SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 18
Baixar para ler offline
MATEMÁTICA DISCRETA


TEORIA DOS CONJUNTOS




PROFESSOR
WALTER PAULETTE

      FATEC SP

       2009 02
2


TEORIA DOS CONJUNTOS

    1. CONCEITO DE CONJUNTOS
    A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor ( 1845-1918).
Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e
são aceitas sem definição, assim também são conceitos primitivos:

       Conjunto, elemento e a relação de pertinência.

       Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando
uma propriedade característica dos mesmos.
       Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos
seus elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominados
elementos.

Exemplo 1:
        Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0,2,4,6,8,...}
e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn,(1834– 1923), matemático e lógico
inglês), como:

                        A

                         0    2       4

                                  6       8 ...


       Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos
       a A ( leia: a pertence a A) caso contrário a A ( leia: a não pertence a A)

Exemplo 2:
              Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se :
                             2 A (2 pertence a A)
                             0 A (não pertence a A)


2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS

Definição 01:
       Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo
elemento de A é também um elemento de B.

Notação: A     B ( A é subconjunto de B ), caso contrário A   B.

Exemplo 3:
      a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então A            B
     b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então A             B




                                                                                      2
3

3. IGUALDADE

Definição 02:
         Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.
         Simbolicamente
                     A=B        A B e B A.
Exemplo 4:
  Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B ,pois, A B e B A .

Exercícios de aplicação 1:
         Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as
sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.
1) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,3,4}, então
       a) B A ( )            d) {1,2} A ( )
       b) 3 A ( )            e) {1,2} A ( )
       c)        ( )         f) {4} A ( )

2) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então
       a) B A ( )             d) {a, b} A ( )       e) {a, b} A ( )
       b) a A ( )             c) b B        ( )     f) {a} A ( )

3)Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com ,         ,   e
       a) A.........B                    c) {1,2,3}.......B
       b) {1,2}.....A                    d) 3.............B

4. CONJUNTO VAZIO

Definição 03:
       Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento.
       O Símbolo usual para conjunto vazio é

Exemplo 5:
      O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio.
Simbolicamente
        x | 0.x 3

5. CONJUNTOS DAS PARTES

Definição 04:
         Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de
todos os subconjuntos do conjunto A.

Exemplo 6:
        Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:
        P(A) = {{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}, }. Nesse caso o número de
elementos de P(A) é 8 = 23 ( 2 elevado ao número de elementos de A )




                                                                                      3
4

Exemplo 7:
                Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:
      a) A=
      b) A={a}
      c) A= {a, b}
      d) A= {a, b, c}
  Resolução:
   (a) A = , P(A) ={ } , logo n(P(A)) = 1 = 2°
   (b) A = {a}, P(A)= { , {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹
   (c) A = {a, b}, P(A) = {{a},{b},{a, b}, }. logo n(P(A)) = 4 = 2²
   (d) A={a,b,c},P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, }, logo n(P(A))=8 =2³.
      Dessa maneira podemos escrever:
                      Se n(A) = , então n(P(A)) = 2° = 1
                      Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2
                      Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4
                      Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8
                      .........................................................
                      Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n (n {0,1,2,3,4,5,6,7,...})
Conclusão: Para sabermos quantos elementos têm o conjunto das partes de A, n(P(A)) é sò
escrever:   n( ( A)) 2n( A)
6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

        Na teoria dos números temos as operações adição e multiplicação, o mesmo ocorre
na teoria dos conjuntos.

6.1 - União (    )

Definição 05: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se união do conjunto A com o conjunto
B, ao conjunto de todos os elementos de A ou de B.
       Em símbolos:    A           B       x | x A ou x B
Exemplo 8:
      Sejam A = {1,3,5,7} e B = {2,3,4,6}, então A        B = {1,2,3,4,5,6,7}

                 A
                       1                       B
                               7       3    4 2
                           5                 6



6.2 - Intersecção (   )

Definição 06: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao
conjunto formado pelos elementos que estão em A e estão em B.

       Em símbolos: A              B       x| x A e x B



                                                                                     4
5

Exemplo 9:
Sejam A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então               A     B         {b, c, d}

                          A
                                                       b                 B
                                        a             c      e
                                                      d



PROPRIEDADES

       Aceitamos as propriedades da união e da intersecção que seguem, sem
demonstração. Para um maior entendimento faça o diagrama de Venn hachurando a região
definida pela propriedade.

P1 . Se    A        B , então A         B=A e A            B=B

                                            B

                                                                                         B
                          A
                                                                             A




                      A        B=A                                   A           B=B

P2 . A         A =A            e        A        A = A (Idempotência)

P3 .                           e        A             =A

P4 . A     B B            A    e        A        B=B        A (Comutativa)

P5 . ( A       B)     C       A (B              C) e
     (A        B)      C=A          (B          C) (Associativa)

P6 . A     (B        C) ( A         B)          ( A C) e
     A     (B        C) = (A       B)       (A       C) (Distributiva)

6.3 - DIFERENÇA (-)

Definição 07:
       Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferença de A em relação a B,
ao conjunto dos elementos B que não são elementos de A.
       Em símbolos: B A        x| x B e x A




                                                                                             5
6




Exemplos      10:
      1)      Se A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então A-B = {a}
      2)      Se A = {a, b, c, d} e B={ c, d}, então A-B = {a,b}
      3)      Se A = {1,2,3,4} e B={1,2,3}, então A-B = {4}

6.4 - COMPLEMENTAR ( A )

Definição 08:
      Se A B , chama-se conjunto complementar de A em relação a B ao conjunto dos
elementos de B que não são elementos de A.

      Em símbolos: A           A ' B-A= x x B e x A




                                         A

Exemplos 11:

Demonstrar que A-(B C)= (A-B) (A-C)
Solução:
A-(B C)= x : x Ae x ( B C )
          = x:x       Ae ( x   B e x C)
          = x : (x       Ae x B) e ( x    Ae x C )
          = x:x      Ae x B} { x : x         Ae x C =(A-B) (A-C)

Exemplo 12:
      Sejam A = {1,2,3} e B={1,2,3,4,5}, então B-A={4,5}

Propriedades:
     1.   A      A
     2. A  B        AB        e   A B       A  B Leis de De Morgan
     3. A A
     4. A  A U
     5. A      B     A     B



                                                                               6
7



6.5 - DIFERENÇA SIMÉTRICA

Definição 09:
Definimos diferença simétrica e indicamos por             ao conjunto


Propriedades:
     1.
     2.
     3.

