 2
No caso da função f(x) = é diferente pois
x −1
f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe
e é igual 3.
Ver gráfico a seguir:

17. Limites
4,0
3,5
3,0
y
2,5
2,0
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
x

18. Limites Laterais
 Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a,
está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
 Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a,
está-se calculando o limite lateral direito. x a +
 Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
lim−
lim
[f(x)] x →[f(x)]
= a x→a+

19. Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = x + 3.
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 1, mas não for igual a 1.
Pela direita
Pela esquerda
y x f(x) = x + 3
x f(x) = x + 3
2 5
0 3
1,5 4,5
0,25 3,25
4 1,25 4,25
0,75 3,75
1,1 4,1
0,9 3,9
1,01 4,01
0,99 3,99
1,001 4,001
0,999 3,999
1,0001 4,0001
lim f ( x) = 4 lim f ( x) = 4
x →1− 1 x x →1+

20.  x + 1, para x ≤ 1
Dada a função f: IR → IR, definida por f ( x) = 
 x + 3, para x > 1
Determinar, graficamente, lim f ( x)
x→1
lim f ( x) = 4
+
4
x →1
lim f ( x) = 2
−
2
x →1
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

21. Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite
∴lim(x2 ) = 4
x →2
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.

22. EXERCÍCIO 1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
y
2
1
1 5 x
Lim f(x) não existe
x 1

23. EXERCÍCIO 2
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
3
2
1 5 x
Lim f(x) = L = 2
x 1

24. EXERCÍCIO 3
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
2
1
1 5 x
Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)
x 1

25. Continuidade de uma função em um número
Uma função f é contínua em um número x0 se
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
a) b) c)

26. Continuidade de uma função em um intervalo aberto
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
]a, b[

27. BIBLIOGRAFIA
1) DEMANA, WAITS, FOLEY, KENNEDY. Pré-Cálculo. São Paulo:
Pearson, 2009.
2) DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática.
Moscou: Mir, 1977. 488 p.
3) FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006.
4) LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. v. 1 e 2. 2. ed. São
Paulo: HARBRA, 1982.
5) PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. v. 1. Moscou: Mir, 1977.
6) ROGAWSKI, J. Cálculo. v.1. Porta Alegre: Bookman, 2009.
7) STEWART, J. Cálculo. v. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. 577 p.
8) SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. v. 1. 2. ed. São
Paulo: Makron Books, 1994. 744 p.
9) THOMAS, G. B. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pearson, 2002.