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APOSTILA DE NIVELAMENTO 
2013 
Profª Maria Aparecida
Se você precisa de uma mãozinha, lembre-se ela sempre esta no final de seu braço!
OPERAÇÕES NUMERICAS E ALGEBRICAS 
1) Verifique se a igualdade é verdadeira: 
3+4.2=14 
2) Efetue as operações: 
3) Na equação , determinar x para a=8,b=3 e c=2. (9) 
4) Da relação , calcular x para a=8, b=7,c=1 e d=4. 
5) Calcular o valor de x para a=2, b=3 e c=4 se . 
6) Na igualdade , calcular x se a=15, b=6 e c+2. 
7) Para a=1, b=2 e c=3, dar o valor numérico de . 
FRAÇÕES 
Dividimos um retângulo em 11 partes iguais e pintamos 8 dessas partes, Que fração do retângulo foi pintado? 
Pintamos .
A seguir retiramos a cor de 5 das partes pintadas. Que fração do retângulo foi descolorida? 
Foi descolorido . 
Que fração do retângulo permaneceu pintada? Permaneceu pintado: . 
Podemos dizer então que fração é um numero que representa partes de um inteiro. 
Temos que em : onde a é o numerador, ou seja, quantas partes do todo foram tomadas; e b é o denominador e indica em quantas partes iguais à unidade foi dividida. 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES: 
Soma ou subtração: 
a) A soma ou subtração de duas frações de mesmo denominador é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a soma ou diferença entre os numeradores. 
Exemplo: 
b) Para somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-los a um mesmo denominador. 
Exemplo: m.m.c. (3,2)=6 
Exercícios: Efetue as operações: 
Multiplicação:
O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores. 
Exemplo: 
Exercícios: efetue as operações: 
DIVISÃO OU QUOCIENTE 
O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda. 
Exemplo: 
Exercícios: Efetue as operações: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
Efetue as operações:
Resolva estas operações com muito carinho: 
MÍNIMO MULTIPLO COMUM 
Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor numero, excluindo o zero, que é múltiplo desses números. 
Exemplo: O numero 100 é o primeiro numero múltiplo exceto o zero que é múltiplo ao mesmo tempo de 20 e 25. 
Calculando o m.m.c. 
Exemplo: Qual o m.m.c. de 18, 25 e 30? 
1º) Escrevemos os números, separados por virgulas, lado a lado e colocamos um traço após o ultimo numero e colocamos o menor numero fator comum a todos os números ou não. 
2º) Sob cada numero colocamos o resultado da divisão, os números não divisíveis repetimos. 
lembrando que 25 não é dividido por dois 
3º) Prosseguimos com esse processo ate chegar ao quociente 1.
Também podemos encontrar o m.m.c. por fatoração. 
1º) Fatoramos separadamente os números dados: 
Assim: da fatoração temos: 
2º) O m.m.c. é o produto dos fatores comuns e não comuns, cada um com o maior expoente que apresenta na fatoração. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
POTENCIAÇÃO 
Definição: Dados um numero real a e um numero natural n,n 2, chama-se potencia de base a e expoente n ao numero que é o produto de n fatores iguais a a. 
Desta definição ocorre que: 
Temos dois casos especiais: 
- para n=1, definimos (tendo um único fator não se defini produto) 
-para n=0 e supondo ,definimos . 
Exemplo: 
PROPRIEDADES: Sendo a e b reais e m e n naturais, valem as seguintes propriedades:
Exemplo: Supondo , simplifique a expressão 
Potencia de expoente inteiro negativo 
Definição: Dados um numero real a, não nulo, e um numero n natural, chama-se potencia de base a e expoente –n o numero , que é inverso de . 
Exemplos: 
OBS: a, deve ser diferente de zero, pois, que não existe, pois, não dividiras por zero. 
Exemplo: Qual o valor de ? 
AVISO: O expoente negativo é muito importante no Calculo Diferencial, relembre com carinho. A Física trabalha com notação cientifica, coisas como: amassa do próton é de não abordaremos o assunto nesta apostila a Física tratara deste assunto. 
Potencia de expoente racional 
Chama-se raiz enésima aritmética de a o numero real e não negativo b tal que . 
Exemplo:
Vamos observar os seguintes exemplos: 
Com as propriedades de potencia vale a seguinte propriedade: 
Acompanhe os seguintes cálculos: 
Com estas considerações temos a seguinte definição: 
Dados um numero real positivo a, um numero inteiro m e um numero natural n ( ), chama-se potencia de base a e expoente a raiz enésima aritmética de ; 
Exemplos:
EXERCICIOS PROPOSTOS: 
1) Calcule o valor de cada expressão: 
2) Sendo , simplifique as expressões: 
3) Calcule o valor de: 
4) Qual o valor de: 
5) Qual é o valor de , sendo: 
6) Calcule o valor de: 
7) Mostre que as afirmações abaixo não são verdadeiras:
EXPRESSÕES ALGEBRICAS 
São formadas por letras números e sinais das operações. As letras que aparecem numa expressão algébrica são denominadas variáveis. 
São exemplos: 
1) O triplo de um numero: 3ª, 3x, 3z, 3t, 3y,... 
2) A soma de seu numero com seu quadrado: 
3) Três quartos de um numero adicionados a cinco: . 
Valor numérico de uma expressão algébrica é um numero que se obtém após substituir as variáveis por números e efetuar as operações indicadas ( importante para a construção de gráficos). 
Exemplos: Calcule para os seguintes valores de x: 
POLINOMIOS 
Um polinômio na variável real x é uma expressão composta da soma de produtos de constantes por potencias inteiras e positivas de x, , onde são os coeficientes e os termos do polinômio. 
Exemplos: 
OBS: não são polinômios: 
OPERAÇÕES: 
Igualdade: Dois polinômios P(x) e Q(x) são iguais ou idênticos, P(x)=Q(x) quando todos os seus coeficientes são ordenadamente iguais. 
Exemplo: 
Soma e subtração: soma-se ou subtraem-se os coeficientes dos termos de mesmo grau. 
Exemplo:
1) 
2) 
3) 
4) 
Multiplicação: para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os outros termos do outro e adicionamos o resultado. 
Exemplo: 
1) 
2) 
3) 
4) 
Divisão: não iremos abordar. 
FATORAÇÃO 
Fatorar um polinômio significa escreve-lo na forma de um produto, é o mesmo que decompor em fatores. Quando os termos de um polinômio apresenta um fator comum, podemos coloca-lo em evidencia, obtendo uma forma fatorada do polinômio. 
Exemplo: 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) Fatore o numerador e o denominador e simplifique: 
2) Simplifique as expressões: 
3) Calcule e simplifique:
OBS: Não podemos esquecer os produtos notáveis: 
FUNÇÕES 
Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação ( ou correspondência) que associa a cada elemento um único elemento recebe o nome de função de A em B. 
Notação: De um modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x,y) que caracteriza uma função de A em B indicamos . Se nesta função é a imagem de , indicaremos: . 
OBS: No Calculo Diferencial, os conjuntos A e B é o conjunto dos reais, . 
Exemplos: 
1) Seja definida por , calcular: 
d) Determinar x, tal que . 
(verifique calculando )
2) Seja definida por f(x)=4x+m. Calcular m sabendo que f(-2)=5. 
Domínio de função 
Seja uma função. O conjunto A é chamado domínio da função. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência , de modo que, efetuados os cálculos, resulte um y. 
Exemplo: 
1) Seja definida por y=3x+4 qualquer valor de x, resulta um valor real em y, assim D=R. 
2) definida por , o valor de x não pode ser 1, ( não dividirás por zero) para todos os outros x existe um y, assim . 
3) Para a função se x for menor que 2 dentro da raiz, terei um numero negativo ( o que não pode acontecer), assim . 
GRAFICOS DE FUNÇÃO 
Noções básicas de plano cartesiano 
Usaremos, agora, a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento. Temos: 
- (1,3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 1 e o segundo elemento é 3. 
- (3,1) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3 e o segundo elemento é 1. 
Notemos que o par ordenado (1,3) é diferente do par ordenado (3, 1). 
Para representarmos o par ordenado (a,b) geometricamente: 
1º passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a intersecção O como origem para cada um deles.
2º passo: marcamos no eixo horizontal o ponto P1, correspondente ao valor de a. 
3º passo: marcamos no eixo vertical o ponto P2, correspondente ao valor de b. 
4º passo: traçamos por P1 uma reta paralela ao eixo vertical. 