6.6– NÚMERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITO

Número de elementos de dois conjuntos:          n( A  B) n( A) n( B) n( A  B)
Número de elementos para três conjuntos:

n( A  B  C) n( A) n(B) n(C) n( A  B) n( A  C) n(B  C) n( A  B  C)

Exemplo 13:
         Três Cursos universitários são os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos
de em uma Escola de Ensino Médio, são eles: Administração (A), Biologia (B) e Contábeis
(C). Após a pesquisa foram apresentados os seguintes resultados.

    Cursos              A       B          C        AeB       AeC       BeC   AeBeC
    Preferência         90     130        170        20        40        30     10

Determinar:
   a) Quantos alunos    consultados preferem só o Curso de Administração (A)?
   b) Quantos alunos    consultados preferem só dois Cursos?
   c) Quantos alunos    consultados preferem Administração (A) ou Contábeis (C) ?
   d) Quantos alunos    consultados preferem Administração (A) e não Contábeis (C)?

      Resolução: Usando a representação de Venn podemos escrever o número de alunos
com suas preferências.

                                     90     B
                   A          10
                        40
                                10 20
                             30
                                110


                                 C
Portanto,
a) Os alunos    consultados que preferem só o Curso de Administração são 40.
b) Os alunos    consultados que preferem só dois Cursos são 60.
c) Os alunos    consultados que preferem Administração (A) ou Biologia(B) são 200.
d) Os alunos    consultados que preferem Administração e não Contábeis são 50.




                                                                                         7
8

Exercícios de aplicação 2:

1. Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que n(Y Z) = 20, n(X Y)= 5,
n(X Z)=4, n(X Y Z) = 1 e n(X Y Z) = 22, determinar o número de elementos
do conjunto X - (Y Z).




2. Assinale a resposta correta.




a) A - (B    C)        ( )    b) (B    C) - A( )    c) C - (A   B) ( )

3. Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o
consumo desses produtos, foram colhidos os resultados.
    Produtos                A     B      C     AeB     AeC  BeC      AeBeC
    Consumidores           100 140 180           20     40    30        10

 Determinar:
 a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A?
 b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos?
 c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B ?
 d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C ?

4. De um torneio de atletismo, tem-se as informações no quadro sobre as proveniências e
sexos dos participantes. Determine o número de mulheres de Rio Pardo.

                       Cidades  Sexos            Homens    Mulheres     Total
                    RIO PRETO                        4         3
                    RIO CLARO                        a         b
                    RIO PARDO                        a                    b
                    RIO BRANCO                       8                    b
                          TOTAL                     2b          17

5. O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqüentam
cinema (C), teatro (T), e shows musicais ao vivo (S).
            Entretenimentos             C      T      S C,T    C,S    T,S     C,T,S
            Participantes (%)           80     15     6  6      4      3        2

       Verifique se esta pesquisa feita é consistente.




                                                                                     8
9

Exercícios de aplicação 3:

01)Se A       1, 2,3 , B     1, 2, 4,5,7, e C      1,3, 4,5,8 , então A ( B    C ) é igual a




(A)    1, 2,3         (B)    2,3     (C) 4,5        (D) 1           (E) nda

02)Se o conjunto A tem 20 elementos, o conjunto A  B tem 12 elementos e o conjunto
A  B tem 50 elementos, então o conjunto B tem




(A) 20    (B) 38         (C) 50      (D) 42        (E) nda

03) Indique a resposta verdadeira.
(A) 3 1,3,5
(B) 3         1,3,5
(C)        1,3,5
(D) 0           0,1, 0
(E) nda

04) Sejam os conjuntos A,B e C finitos. Se          n( A  B) )=18, n( A  C )=20 e
n( A      B     C ) 8 , então n( A            (B   C) é




(A) 10        (B) 20        (C) 25     (D) 30        (E) 40

05) O quadro indica o resultado de uma pesquisa com pessoas que lêem os jornais A, B e
C

Jornais            A    B C         A,B A,C                   B,C     A,B,C
Leitores           100 90 110 15        20                    30      5
Nestas condições podemos dizer que lêem




(A) só A 75 pessoas. (B) só B 57 pessoas                 (C) só C 64 pessoas    (D) dois jornais
50 pessoas (E) os três jornais 10 pessoas




                                                                                                   9
10

06) Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças
forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.

i) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então

         a) B   A       ( )         b) a    A    ( )        c) b B ( )

         d) {a,b}    B( )           e) {a} A ( )


ii) Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com ,                     ,       e   .
        a) A.........B                c) {1,2,3}...........B

         b) {1,2}.......A                       d) 2.............B

07) Determinar A            B e A     B, sendo:

     a) A = {1,2,3,4} e B = {0,3,4,5}

     A B=                                                       A B=

     b) A = {a, c, e, g} e B = {b, d, f, g}

     A B=                                                            A B=

08) Sejam A = {0,1,{2},{0,1}} e B = {1,{2},{0,1}} e C = {0,1,2,{2},{0,1}}.
     Determinar:




     a) A B =                               b)B C =
    c) (A B) C =                           d) C-(A B)=

9) No diagrama hachurar o que se pede

     a) A-(B C)                                        b)(A-B) (A-C)

                              B                                                 B
     A                                                 A




                    C                                                 C




                                                                                            10
11

Exercícios de aplicação 4:

 1. Sendo A= {x              x< 5} e B= {x                x<5}, assinale com (V) as sentenças

         a) A   B            ( )                                 d) A    B = {0,1,2}          ( )

         b) A      B        ( )                                  e) A - B = {3,4,5}           ( )

         c) A      B = {1,2,3,4} ( )                             f) B - A =                   ( )



 2. Hachurar o diagrama usando a lei          C - (A        B)

                   A                                               B




                                     C



 3. Assinale a resposta correta no diagrama:




 a) A    B         b) (A    B) - C       c) C - (A     B)        d) A    B    C

 4. Seja A = {0,       }, determinar o conjunto das partes de A , ( ( A) )).




 5. Sejam A, B e C os conjuntos finitos. Se n(A B) = 30,
 n(A C) = 20 e n(A B C) = 15, então o n(A (B             C)) é:




 a) 25                     b) 30             c) 35               d) 40            e) n.d.a.




