AULA SOBRE POTENCIAÇÃO

1. MATEMÁTICA
PAULO EMANUEL
8º ANO
Potenciação de um número racional:
potência de um número racional na forma fracionária
Parte 1

2. OBJETIVOS DA AULA:
• Retomar o conceito de potência;
• Resolver potências de números racionais
na forma fracionária.

3. ESTUDANTE, PENSE...
Você lembra o que são potências?
Você já utilizou potência para
resolver alguma situação problema?

4. POTÊNCIAS
A potência é utilizada quando
necessitamos descobrir o
valor de um produto cujo
fator se repete n vezes.

5. EXEMPLOS
a) 3² = 3 . 3 = 9
b) 104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 000
c) 63
= 6 . 6 . 6 = 216
d) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125

6. NOS NÚMEROS INTEIROS:
A base pode ser positiva ou negativa.
Entretanto a potência só será negativa se o
expoente for ímpar.

7. PRATICANDO 1
Vamos observar a questão dos sinais na potência,
resolvendo os seguintes itens:
a) −4 2
b) +4 2
c) (−4)3
d) (+4)3

8. PRATICANDO 1 - RESOLVENDO
Vamos observar a questão dos sinais na potência,
resolvendo os seguintes itens:
a) −4 2 = −4 . −4 = +16
b) +4 2 = +4 . +4 = +16
c) (−4)3
= −4 . −4 . −4 = −64
d) (+4)3= +4 . +4 . +4 = +64

9. POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES
Vamos aplicar o conceito de potenciação na
seguinte fração:
3
5
3
=
3
5
∙
3
5
∙
3
5
=
27
125
Note que 3³ = 27 e 5³ = 125

10. Portanto para calcular a potência de uma fração,
basta elevar o numerador e ao denominador ao
expoente da potência.
3
5
3
=
33
53
=
27
125
POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES

11. PRATICANDO 2
Vamos calcular:
a)
2
3
3
b)
3
4
2
c)
2
7
4

12. PRATICANDO 2 - RESPONDENDO
Vamos calcular:
a)
2
3
3
=
2 . 2 . 2
3 . 3 . 3
=
8
27
b)
3
4
2
=
3 . 3
4 . 4
=
9
16
c)
2
7
4
=
2 . 2 . 2 . 2
7 . 7 . 7 . 7
=
16
2401

13. ATENÇÃO
A regra de sinais também vale para a
potenciação de frações positivas e negativas.
Se a base for negativa, a potência será negativa
somente quando o expoente for ímpar.
𝑎) −
2
5
4
= +
16
625
𝑏) −
1
4
3
= −
1
64

14. PRATICANDO 3
No chão de uma sala quadrada há um tapete também
quadrado, como mostra a figura abaixo. O que se
pretende calcular com a expressão
7
2
2
−
5
2
2
?

15. PRATICANDO 3 - RESOLVENDO
O que se pretende calcular com a expressão
7
2
2
−
5
2
2
?
A área do chão não
ocupada pelo tapete.

16. PRATICANDO 3 - RESOLVENDO
O que se pretende calcular com a expressão
7
2
2
−
5
2
2
?
A área do chão não
ocupada pelo tapete.
7
2
2
−
5
2
2
=
49
4
−
25
4
=
24
4
= 6𝑚²

17. ATÉ AQUI VIMOS:
✔Cálculo de potências;
✔Potências de números racionais na forma
fracionária.

18. MATEMÁTICA
PAULO EMANUEL
8º ANO
Potenciação de um número racional: potência do número
racional na forma decimal
Parte 2

19. OBJETIVO:
⮚Resolver potências de
números racionais na forma
decimal.

20. VAMOS PENSAR
→Você sabe calcular potência de frações.
→ Como esse conhecimento pode nos
ajudar a calcular potência de números
decimais?

21. POTÊNCIAS
A potência é uma
multiplicação de
fatores iguais.

22. POTÊNCIAS
Base: Fator que
será repetido.
Expoente: Número de vezes
que a base será repetida.
A potência é uma
multiplicação de
fatores iguais.

23. Potências
Base: Fator que
será repetido
Expoente: Número de vezes
que a base será repetida.
Potência:
resultado
A potência é uma
multiplicação de
fatores iguais.

24. EXEMPLOS

25. ⮚ Nos números inteiros:
A base pode ser positiva ou negativa.
Entretanto a potência só será negativa se o
expoente for ímpar e a base for negativa.