5º passo: traçamos por P2 uma reta paralela ao eixo horizontal.
6º passo: a intersecção destas duas retas é o ponto P que representa graficamente o par cartesiano (a, b). 
Assim temos: 
- o eixo horizontal ou Ox é o eixo das abscissas. 
-o eixo vertical ou Oy é o eixo das ordenadas. 
-O ponto O é a origem; à direita de O os valores são positivos; à esquerda de O os valores são negativos; abaixo de O os valores são negativos e acima de O os valores são positivos. 
- O plano que contem Ox e Oy é o plano cartesiano. 
Exercícios: 
1) Distribua no plano cartesiano os seguintes pontos: A=(3,1), B=(-4,2), C=(5,-3), D=(-1,-1), E=(2,0), F=(0,-2), G=(0,0),H=(-4,0) e I=(0,4).
2) Forneça as coordenadas de cada ponto assinalado: 
3) Encontre x e y que determinam, em cada caso, a igualdade: 
a) (x,y)=(2,-5) b) (x+y,x-3y)=(3,7) (4,-1) c) (x+4,y-1)=(5,3) (1,4) 
4) Determine m para que . (m=-4) 
5) O ponto P=(m-3,4) pertence ao eixo y, qual o valor de m? (m=3) 
6) O ponto Q=(-2, ) pertence ao eixo das abscissas. Qual o valor de m? 
Construção de gráficos 
Podemos construir o gráfico de uma função conhecendo a sua lei de correspondência y=f(x) e seu domínio. Assim: 
1º passo: construímos uma tabela na qual aparecem os valores de x e os valores correspondentes y, calculados por meio de uma lei y=f(x). 
2º passo: representar cada par ordenado (a,b) da tabela, o conjunto dos pontos obtidos constitui o gráfico da função. 
Exemplo: 1) y=2x 
X 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
Y=2x 
-6 
-4 
-2 
0 
2 
4 
6
3) 
x 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
5 
0 
-3 
4 
-3 
0 
5
4) 
X 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
-4 
-6 
-12 
12 
6 
4 
Exercícios: Construir o gráfico das seguintes funções: 
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Definição: chama-se função polinomial de 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)=ax+b, em que a e b são números reais dados e . 
OBS: Na lei f(x)=ax+b, o numero a é chamado coeficiente de x e o numero b é chamado termo independente. 
Exemplo: 
Um caso particular de função afim é aquele em que b=0. Neste caso temos a função f de R em R dada pela lei f(x)=ax com a real e , recebe a denominação de função linear. 
Exemplos: 
O gráfico de uma função polinomial de 1º grau, dada por , é uma reta. 
Exemplo: construir o gráfico de: 
a) y=3x-1 
x 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
y=3x-1 
-10 
-7 
-4 
-1 
2 
5 
8
b) y=-2x+3 
x 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
y=-2x+3 
9 
7 
5 
3 
1 
-1 
-3
c) Obter a equação da reta que passa pelos pontos P=(-1, 3) e Q=(1, 1). 
Solução: a equação da reta é dada por y=ax+b 
Assim a equação as reta é: y=-x+2 
d) Obtenha a lei da função cujo gráfico é dado por: 
Temos: P=(-1, 3), Q=(0, 0) e y=ax+b
3x 
Função Constante: é quando na equação y=ax+b, temos a=0, assim y=b. Vamos construir o gráfico da função f de R em R dada por y=3, para todo x real. 
x 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
y=3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
OBS: o gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. 
RAIZ 
O gráfico da função y=ax+b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado de coeficiente angular da reta e esta ligado a sua inclinação em relação ao eixo Ox, e também esta ligado ao fato de a reta ser crescente ou decrescente. O termo constante b é chamado de coeficiente linear de reta. Chama-se raiz da função polinomial de 1º grau dada por , o numero real x tal que f(x)=0. Assim: 
Crescimento e decrescimento 
Consideremos a função do 1º grau, definida por y=2x+1. Vamos atribuir valores para x: 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
y 
-3 
-1 
1 
3 
5 
7 
9
Notemos que, quando aumenta o x, o y também aumenta. Dizemos que a função é crescente. 
Agora, consideremos a função y=2-2x. Vamos atribuir valores: 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
y 
6 
4 
2 
0 
-2 
-4 
-6
Notemos que quando aumentamos o valor de x, y diminui. Dizemos que a função f é decrescente. 
OBS: nas funções y=2x+1 e y=2-2x, qual a diferença entre as duas equações? Observando a equação da função de 1º grau temos que na primeira função a que é crescente a=2 e na segunda função que é decrescente a=-2. 
CONCLUSÃO: a equação de 1º grau y=ax+b 
-para , a função é crescente. 
--para , a função é decrescente. 
SINAL 
Estudar o sinal da função f qualquer, definida por y=f(x), é determinar os valores de x para os quais y é positivo ou y é negativo. Uma função dada por y=f(x)=ax+b, há dois casos possíveis de sinal
-- , a função é crescente, então 
-- ,a função é decrescente, então . 
Exemplo: Estude o sinal da função: 
a) y=2x-1 
Primeiro determine a raiz, como? Igualando a zero. 
Temos, 
b) y=-2x+5 
COEFICIENTE ANGULAR
Vamos retornar ao gráfico da função de 1º grau para tratar de algo que mais tarde será muito importante tanto para o Calculo Diferencial como para a Física. 
- Considere a função y=f(x)=2x-1, vamos construir o gráfico desta função, para isto vamos tomar valores aleatórios para x e determinar os valores de y correspondentes. 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
y 
-5 
-3 
-1 
1 
3 
Neste caso vamos definir cinco pontos do gráfico da função: (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1) e (2, 3). 
Construindo o gráfico: 
Temos: 
- Todos os pontos encontrados na função estão alinhados formando uma reta. 
- Quando passamos de um ponto para outro – do ponto (1, 1) para o ponto (2, 3) vemos que o x desloca uma unidade na horizontal (paralelamente ao eixo x) e duas unidades na vertical (paralelamente ao eixo y), ou seja, . 
- Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta.
- Considere a função y=f(x)=-3x+4. Montando a tabela temos: 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
y 
10 
7 
4 
1 
-2 
- Em coordenadas temos: (-2, 10), (-1,7), (0, 4), (1, 1) e (2, -2)
- Quando passamos de um ponto da reta, por exemplo, do ponto (1, 1) para o ponto (2, -2), andamos uma unidade para a direita (eixo x) e três unidades para baixo no sentido vertical (eixo y), ou seja, . Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta. 
Coeficiente angular da reta: nas funções dos dois exemplos anteriores o coeficiente a é exatamente a razão da variação de y e de x. 
O coeficiente a tem a ver com a inclinação da reta. Por isso é chamado de coeficiente angular da reta. Para definir o coeficiente angular de uma reta, precisamos de apenas dois pontos, 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) Em uma cidade, a empresa de telefonia esta promovendo a linha econômica. Sua assinatura é R$20,00 incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para telefone fixo. O tempo de ligação excedente é tarifado em R$0,10 por minuto. 
a) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80, 120 e 200 minutos em ligações locais. 
b) Se x é o numero de minutos excedentes, qual a lei da função que representa o valor(v) mensal da conta? 
(R$20,00, R$22,00, R$30,00 e v(x)=20+0,1x) 
2) Construir o gráfico de cada uma das funções dadas: 
3) Uma reta passa pelos pontos (-1, 5) e (2, -4). Qual a lei da função representada por essa reta? (y=-3x+2) 
4) Qual equação da reta que passa pelos pontos (-4, 2) e (2, 5)? 
5) Obtenha, em cada caso, a lei da função cujo gráfico é mostrado a seguir:
6) Determine os valores dos coeficientes angulares das retas seguintes: 
7) Determine a raiz de cada uma das funções de em dadas pelas seguintes leis: 
8) Resolva, em , as seguintes equações de 1º grau: 
9) Carlos é 4 anos mais velho que seu irmão André. Há cinco anos, a soma de suas idades era 34 anos. Qual a idade atual de cada um? (20 e 24) 
10) Classifique cada uma das funções seguintes em crescente e decrescente: 
a) 
b) 
a) 
b)
11) Para que valores reais de m a função de em definido por 
12) Em cada caso estude o sinal da função: 
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU 
Definição: Chama-se função quadratica ou função polinomial de 2º grau, qualquer função f de em definida por uma lei da forma em que a, b, e c são numeros reais e . 
