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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Integral por Substituição
Trigonométrica
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017
O que você precisa saber?
É imprescindível que você tenha conhecimento das identidades trigonométricas
fundamentais (seno, cosseno, tngente, cosecnte, secnte e cotngente) e das
seguintes:
p1 : sen2() + cos2() = 1
p2 : 1 + cotg2() = csc2()
p3 : tg2() + 1 = sec2()
p4 : sen(2) = 2sen()cos()
p5 : cos(2) = cos2() − sen2()
p6 : cos(2) = 1 − 2sen2()
p7 : cos(2) = 2cos2() − 1
Se você sentir dificuldade para decorá-las tente se lembrar pelo menos das iden-
tidades fundamentais e das propriedades p1, p4 e p5, pois as demais (p2, p3, p6 e
p7) podem ser deduzidas através delas.
Como funciona?
O processo de resolução por substituição é descrito basicamente em três passos:
1. Primeiro determinamos qual será a substituição (em θ) a ser utilizada.
Isso é feito examinando o radical da função.
Radical Substituição a ser usada
2 − 2  =  · sen(θ)
2 + 2  =  · tg(θ)
2 − 2  =  · sec(θ)
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
2. Resolvemos a integral em θ.
3. E finalmente voltamos para a variável original da função.
Para entender melhor vamos calcular a integral 10 − 42 d
IDENTIFICANDO A SUBSTITUIÇÃO
Note que o radical da função a ser integrada não se parece com nenhum dos rad-
icais da nossa tabela de substituição, assim precisamos trabalha-lo algebricamente
para identificar que tipo de substituição usaremos.
10 − 42 d
= 4
10
4
− 2 d
= 4


10
2
2
− 2

 d
= 4 ×
10
2
2
− 2 d
= 2
10
2
2
− 2 d
Observe que o radical da integral recai agora no primeiro caso ( =  · sen(θ)),
com  = 10/2, assim as substituições que usaremos são:
 =
10
2
· sen(θ) (1)
e também
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
d =
10
2
· cos(θ) dθ (2)
RESOLVENDO A INTEGRAL EM θ
Fazendo a substituição de (1) e (2) na integral
= 2
10
2
2
−
10
2
sen(θ)
2
·
10
2
cos(θ) dθ
= 10



10
2
2
−
10
2
2
· sen2(θ)


 cos(θ) dθ
evidenciando
10
2
2
e retirando-o de dentro do radical
= 10



10
2
2
(1 − sen2(θ))


 cos(θ) dθ
= 10
10
2
1 − sen2(θ) cos(θ) dθ
= 5 1 − sen2(θ) cos(θ) dθ
Como cos2(θ) = 1 − sen2(θ) (ver p1) então:
5 1 − sen2(θ) cos(θ) dθ
= 5 cos2(θ) cos(θ) dθ
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
= 5 (cos(θ)) · cos(θ) dθ
= 5 cos2
(θ) dθ
Para resolver essa integral ainda precisamos de outra identidade trigonométrica
(veja p7 ).
5 cos2
(θ) dθ
= 5
1 + cos(2θ)
2
dθ
=
5
2
(1 + cos(2θ)) dθ
=
5
2
dθ +
5
2
cos(2θ)dθ
=
5
2
θ +
5
4
sen(2θ) + C (sendo C uma constante.)
RETORNANDO A VARIÁVEL
Já sabemos que o “resultado" (em θ) da integral é
10 − 42 d =
5
2
θ +
5
4
sen(2θ) + C onde (C ∈ R).
então o que falta agora é retornar a variável original, ou seja, passar de θ para
.
Como a substituição usada foi  =
10
2
· sen(θ) então sen(θ) =
2
10
e como
sen(2θ) = 2 · sen(θ)cos(θ) então:
sen(2θ) = 2sen(θ) 1 − sen2(θ)
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
⇒ sen(2θ) =