                                                                                                    11
12


 6. Se n(A) = 90, n(B) = 50 e n(A   B) = 30 então n(A   B) é:




 a) 60                  b) 90        c) 100         d) 110        e) n.d.a.

 7. Sobre os membros de uma comissão sabe-se que:
    a) 9 são solteiros; b) 5 são homens
    c) 10 não são mulheres casadas;
    d) 8 não são homens solteiros.
    Pede - se:


   1) Quantos membros existem nessa comissão ?
   2) Quantos membros dessa comissão são homens casados ?

 8. Sendo A={1, 2, {1}} e B={1, {1}, {1,2}}. Coloque (V) ou (F)

 a) A     B  ( )
 c) {1, 2} B ( )
 b) {1, 2} B ( )
 d) {1, 2} A ( )

 9. Sendo:
       A = {n          n < 1}
         B = {n        -1 < n}
         C = {n       -2< n <1}
          Determinar:
           a) A B C

           b) A - (B   C)

           c) C - (A   B)


Exercícios de aplicação 5:

1) Em uma agência de turismo, o quadro de funcionários era composto por pessoas
  que falavam apenas um dos seguintes idiomas (além do português): francês, inglês e
  espanhol. Sabendo que 70 falavam inglês; 40, francês; e 60% falavam espanhol, quantos
  funcionários da empresa falam espanhol ou francês?




(A) 205 (B) 165 (C) 235 (D) 110 (E) 275




                                                                                     12
13

2) Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres. 30% dos homens fumam e 6 mulheres
fumam. A porcentagem de fumantes no grupo é




(A) 20%. (B) 24%. (C) 26,25%.        (D) 22,5%.    (E) 28,5%.

3) Em um grupo de 30 gatos, há gatos brancos e gatos pretos.Nesse grupo, existem 20
  gatos machos, 15 gatos pretos, e sabe-se que 4 fêmeas são brancas. O número de machos
  pretos é:




(A) 7. (B) 9. (C) 8. (D) 11. (E) 10.

4) Os elementos dos dois conjuntos a seguir são números naturais: A = {1,2,3,...,48}
B = {15,16,17,...,63} . O número de elementos do conjunto A B é:




(A) 48. (B)34. (C) 33. (D) 63. (E) 35.

5) Durante uma viagem, choveu cinco vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca
  durante a manhã e à tarde no mesmo dia. Houve seis manhãs e três tardes sem chuva
  durante a viagem. Quantos dias duraram a viagem?




(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 7

6) Após uma pesquisa realizada numa cidade, constatou-se que as famílias que consomem
arroz não consomem macarrão.Sabe-se que 40% consomem           arroz;30%consomem
macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60%
consomem feijão. Calcule a percentagem correspondente às famílias que não consomem
nenhum desses três produtos.




(A) 4%    (B) 5%    (C) 6%       (D) 7%   (E) 8%



                                                                                       13
14

7) Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distribuídos: 29 com sangue do tipo
0; 30 com fator Rh negativo; 14 com fator Rh positivo e tipo sanguíneo diferente de 0.
Quantos doadores possuem tipo sanguíneo diferente de 0 e fator Rh negativo?




(A) 19 (B) 18 (C) 20 (D) 21 (E)17

Exercícios de aplicação 6:

1. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

( ) a) A    BBB            A ( A  B)  ( A  B)




( ) b)   ( A  B)  A      BA




( ) c)   B  (B      A)    A B




                                                                                         14
15


2.   A  ( A B)    é igual a




a) A  B        b) A  B        c)   A B

3.Mostre que    A B        ( A  B)  ( A  B )




4. Mostre que   ( A  B)  A         B    ( A  B) U




5. Prove que para quaisquer A e B,   A B          B A




6. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

a)




                                                                  15
16



b)   A (B  C) ( A B)  ( A C)




c)




d)




7. Sabendo-se que   n( ( A) n( ( B A) 32   e   determinar
n( A  B) .




                                                       16
17


8. Se A e B são subconjuntos de U tais que    ( A  B)     ( A  B)    . Se   n(U )   é
ímpar, mostre que   n( A) n(B)




Exercícios de aplicação 7:

1)Em um grupo de 18 pessoas, o número de pessoas casadas é igual ao número de homens
solteiros. Há 10 pessoas solteiras e o número de homens casados é igual ao números de
mulheres casadas. Qual o número de mulheres solteiras?




2)Em um grupo de 20 pessoas, 14 são não fumantes. O número de não fumantes
   estrangeiros é simultaneamente o quádruplo do número de fumantes brasileiros e o
   dobro do número de fumantes estrangeiros.Quantos são os brasileiros não fumantes?




3)Use o P.I.F. e mostre a lei de De Morgan generalizada.




                                                                                      17
18

4)Mostre que a sentença é verdadeira




Respostas dos exercícios de aplicação 1.
1) V,V,V,F,V,F       2) V,V,F,V,V,V           2)   , ,   .

