Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

TRABALHO SOBRE POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO 2º GRAU. TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO SUPERIOR.03/03/2009.

CONJUNTO N: Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 , ...}

CONJUNTO Z: Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z+ O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

Z- - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z+ e N Z*+ = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas . Os racionais são representados pela letra Q.

IRRACIONAIS e REAIS Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

POTENCIAÇÃO: Definição Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo: 32 (leia-se "três elevado ao quadrado", ou "três elevado à segunda potência" ou ainda "três elevado à dois"). No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9. Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

PROPRIEDADES: Algumas outras definições que podem ser utilizadas: a1 = a a0 = 1 Propriedades 1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes: an . am = an+m 2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes: (an) / (am) = an-m , "a" diferente de zero. 3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes: (am)n = am . n

ATENÇÃO: As potências abaixo NÃO são iguais: (am)n e amn na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n , e depois elevar a ao resultado da operação anterior. 4 - (a . b)n = an . bn 5 - (a/b)n = an/bn , "b" diferente de zero. Potenciação com números negativos Observe os exemplos abaixo: (-3)2 = 9 -32 = -9

CUIDADO COM O SINAL: sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo: (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27 se tirarmos os parênteses -33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

POTENCIA: Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas.

P1: Propriedades da potenciação Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

P2: Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

P3: Potência de potência Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”. Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.

Q Números racionais (Q) O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica. Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111... Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q , só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.

DEFINIÇÃO: Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos: 2/7 = 0,285714285... 1/9 = 0,111111111... 4/13 = 0,307692307...

CLASSIFICAÇÃO: Dízimas periódicas simples : Quando o período aparece logo após à virgula. Exemplos: 2/3 = 0,6666666....... Período: 6 4/13 = 0,307692307.... Período: 307692 31/33 = 0,93939393.... Período: 93

DIZÌMAS COMPOSTAS: Dízimas periódicas compostas : Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. Exemplos: 35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9 35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97

POTÊNCIAS COM EXPOÊNTES IGUAIS

EQUAÇÃO 2º GRAU: Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós. O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

SEJA A EQUAÇÃO: a x² + b x + c = 0 com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos: x² + (b/a) x + c/a = 0 Passando o termo constante para o segundo membro, teremos: x² + (b/a) x = -c/a Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter

DEDUÇÃO: x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)² Simplificando ambos os lados da equação, obteremos: [x+(b/2a)] 2 = (b² - 4ac) / 4a²

OBSERVE: Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação: x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] ou x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

x² - 5 x + 6 = 0 Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 Escrever o discriminante D = b²-4ac. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 Escrever a fórmula de Bhaskara: Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula: x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

veja Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau. Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos: l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = - 4 e c = 5 l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são: a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x) l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)

Incompleta: l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são: a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos) A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.

OBS: Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. A equação ficará assim: 0 . x + bx + c = 0 bx + c = 0 ® equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.

RESOLVENDO: Resolução de uma equação Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor. No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.

EXEMPLO 1: EXEMPLO 1 a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação. A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: 2.2 + 6 . 2 - 16 = 0 4 + 12 - 16 = 0 16- 16 = 0 ® sentença verdadeira Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

VERIFIQUE: b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução. Substituindo x por 1, temos: 1.2 + 6 . 1 - 16 = 0 1 + 6 - 16 = 0 7- 16 = 0 ® sentença falsa Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

EXEMPLO 2: EXEMPLO 2 Resolver a equação 3x2 - 27 = 0 3x2 = 27 x2 = 27 3 x2 = 9 x = x = ± 9 ® x = + 3 As soluções da equação são +3 e -3.

2º CASO: Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0) Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência: x (ax + b) = 0 Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo: x = 0 ì Se x (ax + b) = 0, então ou î ax + b = 0 ® ax = -b x = -b a As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -b a

EXEMPLO: Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. x (3x - 15) = 0 x = 0 ou 3x - 15 = 0 15 3x = 15 ® x = 3 ® x = 5 As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.

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