Exemplos: 
f) 
g) 
g)
OBS: Por que é colocada a restrição ? 
Simples, se a=0 temos uma equação de 1º grau 
Grafico 
O grafico de uma função polinomial de 2º grau dada por , é uma curva que chamamos de parabola. Desta vez vamos construir o grafico das funções: . 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
4 
1 
0 
1 
4 
5 
2 
1 
2 
5 
. 
3 
0 
-1 
0 
3 
Agora, vamos construir o grafico das funções: 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
-4 
-1 
0 
-1 
-4 
-3 
0 
1 
0 
-3 
-5 
-2 
-1 
-3 
-5
Observação: Ao construirno grafico de uma função quadratica dada por , notamos que; 
-- Nos primeiros tres graficos: , temos a=1 nos tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para cima. 
-- Nos segundos tres graficos: temos a=-1 nos tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para baixo. 
Raiz da equação de 2º grau 
LEMBRANDO: chama-se raiz ou zero de uma função os numeros reais x tais que f(x)=0. 
As raizes da função polinomial de 2º grau são dadas pela formula de Bhaskara: 
( a dedução desta formula faz parte dos livros de ensino médio) 
Exemplo Vamos obter os zeros da fun o de em , definida pela lei: 
1) 
.(verifique se f(2)=f(3)=0) 
2)
3) 
Esta função não possui raizes reais. 
Voltando aos graficos de exemplos anteriores observamos que: e tocam o eixo x uma única vez, ou seja, as duas raizes são iguais; e tocam o eixo em dois lugares no x=1 e no x=-1, ou seja, estas funções possuem duas raizes distintas;os graficos de e não tocam o eixo x,ou seja, não possuem raizes reais. 
OBS: A quantidade de raizes de uma função quadratica depende do valor obtido para o radicando : 
-- quando ,há duas raizes reais e distintas. 
-- quando , há duas raizes reais e iguais. 
-- quando , não há raiz deal. 
SINAL 
Conforme o sinal de , podem ocorrer os seguintes casos: 
y>0 
y>0 
Y<0 
a>0 
y>0 
Y<0 
Y<0 
a<0
y>0 
y>0 
a>0 
y<0 
Y<0 
a<0 
y>0 
a>0 
y<0 
a<0
Exemplo: Estude o sinal da função . 
1º passo: 
Vamos verificar: 
-- Escolher um numero menor que -3, por exemplo, x=-4 
--Escolher um numero entre -3 e 1, por exemplo, x=0 
--Escolher um numero maior que 1 por exemplo x=2 
Como pudemos observar substituindo valores dentro das condições fica verificado os sinais. 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) Construa o gráfico das seguintes funções: 
2) Determine as raízes reais de cada uma das seguintes funções: 
Encontrada as raízes reais substitua o resultado na função verificando se f(r)=0. 
3) Resolva em , as seguintes equações:
4) Dada a função determine: 
a) O valor de f(-1) e f(0). (0, 1) 
b) As soluções de f(x)=9. (2) 
c) As soluções de f(x)=0. (-1) 
5) Determine os valores de p a fim de que a função quadrática f dada por admita duas raízes reais e iguais. (1) 
6) Faça o estudo de sinal de cada uma das funções de em definida pelas seguintes leis: 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Definição: Chama-se função exponencial qualquer f de em dada por uma lei da forma , em que a é um numero real dado, a>0 e . 
OBS: 
-- Se a < 0, nem sempre o numero é real, por exemplo, . 
-- Se a = 0, temos: 
-- Se a = 1 e , função constante. 
GRAFICO 
Vamos construir o gráfico da função 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
y 
1 
2 
4 
8
Vamos, agora, construir o gráfico da função 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
y 
4 
2 
1 
As curvas acima são chamadas de curvas exponenciais. 
Propriedades: 
-- Na função exponencial cuja lei é , temos: , ou seja, o par ordenado (0, 1) satisfaz a lei para todo a (a > 0 e ). Isso quer dizer que o gráfico da função corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.
-- Se a > 1, a função definida por é crescente e seu gráfico será representado por: 
São exemplos de funções crescentes: 
-- Se 0 < a < 1, a função definida por é decrescente e seu gráfico é o seguinte 
São exemplos de funções decrescentes: 
-- Para todo a > 0 e , temos: 
quaisquer que sejam os números reais . 
-- Já vimos que para todo a > 0 e todo x real, temos > 0; portanto o gráfico da função definida por esta sempre acima do eixo dos x. 
--- Se a > 1 então aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores. 
--- Se 0 < a < 1, então aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada vez maiores.
A função é definida de em exatamente por isto. 
O numero e 
Um importante numero irracional em matemática é o numero e = 2,718281828459... 
Para introduzi-lo, vamos considerar a expressão , definida em e verificar os valores que ela assume quando x se aproxima de zero 
x 
0,1 
0,01 
0,001 
0,0001 
0,00001 
y 
2,594 
2,705 
2,717 
2,7182 
2,7183 
Podemos notar que quando x se aproxima de zero a expressão fica mais próxima do numero e = 2,7183... 
Se considerarmos os valores negativos de x, porem cada vez mais próximos de zero ( por exemplo: x = -0,1, x = -0,01, x = - 0,001,etc.), a expressão também fica cada vez mais próxima de e = 2,7183. 
A descoberta do numero e è atribuída a John Napier, datada de 1614. Um século depois, com o desenvolvimento do calculo infinitesimal o numero e teve a sua importância reconhecida. O símbolo e foi introduzido por Euler, em 1739. Toda calculadora cientifica possui a tecla . A função f de em definida por , é a função de base e, cujo gráfico é dado por: 
Valem todas as propriedades descritas até agora e esta função tem grande utilização em engenharia. 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) Construa os gráficos das funções exponenciais: 
2) Represente em um mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções f e g definidas de em
FUNÇÃO LOGARITMICA 
Definição: Sendo a e b números reais e positivos chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potencia seja igual a b. log 
Logaritmo é uma operação matemática que guarda estreita relação com a operação de potenciação. 
-- a e b são maiores que zero 
--a é diferente de 1 
-- na potenciação o que buscamos é o resultado (b) de um numero (a) elevado a x, ou seja, o resultado de multiplicar x vezes o mesmo fator a. 
-- já no logaritmo, o que buscamos é o expoente x, ou seja, quantas vezes deve se multiplicar o mesmo fator a para obter b. 
Observe: 
--Tanto na potencia como no logaritmo, a é a base. 
-- x que é o expoente na operação de potencia, é o próprio resultado da operação de logaritmo. 
-- b que é o resultado da operação de potenciação é o logaritmando na operação de logaritmo. 
Então, quando você calcula um logaritmo, o que encontra é o expoente de uma potencia. 
Compreendendo a relação entre potencia e logaritmo é que, se você, estiver trabalhando com vários valores de mesma base, pode deixar a base de lado e operar com os expoentes. 
Exemplo: 
100.10000.0,00001.1000000000000.0,01= 
Basta somar as potencias. 
E se resolvermos dividir esses números: 
Neste caso bastou subtrair os expoentes. 
Propriedades de logaritmo 
As propriedades de logaritmos são diretamente obtidas das propriedades de potencia. Vamos tomar as potencias de base 2: 
1 
2 
4 
8 
16 
32 
64 
128 
256 
512 
1024 
2048 
Tomando estas bases vamos calcular alguns logaritmos: log log b log
log 
Logaritmo do produto 
Qual o logaritmo em base 2 do produto de 16por 64? 
Então: log log log 
Mas, log log log 
Generalizando: log log log 
Logaritmo do quociente 
Na divisão de potencias de mesma base o que fazemos com os expoentes é subtraí-los: log log log 
Temos: 
Generalizando: log log log 
Logaritmo de potencia 
Vamos partir de: log . Se quisermos saber o valor de log ? 
Usaremos as propriedades de potencias: 
log log log log log =n.c log log log log 
Mudança de base 
Se você observar a sua calculadora ela só possui a tecla log, ou seja, logaritmo na base 10, então como calcular log na calculadora? 
Pela calculadora: log log log 
Generalizando: log 
Vamos aqui abrir um pequeno parênteses para falar em função inversa. 
Conceitos: Quando x e y são variáveis que se inter-relacionam de modo que cada valor atribuído a x esta associado um único valor de y, dizemos que y é função de x, y=f(x). 