4
10
1 −
2
10
2


⇒ sen(2θ) =


4
10
1 −
42
10


⇒ 10 − 42 d =
5
2
sn−1
2
10
+
5
4


4
10
1 −
42
10


Exemplo 2: Calcule a integral
d
 25 − 2
Solução:
Como 25 = 52 então:
d
 25 − 2
=
d
 52 − 2
Observando o radical do integrando vamos usar a substituição de  =  · sen(θ),
com  = 5.
 = 5 · sen(θ) ⇒ d = 5 · cos(θ)dθ
d
 25 − 2
=
5 · cos(θ)dθ
(5 · sen(θ)) 52 − (5 · sen(θ))2
=
5 · cos(θ)dθ
(5 · sen(θ)) 52 − 52 · sen2(θ)
=
cos(θ)dθ
5 · sen(θ) 1 − sen2(θ)
Usando p1
=
cos(θ)dθ
5 · sen(θ) 
cos2(θ)
=
dθ
5 · sen(θ)
=
1
5
dθ
sen(θ)
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como
1
sen()
= csc() então:
1
5
dθ
sen(θ)
=
1
5
csc(θ)dθ
= −
1
5
n|csc(θ) + cotg(θ)| + Constante
Acabamos de encontrar a solução da nossa integral em θ, mas como nosso prob-
lema originalmente estava em função de x devemos retornar a x. Como a substitu-
ição que fizemos foi de  = 5 · sen(θ) então:
sen(θ) =

5
⇒ csc =
5

Como sen2(θ) + cos2(θ) = 1 então:
cos(θ) = 1 − sen2(θ)
⇒ cos(θ) = 1 −
2
25
e como cotg(θ) =
cos(θ)
sen(θ)
então:
cotg(θ) =
1 −
2
25

5
=
25 − 2

O que implica em
−
1
5
n|csc(θ) + cotg(θ)| + Constante
= −
1
5
n
5

+
25 − 2

+ Constante (Solução).
6
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
3. Calcule a integral
3
9 − 2
d
Solução:
Usando  = 3 · sen(θ) então:
3
9 − 2
d =
(3sen(θ))3
32 − (3 · sen(θ))2
3cos(θ)dθ
⇒
27sen3(θ)
32 − 32 · sen2(θ))
3cos(θ)dθ =
27sen3(θ)
32(1 − sen2(θ))
3cos(θ)dθ
⇒
27sen3(θ)
1 − sen2(θ)
cos(θ)dθ =
27sen3(θ)
cos2(θ)
cos(θ)dθ
⇒ 27 sen3
(θ) dθ (1)
Para resolver a integral (1) fazemos o seguinte.
27 sen3
(θ) dθ = 27 sen2
(θ) · sen(θ) dθ
⇒ 27 (1 − cos2
(θ))sen(θ) dθ = 27 sen(θ) − sen(θ)cos2
(θ) dθ
⇒ 27 sen(θ) dθ − sen(θ)cos2
(θ) dθ
⇒ 27 −cos(θ) − sen(θ)cos2
(θ) dθ (2)
A integral sen(θ)cos2
(θ) dθ pode ser resolvida por substituição fazendo  =
cos(θ).
sen(θ)cos2
(θ) dθ = − 2
d = −
3
3
= −
cos3(θ)
3
assim, (2) fica como
⇒ 27 −cos(θ) − −
cos3(θ)
3
7
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
⇒ 27
cos3(θ)
3
− cos(θ) = 9cos3(θ) − 27cos(θ)
Como cos(θ) = 1 − sen2(θ) então:
9cos3(θ) − 27cos(θ) = 9 1 − sen2(θ)
3
− 27 1 − sen2(θ)
E como fizemos inicialmente a substituição de  = 3sen(θ)
9 1 − sen2(θ)
3
− 27 1 − sen2(θ) = 9 1 − (/3)2
3
− 27 1 − (/3)2
que após algum algebrismo resulta em:
−
1
3
9 − 2 2 + 18 + constante
8
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Resolução de Integras Trigonométricas por Substituição

