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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Derivada de funções
trigonométricas inversas
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 30/10/2018
Encontrar a derivada de uma função trigonométrica inversas não é uma tarefa
trivial, por isso o mais recomendado é que o estudante decore cada uma delas.
d
d
(rcsen ) =
1
1 − 2
d
d
(rccos ) = −
1
1 − 2
d
d
(rctg ) =
1
1 + 2
d
d
(rccotg ) = −
1
1 + 2
d
d
(rcsec ) =
1
|| 2 − 1
d
d
(rccsc ) =
1
|| 2 − 1
Entretanto, num estudo mais avançado de cálculo pode ser que lhe seja re-
querido a derivada passo a passo dessas funções. Vejamos então como elas podem
ser feitas.
Exemplo 1: Encontre a derivada de y = rcsen().
Solução:
(1◦ passo) Primeiro determinamos a função inversa de y.
y = rcsen()
⇒  = sen(y) (Inversa)
(2◦ passo) Agora derivamos a função inversa encontrada em relação a y.
d
dy
() =
d
dy
(sen(y))
⇒
d
dy
= cos(y)
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
(3◦ passo) Em seguida evidenciamos
dy
d
.
d
dy
= cos(y) ⇒
dy
d
=
1
cos(y)
(Equação 1)
(4◦ passo) O quarto e último passo é eliminarmos a dependência de y de (1).
Para eliminar essa dependência usamos, neste caso, a relação trigonométrica fun-
damental:
sen2(y) + cos2(y) = 1
⇒ cos(y) = 1 − sen2(y)
Substituindo esse último valor em (1)
dy
d
=
1
1 − sen2(y)
Como  = sen(y) (reveja o passo 1) então:
dy
d
=
1
1 − 2
Exemplo 2: Encontre a derivada da função y = rctg()
Solução:
(1◦ passo) A função inversa de y é  = tg(y)
(2◦ passo) Derivando a expressão anterior em relação a y chegamos à tg2(y)+1,
veja:
d
dy
 =
d
dy
tg (y)
⇒
d
dy
=
d
dy
sen(y)
cos(y)
d
dy
=
sen2(y) + cos2(y)
cos2(y)
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
d
dy
=
sen2(y)
cos2(y)
+
cos2(y)
cos2(y)
d
dy
=
sen(y)
cos(y)
2
+ 1
d
dy
= tg2
(y) + 1
(3◦ passo) Evidenciando
d
dy
dy
d
=
1
tg2(y) + 1
(4◦ passo) Como  = tg(y) então:
dy
d
=
1
2 + 1
Exemplo 3: Encontre a derivada da função y = rcsec().
Solução:
(1◦ passo) A função inversa de y é  = sec(y).
(2◦ passo) Derivamos a inversa em relação a y.
d
dy
() =
d
dy
(sec(y))
⇒
d
dy
= sec(y)tg(y)
(3◦ passo)) Evidenciamos dy/d.
dy
d
=
1
sec(y)tg(y)
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
(4◦ passo) Como sec2() − tg2() = 1 então
tg(y) = sec2() − 1
⇒
dy
d
=
1
sec(y) sec2() − 1
e como  = sec(y)
dy
d
=
1
sec(y) sec2() − 1
⇒
dy
d
=
1
 2 − 1
Exemplo 4: Encontre a derivada da função y = n().
Solução:
Esse último exemplo foi colocado aqui para mostrar que podemos aplicar a
mesma lógica, para determinar as funções trigonométricas inversas, para derivar
qualquer outra função.
Na verdade, sempre que temos uma função um pouco mais complicada, mas cuja
função inversa seja mais fácil de derivar podemos aplicar os passos anteriormente
descritos. Vejamos.
(1◦ passo) A função inversa de y é  = ey.
(2◦ passo) Derivando a expressão anterior em relação a y chegamos ao próprio
ey.
d
dy
= ey
(3◦ passo) Evidenciando dy/d chega-se à:
dy
d
=
1
ey
(1)
(4◦ passo) Note que o lado direito de (1) ainda está em função de y. Podemos
resolver isso levando em conta que no início do problema nos foi dado que y = n(),
sendo assim:
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
dy
d
=
1
en()
Sabendo que og(n) = n então:
dy
d
=
1

Logo a derivada da função logaritmo neperiano de  é igual a
1

.
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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Derivada de funções trigonométricas inversas