Se também, do mesmo modo, a cada valor atribuído a y esta associado um único valor de x, dizemos que x também é função de y. Essa função recebe o nome de função inversa de f e é representada por 
Neste caso, a função é inversivel. Para a construção de gráficos é importante notarmos que se f é inversivel e um par (a, b) pertence a função f, então o par (b, a) pertence a . 
Consequentemente, cada ponto (b, a) do gráfico de é simétrico de um ponto (a, b) do gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante do plano cartesiano. E, portanto, o gráfico de f é simétrico do gráfico de em relação a mesma bissetriz. 
Vamos tomar a função y = 3x+4 e construir seu gráfico: 
x 
0 
-1 
-2
y 
4 
1 
-2 
Procure medir as distancias dos pontos até a bissetriz. 
Vamos a outro exemplo: 
x 
0 
1 
2 
3 
y 
0 
1 
4 
9 
y=3x+4 
Y=x
Agora o exemplo principal, ou o mais importante: 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
y 
1 
2 
4 
Y=x 
log
Tudo isto para reforçar a ideia de que conhecendo a função exponencial conhecemos a função logarítmica. Deixamos por ultimo o logaritmo mais importante o logaritmo neperiano ou natural, em homenagem a Napier, matemático escocês considerado o pai dos logaritmos. O logaritmo neperiano é aquele de base e que indicaremos por ln (eleene). Assim log , valem todas as propriedades de logaritmo. 
TRIGONOMETRIA 
Triangulo retângulo 
Todo triangulo retângulo, alem do ângulo reto, possui dois ângulos agudos (menor de noventa graus) complementares. O maior dos três lados do triangulo é o oposto ao ângulo reto e chama-se hipotenusa; os outros dois lados são os catetos.
Em qualquer triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. 
Essa relação é conhecida como o teorema de Pitágoras. 
Exemplo: No triangulo, calcule x, y, z e t. 
Temos: 
Relações trigonométricas 
Teorema: Em todo triangulo retângulo um cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.
Projetando o segmento BC sobre o eixo x temos: 
Projetando o segmento BC sobre o eixo y temos: 
Teorema: Em todo triangulo retângulo, cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto. 
Destes teoremas tiramos as relações trigonométricas: 
A tangente que é a razão entre os segmentos AB e AC, em relação ao ângulo : 
Vamos resumir: 
Dado o triangulo retângulo
Exemplo: 1) Determine o valor de x na figura: 
2)Uma mulher, cujos olhos estão a 1,5m do solo, avista em um ângulo de 12°, um edifício que se encontra a 200m dela,qual a altura aproximada do edifício?
Altura do edifício=x+1,5=42+1,5=43,5m 
( usei duas casas decimais se usar mais fica mais preciso) 
Leis do seno e do cosseno 
Para triângulos que não são retângulos (chamados acutangulos ou obtusângulo)duas outras relações são muito importantes. São as leis dos senos e dos cossenos. Observe o triangulo obtusângulo abaixo: 
A lei dos senos estabelece que: . 
A lei dos cossenos: 
Relações fundamentais:
Graus e radianos 
Qualquer ângulo pode ser medido em graus ou em radianos (rad). Os 360° de uma circunferência equivale a radianos. Os 180° equivale a radianos. Com esta informação calculamos qualquer ângulo. 
Exemplo: 
a) 45° em radianos 
b) em graus 
Circunferência Trigonométrica 
Observe: A circunferência é desenhada sobre um plano cartesiano (eixos x e y), respeitando a sua orientação. 
-- O centro da circunferência esta sobre o ponto O de coordenadas (0, 0). 
-- O eixo x corresponde à medida dos cossenos. 
-- O eixo y corresponde à medida dos senos. 
A explicação disto é que quando posicionamos o triangulo retângulo dentro da circunferência, o cateto adjacente ao ângulo é o eixo x e o cateto oposto ao ângulo é o correspondente ao eixo y.
-- O raio da circunferência é uma unidade. 
-- A circunferência é dividida em quatro quadrantes. 
-- Os graus da circunferência são lidos a partir da direita, no sentido anti-horário 0°, 90°, 180°, 270° e 360°. Dentro da circunferência podemos desenhar ângulos de 0° a360° e obter o valor das razões trigonométricas.
-- O segmento AO é a hipotenusa de um triangulo retângulo formado pelos pontos OAP. 
-- Já havia sido definido que o raio da circunferência tem medida 1. Então a medida do segmento AO (hipotenusa) é 1. 
-- Essa hipotenusa forma com o lado positivo do eixo x um ângulo . 
-- O ponto A tem coordenadas A = (x, y). 
-- Comona circunferência o eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y é o eixo dos senos, então as coordenadas de A são . 
Os Quadrantes 
Quando o ponto A esta no quadrante I, o ângulo terá valor entre 0° e 90°. E os valores de seno, cosseno e da tangente serão positivos.
Se o ponto A estiver no quadrante II o ângulo terá um valor entre 90° e 180°. Neste caso o seno será positivo, mas o cosseno, negativo; a tangente também será negativa. 
Para um ponto A que esteja no quadrante III o valor de ficara entre 180° e 270°. O seno e o cosseno serão negativos. A tangente será positiva.
Finalmente, para um ponto A que esteja no quadrante IV, entre 270° e 360°. Neste caso, o cosseno é positivo e o seno e a tangente serão negativos. 
Veremos o que acontece em alguns ângulos específicos: 
0°-- corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade. Como o ponto A tem coordenadas A = (x, 0). Neste caso, , o cosseno vale 1 e o seno vale zero.
90°--corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade, como o ponto A tem coordenadas (0, y) neste caso , cosseno vale zero e seno vale 1. 
180°--corresponde a medida AO, do lado negativo do eixo x. Como A tem coordenadas (x, 0), neste caso , cosseno vale -1 e seno vale zero. 
270°--corresponde a medida AO,do lado negativo do eixo y. Como A tem coordenadas (0, y), neste caso , cosseno vale zero e o seno vale -1.
360°-- voltamos às mesmas condições de 0°, mas sabendo que completamos uma volta. 
Simetria da circunferência trigonométrica 
Podemos calcular o valor para um ângulo de qualquer quadrante trabalhando apenas com os ângulos do quadrante I. É que qualquer ponto da circunferência tem três pontos simétricos em relação aos eixos cartesianos nos outros três quadrantes. Veja: 
Os pontos A A’ A’’ A’’’ s o sim tricos em rela o aos eixos cartesianos Traduzindo: as coordenadas desses pontos têm os mesmos valores absolutos. A única diferença são os sinais que variam conforme o quadrante. 
Como exemplo vamos trabalhar os ângulos de: 45°, 135°, 225° e 315°ou .
Como o triangulo tem o lado x e y iguais podem calcular por Pitágoras. 
Portanto: o seno e o cosseno têm medidas iguais a , usando a simetria na circunferência trigonométrica temos as coordenadas dos pontos: 
Funções trigonométricas inversas 
Quando se resolve uma equação e chegamos ao resultado , por exemplo, busca-se um arco (ou ângulo) x cujo seno valha , sabemos que existem infinitos arcos nessas condições: são eles todos os arcos côngruos a .
Precisamos restringir o conjunto universo da equação. Para o caso do seno, uma restrição capaz de fazer com que haja sempre um arco nas condições estabelecidas é considerar como conjunto universo o intervalo . 
Com esta restrição temos: 
-- Para cada valor de senx existe em correspondência um arco de x. 
-- Para cada arco x do intervalo , existe um valor exclusivo de senx. 
Assim, a função passa a ser inversivel. 
0 
Y=senx 
Y=arcsenx 
Y=x
A função cujo gráfico obtido pelo rebatimento do gráfico de f(x)=senx em terno da primeira bissetriz é a função f(x)=arcsenx, lê-se arco-seno de x e entendê-se arco cujo seno é x. Assim: . 
No caso da função f(x)=cosx, para que não haja multiplicidade de arcos com o mesmo valor de cosseno é simplesmente considerar o intervelo , pois neste intervalo a função decresce de 1 a -1. 
Assim: 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) Sabendo que , determine x e y: 
0 
1 
-1 
0
) 
2) Determine x e y: 
3) Determine o valorde x em cada caso:
4) Na figura . Qual o valor de x? 
5) Determine o seno do ângulo assinalado em cada caso: 
6) Na figura AB = 6cm e senC = 0,2. Determine 
a) A medida da hipotenusa 
b) O senA 
7) De o valor de:
cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 
8) Sendo cos e x do 4º quadrante, calcule senx. 