Respostas dos exercícios de aplicação 2.
 1) 9 elementos 2) F,V,F      3) a) 50 b) 60       c) 220 d) 60
4) 6 mulheres 5) É consistente

Respostas dos exercícios de aplicação 3.
1) B 2) D 3) D 4) D             5) D       6) i)V,V,F,V,V ii) , , ,
7) a) {0,1,2,3,4,5}, {3,4} b) { a,b,c,d,e,f,g} , {g}
8) a) {1,{2},{0,1}}      b) {1,{2},{0,1}} c) {1,{2},{0,1}} d)= {2}

Respostas dos exercícios de aplicação 4:
1) F,V,F,F,F,V          3) d)
 4) ( A) = 0 ,      , , 0,          5) c) 6) d) 7) 1) 12membros
2) 1 membro 8) F,V,V,V. 9) a)          1,0     b) ... 3, 2,1      c)   2

Respostas dos exercícios de aplicação 5:
1) A   2) D 3) B 4) B 5) E         6) B 7) E

Respostas dos exercícios de aplicação 6:
1) F,F,V 2) a     6 a) V b) V c)V d) V 7) 3

Respostas dos exercícios de aplicação 7:
1) 2      2) 6




                                                                           18

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

ქართლის სამეფოს გაქრისტიანება
ქართლის სამეფოს გაქრისტიანებაქართლის სამეფოს გაქრისტიანება
ქართლის სამეფოს გაქრისტიანებაict-lidia
 
БОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕ
БОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕБОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕ
БОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕSevda Rabineva
 
Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)
Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)
Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)martosummers
 
да си направим кукерска маска
да си направим кукерска маскада си направим кукерска маска
да си направим кукерска маскаBorynaPetrova
 
"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010
"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010
"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010Plamena94
 
Проект за Великден на Бранимир
Проект за Великден на БранимирПроект за Великден на Бранимир
Проект за Великден на БранимирNinaKaneva
 
защитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просвета
защитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просветазащитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просвета
защитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просветаsavi_mihailova
 
საქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველები
საქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველებისაქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველები
საქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველებიNatia Gvilia
 
Медали и значки за отличници
Медали и значки за отличнициМедали и значки за отличници
Медали и значки за отличнициMarusya Eneva
 
преходна област
преходна областпреходна област
преходна областDani Parvanova
 
урок по музика
урок по музикаурок по музика
урок по музикаRadina Tas
 
дунавска равнина
дунавска равнинадунавска равнина
дунавска равнинаAneliya Shopova
 
Звук и буква л
Звук и буква л Звук и буква л
Звук и буква л koletka pavlova
 
Mатематически оцветявки за 2 и 3 клас
Mатематически оцветявки за 2 и 3 класMатематически оцветявки за 2 и 3 клас
Mатематически оцветявки за 2 и 3 класIliana Ilieva-Dabova
 
Изречения и текст за 1.клас упражнения
Изречения и текст за 1.клас упражненияИзречения и текст за 1.клас упражнения
Изречения и текст за 1.клас упражненияLuiza Antova
 

Mais procurados (20)

ქართლის სამეფოს გაქრისტიანება
ქართლის სამეფოს გაქრისტიანებაქართლის სამეფოს გაქრისტიანება
ქართლის სამეფოს გაქრისტიანება
 
БОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕ
БОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕБОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕ
БОРЦИ ЗА ОСВОБОЖДЕНИЕ
 
Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)
Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)
Пробен изпит по БЕЛ (6. клас)
 
გაკვეთილები (გრამატიკის მოდული)
გაკვეთილები (გრამატიკის მოდული)გაკვეთილები (გრამატიკის მოდული)
გაკვეთილები (გრამატიკის მოდული)
 
да си направим кукерска маска
да си направим кукерска маскада си направим кукерска маска
да си направим кукерска маска
 
Витоша
ВитошаВитоша
Витоша
 
"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010
"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010
"ХУБАВА СИ, МОЯ ГОРО, ПРЕЗ XXI ВЕК" – MICROSOFT POWERPOINT 2010
 
Проект за Великден на Бранимир
Проект за Великден на БранимирПроект за Великден на Бранимир
Проект за Великден на Бранимир
 
гатанки за природата
гатанки за природатагатанки за природата
гатанки за природата
 
защитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просвета
защитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просветазащитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просвета
защитени растения и животни в България-човекът и природата 4 клас,Просвета
 
საქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველები
საქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველებისაქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველები
საქართველოში გადაშენების პირას მყოფი ცხოველები
 
Медали и значки за отличници
Медали и значки за отличнициМедали и значки за отличници
Медали и значки за отличници
 
преходна област
преходна областпреходна област
преходна област
 
урок по музика
урок по музикаурок по музика
урок по музика
 
рила
риларила
рила
 
Гатанки
ГатанкиГатанки
Гатанки
 
дунавска равнина
дунавска равнинадунавска равнина
дунавска равнина
 
Звук и буква л
Звук и буква л Звук и буква л
Звук и буква л
 
Mатематически оцветявки за 2 и 3 клас
Mатематически оцветявки за 2 и 3 класMатематически оцветявки за 2 и 3 клас
Mатематически оцветявки за 2 и 3 клас
 
Изречения и текст за 1.клас упражнения
Изречения и текст за 1.клас упражненияИзречения и текст за 1.клас упражнения
Изречения и текст за 1.клас упражнения
 

Destaque

1 teste finalizadooooo gabarito
1 teste finalizadooooo  gabarito1 teste finalizadooooo  gabarito
1 teste finalizadooooo gabaritoRodolfo Freitas
 
Matemática Discreta - Introdução
Matemática Discreta - IntroduçãoMatemática Discreta - Introdução
Matemática Discreta - IntroduçãoUlrich Schiel
 
Matematica Discreta
Matematica DiscretaMatematica Discreta
Matematica Discretaguest209322
 
Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldioria
Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. GrimaldioriaMatemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldioria
Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. GrimaldioriaRodrigo GC
 
Aula 6 - Análise Combinatória
Aula 6 - Análise CombinatóriaAula 6 - Análise Combinatória
Aula 6 - Análise CombinatóriaLuciana Martino
 
Atividade diagnóstica (8 ano)
Atividade diagnóstica (8 ano)Atividade diagnóstica (8 ano)
Atividade diagnóstica (8 ano)Danilo Siqueira
 
Análise combinatória e probabilidade morgado
Análise combinatória e probabilidade   morgadoAnálise combinatória e probabilidade   morgado
Análise combinatória e probabilidade morgadoarimatéia
 
