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Potenciação e
Radiação
Aula 5Aula 5
1
POTENCIAÇÃO
Potência é um produto indicado de
fatores iguais.
, n vezes
Vamos chamar de base o fator que se
repete e de expoente o número de vezes
pelo qual o fator se multiplica. Assim,
.
aaaaan
×××=
2433333335
=××××=
2
POTENCIAÇÃO
Observação:
Se a base é negativa e o expoente é par,
então a potência é positiva.
Se a base é negativa e o expoente é
ímpar, então a potência é negativa.
Exemplo:
Atenção:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
3 3 3 3 3 81− = − × − × − × − =
( ) ( )2
4 4 4 16 16− = − × = − = −
3
POTENCIAÇÃO
Se o expoente for negativo, teremos uma
fração que possui no numerador a
unidade, e para o denominador, a mesma
base somente com o sinal do expoente
trocado.
Exemplo:
1
, para 0n
n
a a
a
−
= ≠
2
2
1 1 1 1
25
11 15 1
255 55
−
 
− = = = = ÷
       − × −−  ÷  ÷ ÷     
4
POTENCIAÇÃO
Propriedades
b) Quociente de potências de mesma base
Para dividir potências de mesma base,
deve-se conservar a base e subtrair os
expoentes, isto é:
Exemplo:
0, ≠= −
aa
a
a nm
n
m
4
2
2
3 3 3 3 3
3
3 3 3
× × ×
= =
×
224
2
4
33
3
3
== −
5
POTENCIAÇÃO
Propriedades
c) Potência de potência
Para elevar uma potência a um expoente,
deve-se conversar a base e multiplicar os
expoentes, isto é: ( )
nm m n
a a ×
=
6
POTENCIAÇÃO
Propriedades
d) Potência de um produto
Para elevar um produto a um expoente,
eleva-se cada fator a esse expoente, isto
é:
Exemplo:
( )
n n n
a b a b× = ×
( )
3 3 3
2 3 2 3 8 27 216× = × = × =
7
POTENCIAÇÃO
Propriedades
e) Potência de um quociente
Para elevar um quociente a um expoente,
eleva-se o numerador e o denominador a
esse expoente, isto é: .
Exemplo:
0, ≠=





b
b
a
b
a
n
nn
27
8
3
2
3
2
3
33
==





8
POTENCIAÇÃO
Propriedades
f) Potência de expoente um (1)
Toda potência de expoente um (1) é igual
a base.
Considere o quociente: .
Aplicando a propriedade do quociente de
potências de bases iguais, temos:
.
45
22 ÷
14545
2222 ==÷ −
9
POTENCIAÇÃO
Propriedades
g) Potência de expoente zero (0)
Toda potência de expoente zero e base
diferente de zero é igual a um (1).
Considere o quociente: .
Aplicando a propriedade do quociente de
potências de bases iguais, temos:
.
55
22 ÷
05555
2222 ==÷ −
10
POTENCIAÇÃO
Propriedades
h) Potência de base dez
Observe os seguintes múltiplos de dez:
O expoente indica o número de zeros.
11
POTENCIAÇÃO
Propriedades
h) Potência de base dez
Vejamos, agora, os submúltiplos de dez:
O expoente indica o número de
casas decimais. 12
POTENCIAÇÃO
Propriedades
h) Potência de base dez
Como consequência das potências de
dez, podem-se manipular os números
decimais de duas formas simples:
1ª Forma
2ª Forma
1 2 3 4
0,023 0,23 10 2,3 10 23 10 230 10− − − −
= × = × = × = ×
1 2 3 4
230 23 10 2,3 10 0,23 10 0,023 10= × = × = × = × 13
RADICIAÇÃO
Radiciação é a operação inversa da
potenciação.
.
Define-se como raiz de índice “n” de um
número “a” ao número “b” tal que “b”
expoente “n” é igual a “a”, ou seja:
nn
a b b a= ⇔ =
33
8 2, pois 2 8= =
( )
44
81 3, pois 3 81= ± ± =
14
RADICIAÇÃO
A raiz de índice “n” de um número “a” pode
ser definida como sendo uma potência de
“a”, onde o expoente é o inverso de “n”, ou
seja:
( )
1 11
3
33 3 338 8 2 2 2
×
= = = =
( )
1 11
4
44 4 4481 81 3 3 3
×
= = = =
( )
1 11
2
22 2 2216 16 4 4 4
×
= = = =
15
RADICIAÇÃO
Propriedades dos radicais
nnn
baba ×=×
0, ≠= b
b
a
b
a
n
n
n
n pn m m p
a a
× ×
=
( ) n mm
n
aa =
mnn m
aa ×
=
16
RADICIAÇÃO
Redução de radicais ao mesmo índice
17
RADICIAÇÃO
Potências de expoente fracionário
Todo número elevado a um expoente
fracionário do
tipo ( n ≠ 0) é igual à raiz enésima do
número elevado ao expoente m.
Exemplo:
n
m
n mn
m
aa =
33 23
2
2555 == 18
RADICIAÇÃO
Operações com radicais
a)Adição e Subtração
Soma:
Subtração:
b) Multiplicação e Divisão
Multiplicação:
Divisão: (com c ≠ 0 e d ≠ 0)
( )nnn
bcabcba +=+
( )nnn
bcabcba −=−
n n n
a b c d a c b d× = × ×
n
n
n
a b a b
c dc d
 
