Apostila de-2013

APOSTILA DE NIVELAMENTO
2013
Profª Maria Aparecida

Se você precisa de uma mãozinha, lembre-se ela sempre esta no final de seu braço!

OPERAÇÕES NUMERICAS E ALGEBRICAS
1) Verifique se a igualdade é verdadeira:
3+4.2=14
2) Efetue as operações:
3) Na equação , determinar x para a=8,b=3 e c=2. (9)
4) Da relação , calcular x para a=8, b=7,c=1 e d=4.
5) Calcular o valor de x para a=2, b=3 e c=4 se .
6) Na igualdade , calcular x se a=15, b=6 e c+2.
7) Para a=1, b=2 e c=3, dar o valor numérico de .
FRAÇÕES
Dividimos um retângulo em 11 partes iguais e pintamos 8 dessas partes, Que fração do retângulo foi pintado?
Pintamos .

A seguir retiramos a cor de 5 das partes pintadas. Que fração do retângulo foi descolorida?
Foi descolorido .
Que fração do retângulo permaneceu pintada? Permaneceu pintado: .
Podemos dizer então que fração é um numero que representa partes de um inteiro.
Temos que em : onde a é o numerador, ou seja, quantas partes do todo foram tomadas; e b é o denominador e indica em quantas partes iguais à unidade foi dividida.
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:
Soma ou subtração:
a) A soma ou subtração de duas frações de mesmo denominador é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a soma ou diferença entre os numeradores.
Exemplo:
b) Para somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-los a um mesmo denominador.
Exemplo: m.m.c. (3,2)=6
Exercícios: Efetue as operações:
Multiplicação:

O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.
Exemplo:
Exercícios: efetue as operações:
DIVISÃO OU QUOCIENTE
O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplo:
Exercícios: Efetue as operações:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Efetue as operações:

Resolva estas operações com muito carinho:
MÍNIMO MULTIPLO COMUM
Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor numero, excluindo o zero, que é múltiplo desses números.
Exemplo: O numero 100 é o primeiro numero múltiplo exceto o zero que é múltiplo ao mesmo tempo de 20 e 25.
Calculando o m.m.c.
Exemplo: Qual o m.m.c. de 18, 25 e 30?
1º) Escrevemos os números, separados por virgulas, lado a lado e colocamos um traço após o ultimo numero e colocamos o menor numero fator comum a todos os números ou não.
2º) Sob cada numero colocamos o resultado da divisão, os números não divisíveis repetimos.
lembrando que 25 não é dividido por dois
3º) Prosseguimos com esse processo ate chegar ao quociente 1.

Também podemos encontrar o m.m.c. por fatoração.
1º) Fatoramos separadamente os números dados:
Assim: da fatoração temos:
2º) O m.m.c. é o produto dos fatores comuns e não comuns, cada um com o maior expoente que apresenta na fatoração.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
POTENCIAÇÃO
Definição: Dados um numero real a e um numero natural n,n 2, chama-se potencia de base a e expoente n ao numero que é o produto de n fatores iguais a a.
Desta definição ocorre que:
Temos dois casos especiais:
- para n=1, definimos (tendo um único fator não se defini produto)
-para n=0 e supondo ,definimos .
Exemplo:
PROPRIEDADES: Sendo a e b reais e m e n naturais, valem as seguintes propriedades:

Exemplo: Supondo , simplifique a expressão
Potencia de expoente inteiro negativo
Definição: Dados um numero real a, não nulo, e um numero n natural, chama-se potencia de base a e expoente –n o numero , que é inverso de .
Exemplos:
OBS: a, deve ser diferente de zero, pois, que não existe, pois, não dividiras por zero.
Exemplo: Qual o valor de ?
AVISO: O expoente negativo é muito importante no Calculo Diferencial, relembre com carinho. A Física trabalha com notação cientifica, coisas como: amassa do próton é de não abordaremos o assunto nesta apostila a Física tratara deste assunto.
Potencia de expoente racional
Chama-se raiz enésima aritmética de a o numero real e não negativo b tal que .
Exemplo:

Vamos observar os seguintes exemplos:
Com as propriedades de potencia vale a seguinte propriedade:
Acompanhe os seguintes cálculos:
Com estas considerações temos a seguinte definição:
Dados um numero real positivo a, um numero inteiro m e um numero natural n ( ), chama-se potencia de base a e expoente a raiz enésima aritmética de ;
Exemplos:

EXERCICIOS PROPOSTOS:
1) Calcule o valor de cada expressão:
2) Sendo , simplifique as expressões:
3) Calcule o valor de:
4) Qual o valor de:
5) Qual é o valor de , sendo:
6) Calcule o valor de:
7) Mostre que as afirmações abaixo não são verdadeiras:

EXPRESSÕES ALGEBRICAS
São formadas por letras números e sinais das operações. As letras que aparecem numa expressão algébrica são denominadas variáveis.
São exemplos:
1) O triplo de um numero: 3ª, 3x, 3z, 3t, 3y,...
2) A soma de seu numero com seu quadrado:
3) Três quartos de um numero adicionados a cinco: .
Valor numérico de uma expressão algébrica é um numero que se obtém após substituir as variáveis por números e efetuar as operações indicadas ( importante para a construção de gráficos).
Exemplos: Calcule para os seguintes valores de x:
POLINOMIOS
Um polinômio na variável real x é uma expressão composta da soma de produtos de constantes por potencias inteiras e positivas de x, , onde são os coeficientes e os termos do polinômio.
Exemplos:
OBS: não são polinômios:
OPERAÇÕES:
Igualdade: Dois polinômios P(x) e Q(x) são iguais ou idênticos, P(x)=Q(x) quando todos os seus coeficientes são ordenadamente iguais.
Exemplo:
Soma e subtração: soma-se ou subtraem-se os coeficientes dos termos de mesmo grau.
Exemplo:

1)
2)
3)
4)
Multiplicação: para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os outros termos do outro e adicionamos o resultado.
Exemplo:
1)
2)
3)
4)
Divisão: não iremos abordar.
FATORAÇÃO
Fatorar um polinômio significa escreve-lo na forma de um produto, é o mesmo que decompor em fatores. Quando os termos de um polinômio apresenta um fator comum, podemos coloca-lo em evidencia, obtendo uma forma fatorada do polinômio.
Exemplo:
EXERCICIOS PROPOSTOS
1) Fatore o numerador e o denominador e simplifique:
2) Simplifique as expressões:
3) Calcule e simplifique:

OBS: Não podemos esquecer os produtos notáveis:
FUNÇÕES
Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação ( ou correspondência) que associa a cada elemento um único elemento recebe o nome de função de A em B.
Notação: De um modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x,y) que caracteriza uma função de A em B indicamos . Se nesta função é a imagem de , indicaremos: .
OBS: No Calculo Diferencial, os conjuntos A e B é o conjunto dos reais, .
Exemplos:
1) Seja definida por , calcular:
d) Determinar x, tal que .
(verifique calculando )

2) Seja definida por f(x)=4x+m. Calcular m sabendo que f(-2)=5.
Domínio de função
Seja uma função. O conjunto A é chamado domínio da função. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência , de modo que, efetuados os cálculos, resulte um y.
Exemplo:
1) Seja definida por y=3x+4 qualquer valor de x, resulta um valor real em y, assim D=R.
2) definida por , o valor de x não pode ser 1, ( não dividirás por zero) para todos os outros x existe um y, assim .
3) Para a função se x for menor que 2 dentro da raiz, terei um numero negativo ( o que não pode acontecer), assim .
GRAFICOS DE FUNÇÃO
Noções básicas de plano cartesiano
Usaremos, agora, a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento. Temos:
- (1,3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 1 e o segundo elemento é 3.
- (3,1) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3 e o segundo elemento é 1.
Notemos que o par ordenado (1,3) é diferente do par ordenado (3, 1).
Para representarmos o par ordenado (a,b) geometricamente:
1º passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a intersecção O como origem para cada um deles.

2º passo: marcamos no eixo horizontal o ponto P1, correspondente ao valor de a.
3º passo: marcamos no eixo vertical o ponto P2, correspondente ao valor de b.
4º passo: traçamos por P1 uma reta paralela ao eixo vertical.
5º passo: traçamos por P2 uma reta paralela ao eixo horizontal.