9) Encontre o seno, a secante e a cotangente do arco x do 2º quadrante cujo cosseno vale -0,6. 
10)Simplifique a expressão: 
11)Sabendo que cos a = 2 sen a. Calcule tg a e sen a. 
12)Verifique as identidades abaixo: 
13)Monte a circunferencia trigonometrica e calcule o seno de todos os angulos, a partir daí construa o grafico da função f(x)=senx. Usando a mesma tecnica faça o grafico da função f(x)=cosx.

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Apostila de-2013

  • 1. APOSTILA DE NIVELAMENTO 2013 Profª Maria Aparecida
  • 2. Se você precisa de uma mãozinha, lembre-se ela sempre esta no final de seu braço!
  • 3. OPERAÇÕES NUMERICAS E ALGEBRICAS 1) Verifique se a igualdade é verdadeira: 3+4.2=14 2) Efetue as operações: 3) Na equação , determinar x para a=8,b=3 e c=2. (9) 4) Da relação , calcular x para a=8, b=7,c=1 e d=4. 5) Calcular o valor de x para a=2, b=3 e c=4 se . 6) Na igualdade , calcular x se a=15, b=6 e c+2. 7) Para a=1, b=2 e c=3, dar o valor numérico de . FRAÇÕES Dividimos um retângulo em 11 partes iguais e pintamos 8 dessas partes, Que fração do retângulo foi pintado? Pintamos .
  • 4. A seguir retiramos a cor de 5 das partes pintadas. Que fração do retângulo foi descolorida? Foi descolorido . Que fração do retângulo permaneceu pintada? Permaneceu pintado: . Podemos dizer então que fração é um numero que representa partes de um inteiro. Temos que em : onde a é o numerador, ou seja, quantas partes do todo foram tomadas; e b é o denominador e indica em quantas partes iguais à unidade foi dividida. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES: Soma ou subtração: a) A soma ou subtração de duas frações de mesmo denominador é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a soma ou diferença entre os numeradores. Exemplo: b) Para somar ou subtrair frações que tem denominadores diferentes, devemos primeiro reduzi-los a um mesmo denominador. Exemplo: m.m.c. (3,2)=6 Exercícios: Efetue as operações: Multiplicação:
  • 5. O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores. Exemplo: Exercícios: efetue as operações: DIVISÃO OU QUOCIENTE O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: Exercícios: Efetue as operações: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Efetue as operações:
  • 6. Resolva estas operações com muito carinho: MÍNIMO MULTIPLO COMUM Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor numero, excluindo o zero, que é múltiplo desses números. Exemplo: O numero 100 é o primeiro numero múltiplo exceto o zero que é múltiplo ao mesmo tempo de 20 e 25. Calculando o m.m.c. Exemplo: Qual o m.m.c. de 18, 25 e 30? 1º) Escrevemos os números, separados por virgulas, lado a lado e colocamos um traço após o ultimo numero e colocamos o menor numero fator comum a todos os números ou não. 2º) Sob cada numero colocamos o resultado da divisão, os números não divisíveis repetimos. lembrando que 25 não é dividido por dois 3º) Prosseguimos com esse processo ate chegar ao quociente 1.
  • 7. Também podemos encontrar o m.m.c. por fatoração. 1º) Fatoramos separadamente os números dados: Assim: da fatoração temos: 2º) O m.m.c. é o produto dos fatores comuns e não comuns, cada um com o maior expoente que apresenta na fatoração. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: POTENCIAÇÃO Definição: Dados um numero real a e um numero natural n,n 2, chama-se potencia de base a e expoente n ao numero que é o produto de n fatores iguais a a. Desta definição ocorre que: Temos dois casos especiais: - para n=1, definimos (tendo um único fator não se defini produto) -para n=0 e supondo ,definimos . Exemplo: PROPRIEDADES: Sendo a e b reais e m e n naturais, valem as seguintes propriedades:
  • 8. Exemplo: Supondo , simplifique a expressão Potencia de expoente inteiro negativo Definição: Dados um numero real a, não nulo, e um numero n natural, chama-se potencia de base a e expoente –n o numero , que é inverso de . Exemplos: OBS: a, deve ser diferente de zero, pois, que não existe, pois, não dividiras por zero. Exemplo: Qual o valor de ? AVISO: O expoente negativo é muito importante no Calculo Diferencial, relembre com carinho. A Física trabalha com notação cientifica, coisas como: amassa do próton é de não abordaremos o assunto nesta apostila a Física tratara deste assunto. Potencia de expoente racional Chama-se raiz enésima aritmética de a o numero real e não negativo b tal que . Exemplo:
  • 9. Vamos observar os seguintes exemplos: Com as propriedades de potencia vale a seguinte propriedade: Acompanhe os seguintes cálculos: Com estas considerações temos a seguinte definição: Dados um numero real positivo a, um numero inteiro m e um numero natural n ( ), chama-se potencia de base a e expoente a raiz enésima aritmética de ; Exemplos:
  • 10. EXERCICIOS PROPOSTOS: 1) Calcule o valor de cada expressão: 2) Sendo , simplifique as expressões: 3) Calcule o valor de: 4) Qual o valor de: 5) Qual é o valor de , sendo: 6) Calcule o valor de: 7) Mostre que as afirmações abaixo não são verdadeiras:
  • 11. EXPRESSÕES ALGEBRICAS São formadas por letras números e sinais das operações. As letras que aparecem numa expressão algébrica são denominadas variáveis. São exemplos: 1) O triplo de um numero: 3ª, 3x, 3z, 3t, 3y,... 2) A soma de seu numero com seu quadrado: 3) Três quartos de um numero adicionados a cinco: . Valor numérico de uma expressão algébrica é um numero que se obtém após substituir as variáveis por números e efetuar as operações indicadas ( importante para a construção de gráficos). Exemplos: Calcule para os seguintes valores de x: POLINOMIOS Um polinômio na variável real x é uma expressão composta da soma de produtos de constantes por potencias inteiras e positivas de x, , onde são os coeficientes e os termos do polinômio. Exemplos: OBS: não são polinômios: OPERAÇÕES: Igualdade: Dois polinômios P(x) e Q(x) são iguais ou idênticos, P(x)=Q(x) quando todos os seus coeficientes são ordenadamente iguais. Exemplo: Soma e subtração: soma-se ou subtraem-se os coeficientes dos termos de mesmo grau. Exemplo:
  • 12. 1) 2) 3) 4) Multiplicação: para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os outros termos do outro e adicionamos o resultado. Exemplo: 1) 2) 3) 4) Divisão: não iremos abordar. FATORAÇÃO Fatorar um polinômio significa escreve-lo na forma de um produto, é o mesmo que decompor em fatores. Quando os termos de um polinômio apresenta um fator comum, podemos coloca-lo em evidencia, obtendo uma forma fatorada do polinômio. Exemplo: EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Fatore o numerador e o denominador e simplifique: 2) Simplifique as expressões: 3) Calcule e simplifique:
  • 13. OBS: Não podemos esquecer os produtos notáveis: FUNÇÕES Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação ( ou correspondência) que associa a cada elemento um único elemento recebe o nome de função de A em B. Notação: De um modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x,y) que caracteriza uma função de A em B indicamos . Se nesta função é a imagem de , indicaremos: . OBS: No Calculo Diferencial, os conjuntos A e B é o conjunto dos reais, . Exemplos: 1) Seja definida por , calcular: d) Determinar x, tal que . (verifique calculando )
  • 14. 2) Seja definida por f(x)=4x+m. Calcular m sabendo que f(-2)=5. Domínio de função Seja uma função. O conjunto A é chamado domínio da função. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência , de modo que, efetuados os cálculos, resulte um y. Exemplo: 1) Seja definida por y=3x+4 qualquer valor de x, resulta um valor real em y, assim D=R. 2) definida por , o valor de x não pode ser 1, ( não dividirás por zero) para todos os outros x existe um y, assim . 3) Para a função se x for menor que 2 dentro da raiz, terei um numero negativo ( o que não pode acontecer), assim . GRAFICOS DE FUNÇÃO Noções básicas de plano cartesiano Usaremos, agora, a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento. Temos: - (1,3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 1 e o segundo elemento é 3. - (3,1) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3 e o segundo elemento é 1. Notemos que o par ordenado (1,3) é diferente do par ordenado (3, 1). Para representarmos o par ordenado (a,b) geometricamente: 1º passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a intersecção O como origem para cada um deles.
