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INTERVALOS REAIS
INTERVALOS REAIS
 Considere os conjuntos A = {x  ℤ /–3 ≤ x < 2} e
  B = {x  ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?

   O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e
     1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos,
     dentre os quais estão os elementos de A, logo A e B
     não são iguais.
   O conjunto B pode ter seus elementos representados
     na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta.
     veja


                   –3              2



JOSIVALDO PASSOS                          18/04/2013   2
INTERVALOS REAIS

 Muitas           vezes   trabalhamos     com   determinados
  subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados
  intervalos reais. Em geral eles são definidos por
  desigualdades.

   Suponhamos dois números reais a e b tais que               a < b.
       Os subconjuntos de     ℝ   definidos a seguir são chamados
       de intervalos reais de extremos a e b.




JOSIVALDO PASSOS                                  18/04/2013       3
INTERVALOS REAIS – LIMITADOS

 Intervalo fechado a, b.
    Representações:   [a, b] = {x    ℝ /a ≤ x ≤ b}

       Na reta real:
                                 a               b


 Intervalo aberto a, b.

    Representações:   ]a, b[ = {x    ℝ /a < x < b}

       Na reta real:
                                 a               b



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INTERVALOS REAIS – LIMITADOS
 Intervalo fechado em a e aberto em b.

    Representações:   [a, b[ = {x    ℝ /a ≤ x < b}

       Na reta real:
                                 a               b


 Intervalo aberto em a e fechado em b.

    Representações:   ]a, b] = {x    ℝ /a < x ≤ b}

       Na reta real:
                                 a               b



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OBSERVAÇÃO
 Observe que cada intervalo inclui todos os reais
  entre a e b; para os extremos a e b, temos:

    Inclui os extremos  fechado  bolinha cheia (•) 
      colchetes normais [ ].


    Não inclui os extremos  aberto  bolinha vazia (o)
       colchetes invertidos ] [.




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INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS
 Intervalo de a fechado até +.

    Representações:   [a, +[ = {x    ℝ / x ≥ a}

       Na reta real:
                                a



 Intervalo de a aberto até +.

    Representações:   ]a, +[ = {x    ℝ /x > a}

       Na reta real:
                                a



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INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS
 Intervalo de – até a fechado.
    Representações:   ]–, a] = {x    ℝ / x ≤ a}

       Na reta real:
                                             a



 Intervalo de – até a aberto.

    Representações:   ]–, a[ = {x    ℝ /x < a}

       Na reta real:
                                              a



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EXEMPLOS
 Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real
  A = [–3, 5[.

   Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;
   Representa todos os reais entre –3 e 5, incluindo o
     extremo -3, porém o extremo 5 não faz parte do
     intervalo.

      A = {x  ℝ / –3 ≤ x < 5}



                      –3               5

      Note, por exemplo, que: –3  A; 0  A; 3  A
       4,99  A; 5  A

JOSIVALDO PASSOS                             18/04/2013   9
EXEMPLOS
 Vamos analisar, agora, o intervalo B,
  representado na reta real.

                        2

   temos um intervalo aberto de 2 a +;

   estão indicados todos os reais maiores que 2;

   o extremo 2 não faz parte do intervalo.


      B = {x  ℝ / x > 2}


      Note que: 0  B; 1  B; 1,9  B; 2  B; 2,001  B;
       10000000  B; 1035  B

JOSIVALDO PASSOS                               18/04/2013   10
OPERAÇÕES COM
INTERVALOS REAIS
OPERANDO COM INTERVALOS REAIS
 Podemos efetuar, com intervalos, as operações
  usuais com conjuntos.

   A  B  A interseção B: conjunto dos elementos comuns
       a A e B;
   A       B  A união B: conjunto dos elementos que
       pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;
   A – B  A menos B: conjunto dos elementos que
       pertencem a A e não pertencem a B.



    Na prática, operações que envolvem intervalos são
      efetuadas a partir da representação na reta real.



JOSIVALDO PASSOS                             18/04/2013   12
EXEMPLO

 Dado os intervalos A = ]–2, 6] e B = ]3, +[,
  obter A  B, A  B e A – B.

   Cálculo de A  B.



                                   A = ]–2, 6]
                   –2       6
                                   B = ]3,+[
                        3
                                    A ⋂ B = ]3, 6]
                        3   6




JOSIVALDO PASSOS                         18/04/2013   13
 Cálculo de A  B .