6º passo: a intersecção destas duas retas é o ponto P que representa graficamente o par cartesiano (a, b).
Assim temos:
- o eixo horizontal ou Ox é o eixo das abscissas.
-o eixo vertical ou Oy é o eixo das ordenadas.
-O ponto O é a origem; à direita de O os valores são positivos; à esquerda de O os valores são negativos; abaixo de O os valores são negativos e acima de O os valores são positivos.
- O plano que contem Ox e Oy é o plano cartesiano.
Exercícios:
1) Distribua no plano cartesiano os seguintes pontos: A=(3,1), B=(-4,2), C=(5,-3), D=(-1,-1), E=(2,0), F=(0,-2), G=(0,0),H=(-4,0) e I=(0,4).

2) Forneça as coordenadas de cada ponto assinalado:
3) Encontre x e y que determinam, em cada caso, a igualdade:
a) (x,y)=(2,-5) b) (x+y,x-3y)=(3,7) (4,-1) c) (x+4,y-1)=(5,3) (1,4)
4) Determine m para que . (m=-4)
5) O ponto P=(m-3,4) pertence ao eixo y, qual o valor de m? (m=3)
6) O ponto Q=(-2, ) pertence ao eixo das abscissas. Qual o valor de m?
Construção de gráficos
Podemos construir o gráfico de uma função conhecendo a sua lei de correspondência y=f(x) e seu domínio. Assim:
1º passo: construímos uma tabela na qual aparecem os valores de x e os valores correspondentes y, calculados por meio de uma lei y=f(x).
2º passo: representar cada par ordenado (a,b) da tabela, o conjunto dos pontos obtidos constitui o gráfico da função.
Exemplo: 1) y=2x
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=2x
-6
-4
-2
0
2
4
6

3)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
5
0
-3
4
-3
0
5

4)
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4
-6
-12
12
6
4
Exercícios: Construir o gráfico das seguintes funções:
FUNÇÃO DE 1º GRAU

Definição: chama-se função polinomial de 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)=ax+b, em que a e b são números reais dados e .
OBS: Na lei f(x)=ax+b, o numero a é chamado coeficiente de x e o numero b é chamado termo independente.
Exemplo:
Um caso particular de função afim é aquele em que b=0. Neste caso temos a função f de R em R dada pela lei f(x)=ax com a real e , recebe a denominação de função linear.
Exemplos:
O gráfico de uma função polinomial de 1º grau, dada por , é uma reta.
Exemplo: construir o gráfico de:
a) y=3x-1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=3x-1
-10
-7
-4
-1
2
5
8

b) y=-2x+3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=-2x+3
9
7
5
3
1
-1
-3

c) Obter a equação da reta que passa pelos pontos P=(-1, 3) e Q=(1, 1).
Solução: a equação da reta é dada por y=ax+b
Assim a equação as reta é: y=-x+2
d) Obtenha a lei da função cujo gráfico é dado por:
Temos: P=(-1, 3), Q=(0, 0) e y=ax+b

3x
Função Constante: é quando na equação y=ax+b, temos a=0, assim y=b. Vamos construir o gráfico da função f de R em R dada por y=3, para todo x real.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=3
3
3
3
3
3
3
3
OBS: o gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
RAIZ
O gráfico da função y=ax+b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado de coeficiente angular da reta e esta ligado a sua inclinação em relação ao eixo Ox, e também esta ligado ao fato de a reta ser crescente ou decrescente. O termo constante b é chamado de coeficiente linear de reta. Chama-se raiz da função polinomial de 1º grau dada por , o numero real x tal que f(x)=0. Assim:
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau, definida por y=2x+1. Vamos atribuir valores para x:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-3
-1
1
3
5
7
9

Notemos que, quando aumenta o x, o y também aumenta. Dizemos que a função é crescente.
Agora, consideremos a função y=2-2x. Vamos atribuir valores:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
4
2
0
-2
-4
-6