  • 15. 2º passo: marcamos no eixo horizontal o ponto P1, correspondente ao valor de a. 3º passo: marcamos no eixo vertical o ponto P2, correspondente ao valor de b. 4º passo: traçamos por P1 uma reta paralela ao eixo vertical. 5º passo: traçamos por P2 uma reta paralela ao eixo horizontal.
  • 16. 6º passo: a intersecção destas duas retas é o ponto P que representa graficamente o par cartesiano (a, b). Assim temos: - o eixo horizontal ou Ox é o eixo das abscissas. -o eixo vertical ou Oy é o eixo das ordenadas. -O ponto O é a origem; à direita de O os valores são positivos; à esquerda de O os valores são negativos; abaixo de O os valores são negativos e acima de O os valores são positivos. - O plano que contem Ox e Oy é o plano cartesiano. Exercícios: 1) Distribua no plano cartesiano os seguintes pontos: A=(3,1), B=(-4,2), C=(5,-3), D=(-1,-1), E=(2,0), F=(0,-2), G=(0,0),H=(-4,0) e I=(0,4).
  • 17. 2) Forneça as coordenadas de cada ponto assinalado: 3) Encontre x e y que determinam, em cada caso, a igualdade: a) (x,y)=(2,-5) b) (x+y,x-3y)=(3,7) (4,-1) c) (x+4,y-1)=(5,3) (1,4) 4) Determine m para que . (m=-4) 5) O ponto P=(m-3,4) pertence ao eixo y, qual o valor de m? (m=3) 6) O ponto Q=(-2, ) pertence ao eixo das abscissas. Qual o valor de m? Construção de gráficos Podemos construir o gráfico de uma função conhecendo a sua lei de correspondência y=f(x) e seu domínio. Assim: 1º passo: construímos uma tabela na qual aparecem os valores de x e os valores correspondentes y, calculados por meio de uma lei y=f(x). 2º passo: representar cada par ordenado (a,b) da tabela, o conjunto dos pontos obtidos constitui o gráfico da função. Exemplo: 1) y=2x X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=2x -6 -4 -2 0 2 4 6
  • 18. 3) x -3 -2 -1 0 1 2 3 5 0 -3 4 -3 0 5
  • 19. 4) X -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -6 -12 12 6 4 Exercícios: Construir o gráfico das seguintes funções: FUNÇÃO DE 1º GRAU
  • 20. Definição: chama-se função polinomial de 1º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x)=ax+b, em que a e b são números reais dados e . OBS: Na lei f(x)=ax+b, o numero a é chamado coeficiente de x e o numero b é chamado termo independente. Exemplo: Um caso particular de função afim é aquele em que b=0. Neste caso temos a função f de R em R dada pela lei f(x)=ax com a real e , recebe a denominação de função linear. Exemplos: O gráfico de uma função polinomial de 1º grau, dada por , é uma reta. Exemplo: construir o gráfico de: a) y=3x-1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=3x-1 -10 -7 -4 -1 2 5 8
  • 21. b) y=-2x+3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=-2x+3 9 7 5 3 1 -1 -3
  • 22. c) Obter a equação da reta que passa pelos pontos P=(-1, 3) e Q=(1, 1). Solução: a equação da reta é dada por y=ax+b Assim a equação as reta é: y=-x+2 d) Obtenha a lei da função cujo gráfico é dado por: Temos: P=(-1, 3), Q=(0, 0) e y=ax+b
  • 23. 3x Função Constante: é quando na equação y=ax+b, temos a=0, assim y=b. Vamos construir o gráfico da função f de R em R dada por y=3, para todo x real. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=3 3 3 3 3 3 3 3 OBS: o gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. RAIZ O gráfico da função y=ax+b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado de coeficiente angular da reta e esta ligado a sua inclinação em relação ao eixo Ox, e também esta ligado ao fato de a reta ser crescente ou decrescente. O termo constante b é chamado de coeficiente linear de reta. Chama-se raiz da função polinomial de 1º grau dada por , o numero real x tal que f(x)=0. Assim: Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau, definida por y=2x+1. Vamos atribuir valores para x: x -2 -1 0 1 2 3 4 y -3 -1 1 3 5 7 9
  • 24. Notemos que, quando aumenta o x, o y também aumenta. Dizemos que a função é crescente. Agora, consideremos a função y=2-2x. Vamos atribuir valores: x -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
  • 25. Notemos que quando aumentamos o valor de x, y diminui. Dizemos que a função f é decrescente. OBS: nas funções y=2x+1 e y=2-2x, qual a diferença entre as duas equações? Observando a equação da função de 1º grau temos que na primeira função a que é crescente a=2 e na segunda função que é decrescente a=-2. CONCLUSÃO: a equação de 1º grau y=ax+b -para , a função é crescente. --para , a função é decrescente. SINAL Estudar o sinal da função f qualquer, definida por y=f(x), é determinar os valores de x para os quais y é positivo ou y é negativo. Uma função dada por y=f(x)=ax+b, há dois casos possíveis de sinal
  • 26. -- , a função é crescente, então -- ,a função é decrescente, então . Exemplo: Estude o sinal da função: a) y=2x-1 Primeiro determine a raiz, como? Igualando a zero. Temos, b) y=-2x+5 COEFICIENTE ANGULAR
  • 27. Vamos retornar ao gráfico da função de 1º grau para tratar de algo que mais tarde será muito importante tanto para o Calculo Diferencial como para a Física. - Considere a função y=f(x)=2x-1, vamos construir o gráfico desta função, para isto vamos tomar valores aleatórios para x e determinar os valores de y correspondentes. x -2 -1 0 1 2 y -5 -3 -1 1 3 Neste caso vamos definir cinco pontos do gráfico da função: (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1) e (2, 3). Construindo o gráfico: Temos: - Todos os pontos encontrados na função estão alinhados formando uma reta. - Quando passamos de um ponto para outro – do ponto (1, 1) para o ponto (2, 3) vemos que o x desloca uma unidade na horizontal (paralelamente ao eixo x) e duas unidades na vertical (paralelamente ao eixo y), ou seja, . - Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta.