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Integral por Substituição Trigonométrica Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017 O que você precisa saber? É imprescindível que você tenha conhecimento das identidades trigonométricas fundamentais (seno, cosseno, tngente, cosecnte, secnte e cotngente) e das seguintes: p1 : sen2() + cos2() = 1 p2 : 1 + cotg2() = csc2() p3 : tg2() + 1 = sec2() p4 : sen(2) = 2sen()cos() p5 : cos(2) = cos2() − sen2() p6 : cos(2) = 1 − 2sen2() p7 : cos(2) = 2cos2() − 1 Se você sentir dificuldade para decorá-las tente se lembrar pelo menos das iden- tidades fundamentais e das propriedades p1, p4 e p5, pois as demais (p2, p3, p6 e p7) podem ser deduzidas através delas. Como funciona? O processo de resolução por substituição é descrito basicamente em três passos: 1. Primeiro determinamos qual será a substituição (em θ) a ser utilizada. Isso é feito examinando o radical da função. Radical Substituição a ser usada 2 − 2  =  · sen(θ) 2 + 2  =  · tg(θ) 2 − 2  =  · sec(θ) 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 2. Resolvemos a integral em θ. 3. E finalmente voltamos para a variável original da função. Para entender melhor vamos calcular a integral 10 − 42 d IDENTIFICANDO A SUBSTITUIÇÃO Note que o radical da função a ser integrada não se parece com nenhum dos rad- icais da nossa tabela de substituição, assim precisamos trabalha-lo algebricamente para identificar que tipo de substituição usaremos. 10 − 42 d = 4 10 4 − 2 d = 4   10 2 2 − 2   d = 4 × 10 2 2 − 2 d = 2 10 2 2 − 2 d Observe que o radical da integral recai agora no primeiro caso ( =  · sen(θ)), com  = 10/2, assim as substituições que usaremos são:  = 10 2 · sen(θ) (1) e também 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA d = 10 2 · cos(θ) dθ (2) RESOLVENDO A INTEGRAL EM θ Fazendo a substituição de (1) e (2) na integral = 2 10 2 2 − 10 2 sen(θ) 2 · 10 2 cos(θ) dθ = 10    10 2 2 − 10 2 2 · sen2(θ)    cos(θ) dθ evidenciando 10 2 2 e retirando-o de dentro do radical = 10    10 2 2 (1 − sen2(θ))    cos(θ) dθ = 10 10 2 1 − sen2(θ) cos(θ) dθ = 5 1 − sen2(θ) cos(θ) dθ Como cos2(θ) = 1 − sen2(θ) (ver p1) então: 5 1 − sen2(θ) cos(θ) dθ = 5 cos2(θ) cos(θ) dθ 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA = 5 (cos(θ)) · cos(θ) dθ = 5 cos2 (θ) dθ Para resolver essa integral ainda precisamos de outra identidade trigonométrica (veja p7 ). 