Notemos que quando aumentamos o valor de x, y diminui. Dizemos que a função f é decrescente.
OBS: nas funções y=2x+1 e y=2-2x, qual a diferença entre as duas equações? Observando a equação da função de 1º grau temos que na primeira função a que é crescente a=2 e na segunda função que é decrescente a=-2.
CONCLUSÃO: a equação de 1º grau y=ax+b
-para , a função é crescente.
--para , a função é decrescente.
SINAL
Estudar o sinal da função f qualquer, definida por y=f(x), é determinar os valores de x para os quais y é positivo ou y é negativo. Uma função dada por y=f(x)=ax+b, há dois casos possíveis de sinal

-- , a função é crescente, então
-- ,a função é decrescente, então .
Exemplo: Estude o sinal da função:
a) y=2x-1
Primeiro determine a raiz, como? Igualando a zero.
Temos,
b) y=-2x+5
COEFICIENTE ANGULAR

Vamos retornar ao gráfico da função de 1º grau para tratar de algo que mais tarde será muito importante tanto para o Calculo Diferencial como para a Física.
- Considere a função y=f(x)=2x-1, vamos construir o gráfico desta função, para isto vamos tomar valores aleatórios para x e determinar os valores de y correspondentes.
x
-2
-1
0
1
2
y
-5
-3
-1
1
3
Neste caso vamos definir cinco pontos do gráfico da função: (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1) e (2, 3).
Construindo o gráfico:
Temos:
- Todos os pontos encontrados na função estão alinhados formando uma reta.
- Quando passamos de um ponto para outro – do ponto (1, 1) para o ponto (2, 3) vemos que o x desloca uma unidade na horizontal (paralelamente ao eixo x) e duas unidades na vertical (paralelamente ao eixo y), ou seja, .
- Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta.

- Considere a função y=f(x)=-3x+4. Montando a tabela temos:
x
-2
-1
0
1
2
y
10
7
4
1
-2
- Em coordenadas temos: (-2, 10), (-1,7), (0, 4), (1, 1) e (2, -2)

- Quando passamos de um ponto da reta, por exemplo, do ponto (1, 1) para o ponto (2, -2), andamos uma unidade para a direita (eixo x) e três unidades para baixo no sentido vertical (eixo y), ou seja, . Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta.
Coeficiente angular da reta: nas funções dos dois exemplos anteriores o coeficiente a é exatamente a razão da variação de y e de x.
O coeficiente a tem a ver com a inclinação da reta. Por isso é chamado de coeficiente angular da reta. Para definir o coeficiente angular de uma reta, precisamos de apenas dois pontos,
1) Em uma cidade, a empresa de telefonia esta promovendo a linha econômica. Sua assinatura é R$20,00 incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para telefone fixo. O tempo de ligação excedente é tarifado em R$0,10 por minuto.
a) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80, 120 e 200 minutos em ligações locais.
b) Se x é o numero de minutos excedentes, qual a lei da função que representa o valor(v) mensal da conta?
(R$20,00, R$22,00, R$30,00 e v(x)=20+0,1x)
2) Construir o gráfico de cada uma das funções dadas:
3) Uma reta passa pelos pontos (-1, 5) e (2, -4). Qual a lei da função representada por essa reta? (y=-3x+2)
4) Qual equação da reta que passa pelos pontos (-4, 2) e (2, 5)?
5) Obtenha, em cada caso, a lei da função cujo gráfico é mostrado a seguir:

6) Determine os valores dos coeficientes angulares das retas seguintes:
7) Determine a raiz de cada uma das funções de em dadas pelas seguintes leis:
8) Resolva, em , as seguintes equações de 1º grau:
9) Carlos é 4 anos mais velho que seu irmão André. Há cinco anos, a soma de suas idades era 34 anos. Qual a idade atual de cada um? (20 e 24)
10) Classifique cada uma das funções seguintes em crescente e decrescente:
a)
b)
a)
b)

11) Para que valores reais de m a função de em definido por
12) Em cada caso estude o sinal da função:
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU
Definição: Chama-se função quadratica ou função polinomial de 2º grau, qualquer função f de em definida por uma lei da forma em que a, b, e c são numeros reais e .
Exemplos:
f)
g)
g)