Matemática Discreta y Lógica/Fanjul Roberto
Matemática Discreta y Lógica/Fanjul RobertoMatemática Discreta y Lógica/Fanjul Roberto
Matemática Discreta y Lógica/Fanjul RobertoBiblioteca Central FACET
 
7o ano revisão 1 listão 1
7o ano revisão 1   listão 17o ano revisão 1   listão 1
7o ano revisão 1 listão 1Otávio Sales
 
Módulo 65 permutação
Módulo 65   permutaçãoMódulo 65   permutação
Módulo 65 permutaçãoRonei Badaró
 
Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...
Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...
Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...Ciclos Formativos
 
Apostila mb cefet
Apostila mb cefetApostila mb cefet
Apostila mb cefetcomentada
 

Destaque (20)

1 teste finalizadooooo gabarito
1 teste finalizadooooo  gabarito1 teste finalizadooooo  gabarito
1 teste finalizadooooo gabarito
 
Matemática Discreta - Introdução
Matemática Discreta - IntroduçãoMatemática Discreta - Introdução
Matemática Discreta - Introdução
 
Matematica Discreta
Matematica DiscretaMatematica Discreta
Matematica Discreta
 
Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldioria
Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. GrimaldioriaMatemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldioria
Matemáticas Discreta y Combinatoria Ralph P. Grimaldioria
 
Penge2 mat1
Penge2 mat1Penge2 mat1
Penge2 mat1
 
Aula 6 - Análise Combinatória
Aula 6 - Análise CombinatóriaAula 6 - Análise Combinatória
Aula 6 - Análise Combinatória
 
Atividade diagnóstica (8 ano)
Atividade diagnóstica (8 ano)Atividade diagnóstica (8 ano)
Atividade diagnóstica (8 ano)
 
Análise combinatória e probabilidade morgado
Análise combinatória e probabilidade   morgadoAnálise combinatória e probabilidade   morgado
Análise combinatória e probabilidade morgado
 
10475699 2
10475699 210475699 2
10475699 2
 
Matemática Discreta y Lógica/Fanjul Roberto
Matemática Discreta y Lógica/Fanjul RobertoMatemática Discreta y Lógica/Fanjul Roberto
Matemática Discreta y Lógica/Fanjul Roberto
 
Lista 2 15 cópias
Lista 2   15 cópiasLista 2   15 cópias
Lista 2 15 cópias
 
Libro logica
Libro logicaLibro logica
Libro logica
 
Atividade diagnóstica
Atividade diagnósticaAtividade diagnóstica
Atividade diagnóstica
 
7o ano revisão 1 listão 1
7o ano revisão 1   listão 17o ano revisão 1   listão 1
7o ano revisão 1 listão 1
 
Módulo 65 permutação
Módulo 65   permutaçãoMódulo 65   permutação
Módulo 65 permutação
 
Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...
Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...
Hoja de Registro Actividades en la naturaleza lugares donde hacer actividades...
 
1 trabalho de matemática
1 trabalho de matemática1 trabalho de matemática
1 trabalho de matemática
 
Logica Computacional/Fanjul Roberto
Logica Computacional/Fanjul RobertoLogica Computacional/Fanjul Roberto
Logica Computacional/Fanjul Roberto
 
Apostila mb cefet
Apostila mb cefetApostila mb cefet
Apostila mb cefet
 
Avaliação diagnostica. 2017 8 ano
Avaliação diagnostica. 2017 8 anoAvaliação diagnostica. 2017 8 ano
Avaliação diagnostica. 2017 8 ano
 

Semelhante a Teoria dos Conjuntos em (20)

Aula 01 conjuntos
Aula 01   conjuntosAula 01   conjuntos
Aula 01 conjuntos
 
Aula 02 conjuntos
Aula 02   conjuntosAula 02   conjuntos
Aula 02 conjuntos
 
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos ConjuntosTeoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
 
Conjuntos e Intervalos
Conjuntos e IntervalosConjuntos e Intervalos
Conjuntos e Intervalos
 
001+-+TEORIA+DOS+CONJUNTOS.pptx
001+-+TEORIA+DOS+CONJUNTOS.pptx001+-+TEORIA+DOS+CONJUNTOS.pptx
001+-+TEORIA+DOS+CONJUNTOS.pptx
 
Wania regia 5º aula
Wania regia     5º aulaWania regia     5º aula
Wania regia 5º aula
 
3º ano
3º ano3º ano
3º ano
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 
conjuntos.pdf
conjuntos.pdfconjuntos.pdf
conjuntos.pdf
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 
Apostila 001 conjuntos operações
Apostila  001 conjuntos operaçõesApostila  001 conjuntos operações
Apostila 001 conjuntos operações
 
06 conjuntos - operaes
06 conjuntos - operaes06 conjuntos - operaes
06 conjuntos - operaes
 
01 - Conjuntos
01 - Conjuntos01 - Conjuntos
01 - Conjuntos
 
33379
3337933379
33379
 
A1 me
A1 meA1 me
A1 me
 
Apostila 002 funções
Apostila  002 funçõesApostila  002 funções
Apostila 002 funções
 
Funcoes matematica mto bom
Funcoes matematica mto bomFuncoes matematica mto bom
Funcoes matematica mto bom
 
07 funes
07 funes07 funes
07 funes
 
Conj num e interv
Conj num e intervConj num e interv
Conj num e interv
 
Matematica - conjuntos
Matematica - conjuntosMatematica - conjuntos
Matematica - conjuntos
 

Mais de gabaritocontabil

Matematica slides descontos
Matematica slides descontosMatematica slides descontos
Matematica slides descontosgabaritocontabil
 
Matematica slides porcentagem
Matematica slides porcentagemMatematica slides porcentagem
Matematica slides porcentagemgabaritocontabil
 
Matematica slides habitacional2
Matematica slides habitacional2Matematica slides habitacional2
Matematica slides habitacional2gabaritocontabil
 
Matematica slides capitalizacao composta
Matematica slides capitalizacao compostaMatematica slides capitalizacao composta
Matematica slides capitalizacao compostagabaritocontabil
 
