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TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo

 É um triângulo que possui um dos seus ângulos medindo noventa graus, ou seja, possui um ângulo
reto, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medirão 90 graus.

 Observação: Quando a soma de dois ângulos mede 90 graus, estes ângulos são denominados
complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos
complementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo
com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que
formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Palavras   Cateto          Cathetós:(perpendicular)
gregas     Hipotenusa      Hypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

 Letra                         Lado                 Letra   Vértice e Ângulo
a                              Hipotenusa (BC)      A       Ângulo reto (A=90o)
b                              Cateto (AC)          B       Ângulo agudo (B<90o)
c                              Cateto (AB)          C       Ângulo agudo (C<90o)

 Nomenclatura dos catetos

 Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise.
Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao
ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Ângulo Lado oposto           Lado adjacente
C      c (cateto oposto)     b (cateto adjacente)
B      b (cateto oposto)     c (cateto adjacente)

 Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso
cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo
retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos.
Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular
a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos

Funções trigonométricas básicas

 As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo
e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e
tangente. O ângulo será indicado pela letra x.

Função     Notação     Definição
seno       sen(x)      medida do cateto oposto a x / medida da hipotenusa
cosseno    cos(x)      medida do cateto adjacente a x / medida da hipotenusa
tangente   tg(x)       medida do cateto oposto a x / medida do cateto adjacente a x

 Se tomarmos um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de medida,
então o seno do ângulo sob análise será o seu cateto oposto, e o cosseno do mesmo, será o seu
cateto adjacente. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno do
mesmo ângulo.

1 – Trigonometria no triângulo retângulo

A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da
matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

 Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, mas
não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nem
de um povo só.

Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo

 Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c
são os catetos do triângulo retângulo (catetos são os lados que formam o ângulo de 90º). Lembre-se,
os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.
Valores especiais:

Considere-se o seguinte triângulo escaleno.             Observando a figura vem:




Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de comprimento:




Em resumo, tem-se:
2- Trigonometria na Circunferência

A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma
unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos
arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este
ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico
em quatro partes, chamadas de quadrantes.

Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva,
simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que
este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta
circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos
ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo




Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O
ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e
simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o
sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma
circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.




Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma
circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a
1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do
arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida
algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal
positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for




horário.

O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é
denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a
divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:

  = 3,1415926535897932384626433832795…

Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras
medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual
estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao
comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.




Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual
estamos medindo o arco.
Radianos: É a medida de um arco de uma volta que corresponde a 2        rad, isto é, 2   rad=360
graus.

Então uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo
α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para
determinarmos a sua imagem.

Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e
localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.




Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no
sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π –
5π/6.




Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a
determinação principal de arcos trigonométricos:
Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação
entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,

2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus

Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,

                                          R         G
                                               =
                                                   180

Exemplos

   1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos

                                          R        60
                                               =
                                                   180

   2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
   3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:

                                           1       G
                                               =
                                                   180

   4. Asim 1 rad=180/    graus.

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Trigonometria radianos graus

  • 1. TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um dos seus ângulos medindo noventa graus, ou seja, possui um ângulo reto, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medirão 90 graus. Observação: Quando a soma de dois ângulos mede 90 graus, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Palavras Cateto Cathetós:(perpendicular) gregas Hipotenusa Hypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado Letra Vértice e Ângulo a Hipotenusa (BC) A Ângulo reto (A=90o) b Cateto (AC) B Ângulo agudo (B<90o) c Cateto (AB) C Ângulo agudo (C<90o) Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c (cateto oposto) b (cateto adjacente) B b (cateto oposto) c (cateto adjacente) Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso. Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
  • 2. Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos Funções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo será indicado pela letra x. Função Notação Definição seno sen(x) medida do cateto oposto a x / medida da hipotenusa cosseno cos(x) medida do cateto adjacente a x / medida da hipotenusa tangente tg(x) medida do cateto oposto a x / medida do cateto adjacente a x Se tomarmos um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de medida, então o seno do ângulo sob análise será o seu cateto oposto, e o cosseno do mesmo, será o seu cateto adjacente. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno do mesmo ângulo. 1 – Trigonometria no triângulo retângulo A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, mas não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nem de um povo só. Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo (catetos são os lados que formam o ângulo de 90º). Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.
  • 3. Valores especiais: Considere-se o seguinte triângulo escaleno. Observando a figura vem: Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de comprimento: Em resumo, tem-se:
  • 4. 2- Trigonometria na Circunferência A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes. Ponto móvel sobre uma curva Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel. Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo Arcos da circunferência Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. Medida de um arco A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB. Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
  • 5. A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário. O número pi Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por: = 3,1415926535897932384626433832795… Unidades de medida de arcos A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum. Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad. Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
  • 6. Radianos: É a medida de um arco de uma volta que corresponde a 2 rad, isto é, 2 rad=360 graus. Então uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem. Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3. Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6. Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para a determinação principal de arcos trigonométricos:
  • 7. Mudança de unidades Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção, 2 rad …………… 360 graus R rad …………… G graus Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda, R G = 180 Exemplos 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos R 60 = 180 2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos: 1 G = 180 4. Asim 1 rad=180/ graus.