= × ÷
 
19
RADICIAÇÃO
c) Racionalização
Racionalizar uma fração consiste em
eliminar, através de propriedades
algébricas, o radical ou os radicais que
estiverem no denominador. Esta operação é
obtida multiplicando-se o numerador e o
denominador da correspondente fração pelo
fator de racionalização.
20
RADICIAÇÃO
1º Caso:
Quando a expressão fracionária
apresenta no denominador apenas um
radical da forma .
Exemplo:
2
1 1 3 3 3 3
33 3 3 3 3 3
= × = = =
×
21
RADICIAÇÃO
2º Caso:
Quando a expressão fracionária
apresenta no denominador apenas um
radical da forma (n>2).
Exemplo:
3 33 2 1 3 3
3
3 3 3 3 3 32 2 3 2 2 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
24 2 2 2 2 2 2
−
−
× × ×
= = × = = = =
×
22
RADICIAÇÃO
3º Caso
Quando a expressão fracionária
apresenta no denominador a soma de
radicais.
Exemplo:
( )
( )
( )
( )
( )
( )2
2
2 1 3 2 1 3 2 13 3
3 2 1
2 12 1 2 1 2 1 2 1
+ × + +
= × = = = +
−− − + −
23
Potenciação e Radiação
FIM DA
AULA 5
24