Matematica slides amortizacao2
Matematica slides amortizacao2Matematica slides amortizacao2
Matematica slides amortizacao2gabaritocontabil
 
Matematica slides amortizacao3
Matematica slides amortizacao3Matematica slides amortizacao3
Matematica slides amortizacao3gabaritocontabil
 
Matematica slides taxas ii
Matematica slides taxas iiMatematica slides taxas ii
Matematica slides taxas iigabaritocontabil
 
Matematica slides inflacao i
Matematica slides inflacao iMatematica slides inflacao i
Matematica slides inflacao igabaritocontabil
 
Matematica slides amortiza o_ii
Matematica slides amortiza o_iiMatematica slides amortiza o_ii
Matematica slides amortiza o_iigabaritocontabil
 
Matematica gabarito revisao
Matematica gabarito revisaoMatematica gabarito revisao
Matematica gabarito revisaogabaritocontabil
 
Apostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicadaApostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicadagabaritocontabil
 
Apostila matematica basica
Apostila matematica basicaApostila matematica basica
Apostila matematica basicagabaritocontabil
 
Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2
Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2
Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2gabaritocontabil
 
Matematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabarito
Matematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabaritoMatematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabarito
Matematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabaritogabaritocontabil
 
Matematica lista 9 -_revis_o
Matematica lista 9 -_revis_oMatematica lista 9 -_revis_o
Matematica lista 9 -_revis_ogabaritocontabil
 

Mais de gabaritocontabil (20)

Matematica slides descontos
Matematica slides descontosMatematica slides descontos
Matematica slides descontos
 
Matematica slides porcentagem
Matematica slides porcentagemMatematica slides porcentagem
Matematica slides porcentagem
 
Matematica basica i
Matematica basica iMatematica basica i
Matematica basica i
 
Matematica slides habitacional2
Matematica slides habitacional2Matematica slides habitacional2
Matematica slides habitacional2
 
Matematica slides capitalizacao composta
Matematica slides capitalizacao compostaMatematica slides capitalizacao composta
Matematica slides capitalizacao composta
 
Matematica slides amortizacao2
Matematica slides amortizacao2Matematica slides amortizacao2
Matematica slides amortizacao2
 
Matematica slides amortizacao3
Matematica slides amortizacao3Matematica slides amortizacao3
Matematica slides amortizacao3
 
Matematica slides taxas ii
Matematica slides taxas iiMatematica slides taxas ii
Matematica slides taxas ii
 
Matematica uniformes
Matematica uniformesMatematica uniformes
Matematica uniformes
 
Matematica slides taxas
Matematica slides taxasMatematica slides taxas
Matematica slides taxas
 
Matematica slides taxas2
Matematica slides taxas2Matematica slides taxas2
Matematica slides taxas2
 
Matematica slides inflacao i
Matematica slides inflacao iMatematica slides inflacao i
Matematica slides inflacao i
 
Matematica slides amortiza o_ii
Matematica slides amortiza o_iiMatematica slides amortiza o_ii
Matematica slides amortiza o_ii
 
Matematica gabarito revisao
Matematica gabarito revisaoMatematica gabarito revisao
Matematica gabarito revisao
 
Apostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicadaApostila matematica aplicada
Apostila matematica aplicada
 
Apostila matematica basica
Apostila matematica basicaApostila matematica basica
Apostila matematica basica
 
Matematica lista revisao
Matematica lista revisaoMatematica lista revisao
Matematica lista revisao
 
Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2
Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2
Matematica exercicios lista amortiza_o_i_gabarito2
 
Matematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabarito
Matematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabaritoMatematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabarito
Matematica lista 7 -_amortiza_o_ii__gabarito
 
Matematica lista 9 -_revis_o
Matematica lista 9 -_revis_oMatematica lista 9 -_revis_o
Matematica lista 9 -_revis_o
 

Último

O Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdf
O Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdfO Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdf
O Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdfQueleLiberato
 
Jogo de Revisão Primeira Série (Primeiro Trimestre)
Jogo de Revisão Primeira  Série (Primeiro Trimestre)Jogo de Revisão Primeira  Série (Primeiro Trimestre)
Jogo de Revisão Primeira Série (Primeiro Trimestre)Paula Meyer Piagentini
 
Modernidade perspectiva sobre a África e América
Modernidade perspectiva sobre a África e AméricaModernidade perspectiva sobre a África e América
Modernidade perspectiva sobre a África e Américawilson778875
 
CAMINHOS PARA A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTE
CAMINHOS PARA  A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTECAMINHOS PARA  A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTE
CAMINHOS PARA A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTEJoaquim Colôa
 
Sistema de Bibliotecas UCS - A descoberta da terra
Sistema de Bibliotecas UCS  - A descoberta da terraSistema de Bibliotecas UCS  - A descoberta da terra
Sistema de Bibliotecas UCS - A descoberta da terraBiblioteca UCS
 
VACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTRE
VACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTREVACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTRE
VACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTREIVONETETAVARESRAMOS
 
Mini livro sanfona - Povos Indigenas Brasileiros
Mini livro sanfona  - Povos Indigenas BrasileirosMini livro sanfona  - Povos Indigenas Brasileiros
Mini livro sanfona - Povos Indigenas BrasileirosMary Alvarenga
 
Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...
Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...
Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...nexocan937
 
c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.
c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.
c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.azulassessoria9
 
Romero Britto - biografia 6º ano (1).pptx
Romero Britto - biografia 6º ano (1).pptxRomero Britto - biografia 6º ano (1).pptx
Romero Britto - biografia 6º ano (1).pptxLuisCarlosAlves10
 
HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024Sandra Pratas
 
Slides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptx
Slides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptxSlides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptx
Slides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
EVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptx
EVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptxEVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptx
EVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptxHenriqueLuciano2
 
A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...
A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...
A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...azulassessoria9
 
Modelos Evolutivos em História das Religiões
Modelos Evolutivos em História das ReligiõesModelos Evolutivos em História das Religiões
Modelos Evolutivos em História das ReligiõesGilbraz Aragão
 
