AULAS DE NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA E FÍSICA

1. Potenciação e propriedades.
Monitor: Wendel Xavier.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ
ENGENHARIA E LETRAMENTO CIENTÍFICO

2. Potenciação
Antes de falar sobre potenciação e suas propriedades, é
necessário que primeiro saibamos o que vem a ser uma
potência. Observe o exemplo abaixo:
2 . 2 . 2 . 2 = 24
Note que nesse exemplo o número 2 (chamado de fator)
se repete 4 vezes em uma multiplicação que pode ser
representada da forma como vem depois da igualdade, ou
seja, apenas com o número 2 elevado a 4 onde esse
número quatro indica a quantidade de fatores (quantas
vezes o 2 se repete).

3. Se “a” é um número real e “n” é um número natural,
definimos a n-enésima potência de “a” como:
Potenciação
base
expoente
an = a . a . a . . . . . a = x
n - fatores
Ao resultado “x” damos o nome de potência, ou seja, é o valor
final da multiplicação.

4. Propriedades fundamentais.
Potência elevada a expoente um.
Quando uma potência estiver elevada a um expoente
igual a 1, o seu resultado será sempre a própria base.
a1 = a
5
1
5
1
1







41 = 4 ; 191 = 19 ;
Vejamos os seguintes exemplos:

5. Propriedades fundamentais.
Potência elevada a expoente par.
Quando uma potência estiver elevada a um expoente
par, o seu resultado será sempre um número positivo.
3
4
2
=
3
4
.
3
4
=
9
16
(– 2)2 = (– 2) . (– 2) = 4
Potência elevada a expoente ímpar.
Quando uma potência estiver elevada a um expoente
ímpar, o seu resultado terá sempre o mesmo sinal da
base.
33 = 3 . 3 . 3 = 27
(– 2)3 = (– 2) . (– 2) . (– 2) = – 8

6. Multiplicação de potências de mesma base
Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base
e somamos os expoentes.
𝑎𝑚
∙ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 + 𝑛
74
∙ 75
= 74 + 5
= 79
13 ∙ 133
= 131 + 3
= 134
Suponha que a e b sejam números reais, e que os denominadores
sejam sempre diferente de zero:
Propriedades das potências de mesma base.

7. Divisão de potências de mesma base
Para dividir potências de mesma base, conservamos a
base e subtraímos os expoentes.
𝑎𝑚
∶ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 − 𝑛
𝑜𝑢
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 − 𝑛
58
∶ 56
= 58 − 6
= 52
= 25
𝑎𝑚
∶ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 − 𝑛
𝑜𝑢
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 − 𝑛
𝑎𝑚
∶ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 − 𝑛
𝑜𝑢
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚 − 𝑛
810
87
= 810 − 7
= 83
= 512
Propriedades das potências de mesma base.

8. Vejamos o seguinte exemplo:
43
43
= 43−3
= 40
E novamente segundo a definição de potência, temos:
43
43
=
4 ∙ 4 ∙ 4
4 ∙ 4 ∙ 4
= 1
Isso nos leva a 40 = 1.
Generalizando essas ideias para todo número real a,
exceto o zero, chegamos às definições.
Se a é um número real diferente de zero, então definimos:
𝑎0 = 1
Propriedades das potências de mesma base.

9. Potência de potência
Para resolver uma potência de potência, conservamos a
base e multiplicamos os expoentes.
𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎𝑚 ∙ 𝑛
32 3
= 32 ∙ 3
= 36
104 5
= 104 ∙ 5
= 1020
Propriedades das potências de mesma base.

10. Quando duas potências de mesma base são iguais, os
expoentes dessas potências também são.
Propriedades das potências de mesma base.
𝑎𝑥
= 𝑎𝑦
↔ 𝑥 = 𝑦 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1
3𝑥
= 33
𝑥 = 3
10𝑥 = 102
𝑥 = 2

11. Potência de um produto
Para resolver, devemos elevar cada fator do produto
(multiplicação) ao expoente indicado.
𝑎 ∙ 𝑏 𝑛
= 𝑎𝑛
∙ 𝑏𝑛
6 ∙ 9 4
= 64
∙ 94
2 ∙ 3 ∙ 5 2
= 22
∙ 32
∙ 52
Propriedades das potências de
bases diferentes e expoentes iguais.

12. Potência de um quociente.
Para resolver, devemos elevar cada termo do quociente
(divisão) ao expoente indicado.
5 ∶ 8 2
= 52
∶ 82
= 25 ∶ 64
4
3
3
=
43
33
=
64
27
𝑎 ∶ 𝑏 𝑛
= 𝑎𝑛
∶ 𝑏𝑛
=
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
Propriedades das potências de
bases diferentes e expoentes iguais.

13. Erros comuns
Falsa propriedade Exemplo com erro
( )n n n
a b a b
   2 2 2
(3 ) 3
x x
  
Propriedade correta Exemplo correto
( )n n n
a b a b
   2 2 2
(3 ) 3
x x
  

14. Erros comuns
Falsa propriedade Exemplo com erro
m n m n
a a a

  2 2
4 4 4
x x

 
Propriedade correta Exemplo correto
m n m n
a a a

  2 2
4 4 4
x x

 

15. Erros comuns
Falsa propriedade Exemplo com erro
( )
n n
a b a b
   3 3
2 10 20
 
Propriedade correta Exemplo correto
( )n n n
a b a b
   3 3 3 3
(2 10) 2 10 20
   

16. Erros comuns
Falsa propriedade Exemplo com erro
m n m n
a a a

  2 2
3 3 3
x x
 
Propriedade correta Exemplo correto
( )
m n m n
a a

 2 2
3 (3 ) 9
x x x

 

17. Em todos os exemplos de potências que apresentamos até o momento, os
expoentes eram números positivos. Entretanto é fácil notar que, se m < n,
o termo 𝑎𝑚−𝑛
, terá um expoente negativo. Será que isso é possível? Veja
o exemplo,
54
57
= 54−7 = 5−3
54
57
=
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5
=
1
5 ∙ 5 ∙ 5
=
1
53
5−3 =
1
53
Calculemos isto usando a definição de potência:
Assim, nesse caso deduzimos que:
Expoentes negativos

18. Expoentes negativos
Generalizando essas ideias para todo número real a,
exceto o zero, chegamos às definições.
Se a é um número real diferente de zero, então
definimos:
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛

19. Assim, sendo a e b dois números reais, temos:
𝑎− 𝑛
=
1
𝑎
𝑛
=
1
𝑎𝑛
8− 2
=
1
8
2
=
12
82
=
1
64
1
𝑎
− 𝑛
=
𝑎
1
𝑛
= 𝑎𝑛
1
5
− 4
=
5
1
4
= 54
= 625
𝑎
𝑏
− 𝑛
=
𝑏
𝑎
𝑛
=
𝑏𝑛
𝑎𝑛
3
4
− 2
=
4
3
2
=
42
32
=
16
9
Propriedades fundamentais.
1 n
n
b
b
 3
3
1
8
8

1 1
m n
m n
n n m m
a b
a b
b b a a


 
    
4 3
4 3
3 3 4 4
1 1
x z
x z
z z x x


 
    