O documento descreve equações do segundo grau, definindo-as como ax2 + bx + c = 0 com a diferente de zero. Explica como resolver equações completas e incompletas, introduzindo a fórmula de Bháskara. A fórmula é usada para resolver três exemplos de equações. Propriedades como número de raízes reais são descritas. Relações entre coeficientes e raízes são provadas.

1. Equação do 2º grau Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c , com coeficientes numéricos a . b e c com a diferente de zero. Classificação: - Incompletas : Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso : b=0 e 2º caso : c=0 Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a , b e c diferentes de zero. Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

3. Fórmula de Bháskara:

4. Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 a =3, b =-7 e c =2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

5. 2) -x²+4x-4=0 a =-1, b =4 e c =-4 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 = Substituindo na fórmula de Bháskara: » x=2 - Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais.

6. 3) 5x²-6x+5=0 a =5 b =-6 c =5 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que <0 não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo:

7. Propriedades: Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real

8. Relações entre coeficientes e raízes Vamos provar as relações descritas acima: Vamos provar as relações descritas acima: Dado a equação ax²+bx+c=0, com e suas raízes são: e

9. A soma das raízes será: Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

10. O produto das raízes será: Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

11. Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a . Obtendo: Substituindo por e Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau : x² - Sx + P = 0 Exemplos: 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0 [Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3 :