  • 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Derivada de funções trigonométricas inversas Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 30/10/2018 Encontrar a derivada de uma função trigonométrica inversas não é uma tarefa trivial, por isso o mais recomendado é que o estudante decore cada uma delas. d d (rcsen ) = 1 1 − 2 d d (rccos ) = − 1 1 − 2 d d (rctg ) = 1 1 + 2 d d (rccotg ) = − 1 1 + 2 d d (rcsec ) = 1 || 2 − 1 d d (rccsc ) = 1 || 2 − 1 Entretanto, num estudo mais avançado de cálculo pode ser que lhe seja re- querido a derivada passo a passo dessas funções. Vejamos então como elas podem ser feitas. Exemplo 1: Encontre a derivada de y = rcsen(). Solução: (1◦ passo) Primeiro determinamos a função inversa de y. y = rcsen() ⇒  = sen(y) (Inversa) (2◦ passo) Agora derivamos a função inversa encontrada em relação a y. d dy () = d dy (sen(y)) ⇒ d dy = cos(y) 1
  • 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA (3◦ passo) Em seguida evidenciamos dy d . d dy = cos(y) ⇒ dy d = 1 cos(y) (Equação 1) (4◦ passo) O quarto e último passo é eliminarmos a dependência de y de (1). Para eliminar essa dependência usamos, neste caso, a relação trigonométrica fun- damental: sen2(y) + cos2(y) = 1 ⇒ cos(y) = 1 − sen2(y) Substituindo esse último valor em (1) dy d = 1 1 − sen2(y) Como  = sen(y) (reveja o passo 1) então: dy d = 1 1 − 2 Exemplo 2: Encontre a derivada da função y = rctg() Solução: (1◦ passo) A função inversa de y é  = tg(y) (2◦ passo) Derivando a expressão anterior em relação a y chegamos à tg2(y)+1, veja: d dy  = d dy tg (y) ⇒ d dy = d dy sen(y) cos(y) d dy = sen2(y) + cos2(y) cos2(y) 2
  • 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA d dy = sen2(y) cos2(y) + cos2(y) cos2(y) d dy = sen(y) cos(y) 2 + 1 d dy = tg2 (y) + 1 (3◦ passo) Evidenciando d dy dy d = 1 tg2(y) + 1 (4◦ passo) Como  = tg(y) então: dy d = 1 2 + 1 Exemplo 3: Encontre a derivada da função y = rcsec(). Solução: (1◦ passo) A função inversa de y é  = sec(y). (2◦ passo) Derivamos a inversa em relação a y. d dy () = d dy (sec(y)) ⇒ d dy = sec(y)tg(y) (3◦ passo)) Evidenciamos dy/d. dy d = 1 sec(y)tg(y) 3
  • 4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA (4◦ passo) Como sec2() − tg2() = 1 então tg(y) = sec2() − 1 ⇒ dy d = 1 sec(y) sec2() − 1 e como  = sec(y) dy d = 1 sec(y) sec2() − 1 ⇒ dy d = 1  2 − 1 Exemplo 4: Encontre a derivada da função y = n(). Solução: Esse último exemplo foi colocado aqui para mostrar que podemos aplicar a mesma lógica, para determinar as funções trigonométricas inversas, para derivar qualquer outra função. Na verdade, sempre que temos uma função um pouco mais complicada, mas cuja função inversa seja mais fácil de derivar podemos aplicar os passos anteriormente descritos. Vejamos. (1◦ passo) A função inversa de y é  = ey. (2◦ passo) Derivando a expressão anterior em relação a y chegamos ao próprio ey. d dy = ey (3◦ passo) Evidenciando dy/d chega-se à: dy d = 1 ey (1) (4◦ passo) Note que o lado direito de (1) ainda está em função de y. Podemos resolver isso levando em conta que no início do problema nos foi dado que y = n(), sendo assim: 4
  • 5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA dy d = 1 en() Sabendo que og(n) = n então: dy d = 1  Logo a derivada da função logaritmo neperiano de  é igual a 1  . 5
  • 6. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Aulas particulares para: Ensino Fundamental e Médio. Cálculo i e ii. Matemática Financeira. Estatística. Apenas para a cidade de Vitória da Conquista - BA. WhatsApp: (77)98111-9211 Email: nibblediego@gmail.com 6
  • 7. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 7