OBS: Por que é colocada a restrição ?
Simples, se a=0 temos uma equação de 1º grau
Grafico
O grafico de uma função polinomial de 2º grau dada por , é uma curva que chamamos de parabola. Desta vez vamos construir o grafico das funções: .
x
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
5
2
1
2
5
.
3
0
-1
0
3
Agora, vamos construir o grafico das funções:
x
-2
-1
0
1
2
-4
-1
0
-1
-4
-3
0
1
0
-3
-5
-2
-1
-3
-5

Observação: Ao construirno grafico de uma função quadratica dada por , notamos que;
-- Nos primeiros tres graficos: , temos a=1 nos tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para cima.
-- Nos segundos tres graficos: temos a=-1 nos tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para baixo.
Raiz da equação de 2º grau
LEMBRANDO: chama-se raiz ou zero de uma função os numeros reais x tais que f(x)=0.
As raizes da função polinomial de 2º grau são dadas pela formula de Bhaskara:
( a dedução desta formula faz parte dos livros de ensino médio)
Exemplo Vamos obter os zeros da fun o de em , definida pela lei:
1)
.(verifique se f(2)=f(3)=0)
2)

3)
Esta função não possui raizes reais.
Voltando aos graficos de exemplos anteriores observamos que: e tocam o eixo x uma única vez, ou seja, as duas raizes são iguais; e tocam o eixo em dois lugares no x=1 e no x=-1, ou seja, estas funções possuem duas raizes distintas;os graficos de e não tocam o eixo x,ou seja, não possuem raizes reais.
OBS: A quantidade de raizes de uma função quadratica depende do valor obtido para o radicando :
-- quando ,há duas raizes reais e distintas.
-- quando , há duas raizes reais e iguais.
-- quando , não há raiz deal.
SINAL
Conforme o sinal de , podem ocorrer os seguintes casos:
y>0
y>0
Y<0
a>0
y>0
Y<0
Y<0
a<0

y>0
y>0
a>0
y<0
Y<0
a<0
y>0
a>0
y<0
a<0

Exemplo: Estude o sinal da função .
1º passo:
Vamos verificar:
-- Escolher um numero menor que -3, por exemplo, x=-4
--Escolher um numero entre -3 e 1, por exemplo, x=0
--Escolher um numero maior que 1 por exemplo x=2
Como pudemos observar substituindo valores dentro das condições fica verificado os sinais.
1) Construa o gráfico das seguintes funções:
2) Determine as raízes reais de cada uma das seguintes funções:
Encontrada as raízes reais substitua o resultado na função verificando se f(r)=0.
3) Resolva em , as seguintes equações:

4) Dada a função determine:
a) O valor de f(-1) e f(0). (0, 1)
b) As soluções de f(x)=9. (2)
c) As soluções de f(x)=0. (-1)
5) Determine os valores de p a fim de que a função quadrática f dada por admita duas raízes reais e iguais. (1)
6) Faça o estudo de sinal de cada uma das funções de em definida pelas seguintes leis:
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: Chama-se função exponencial qualquer f de em dada por uma lei da forma , em que a é um numero real dado, a>0 e .
OBS:
-- Se a < 0, nem sempre o numero é real, por exemplo, .
-- Se a = 0, temos:
-- Se a = 1 e , função constante.
GRAFICO
Vamos construir o gráfico da função
x
-2
-1
0
1
2
3
y
1
2
4
8

Vamos, agora, construir o gráfico da função
x
-2
-1
0
1
2
3
y
4
2
1
As curvas acima são chamadas de curvas exponenciais.
Propriedades:
-- Na função exponencial cuja lei é , temos: , ou seja, o par ordenado (0, 1) satisfaz a lei para todo a (a > 0 e ). Isso quer dizer que o gráfico da função corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.

-- Se a > 1, a função definida por é crescente e seu gráfico será representado por:
São exemplos de funções crescentes:
-- Se 0 < a < 1, a função definida por é decrescente e seu gráfico é o seguinte
São exemplos de funções decrescentes:
-- Para todo a > 0 e , temos:
quaisquer que sejam os números reais .
-- Já vimos que para todo a > 0 e todo x real, temos > 0; portanto o gráfico da função definida por esta sempre acima do eixo dos x.
--- Se a > 1 então aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores.
--- Se 0 < a < 1, então aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada vez maiores.