  • 28. - Considere a função y=f(x)=-3x+4. Montando a tabela temos: x -2 -1 0 1 2 y 10 7 4 1 -2 - Em coordenadas temos: (-2, 10), (-1,7), (0, 4), (1, 1) e (2, -2)
  • 29. - Quando passamos de um ponto da reta, por exemplo, do ponto (1, 1) para o ponto (2, -2), andamos uma unidade para a direita (eixo x) e três unidades para baixo no sentido vertical (eixo y), ou seja, . Essa relação é valida para quaisquer pontos da reta. Coeficiente angular da reta: nas funções dos dois exemplos anteriores o coeficiente a é exatamente a razão da variação de y e de x. O coeficiente a tem a ver com a inclinação da reta. Por isso é chamado de coeficiente angular da reta. Para definir o coeficiente angular de uma reta, precisamos de apenas dois pontos, EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Em uma cidade, a empresa de telefonia esta promovendo a linha econômica. Sua assinatura é R$20,00 incluindo 100 minutos a serem gastos em ligações locais para telefone fixo. O tempo de ligação excedente é tarifado em R$0,10 por minuto. a) Calcule o valor da conta mensal de três clientes que gastaram, respectivamente, 80, 120 e 200 minutos em ligações locais. b) Se x é o numero de minutos excedentes, qual a lei da função que representa o valor(v) mensal da conta? (R$20,00, R$22,00, R$30,00 e v(x)=20+0,1x) 2) Construir o gráfico de cada uma das funções dadas: 3) Uma reta passa pelos pontos (-1, 5) e (2, -4). Qual a lei da função representada por essa reta? (y=-3x+2) 4) Qual equação da reta que passa pelos pontos (-4, 2) e (2, 5)? 5) Obtenha, em cada caso, a lei da função cujo gráfico é mostrado a seguir:
  • 30. 6) Determine os valores dos coeficientes angulares das retas seguintes: 7) Determine a raiz de cada uma das funções de em dadas pelas seguintes leis: 8) Resolva, em , as seguintes equações de 1º grau: 9) Carlos é 4 anos mais velho que seu irmão André. Há cinco anos, a soma de suas idades era 34 anos. Qual a idade atual de cada um? (20 e 24) 10) Classifique cada uma das funções seguintes em crescente e decrescente: a) b) a) b)
  • 31. 11) Para que valores reais de m a função de em definido por 12) Em cada caso estude o sinal da função: FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU Definição: Chama-se função quadratica ou função polinomial de 2º grau, qualquer função f de em definida por uma lei da forma em que a, b, e c são numeros reais e . Exemplos: f) g) g)
  • 32. OBS: Por que é colocada a restrição ? Simples, se a=0 temos uma equação de 1º grau Grafico O grafico de uma função polinomial de 2º grau dada por , é uma curva que chamamos de parabola. Desta vez vamos construir o grafico das funções: . x -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4 5 2 1 2 5 . 3 0 -1 0 3 Agora, vamos construir o grafico das funções: x -2 -1 0 1 2 -4 -1 0 -1 -4 -3 0 1 0 -3 -5 -2 -1 -3 -5
  • 33. Observação: Ao construirno grafico de uma função quadratica dada por , notamos que; -- Nos primeiros tres graficos: , temos a=1 nos tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para cima. -- Nos segundos tres graficos: temos a=-1 nos tres, ou seja, e os tres graficos tem concavidade voltada para baixo. Raiz da equação de 2º grau LEMBRANDO: chama-se raiz ou zero de uma função os numeros reais x tais que f(x)=0. As raizes da função polinomial de 2º grau são dadas pela formula de Bhaskara: ( a dedução desta formula faz parte dos livros de ensino médio) Exemplo Vamos obter os zeros da fun o de em , definida pela lei: 1) .(verifique se f(2)=f(3)=0) 2)
  • 34. 3) Esta função não possui raizes reais. Voltando aos graficos de exemplos anteriores observamos que: e tocam o eixo x uma única vez, ou seja, as duas raizes são iguais; e tocam o eixo em dois lugares no x=1 e no x=-1, ou seja, estas funções possuem duas raizes distintas;os graficos de e não tocam o eixo x,ou seja, não possuem raizes reais. OBS: A quantidade de raizes de uma função quadratica depende do valor obtido para o radicando : -- quando ,há duas raizes reais e distintas. -- quando , há duas raizes reais e iguais. -- quando , não há raiz deal. SINAL Conforme o sinal de , podem ocorrer os seguintes casos: y>0 y>0 Y<0 a>0 y>0 Y<0 Y<0 a<0
  • 35. y>0 y>0 a>0 y<0 Y<0 a<0 y>0 a>0 y<0 a<0
  • 36. Exemplo: Estude o sinal da função . 1º passo: Vamos verificar: -- Escolher um numero menor que -3, por exemplo, x=-4 --Escolher um numero entre -3 e 1, por exemplo, x=0 --Escolher um numero maior que 1 por exemplo x=2 Como pudemos observar substituindo valores dentro das condições fica verificado os sinais. EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Construa o gráfico das seguintes funções: 2) Determine as raízes reais de cada uma das seguintes funções: Encontrada as raízes reais substitua o resultado na função verificando se f(r)=0. 3) Resolva em , as seguintes equações:
  • 37. 4) Dada a função determine: a) O valor de f(-1) e f(0). (0, 1) b) As soluções de f(x)=9. (2) c) As soluções de f(x)=0. (-1) 5) Determine os valores de p a fim de que a função quadrática f dada por admita duas raízes reais e iguais. (1) 6) Faça o estudo de sinal de cada uma das funções de em definida pelas seguintes leis: FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Chama-se função exponencial qualquer f de em dada por uma lei da forma , em que a é um numero real dado, a>0 e . OBS: -- Se a < 0, nem sempre o numero é real, por exemplo, . -- Se a = 0, temos: -- Se a = 1 e , função constante. GRAFICO Vamos construir o gráfico da função x -2 -1 0 1 2 3 y 1 2 4 8
  • 38. Vamos, agora, construir o gráfico da função x -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 1 As curvas acima são chamadas de curvas exponenciais. Propriedades: -- Na função exponencial cuja lei é , temos: , ou seja, o par ordenado (0, 1) satisfaz a lei para todo a (a > 0 e ). Isso quer dizer que o gráfico da função corta o eixo dos y no ponto de ordenada 1.
  • 39. -- Se a > 1, a função definida por é crescente e seu gráfico será representado por: São exemplos de funções crescentes: -- Se 0 < a < 1, a função definida por é decrescente e seu gráfico é o seguinte São exemplos de funções decrescentes: -- Para todo a > 0 e , temos: quaisquer que sejam os números reais . -- Já vimos que para todo a > 0 e todo x real, temos > 0; portanto o gráfico da função definida por esta sempre acima do eixo dos x. --- Se a > 1 então aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores. --- Se 0 < a < 1, então aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada vez maiores.
  • 40. A função é definida de em exatamente por isto. O numero e Um importante numero irracional em matemática é o numero e = 2,718281828459... Para introduzi-lo, vamos considerar a expressão , definida em e verificar os valores que ela assume quando x se aproxima de zero x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 y 2,594 2,705 2,717 2,7182 2,7183 Podemos notar que quando x se aproxima de zero a expressão fica mais próxima do numero e = 2,7183... Se considerarmos os valores negativos de x, porem cada vez mais próximos de zero ( por exemplo: x = -0,1, x = -0,01, x = - 0,001,etc.), a expressão também fica cada vez mais próxima de e = 2,7183. A descoberta do numero e è atribuída a John Napier, datada de 1614. Um século depois, com o desenvolvimento do calculo infinitesimal o numero e teve a sua importância reconhecida. O símbolo e foi introduzido por Euler, em 1739. Toda calculadora cientifica possui a tecla . A função f de em definida por , é a função de base e, cujo gráfico é dado por: Valem todas as propriedades descritas até agora e esta função tem grande utilização em engenharia. EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Construa os gráficos das funções exponenciais: 2) Represente em um mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções f e g definidas de em
  • 41. FUNÇÃO LOGARITMICA Definição: Sendo a e b números reais e positivos chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potencia seja igual a b. log Logaritmo é uma operação matemática que guarda estreita relação com a operação de potenciação. -- a e b são maiores que zero --a é diferente de 1 -- na potenciação o que buscamos é o resultado (b) de um numero (a) elevado a x, ou seja, o resultado de multiplicar x vezes o mesmo fator a. -- já no logaritmo, o que buscamos é o expoente x, ou seja, quantas vezes deve se multiplicar o mesmo fator a para obter b. Observe: --Tanto na potencia como no logaritmo, a é a base. -- x que é o expoente na operação de potencia, é o próprio resultado da operação de logaritmo. -- b que é o resultado da operação de potenciação é o logaritmando na operação de logaritmo. Então, quando você calcula um logaritmo, o que encontra é o expoente de uma potencia. Compreendendo a relação entre potencia e logaritmo é que, se você, estiver trabalhando com vários valores de mesma base, pode deixar a base de lado e operar com os expoentes. Exemplo: 100.10000.0,00001.1000000000000.0,01= Basta somar as potencias. E se resolvermos dividir esses números: Neste caso bastou subtrair os expoentes. Propriedades de logaritmo As propriedades de logaritmos são diretamente obtidas das propriedades de potencia. Vamos tomar as potencias de base 2: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 Tomando estas bases vamos calcular alguns logaritmos: log log b log
  • 42. log Logaritmo do produto Qual o logaritmo em base 2 do produto de 16por 64? Então: log log log Mas, log log log Generalizando: log log log Logaritmo do quociente Na divisão de potencias de mesma base o que fazemos com os expoentes é subtraí-los: log log log Temos: Generalizando: log log log Logaritmo de potencia Vamos partir de: log . Se quisermos saber o valor de log ? Usaremos as propriedades de potencias: log log log log log =n.c log log log log Mudança de base Se você observar a sua calculadora ela só possui a tecla log, ou seja, logaritmo na base 10, então como calcular log na calculadora? Pela calculadora: log log log Generalizando: log Vamos aqui abrir um pequeno parênteses para falar em função inversa. Conceitos: Quando x e y são variáveis que se inter-relacionam de modo que cada valor atribuído a x esta associado um único valor de y, dizemos que y é função de x, y=f(x). Se também, do mesmo modo, a cada valor atribuído a y esta associado um único valor de x, dizemos que x também é função de y. Essa função recebe o nome de função inversa de f e é representada por Neste caso, a função é inversivel. Para a construção de gráficos é importante notarmos que se f é inversivel e um par (a, b) pertence a função f, então o par (b, a) pertence a . Consequentemente, cada ponto (b, a) do gráfico de é simétrico de um ponto (a, b) do gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante do plano cartesiano. E, portanto, o gráfico de f é simétrico do gráfico de em relação a mesma bissetriz. Vamos tomar a função y = 3x+4 e construir seu gráfico: x 0 -1 -2
  • 43. y 4 1 -2 Procure medir as distancias dos pontos até a bissetriz. Vamos a outro exemplo: x 0 1 2 3 y 0 1 4 9 y=3x+4 Y=x
  • 44. Agora o exemplo principal, ou o mais importante: x -2 -1 0 1 2 y 1 2 4 Y=x log
  • 45. Tudo isto para reforçar a ideia de que conhecendo a função exponencial conhecemos a função logarítmica. Deixamos por ultimo o logaritmo mais importante o logaritmo neperiano ou natural, em homenagem a Napier, matemático escocês considerado o pai dos logaritmos. O logaritmo neperiano é aquele de base e que indicaremos por ln (eleene). Assim log , valem todas as propriedades de logaritmo. TRIGONOMETRIA Triangulo retângulo Todo triangulo retângulo, alem do ângulo reto, possui dois ângulos agudos (menor de noventa graus) complementares. O maior dos três lados do triangulo é o oposto ao ângulo reto e chama-se hipotenusa; os outros dois lados são os catetos.