26. PRATICANDO
1) Vamos observar a questão dos sinais na
potência, resolvendo os seguintes itens:
a) (–3)² =
b) (+3)² =
c) (–3)³ =
d) (+3)³ =

27. PRATICANDO - RESOLVENDO

28. POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES

29. POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES
Portanto, para calcular a potência de uma
fração, basta elevar o numerador e o
denominador ao expoente da potência.
3
5
3
=
33
53
=
27
125

30. 1ª maneira: (0,6)³ = 0,6 . 0,6 . 0,6
Agora,seestivermosdiantedeumapotenciaçãodeum
númeronaformadecimal,comoporexemplo:(0,6)³

31. 1ª maneira: (0,6)³ = 0,6 . 0,6 . 0,6 = 0,216
Agora, se estivermos diante de uma potenciação de um
número na forma decimal, como por exemplo: (0,6)³

32. 2ª maneira:
(0,6)³ = Vamos escrever na forma de uma fração.
Agora,seestivermosdiantedeumapotenciaçãodeum
númeronaformadecimal,comoporexemplo:(0,6)³
0,6 3 =
6
10
3
=
3
5
3
=
33
53
=
27
125

33. 2ª maneira: (0,6)³ = Vamos escrever na forma de uma fração

34. ⮚ Nos números racionais:
forma fracionária ou decimal
A base pode ser positiva ou negativa.
Entretanto a potência só será negativa se
o expoente for ímpar e a base for
negativa.

35. SUA VEZ!

36. SUA VEZ! - RESPONDENDO
2) Vamos calcular:
b) (–1,2)² = −
12
10
2
= −
6
5
2
=
36
25
= 1,44
a) (–0,8)³ = −
8
10
3
= −
4
5
3
= −
64
125
= −0,512
c) (0,3)4 =
3
10
4
=
81
10000
= 0,0081

37. 3) Meu pai fez um acordo comigo, a cada nota
dez que eu tirasse em provas eu ganhava cinco
décimos ao quadrado (quantia em centavos e
reais). Sabendo que eu tirei 8 notas 10. Quanto
vou ganhar?
PRATICANDO

38. 3) Meu pai fez um acordo comigo, a cada nota dez que eu
tirasse em provas eu ganhava cinco décimos ao
quadrado ( quantia em centavos e reais). Sabendo que eu
tirei 8 notas 10. Quanto vou ganhar?
PRATICANDO - RESOLVENDO
Vou ganhar 8 vezes cinco décimos ao quadrado:
8 . (0,5)²

39. PRATICANDO - RESOLVENDO
Vou ganhar 8 vezes cinco décimos ao quadrado:
8 . (0,5)²
ou

40. PRATICANDO - RESOLVENDO
Vou ganhar 8 vezes cinco décimos ao quadrado:
8 . (0,5)²
8 . 0,25
2

41. 3) Meu pai fez um acordo comigo, a cada nota dez que eu
tirasse em provas eu ganhava cinco décimos ao
quadrado ( quantia em centavos e reais). Sabendo que eu
tirei 8 notas 10. Quanto vou ganhar?
PRATICANDO - RESPOSTA
Vou ganhar R$ 2,00.

42. ATÉ AQUI VIMOS:
✔Cálculo de potências;
✔Potências de números racionais na forma
decimal.

43. MATEMÁTICA
PAULO EMANUEL
8º ANO
Potenciação de um número racional:
propriedades da potenciação I
Parte 3

44. OBJETIVOS:
• Resolver operações envolvendo
potências.
• Compreender as propriedades da
potência.

45. ESTUDANTE, PENSE...
→ Você já fez vários estudos sobre as
potências.
→ Você já utilizou potência para resolver
alguma situação problema?

46. POTÊNCIAS
A potência é utilizada quando
necessitamos descobrir o valor
de uma sequência cuja base se
repete n vezes.

47. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
1) Observe as potências que Thiago escreveu:

48. 1) Observe as potências que Thiago escreveu:
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

49. VERIFICANDO AS IDEIAS
Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades:
a) Usando o símbolo = ou ≠,
compare:
→ 2² x 2³ e 25
→ 34 x 3² e 36

50. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades:
a) Usando o símbolo = ou ≠,
compare:
→ 2² x 2³ e 25
4 x 8 = 32
→ 34 x 3² e 36
81 x 9 = 729
RESOLVENDO

51. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades:
b) Usando o símbolo = ou ≠,
compare:
→ 25 : 2³ e 2²
→ 35 : 3² e 3³
VERIFICANDO AS IDEIAS

52. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades:
b) Usando o símbolo = ou ≠,
compare:
→ 25 : 2³ e 2²
32 : 8 = 4
→ 35 : 3² e 3³
243 : 9 = 27
RESOLVENDO

53. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
P1: Produto de potências de mesma base:
23. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27
Ou seja:
23
. 24
= 23+4
= 27
Na multiplicação de potências de mesma
base, conservamos a base e somamos
os expoentes!

