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Função de duas variáveis, domínios e imagem

O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.

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Isadora G. Toledo
Jacqueline T. Itano
Definição
 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de

números reais (x, y). Uma função real f de duas variáveis
em D é uma regra que associa um único número real
w=f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto D é o
domínio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por
f é a sua imagem.
 As variáveis independentes x e y são as variáveis de
entrada da função, e a variável dependente w é a variável
de saída da função.
EXEMPLO 1
Seja a função dada por f(x,y) = √x² + y². Determine
f(1,2), Dom f e Im f.
SOLUÇAO:
F (1,2)
f(1,2)= √1² + 2²
f(1,2) = √5
Domínio de f
O domínio de uma função de duas variáveis é o
conjunto de pares ordenados do R² para os quais a função
tem sentido, neste caso, para os quais a f(x,y)= √x² + y² é
um número real. Como x² + y² ≥ 0, para qualquer (x ,y) ∈
R², o Dom f = R²
Imagem de f
A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens
de todos os elementos do domínio de f, neste caso, como
a imagem de qualquer (x,y) ∈ R² par é dada por
f(x,y) = √ x²+y² ≥ 0, a im f = R
O gráfico de f é uma superfície do R³ que apareça abaixo:

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  • 2. Definição  Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais (x, y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que associa um único número real w=f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto D é o domínio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f é a sua imagem.  As variáveis independentes x e y são as variáveis de entrada da função, e a variável dependente w é a variável de saída da função.
  • 3. EXEMPLO 1 Seja a função dada por f(x,y) = √x² + y². Determine f(1,2), Dom f e Im f. SOLUÇAO: F (1,2) f(1,2)= √1² + 2² f(1,2) = √5
  • 4. Domínio de f O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados do R² para os quais a função tem sentido, neste caso, para os quais a f(x,y)= √x² + y² é um número real. Como x² + y² ≥ 0, para qualquer (x ,y) ∈ R², o Dom f = R²
  • 5. Imagem de f A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens de todos os elementos do domínio de f, neste caso, como a imagem de qualquer (x,y) ∈ R² par é dada por f(x,y) = √ x²+y² ≥ 0, a im f = R
  • 6. O gráfico de f é uma superfície do R³ que apareça abaixo:
  • 8. Definição  Outro método de representar uma função de duas variáveis geometricamente é similar a representação de uma paisagem tridimensional por um mapa topológico bidimensional. Suponha que a superfície Z = f(x,y) seja interceptada por um plano Z = K e que a curva de intersecção seja projetada no plano xy. A curva projetada tem por equação f (x,y) = K e é chamada de curva de nível.
  • 9. EXEMPLO 2 Represente graficamente f(x,y) = 100 – x² -y² e trace as curvas de nível f(x,y) = 0, f(x,y) = 51 e f(x,y) = 75 no domínio de f no plano. SOLUÇÃO: O domínio de f é o plano xy inteiro, e a imagem de f é o conjunto de números reais menores ou iguais a 100. O gráfico é o paraboloide z = 100 – x² - y².
  • 11. A curva de nível f(x,y) = 0 é o conjunto de pontos no plano xy nos quais f(x,y) = 100 – x² - y² = 0, ou x² + y² = 100, o qual a circunferência de raio 10 centrada na origem. Similarmente, as curvas de nível f(x,y) = 51 e f(x,y)=75 são as circunferências f(x,y) = 100 – x² - y² = 51, ou x² + y² = 49 f(x,y) = 100 – x² - y² = 75, ou x² + y² = 25 A curva de nível f(x,y) = 100 consiste apenas na origem (Ainda é uma curva de nível.)
  • 13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS  ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre : Bookman, 2000. 2 v.  STEWART, J. Cálculo. Vol. I. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.