5 cos2 (θ) dθ = 5 1 + cos(2θ) 2 dθ = 5 2 (1 + cos(2θ)) dθ = 5 2 dθ + 5 2 cos(2θ)dθ = 5 2 θ + 5 4 sen(2θ) + C (sendo C uma constante.) RETORNANDO A VARIÁVEL Já sabemos que o “resultado" (em θ) da integral é 10 − 42 d = 5 2 θ + 5 4 sen(2θ) + C onde (C ∈ R). então o que falta agora é retornar a variável original, ou seja, passar de θ para . Como a substituição usada foi  = 10 2 · sen(θ) então sen(θ) = 2 10 e como sen(2θ) = 2 · sen(θ)cos(θ) então: sen(2θ) = 2sen(θ) 1 − sen2(θ) 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ sen(2θ) =   4 10 1 − 2 10 2   ⇒ sen(2θ) =   4 10 1 − 42 10   ⇒ 10 − 42 d = 5 2 sn−1 2 10 + 5 4   4 10 1 − 42 10   Exemplo 2: Calcule a integral d  25 − 2 Solução: Como 25 = 52 então: d  25 − 2 = d  52 − 2 Observando o radical do integrando vamos usar a substituição de  =  · sen(θ), com  = 5.  = 5 · sen(θ) ⇒ d = 5 · cos(θ)dθ d  25 − 2 = 5 · cos(θ)dθ (5 · sen(θ)) 52 − (5 · sen(θ))2 = 5 · cos(θ)dθ (5 · sen(θ)) 52 − 52 · sen2(θ) = cos(θ)dθ 5 · sen(θ) 1 − sen2(θ) Usando p1 = cos(θ)dθ 5 · sen(θ) cos2(θ) = dθ 5 · sen(θ) = 1 5 dθ sen(θ) 5
  • 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Como 1 sen() = csc() então: 1 5 dθ sen(θ) = 1 5 csc(θ)dθ = − 1 5 n|csc(θ) + cotg(θ)| + Constante Acabamos de encontrar a solução da nossa integral em θ, mas como nosso prob- lema originalmente estava em função de x devemos retornar a x. Como a substitu- ição que fizemos foi de  = 5 · sen(θ) então: sen(θ) =  5 ⇒ csc = 5  Como sen2(θ) + cos2(θ) = 1 então: cos(θ) = 1 − sen2(θ) ⇒ cos(θ) = 1 − 2 25 e como cotg(θ) = cos(θ) sen(θ) então: cotg(θ) = 1 − 2 25  5 = 25 − 2  O que implica em − 1 5 n|csc(θ) + cotg(θ)| + Constante = − 1 5 n 5  + 25 − 2  + Constante (Solução). 6
  • 7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 3. Calcule a integral 3 9 − 2 d Solução: Usando  = 3 · sen(θ) então: 3 9 − 2 d = (3sen(θ))3 32 − (3 · sen(θ))2 3cos(θ)dθ ⇒ 27sen3(θ) 32 − 32 · sen2(θ)) 3cos(θ)dθ = 27sen3(θ) 32(1 − sen2(θ)) 3cos(θ)dθ ⇒ 27sen3(θ) 1 − sen2(θ) cos(θ)dθ = 27sen3(θ) cos2(θ) cos(θ)dθ ⇒ 27 sen3 (θ) dθ (1) Para resolver a integral (1) fazemos o seguinte. 27 sen3 (θ) dθ = 27 sen2 (θ) · sen(θ) dθ ⇒ 27 (1 − cos2 (θ))sen(θ) dθ = 27 sen(θ) − sen(θ)cos2 (θ) dθ ⇒ 27 sen(θ) dθ − sen(θ)cos2 (θ) dθ ⇒ 27 −cos(θ) − sen(θ)cos2 (θ) dθ (2) A integral sen(θ)cos2 (θ) dθ pode ser resolvida por substituição fazendo  = cos(θ). sen(θ)cos2 (θ) dθ = − 2 d = − 3 3 = − cos3(θ) 3 assim, (2) fica como ⇒ 27 −cos(θ) − − cos3(θ) 3 7
  • 8. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ 27 cos3(θ) 3 − cos(θ) = 9cos3(θ) − 27cos(θ) Como cos(θ) = 1 − sen2(θ) então: 9cos3(θ) − 27cos(θ) = 9 1 − sen2(θ) 3 − 27 1 − sen2(θ) E como fizemos inicialmente a substituição de  = 3sen(θ) 9 1 − sen2(θ) 3 − 27 1 − sen2(θ) = 9 1 − (/3)2 3 − 27 1 − (/3)2 que após algum algebrismo resulta em: − 1 3 9 − 2 2 + 18 + constante 8
  • 9. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 9