A função é definida de em exatamente por isto.
O numero e
Um importante numero irracional em matemática é o numero e = 2,718281828459...
Para introduzi-lo, vamos considerar a expressão , definida em e verificar os valores que ela assume quando x se aproxima de zero
x
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
y
2,594
2,705
2,717
2,7182
2,7183
Podemos notar que quando x se aproxima de zero a expressão fica mais próxima do numero e = 2,7183...
Se considerarmos os valores negativos de x, porem cada vez mais próximos de zero ( por exemplo: x = -0,1, x = -0,01, x = - 0,001,etc.), a expressão também fica cada vez mais próxima de e = 2,7183.
A descoberta do numero e è atribuída a John Napier, datada de 1614. Um século depois, com o desenvolvimento do calculo infinitesimal o numero e teve a sua importância reconhecida. O símbolo e foi introduzido por Euler, em 1739. Toda calculadora cientifica possui a tecla . A função f de em definida por , é a função de base e, cujo gráfico é dado por:
Valem todas as propriedades descritas até agora e esta função tem grande utilização em engenharia.
1) Construa os gráficos das funções exponenciais:
2) Represente em um mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções f e g definidas de em

FUNÇÃO LOGARITMICA
Definição: Sendo a e b números reais e positivos chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potencia seja igual a b. log
Logaritmo é uma operação matemática que guarda estreita relação com a operação de potenciação.
-- a e b são maiores que zero
--a é diferente de 1
-- na potenciação o que buscamos é o resultado (b) de um numero (a) elevado a x, ou seja, o resultado de multiplicar x vezes o mesmo fator a.
-- já no logaritmo, o que buscamos é o expoente x, ou seja, quantas vezes deve se multiplicar o mesmo fator a para obter b.
Observe:
--Tanto na potencia como no logaritmo, a é a base.
-- x que é o expoente na operação de potencia, é o próprio resultado da operação de logaritmo.
-- b que é o resultado da operação de potenciação é o logaritmando na operação de logaritmo.
Então, quando você calcula um logaritmo, o que encontra é o expoente de uma potencia.
Compreendendo a relação entre potencia e logaritmo é que, se você, estiver trabalhando com vários valores de mesma base, pode deixar a base de lado e operar com os expoentes.
Exemplo:
100.10000.0,00001.1000000000000.0,01=
Basta somar as potencias.
E se resolvermos dividir esses números:
Neste caso bastou subtrair os expoentes.
Propriedades de logaritmo
As propriedades de logaritmos são diretamente obtidas das propriedades de potencia. Vamos tomar as potencias de base 2:
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
Tomando estas bases vamos calcular alguns logaritmos: log log b log

log
Logaritmo do produto
Qual o logaritmo em base 2 do produto de 16por 64?
Então: log log log
Mas, log log log
Generalizando: log log log
Logaritmo do quociente
Na divisão de potencias de mesma base o que fazemos com os expoentes é subtraí-los: log log log
Temos:
Generalizando: log log log
Logaritmo de potencia
Vamos partir de: log . Se quisermos saber o valor de log ?
Usaremos as propriedades de potencias:
log log log log log =n.c log log log log
Mudança de base
Se você observar a sua calculadora ela só possui a tecla log, ou seja, logaritmo na base 10, então como calcular log na calculadora?
Pela calculadora: log log log
Generalizando: log
Vamos aqui abrir um pequeno parênteses para falar em função inversa.
Conceitos: Quando x e y são variáveis que se inter-relacionam de modo que cada valor atribuído a x esta associado um único valor de y, dizemos que y é função de x, y=f(x).
Se também, do mesmo modo, a cada valor atribuído a y esta associado um único valor de x, dizemos que x também é função de y. Essa função recebe o nome de função inversa de f e é representada por
Neste caso, a função é inversivel. Para a construção de gráficos é importante notarmos que se f é inversivel e um par (a, b) pertence a função f, então o par (b, a) pertence a .
Consequentemente, cada ponto (b, a) do gráfico de é simétrico de um ponto (a, b) do gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante do plano cartesiano. E, portanto, o gráfico de f é simétrico do gráfico de em relação a mesma bissetriz.
Vamos tomar a função y = 3x+4 e construir seu gráfico:
x
0
-1
-2

y
4
1
-2
Procure medir as distancias dos pontos até a bissetriz.
Vamos a outro exemplo:
x
0
1
2
3
y
0
1
4
9
y=3x+4
Y=x