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Matemática - Aula 5

  • 2. POTENCIAÇÃO Potência é um produto indicado de fatores iguais. , n vezes Vamos chamar de base o fator que se repete e de expoente o número de vezes pelo qual o fator se multiplica. Assim, . aaaaan ×××= 2433333335 =××××= 2
  • 3. POTENCIAÇÃO Observação: Se a base é negativa e o expoente é par, então a potência é positiva. Se a base é negativa e o expoente é ímpar, então a potência é negativa. Exemplo: Atenção: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 3 3 3 3 81− = − × − × − × − = ( ) ( )2 4 4 4 16 16− = − × = − = − 3
  • 4. POTENCIAÇÃO Se o expoente for negativo, teremos uma fração que possui no numerador a unidade, e para o denominador, a mesma base somente com o sinal do expoente trocado. Exemplo: 1 , para 0n n a a a − = ≠ 2 2 1 1 1 1 25 11 15 1 255 55 −   − = = = = ÷        − × −−  ÷  ÷ ÷      4
  • 5. POTENCIAÇÃO Propriedades b) Quociente de potências de mesma base Para dividir potências de mesma base, deve-se conservar a base e subtrair os expoentes, isto é: Exemplo: 0, ≠= − aa a a nm n m 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 × × × = = × 224 2 4 33 3 3 == − 5
  • 6. POTENCIAÇÃO Propriedades c) Potência de potência Para elevar uma potência a um expoente, deve-se conversar a base e multiplicar os expoentes, isto é: ( ) nm m n a a × = 6
  • 7. POTENCIAÇÃO Propriedades d) Potência de um produto Para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator a esse expoente, isto é: Exemplo: ( ) n n n a b a b× = × ( ) 3 3 3 2 3 2 3 8 27 216× = × = × = 7
  • 8. POTENCIAÇÃO Propriedades e) Potência de um quociente Para elevar um quociente a um expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente, isto é: . Exemplo: 0, ≠=      b b a b a n nn 27 8 3 2 3 2 3 33 ==      8
  • 9. POTENCIAÇÃO Propriedades f) Potência de expoente um (1) Toda potência de expoente um (1) é igual a base. Considere o quociente: . Aplicando a propriedade do quociente de potências de bases iguais, temos: . 45 22 ÷ 14545 2222 ==÷ − 9
  • 10. POTENCIAÇÃO Propriedades g) Potência de expoente zero (0) Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a um (1). Considere o quociente: . Aplicando a propriedade do quociente de potências de bases iguais, temos: . 55 22 ÷ 05555 2222 ==÷ − 10
  • 11. POTENCIAÇÃO Propriedades h) Potência de base dez Observe os seguintes múltiplos de dez: O expoente indica o número de zeros. 11
  • 12. POTENCIAÇÃO Propriedades h) Potência de base dez Vejamos, agora, os submúltiplos de dez: O expoente indica o número de casas decimais. 12
  • 13. POTENCIAÇÃO Propriedades h) Potência de base dez Como consequência das potências de dez, podem-se manipular os números decimais de duas formas simples: 1ª Forma 2ª Forma 1 2 3 4 0,023 0,23 10 2,3 10 23 10 230 10− − − − = × = × = × = × 1 2 3 4 230 23 10 2,3 10 0,23 10 0,023 10= × = × = × = × 13
  • 14. RADICIAÇÃO Radiciação é a operação inversa da potenciação. . Define-se como raiz de índice “n” de um número “a” ao número “b” tal que “b” expoente “n” é igual a “a”, ou seja: nn a b b a= ⇔ = 33 8 2, pois 2 8= = ( ) 44 81 3, pois 3 81= ± ± = 14
  • 15. RADICIAÇÃO A raiz de índice “n” de um número “a” pode ser definida como sendo uma potência de “a”, onde o expoente é o inverso de “n”, ou seja: ( ) 1 11 3 33 3 338 8 2 2 2 × = = = = ( ) 1 11 4 44 4 4481 81 3 3 3 × = = = = ( ) 1 11 2 22 2 2216 16 4 4 4 × = = = = 15
  • 16. RADICIAÇÃO Propriedades dos radicais nnn baba ×=× 0, ≠= b b a b a n n n n pn m m p a a × × = ( ) n mm n aa = mnn m aa × = 16
  • 17. RADICIAÇÃO Redução de radicais ao mesmo índice 17
  • 18. RADICIAÇÃO Potências de expoente fracionário Todo número elevado a um expoente fracionário do tipo ( n ≠ 0) é igual à raiz enésima do número elevado ao expoente m. Exemplo: n m n mn m aa = 33 23 2 2555 == 18
  • 19. RADICIAÇÃO Operações com radicais a)Adição e Subtração Soma: Subtração: b) Multiplicação e Divisão Multiplicação: Divisão: (com c ≠ 0 e d ≠ 0) ( )nnn bcabcba +=+ ( )nnn bcabcba −=− n n n a b c d a c b d× = × × n n n a b a b c dc d   = × ÷   19
  • 20. RADICIAÇÃO c) Racionalização Racionalizar uma fração consiste em eliminar, através de propriedades algébricas, o radical ou os radicais que estiverem no denominador. Esta operação é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da correspondente fração pelo fator de racionalização. 20
  • 21. RADICIAÇÃO 1º Caso: Quando a expressão fracionária apresenta no denominador apenas um radical da forma . Exemplo: 2 1 1 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 = × = = = × 21
  • 22. RADICIAÇÃO 2º Caso: Quando a expressão fracionária apresenta no denominador apenas um radical da forma (n>2). Exemplo: 3 33 2 1 3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 3 2 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2 2 2 2 − − × × × = = × = = = = × 22
  • 23. RADICIAÇÃO 3º Caso Quando a expressão fracionária apresenta no denominador a soma de radicais. Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 3 2 1 3 2 13 3 3 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 + × + + = × = = = + −− − + − 23