  • 46. Em qualquer triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Essa relação é conhecida como o teorema de Pitágoras. Exemplo: No triangulo, calcule x, y, z e t. Temos: Relações trigonométricas Teorema: Em todo triangulo retângulo um cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.
  • 47. Projetando o segmento BC sobre o eixo x temos: Projetando o segmento BC sobre o eixo y temos: Teorema: Em todo triangulo retângulo, cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto. Destes teoremas tiramos as relações trigonométricas: A tangente que é a razão entre os segmentos AB e AC, em relação ao ângulo : Vamos resumir: Dado o triangulo retângulo
  • 48. Exemplo: 1) Determine o valor de x na figura: 2)Uma mulher, cujos olhos estão a 1,5m do solo, avista em um ângulo de 12°, um edifício que se encontra a 200m dela,qual a altura aproximada do edifício?
  • 49. Altura do edifício=x+1,5=42+1,5=43,5m ( usei duas casas decimais se usar mais fica mais preciso) Leis do seno e do cosseno Para triângulos que não são retângulos (chamados acutangulos ou obtusângulo)duas outras relações são muito importantes. São as leis dos senos e dos cossenos. Observe o triangulo obtusângulo abaixo: A lei dos senos estabelece que: . A lei dos cossenos: Relações fundamentais:
  • 50. Graus e radianos Qualquer ângulo pode ser medido em graus ou em radianos (rad). Os 360° de uma circunferência equivale a radianos. Os 180° equivale a radianos. Com esta informação calculamos qualquer ângulo. Exemplo: a) 45° em radianos b) em graus Circunferência Trigonométrica Observe: A circunferência é desenhada sobre um plano cartesiano (eixos x e y), respeitando a sua orientação. -- O centro da circunferência esta sobre o ponto O de coordenadas (0, 0). -- O eixo x corresponde à medida dos cossenos. -- O eixo y corresponde à medida dos senos. A explicação disto é que quando posicionamos o triangulo retângulo dentro da circunferência, o cateto adjacente ao ângulo é o eixo x e o cateto oposto ao ângulo é o correspondente ao eixo y.
  • 51. -- O raio da circunferência é uma unidade. -- A circunferência é dividida em quatro quadrantes. -- Os graus da circunferência são lidos a partir da direita, no sentido anti-horário 0°, 90°, 180°, 270° e 360°. Dentro da circunferência podemos desenhar ângulos de 0° a360° e obter o valor das razões trigonométricas.
  • 52. -- O segmento AO é a hipotenusa de um triangulo retângulo formado pelos pontos OAP. -- Já havia sido definido que o raio da circunferência tem medida 1. Então a medida do segmento AO (hipotenusa) é 1. -- Essa hipotenusa forma com o lado positivo do eixo x um ângulo . -- O ponto A tem coordenadas A = (x, y). -- Comona circunferência o eixo x é o eixo dos cossenos e o eixo y é o eixo dos senos, então as coordenadas de A são . Os Quadrantes Quando o ponto A esta no quadrante I, o ângulo terá valor entre 0° e 90°. E os valores de seno, cosseno e da tangente serão positivos.
  • 53. Se o ponto A estiver no quadrante II o ângulo terá um valor entre 90° e 180°. Neste caso o seno será positivo, mas o cosseno, negativo; a tangente também será negativa. Para um ponto A que esteja no quadrante III o valor de ficara entre 180° e 270°. O seno e o cosseno serão negativos. A tangente será positiva.
  • 54. Finalmente, para um ponto A que esteja no quadrante IV, entre 270° e 360°. Neste caso, o cosseno é positivo e o seno e a tangente serão negativos. Veremos o que acontece em alguns ângulos específicos: 0°-- corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade. Como o ponto A tem coordenadas A = (x, 0). Neste caso, , o cosseno vale 1 e o seno vale zero.
  • 55. 90°--corresponde a medida AO, ou seja, 1 unidade, como o ponto A tem coordenadas (0, y) neste caso , cosseno vale zero e seno vale 1. 180°--corresponde a medida AO, do lado negativo do eixo x. Como A tem coordenadas (x, 0), neste caso , cosseno vale -1 e seno vale zero. 270°--corresponde a medida AO,do lado negativo do eixo y. Como A tem coordenadas (0, y), neste caso , cosseno vale zero e o seno vale -1.
  • 56. 360°-- voltamos às mesmas condições de 0°, mas sabendo que completamos uma volta. Simetria da circunferência trigonométrica Podemos calcular o valor para um ângulo de qualquer quadrante trabalhando apenas com os ângulos do quadrante I. É que qualquer ponto da circunferência tem três pontos simétricos em relação aos eixos cartesianos nos outros três quadrantes. Veja: Os pontos A A’ A’’ A’’’ s o sim tricos em rela o aos eixos cartesianos Traduzindo: as coordenadas desses pontos têm os mesmos valores absolutos. A única diferença são os sinais que variam conforme o quadrante. Como exemplo vamos trabalhar os ângulos de: 45°, 135°, 225° e 315°ou .
  • 57. Como o triangulo tem o lado x e y iguais podem calcular por Pitágoras. Portanto: o seno e o cosseno têm medidas iguais a , usando a simetria na circunferência trigonométrica temos as coordenadas dos pontos: Funções trigonométricas inversas Quando se resolve uma equação e chegamos ao resultado , por exemplo, busca-se um arco (ou ângulo) x cujo seno valha , sabemos que existem infinitos arcos nessas condições: são eles todos os arcos côngruos a .
  • 58. Precisamos restringir o conjunto universo da equação. Para o caso do seno, uma restrição capaz de fazer com que haja sempre um arco nas condições estabelecidas é considerar como conjunto universo o intervalo . Com esta restrição temos: -- Para cada valor de senx existe em correspondência um arco de x. -- Para cada arco x do intervalo , existe um valor exclusivo de senx. Assim, a função passa a ser inversivel. 0 Y=senx Y=arcsenx Y=x
  • 59. A função cujo gráfico obtido pelo rebatimento do gráfico de f(x)=senx em terno da primeira bissetriz é a função f(x)=arcsenx, lê-se arco-seno de x e entendê-se arco cujo seno é x. Assim: . No caso da função f(x)=cosx, para que não haja multiplicidade de arcos com o mesmo valor de cosseno é simplesmente considerar o intervelo , pois neste intervalo a função decresce de 1 a -1. Assim: EXERCICIOS PROPOSTOS 1) Sabendo que , determine x e y: 0 1 -1 0
  • 60. ) 2) Determine x e y: 3) Determine o valorde x em cada caso:
  • 61. 4) Na figura . Qual o valor de x? 5) Determine o seno do ângulo assinalado em cada caso: 6) Na figura AB = 6cm e senC = 0,2. Determine a) A medida da hipotenusa b) O senA 7) De o valor de:
  • 62. cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 8) Sendo cos e x do 4º quadrante, calcule senx. 9) Encontre o seno, a secante e a cotangente do arco x do 2º quadrante cujo cosseno vale -0,6. 10)Simplifique a expressão: 11)Sabendo que cos a = 2 sen a. Calcule tg a e sen a. 12)Verifique as identidades abaixo: 13)Monte a circunferencia trigonometrica e calcule o seno de todos os angulos, a partir daí construa o grafico da função f(x)=senx. Usando a mesma tecnica faça o grafico da função f(x)=cosx.