Agora o exemplo principal, ou o mais importante:
x
-2
-1
0
1
2
y
1
2
4
Y=x
log

Tudo isto para reforçar a ideia de que conhecendo a função exponencial conhecemos a função logarítmica. Deixamos por ultimo o logaritmo mais importante o logaritmo neperiano ou natural, em homenagem a Napier, matemático escocês considerado o pai dos logaritmos. O logaritmo neperiano é aquele de base e que indicaremos por ln (eleene). Assim log , valem todas as propriedades de logaritmo.
TRIGONOMETRIA
Triangulo retângulo
Todo triangulo retângulo, alem do ângulo reto, possui dois ângulos agudos (menor de noventa graus) complementares. O maior dos três lados do triangulo é o oposto ao ângulo reto e chama-se hipotenusa; os outros dois lados são os catetos.

Em qualquer triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
Essa relação é conhecida como o teorema de Pitágoras.
Exemplo: No triangulo, calcule x, y, z e t.
Temos:
Relações trigonométricas
Teorema: Em todo triangulo retângulo um cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.

Projetando o segmento BC sobre o eixo x temos:
Projetando o segmento BC sobre o eixo y temos:
Teorema: Em todo triangulo retângulo, cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto.
Destes teoremas tiramos as relações trigonométricas:
A tangente que é a razão entre os segmentos AB e AC, em relação ao ângulo :
Vamos resumir:
Dado o triangulo retângulo

Exemplo: 1) Determine o valor de x na figura:
2)Uma mulher, cujos olhos estão a 1,5m do solo, avista em um ângulo de 12°, um edifício que se encontra a 200m dela,qual a altura aproximada do edifício?

Altura do edifício=x+1,5=42+1,5=43,5m
( usei duas casas decimais se usar mais fica mais preciso)
Leis do seno e do cosseno
Para triângulos que não são retângulos (chamados acutangulos ou obtusângulo)duas outras relações são muito importantes. São as leis dos senos e dos cossenos. Observe o triangulo obtusângulo abaixo:
A lei dos senos estabelece que: .
A lei dos cossenos:
Relações fundamentais:

Graus e radianos
Qualquer ângulo pode ser medido em graus ou em radianos (rad). Os 360° de uma circunferência equivale a radianos. Os 180° equivale a radianos. Com esta informação calculamos qualquer ângulo.
Exemplo:
a) 45° em radianos
b) em graus
Circunferência Trigonométrica
Observe: A circunferência é desenhada sobre um plano cartesiano (eixos x e y), respeitando a sua orientação.
-- O centro da circunferência esta sobre o ponto O de coordenadas (0, 0).
-- O eixo x corresponde à medida dos cossenos.
-- O eixo y corresponde à medida dos senos.
A explicação disto é que quando posicionamos o triangulo retângulo dentro da circunferência, o cateto adjacente ao ângulo é o eixo x e o cateto oposto ao ângulo é o correspondente ao eixo y.

-- O raio da circunferência é uma unidade.
-- A circunferência é dividida em quatro quadrantes.
-- Os graus da circunferência são lidos a partir da direita, no sentido anti-horário 0°, 90°, 180°, 270° e 360°. Dentro da circunferência podemos desenhar ângulos de 0° a360° e obter o valor das razões trigonométricas.

-- O segmento AO é a hipotenusa de um triangulo retângulo formado pelos pontos OAP.
-- Já havia sido definido que o raio da circunferência tem medida 1. Então a medida do segmento AO (hipotenusa) é 1.
-- Essa hipotenusa forma com o lado positivo do eixo x um ângulo .
-- O ponto A tem coordenadas A = (x, y).
-- Comona circunferência o eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y é o eixo dos senos, então as coordenadas de A são .
Os Quadrantes
Quando o ponto A esta no quadrante I, o ângulo terá valor entre 0° e 90°. E os valores de seno, cosseno e da tangente serão positivos.