Ler e compreender 7º ano - Aula 7 - 1º Bimestre
Ler e compreender 7º ano -  Aula 7 - 1º BimestreLer e compreender 7º ano -  Aula 7 - 1º Bimestre
Ler e compreender 7º ano - Aula 7 - 1º BimestreProfaCintiaDosSantos
 
Ser Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitação
Ser Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitaçãoSer Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitação
Ser Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitaçãoJayaneSales1
 
Mini livro sanfona - Diga não ao bullying
Mini livro sanfona - Diga não ao  bullyingMini livro sanfona - Diga não ao  bullying
Mini livro sanfona - Diga não ao bullyingMary Alvarenga
 
Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.
Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.
Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.Mary Alvarenga
 

Último (20)

“O AMANHÃ EXIGE O MELHOR DE HOJE” _
“O AMANHÃ EXIGE O MELHOR DE HOJE”       _“O AMANHÃ EXIGE O MELHOR DE HOJE”       _
“O AMANHÃ EXIGE O MELHOR DE HOJE” _
 
O Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdf
O Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdfO Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdf
O Espetaculo das Racas - Cienti - Lilia Moritz Schwarcz capítulo 2.pdf
 
Jogo de Revisão Primeira Série (Primeiro Trimestre)
Jogo de Revisão Primeira  Série (Primeiro Trimestre)Jogo de Revisão Primeira  Série (Primeiro Trimestre)
Jogo de Revisão Primeira Série (Primeiro Trimestre)
 
Modernidade perspectiva sobre a África e América
Modernidade perspectiva sobre a África e AméricaModernidade perspectiva sobre a África e América
Modernidade perspectiva sobre a África e América
 
CAMINHOS PARA A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTE
CAMINHOS PARA  A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTECAMINHOS PARA  A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTE
CAMINHOS PARA A PROMOÇÃO DA INLUSÃO E VIDA INDEPENDENTE
 
Sistema de Bibliotecas UCS - A descoberta da terra
Sistema de Bibliotecas UCS  - A descoberta da terraSistema de Bibliotecas UCS  - A descoberta da terra
Sistema de Bibliotecas UCS - A descoberta da terra
 
VACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTRE
VACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTREVACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTRE
VACINAR E DOAR, É SÓ COMEÇAR - - 1º BIMESTRE
 
Mini livro sanfona - Povos Indigenas Brasileiros
Mini livro sanfona  - Povos Indigenas BrasileirosMini livro sanfona  - Povos Indigenas Brasileiros
Mini livro sanfona - Povos Indigenas Brasileiros
 
Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...
Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...
Minha Luta (Mein Kampf), A História do País que Lutou contra a União Soviétic...
 
c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.
c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.
c) O crime ocorreu na forma simples ou qualificada? Justifique.
 
Romero Britto - biografia 6º ano (1).pptx
Romero Britto - biografia 6º ano (1).pptxRomero Britto - biografia 6º ano (1).pptx
Romero Britto - biografia 6º ano (1).pptx
 
HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
 
Slides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptx
Slides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptxSlides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptx
Slides Lição 2, Betel, Ordenança para participar da Ceia do Senhor, 2Tr24.pptx
 
EVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptx
EVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptxEVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptx
EVANGELISMO É MISSÕES ATUALIZADO 2024.pptx
 
A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...
A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...
A alimentação na Idade Média era um mosaico de contrastes. Para a elite, banq...
 
Modelos Evolutivos em História das Religiões
Modelos Evolutivos em História das ReligiõesModelos Evolutivos em História das Religiões
Modelos Evolutivos em História das Religiões
 
Ler e compreender 7º ano - Aula 7 - 1º Bimestre
Ler e compreender 7º ano -  Aula 7 - 1º BimestreLer e compreender 7º ano -  Aula 7 - 1º Bimestre
Ler e compreender 7º ano - Aula 7 - 1º Bimestre
 
Ser Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitação
Ser Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitaçãoSer Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitação
Ser Mãe Atípica, uma jornada de amor e aceitação
 
Mini livro sanfona - Diga não ao bullying
Mini livro sanfona - Diga não ao  bullyingMini livro sanfona - Diga não ao  bullying
Mini livro sanfona - Diga não ao bullying
 
Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.
Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.
Poema em homenagem a Escola Santa Maria, pelos seus 37 anos.
 