54. P2: Quociente de potências de mesma base:
25: 23 =
2.2.2.2.2
2.2.2
= 22
Ou seja:
25: 23 = 25−3 = 22
Na divisão de potências de mesma
base, conservamos a base e
subtraímos os expoentes!
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

55. Aplicando as propriedades da potenciação,
escreva cada expressão em uma única potência:
a) 96 x 9²
b)
10
3
7
:
10
3
5
c) (0,7)4 : (0,7)
EXERCÍCIO 1

56. Aplicando as propriedades da potenciação, escreva
cada expressão em uma única potência:
a) 96 x 9² = 96 + 2 = 98
b)
10
3
7
:
10
3
5
=
10
3
7−5
=
10
3
2
c) (0,7)4 : (0,7) = (0,7) 4 – 1 = (0,7)³
EXERCÍCIO 1 - RESPOSTA

57. ATÉ AQUI VIMOS:
• Cálculo de potências;
• Propriedades das potências.

58. MATEMÁTICA
PAULO EMANUEL
8º ANO
Potenciação de um número racional:
propriedades da potenciação II
Parte 4

59. OBJETIVO:
• Compreender e utilizar as propriedades
de potência.

60. ESTUDANTE, PENSE...
→ Você sabia que qualquer número
diferente de zero, elevado a zero,
resulta em 1?
→ Sabe por que isso acontece?

61. O QUE JÁ SABEMOS:
A potência é um produto de fatores iguais.
a) 122
= 12 . 12 = 144
b) (−3)5= −3 . −3 . −3 . −3 . −3 = −243
c) −
2
5
3
= −
2
5
. −
2
5
. −
2
5
= −
8
125
d) −1,3 2
= −
13
10
. −
13
10
= +
169
100
= +1,69

62. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
P1: Produto de potências de mesma base:
23. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27
Ou seja:
23. 24 = 23+4 = 27
Na multiplicação de potências de mesma
base, conservamos a base e somamos
os expoentes!

63. P2: Quociente de potências de mesma base:
25
: 23
=
2.2.2.2.2
2.2.2
= 22
Ou seja:
25: 23 = 25−3 = 22
Na divisão de potências de mesma base,
conservamos a base e subtraímos
os expoentes!
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

64. E quando o expoente for 0 ou 1?
Expoente 1:
Considere
35
: 34
3.3.3.3.3
3.3.3.3
= 3
Pela propriedade da divisão
de potências de mesma base,
devemos repetir a base e
subtrair os expoentes.
35−4 = 3¹

65. Expoente 1:
Portanto
35: 34 = 31 = 3
Essa ideia vale para todas as bases.
Logo, se o expoente for um, a
potência repete a base.
E quando o expoente for 0 ou 1?

66. Expoente 0: Considere 𝑎𝑚
: 𝑎𝑚
𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
1. Pela propriedade da divisão de potências de
mesma base, 𝑎𝑚
: 𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑚
= 𝑎0
2. Sabemos que todo número dividido por ele
mesmo (diferente de 0) é 1. Logo,
𝑎𝑚: 𝑎𝑚 = 1
E quando o expoente for 0 ou 1?

67. Expoente 0:
Portanto:
𝑎𝑚
: 𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑚
= 𝑎0
= 1
Ou seja, sempre que a base for diferente
de zero e estiver elevada a zero,
resulta em potência igual a 1.
E quando o expoente for 0 ou 1?

68. EXERCÍCIO
1) Diga se as sentenças abaixo são corretas. Se
estiverem erradas, corrija-as.
a) am. an = am.n
b) am: an = am:n
c) a1 = 1
d) a0 = 0
e) 00
= 1

69. EXERCÍCIO - RESPONDENDO
Diga se as sentenças abaixo são corretas. Se
estiverem erradas, corrija-as.
a) 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛
Errado: 𝑎𝑚
. 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
b) 𝑎𝑚
: 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚:𝑛
Errado: 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

70. c) 𝑎1 = 1
Errado: 𝑎1 = 𝑎
d) 𝑎0
= 0
Errado: a0 = 1, desde que a ≠ 0
e) 00 = 1
Errado: O expoente 0 não pode ser
calculado para base 0
EXERCÍCIO - RESPONDENDO

71. 2) Você já sabe que 9 = 3², 27 = 3³ e 729 = 36.
Usando as propriedades das potências de mesma
base, calcule o valor da expressão (9 x 729) : 27.
EXERCÍCIO

72. 2) Você já sabe que 9 = 3², 27 = 3³ e 729 = 36.
Usando as propriedades das potências de
mesma base, calcule o valor da expressão
(9 x 729) : 27.
EXERCÍCIO - RESPOSTA
32
. 36
∶ 33
32+6−3
35
= 243

73. EXERCÍCIO
3) Calcule o resultado da expressão abaixo e
simplifique o resultado se possível.
5 . −
10
3
1
+ 2 .
7
2
2
. −1 0

