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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Regra da Cadeia
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 14/12/2014 - Atualizado em 17/08/2017
O que preciso saber?
Seja ƒ() = h(g()) (outra notação seria ƒ() = (h ◦ g)()), então:
Df(x)= [Dh(x) ◦ g(x) ] · Dg()
A fórmula acima é conhecida como Regra da Cadeia.
Exemplo 1: Encontre a derivada de ƒ() = sen(3).
Solução
Seja h() = sen() e g() = 3 então ƒ() = h(g()).
Como: Dh() = cos() e Dg() = 3
e pela regra da cadeia
Dƒ() = (Dh() ◦ g()) · Dg()
Então:
Dƒ() = (cos() ◦ 3) · 3
Dƒ() = 3cos(3)
Exemplo 2: Encontre a derivada de f(x) =
3 − sen()
22
2
Solução
f(x) = h(g(x)) onde:
h(x) = x2 e g(x) =
3 − sen()
22
a derivada de h e g são:
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
D(h(x)) = 2
D(g(x)) =
3 + 2sen() − cos()
23
Usando então a regra da cadeia
Df(x) = 2 ◦
3 − sen()
22
·
3 + 2sen() −  · cos()
23
=
(3 − sen())(3 + 2sen() −  · cos())
25
Exemplo 3: Encontre a derivada de ƒ() = sen(sen() − 1)
Solução
ƒ() = h(g()), onde h() = sen() e g() = sen() − 1.
A derivada de h e g são:
Dh() = cos()
Dg() = cos()
Usando então a regra da cadeia
Dƒ() = (cos() ◦ (sen() − 1)) · cos()
Dƒ() = cos(sen() − 1) · cos()
Exemplo 4: Encontre a derivada de ƒ() = (4 − 32 + 5)2
Solução
Seja ƒ() = h(g()), onde h() = 2 e g() = 4 − 32 + 5 então pela regra da
cadeia.
Dƒ() = (Dh() ◦ g()) · Dg()
= (2 ◦ (4 − 32 + 5)) · D(4 − 32 + 5)
= (2 ◦ (4 − 32 + 5)) · (43 − 6)
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
= 2(4 − 32 + 5)(43 − 6)
Exemplo 5: Encontre a derivada de ƒ() = esen 2θ
Solução
Fazendo h() = e e g() = sen(2θ) então pela regra da cadeia:
Dθƒ() = (Dθ (eθ) ◦ sen(2θ)) · Dθ(sen(2θ))
= esen(2θ)· Dθ(sen(2θ))
= esen(2θ)· (Dθ(sen(θ)) ◦ 2θ) · Dθ(2θ)
= esen(2θ) · ((cos(θ)) ◦ 2θ) · 2)
= 2esen(2θ)(cos(2θ))
Exemplo 6: Se ƒ(3) = 2, g(3) = −4, ƒ (3) = 3 e g (3) = −2, encontre a derivada
de h() = ƒ().g2() para  = 3.
Solução
Para resolver esse problema temos de recordar a propriedade do produto para
derivada.
Se h() = ƒ() · g() então h () = ƒ ()g() + ƒ()g () (Regra do produto)
O que desejamos é determinar a derivada de h() = ƒ() · g2() quando  = 3.
Usando a regra do produto então:
h () = ƒ ()g2() + (g2()) ƒ() (Equação 1)
Note que g2() = 2 ◦ g() (composição de função). Assim usando a regra da
cadeia:
(g2()) = (2) ◦ g() · g () = (2 ◦ g())g () = 2g()g () (Equação 2)
Usando a equação 2 na equação 1.
h () = ƒ ()g2() + 2g()g ()ƒ()
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
⇒ h (3) = ƒ (3)g2(3) + 2g(3)g (3)ƒ(3)
⇒ h (3) = ƒ (3)(g(3))2 + 2g(3)g (3)ƒ(3)
Substituindo os valores cedidos no enunciado.
h (3) = 3(−4)2 + 2(−4)(−2)(2)
⇒ h (3) = 48 + 32
⇒ h (3) = 80
Ou seja, a resposta é 80.