                                A = ]–2, 6]
                   –2       6
                                B = ]3,+[
                        3
                                A  B = ]–2, +[
                   –2




JOSIVALDO PASSOS                      18/04/2013   14
 Cálculo de A – B.



                                A = ]–2, 6]
                   –2       6
                                B = ]3,+[
                        3
                                A – B = ]–2, 3]
                   –2   3




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Intervalos reais

  • 2. INTERVALOS REAIS  Considere os conjuntos A = {x  ℤ /–3 ≤ x < 2} e B = {x  ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?  O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e 1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos, dentre os quais estão os elementos de A, logo A e B não são iguais.  O conjunto B pode ter seus elementos representados na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta. veja –3 2 JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 2
  • 3. INTERVALOS REAIS  Muitas vezes trabalhamos com determinados subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados intervalos reais. Em geral eles são definidos por desigualdades.  Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b. Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são chamados de intervalos reais de extremos a e b. JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 3
  • 4. INTERVALOS REAIS – LIMITADOS  Intervalo fechado a, b.  Representações: [a, b] = {x  ℝ /a ≤ x ≤ b} Na reta real: a b  Intervalo aberto a, b.  Representações: ]a, b[ = {x  ℝ /a < x < b} Na reta real: a b JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 4
  • 5. INTERVALOS REAIS – LIMITADOS  Intervalo fechado em a e aberto em b.  Representações: [a, b[ = {x  ℝ /a ≤ x < b} Na reta real: a b  Intervalo aberto em a e fechado em b.  Representações: ]a, b] = {x  ℝ /a < x ≤ b} Na reta real: a b JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 5
  • 6. OBSERVAÇÃO  Observe que cada intervalo inclui todos os reais entre a e b; para os extremos a e b, temos:  Inclui os extremos  fechado  bolinha cheia (•)  colchetes normais [ ].  Não inclui os extremos  aberto  bolinha vazia (o)  colchetes invertidos ] [. JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 6
  • 7. INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS  Intervalo de a fechado até +.  Representações: [a, +[ = {x  ℝ / x ≥ a} Na reta real: a  Intervalo de a aberto até +.  Representações: ]a, +[ = {x  ℝ /x > a} Na reta real: a JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 7
  • 8. INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS  Intervalo de – até a fechado.  Representações: ]–, a] = {x  ℝ / x ≤ a} Na reta real: a  Intervalo de – até a aberto.  Representações: ]–, a[ = {x  ℝ /x < a} Na reta real: a JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 8
  • 9. EXEMPLOS  Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real A = [–3, 5[.  Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;  Representa todos os reais entre –3 e 5, incluindo o extremo -3, porém o extremo 5 não faz parte do intervalo. A = {x  ℝ / –3 ≤ x < 5} –3 5 Note, por exemplo, que: –3  A; 0  A; 3  A 4,99  A; 5  A JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 9
  • 10. EXEMPLOS  Vamos analisar, agora, o intervalo B, representado na reta real. 2  temos um intervalo aberto de 2 a +;  estão indicados todos os reais maiores que 2;  o extremo 2 não faz parte do intervalo. B = {x  ℝ / x > 2} Note que: 0  B; 1  B; 1,9  B; 2  B; 2,001  B; 10000000  B; 1035  B JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 10
  • 12. OPERANDO COM INTERVALOS REAIS  Podemos efetuar, com intervalos, as operações usuais com conjuntos.  A  B  A interseção B: conjunto dos elementos comuns a A e B;  A  B  A união B: conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;  A – B  A menos B: conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.  Na prática, operações que envolvem intervalos são efetuadas a partir da representação na reta real. JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 12
  • 13. EXEMPLO  Dado os intervalos A = ]–2, 6] e B = ]3, +[, obter A  B, A  B e A – B.  Cálculo de A  B. A = ]–2, 6] –2 6 B = ]3,+[ 3 A ⋂ B = ]3, 6] 3 6 JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 13
  • 14.  Cálculo de A  B . A = ]–2, 6] –2 6 B = ]3,+[ 3 A  B = ]–2, +[ –2 JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 14
  • 15.  Cálculo de A – B. A = ]–2, 6] –2 6 B = ]3,+[ 3 A – B = ]–2, 3] –2 3 JOSIVALDO PASSOS 18/04/2013 15