Se o ponto A estiver no quadrante II o ângulo terá um valor entre 90° e 180°. Neste caso o seno será positivo, mas o cosseno, negativo; a tangente também será negativa.
Para um ponto A que esteja no quadrante III o valor de ficara entre 180° e 270°. O seno e o cosseno serão negativos. A tangente será positiva.

Finalmente, para um ponto A que esteja no quadrante IV, entre 270° e 360°. Neste caso, o cosseno é positivo e o seno e a tangente serão negativos.
Veremos o que acontece em alguns ângulos específicos:
0°-- corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade. Como o ponto A tem coordenadas A = (x, 0). Neste caso, , o cosseno vale 1 e o seno vale zero.

90°--corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade, como o ponto A tem coordenadas (0, y) neste caso , cosseno vale zero e seno vale 1.
180°--corresponde a medida AO, do lado negativo do eixo x. Como A tem coordenadas (x, 0), neste caso , cosseno vale -1 e seno vale zero.
270°--corresponde a medida AO,do lado negativo do eixo y. Como A tem coordenadas (0, y), neste caso , cosseno vale zero e o seno vale -1.

360°-- voltamos às mesmas condições de 0°, mas sabendo que completamos uma volta.
Simetria da circunferência trigonométrica
Podemos calcular o valor para um ângulo de qualquer quadrante trabalhando apenas com os ângulos do quadrante I. É que qualquer ponto da circunferência tem três pontos simétricos em relação aos eixos cartesianos nos outros três quadrantes. Veja:
Os pontos A A’ A’’ A’’’ s o sim tricos em rela o aos eixos cartesianos Traduzindo: as coordenadas desses pontos têm os mesmos valores absolutos. A única diferença são os sinais que variam conforme o quadrante.
Como exemplo vamos trabalhar os ângulos de: 45°, 135°, 225° e 315°ou .

Como o triangulo tem o lado x e y iguais podem calcular por Pitágoras.
Portanto: o seno e o cosseno têm medidas iguais a , usando a simetria na circunferência trigonométrica temos as coordenadas dos pontos:
Funções trigonométricas inversas
Quando se resolve uma equação e chegamos ao resultado , por exemplo, busca-se um arco (ou ângulo) x cujo seno valha , sabemos que existem infinitos arcos nessas condições: são eles todos os arcos côngruos a .

Precisamos restringir o conjunto universo da equação. Para o caso do seno, uma restrição capaz de fazer com que haja sempre um arco nas condições estabelecidas é considerar como conjunto universo o intervalo .
Com esta restrição temos:
-- Para cada valor de senx existe em correspondência um arco de x.
-- Para cada arco x do intervalo , existe um valor exclusivo de senx.
Assim, a função passa a ser inversivel.
0
Y=senx
Y=arcsenx
Y=x

A função cujo gráfico obtido pelo rebatimento do gráfico de f(x)=senx em terno da primeira bissetriz é a função f(x)=arcsenx, lê-se arco-seno de x e entendê-se arco cujo seno é x. Assim: .
No caso da função f(x)=cosx, para que não haja multiplicidade de arcos com o mesmo valor de cosseno é simplesmente considerar o intervelo , pois neste intervalo a função decresce de 1 a -1.
Assim:
1) Sabendo que , determine x e y:
0
1
-1
0

)
2) Determine x e y:
3) Determine o valorde x em cada caso:

4) Na figura . Qual o valor de x?
5) Determine o seno do ângulo assinalado em cada caso:
6) Na figura AB = 6cm e senC = 0,2. Determine
a) A medida da hipotenusa
b) O senA
7) De o valor de:

cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos
8) Sendo cos e x do 4º quadrante, calcule senx.
9) Encontre o seno, a secante e a cotangente do arco x do 2º quadrante cujo cosseno vale -0,6.
10)Simplifique a expressão:
11)Sabendo que cos a = 2 sen a. Calcule tg a e sen a.
12)Verifique as identidades abaixo:
13)Monte a circunferencia trigonometrica e calcule o seno de todos os angulos, a partir daí construa o grafico da função f(x)=senx. Usando a mesma tecnica faça o grafico da função f(x)=cosx.

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