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Regra da Cadeia Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 14/12/2014 - Atualizado em 17/08/2017 O que preciso saber? Seja ƒ() = h(g()) (outra notação seria ƒ() = (h ◦ g)()), então: Df(x)= [Dh(x) ◦ g(x) ] · Dg() A fórmula acima é conhecida como Regra da Cadeia. Exemplo 1: Encontre a derivada de ƒ() = sen(3). Solução Seja h() = sen() e g() = 3 então ƒ() = h(g()). Como: Dh() = cos() e Dg() = 3 e pela regra da cadeia Dƒ() = (Dh() ◦ g()) · Dg() Então: Dƒ() = (cos() ◦ 3) · 3 Dƒ() = 3cos(3) Exemplo 2: Encontre a derivada de f(x) = 3 − sen() 22 2 Solução f(x) = h(g(x)) onde: h(x) = x2 e g(x) = 3 − sen() 22 a derivada de h e g são: 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA D(h(x)) = 2 D(g(x)) = 3 + 2sen() − cos() 23 Usando então a regra da cadeia Df(x) = 2 ◦ 3 − sen() 22 · 3 + 2sen() −  · cos() 23 = (3 − sen())(3 + 2sen() −  · cos()) 25 Exemplo 3: Encontre a derivada de ƒ() = sen(sen() − 1) Solução ƒ() = h(g()), onde h() = sen() e g() = sen() − 1. A derivada de h e g são: Dh() = cos() Dg() = cos() Usando então a regra da cadeia Dƒ() = (cos() ◦ (sen() − 1)) · cos() Dƒ() = cos(sen() − 1) · cos() Exemplo 4: Encontre a derivada de ƒ() = (4 − 32 + 5)2 Solução Seja ƒ() = h(g()), onde h() = 2 e g() = 4 − 32 + 5 então pela regra da cadeia. Dƒ() = (Dh() ◦ g()) · Dg() = (2 ◦ (4 − 32 + 5)) · D(4 − 32 + 5) = (2 ◦ (4 − 32 + 5)) · (43 − 6) 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA = 2(4 − 32 + 5)(43 − 6) Exemplo 5: Encontre a derivada de ƒ() = esen 2θ Solução Fazendo h() = e e g() = sen(2θ) então pela regra da cadeia: Dθƒ() = (Dθ (eθ) ◦ sen(2θ)) · Dθ(sen(2θ)) = esen(2θ)· Dθ(sen(2θ)) = esen(2θ)· (Dθ(sen(θ)) ◦ 2θ) · Dθ(2θ) = esen(2θ) · ((cos(θ)) ◦ 2θ) · 2) = 2esen(2θ)(cos(2θ)) Exemplo 6: Se ƒ(3) = 2, g(3) = −4, ƒ (3) = 3 e g (3) = −2, encontre a derivada de h() = ƒ().g2() para  = 3. Solução Para resolver esse problema temos de recordar a propriedade do produto para derivada. Se h() = ƒ() · g() então h () = ƒ ()g() + ƒ()g () (Regra do produto) O que desejamos é determinar a derivada de h() = ƒ() · g2() quando  = 3. Usando a regra do produto então: h () = ƒ ()g2() + (g2()) ƒ() (Equação 1) Note que g2() = 2 ◦ g() (composição de função). Assim usando a regra da cadeia: (g2()) = (2) ◦ g() · g () = (2 ◦ g())g () = 2g()g () (Equação 2) Usando a equação 2 na equação 1. h () = ƒ ()g2() + 2g()g ()ƒ() 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ h (3) = ƒ (3)g2(3) + 2g(3)g (3)ƒ(3) ⇒ h (3) = ƒ (3)(g(3))2 + 2g(3)g (3)ƒ(3) Substituindo os valores cedidos no enunciado. h (3) = 3(−4)2 + 2(−4)(−2)(2) ⇒ h (3) = 48 + 32 ⇒ h (3) = 80 Ou seja, a resposta é 80. 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 5