74. EXERCÍCIO 3 - RESOLVENDO
5 . −
10
3
1
+ 2 .
7
2
2
. −1 0
5 . −
10
3
+ 2 .
49
4
. 1
Resolvemos:
1ºpotências
2ºmultiplicaçãoedivisão
3ºadiçãoesubtração

75. 5 . −
10
3
1
+ 2 .
7
2
2
. −1 0
−
50
3
+
49
2
5 . −
10
3
+ 2 .
49
4
. 1
EXERCÍCIO 3 - RESOLVENDO

76. −
50
3
+
49
2
mmc(2,3) = 6
−
6
+
6
x 3
:
2 x
:
EXERCÍCIO 3 - RESOLVENDO

77. EXERCÍCIO 3 - RESPOSTA
−
50
3
+
49
2
mmc(2,3) = 6
−
100
6
+
147
6
=
47
6

78. ATÉ AQUI VIMOS:
• Propriedades das potências para os expoentes
0 e 1.

79. MATEMÁTICA
PAULO EMANUEL
8º ANO
Potenciação de um número racional:
propriedades da potenciação III
Parte 5

80. OBJETIVO:
• Compreender e utilizar as
propriedades da potência.

81. VAMOS PENSAR...
→ O que acontece quando a potência tiver
mais que um expoente?
Ou ainda, a potência tiver como base um
produto ou um quociente? Existe alguma
regra para isso?

82. OUTRAS PROPRIEDADES DE POTÊNCIA
P3: Potência de Potência:
(32)4= 32. 32. 32. 32 = 32+2+2+2 = 34.2 = 38
Note que, na potência de potência, conserva-se
a base e multiplicam-se os expoentes.

83. P4: Distributiva em relação à multiplicação e a à divisão
2.3 4
= (2.3).(2.3).(2.3).(2.3) = 2.2.2.2.3.3.3.3 = 24
.34
2
3
4
=
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
=
2 . 2 . 2 . 2
3 . 3 . 3 . 3
=
24
34
Podemos distribuir o expoente nos fatores
de um produto e nos termos de uma fração.
OUTRAS PROPRIEDADES DE POTÊNCIA

84. EXERCÍCIO 1
Usando as propriedades das potências podemos
simplificar expressões e economizar cálculos:
b)
118 ∙ 117
1113 =
a)
2
5
2
.
2
5
1
: −
2
3
3
=
c) 𝑎5. 𝑎4 2 . 𝑎1=

85. EXERCÍCIO 1 - RESPOSTA
Usando as propriedades das potências podemos simplificar
expressões e economizar cálculos:
a)
2
5
2
.
2
5
1
: −
2
3
3
=
2
5
2+1
: −
23
3³
=
2
5
3
: −
8
27
=
8
125
∙ −
27
8
= −
27
125
23
53
∶ −
8
27
=
8
125
∶ −
8
27
=

86. EXERCÍCIO 1 - RESPOSTA
Usando as propriedades das potências podemos simplificar
expressões e economizar cálculos:
b)
118 .117
1113 =
118+7
1113
=
1115
1113
= 1115−13 = 112 = 121

87. EXERCÍCIO 1 - RESPOSTA
Usando as propriedades das potências podemos simplificar
expressões e economizar cálculos:
c) 𝑎5. 𝑎4 2 . 𝑎1=
𝑎5. (𝑎4 . 2) . 𝑎1 = 𝑎5. 𝑎8. 𝑎1
𝑎5+8+1
= 𝑎14

88. REVENDO AS PROPRIEDADES:
PROPRIEDADE EXEMPLO
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
(0,5)2 . (0,5)5= 0,5 7
𝑎𝑚 ∶ 𝑎𝑛=𝑎𝑚−𝑛
(−5)12: (−5)10= −5 2
𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎𝑚 .𝑛 2
3
6
3
=
2
3
18

89. REVENDO AS PROPRIEDADES:
PROPRIEDADE EXEMPLO
𝑎 . 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛
4 . 3 5
= 45
. 35
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
4
3
5
=
45
35

90. DESAFIO
Qual é o resultado de:
95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95

91. DESAFIO - RESPOSTA
Qual é o resultado de:
95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95 + 95
9 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑜 95
9 . 95 = 91+5 = 96 = 531 441

92. EXERCÍCIO 2
Dados x = 10² e y = 105, compare as
potências x5 e y² usando o sinal = ou ≠.

93. EXERCÍCIO 2 - RESOLVENDO
Dados x = 10² e y = 105, compare as potências x5
e y² usando o sinal = ou ≠.
x5 = 102 5
x5 = 10 2 . 5
x5 = 10 10
y² = 105 2
y² = 10 5 . 2
y² = 10 10
𝑥5 = y² = 1010 = 10 000 000 000

94. ATÉ AQUI VIMOS:
✔Cálculo de potências;
✔Propriedades das potências.