Teoria dos Conjuntos em

  • 1. MATEMÁTICA DISCRETA TEORIA DOS CONJUNTOS PROFESSOR WALTER PAULETTE FATEC SP 2009 02
  • 2. 2 TEORIA DOS CONJUNTOS 1. CONCEITO DE CONJUNTOS A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor ( 1845-1918). Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e são aceitas sem definição, assim também são conceitos primitivos: Conjunto, elemento e a relação de pertinência. Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando uma propriedade característica dos mesmos. Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos seus elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominados elementos. Exemplo 1: Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0,2,4,6,8,...} e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn,(1834– 1923), matemático e lógico inglês), como: A 0 2 4 6 8 ... Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos a A ( leia: a pertence a A) caso contrário a A ( leia: a não pertence a A) Exemplo 2: Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se : 2 A (2 pertence a A) 0 A (não pertence a A) 2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS Definição 01: Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A é também um elemento de B. Notação: A B ( A é subconjunto de B ), caso contrário A B. Exemplo 3: a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então A B b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então A B 2
  • 3. 3 3. IGUALDADE Definição 02: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Simbolicamente A=B A B e B A. Exemplo 4: Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B ,pois, A B e B A . Exercícios de aplicação 1: Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas. 1) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,3,4}, então a) B A ( ) d) {1,2} A ( ) b) 3 A ( ) e) {1,2} A ( ) c) ( ) f) {4} A ( ) 2) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então a) B A ( ) d) {a, b} A ( ) e) {a, b} A ( ) b) a A ( ) c) b B ( ) f) {a} A ( ) 3)Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com , , e a) A.........B c) {1,2,3}.......B b) {1,2}.....A d) 3.............B 4. CONJUNTO VAZIO Definição 03: Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento. O Símbolo usual para conjunto vazio é Exemplo 5: O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio. Simbolicamente x | 0.x 3 5. CONJUNTOS DAS PARTES Definição 04: Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo 6: Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por: P(A) = {{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}, }. Nesse caso o número de elementos de P(A) é 8 = 23 ( 2 elevado ao número de elementos de A ) 3
  • 4. 4 Exemplo 7: Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo: a) A= b) A={a} c) A= {a, b} d) A= {a, b, c} Resolução: (a) A = , P(A) ={ } , logo n(P(A)) = 1 = 2° (b) A = {a}, P(A)= { , {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹ (c) A = {a, b}, P(A) = {{a},{b},{a, b}, }. logo n(P(A)) = 4 = 2² (d) A={a,b,c},P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, }, logo n(P(A))=8 =2³. Dessa maneira podemos escrever: Se n(A) = , então n(P(A)) = 2° = 1 Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2 Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4 Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8 ......................................................... Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n (n {0,1,2,3,4,5,6,7,...}) Conclusão: Para sabermos quantos elementos têm o conjunto das partes de A, n(P(A)) é sò escrever: n( ( A)) 2n( A) 6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Na teoria dos números temos as operações adição e multiplicação, o mesmo ocorre na teoria dos conjuntos. 6.1 - União ( ) Definição 05: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se união do conjunto A com o conjunto B, ao conjunto de todos os elementos de A ou de B. Em símbolos: A B x | x A ou x B Exemplo 8: Sejam A = {1,3,5,7} e B = {2,3,4,6}, então A B = {1,2,3,4,5,6,7} A 1 B 7 3 4 2 5 6 6.2 - Intersecção ( ) Definição 06: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto formado pelos elementos que estão em A e estão em B. Em símbolos: A B x| x A e x B 4
  • 5. 5 Exemplo 9: Sejam A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então A B {b, c, d} A b B a c e d PROPRIEDADES Aceitamos as propriedades da união e da intersecção que seguem, sem demonstração. Para um maior entendimento faça o diagrama de Venn hachurando a região definida pela propriedade. P1 . Se A B , então A B=A e A B=B B B A A A B=A A B=B P2 . A A =A e A A = A (Idempotência) P3 . e A =A P4 . A B B A e A B=B A (Comutativa) P5 . ( A B) C A (B C) e (A B) C=A (B C) (Associativa) P6 . A (B C) ( A B) ( A C) e A (B C) = (A B) (A C) (Distributiva) 6.3 - DIFERENÇA (-) Definição 07: Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferença de A em relação a B, ao conjunto dos elementos B que não são elementos de A. Em símbolos: B A x| x B e x A 5
  • 6. 6 Exemplos 10: 1) Se A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, então A-B = {a} 2) Se A = {a, b, c, d} e B={ c, d}, então A-B = {a,b} 3) Se A = {1,2,3,4} e B={1,2,3}, então A-B = {4} 6.4 - COMPLEMENTAR ( A ) Definição 08: Se A B , chama-se conjunto complementar de A em relação a B ao conjunto dos elementos de B que não são elementos de A. Em símbolos: A A ' B-A= x x B e x A A Exemplos 11: Demonstrar que A-(B C)= (A-B) (A-C) Solução: A-(B C)= x : x Ae x ( B C ) = x:x Ae ( x B e x C) = x : (x Ae x B) e ( x Ae x C ) = x:x Ae x B} { x : x Ae x C =(A-B) (A-C) Exemplo 12: Sejam A = {1,2,3} e B={1,2,3,4,5}, então B-A={4,5} Propriedades: 1. A A 2. A  B AB e A B A  B Leis de De Morgan 3. A A 4. A  A U 5. A B A B 6
  • 7. 7 6.5 - DIFERENÇA SIMÉTRICA Definição 09: Definimos diferença simétrica e indicamos por ao conjunto Propriedades: 1. 2. 3. 6.6– NÚMERO DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITO Número de elementos de dois conjuntos: n( A  B) n( A) n( B) n( A  B) Número de elementos para três conjuntos: n( A  B  C) n( A) n(B) n(C) n( A  B) n( A  C) n(B  C) n( A  B  C) Exemplo 13: Três Cursos universitários são os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos de em uma Escola de Ensino Médio, são eles: Administração (A), Biologia (B) e Contábeis (C). Após a pesquisa foram apresentados os seguintes resultados. Cursos A B C AeB AeC BeC AeBeC Preferência 90 130 170 20 40 30 10 Determinar: a) Quantos alunos consultados preferem só o Curso de Administração (A)? b) Quantos alunos consultados preferem só dois Cursos? c) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) ou Contábeis (C) ? d) Quantos alunos consultados preferem Administração (A) e não Contábeis (C)? Resolução: Usando a representação de Venn podemos escrever o número de alunos com suas preferências. 90 B A 10 40 10 20 30 110 C Portanto, a) Os alunos consultados que preferem só o Curso de Administração são 40. b) Os alunos consultados que preferem só dois Cursos são 60. c) Os alunos consultados que preferem Administração (A) ou Biologia(B) são 200. d) Os alunos consultados que preferem Administração e não Contábeis são 50. 7
  • 8. 8 Exercícios de aplicação 2: 1. Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que n(Y Z) = 20, n(X Y)= 5, n(X Z)=4, n(X Y Z) = 1 e n(X Y Z) = 22, determinar o número de elementos do conjunto X - (Y Z). 2. Assinale a resposta correta. a) A - (B C) ( ) b) (B C) - A( ) c) C - (A B) ( ) 3. Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados. Produtos A B C AeB AeC BeC AeBeC Consumidores 100 140 180 20 40 30 10 Determinar: a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A? b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos? c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B ? d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C ? 4. De um torneio de atletismo, tem-se as informações no quadro sobre as proveniências e sexos dos participantes. Determine o número de mulheres de Rio Pardo. Cidades Sexos Homens Mulheres Total RIO PRETO 4 3 RIO CLARO a b RIO PARDO a b RIO BRANCO 8 b TOTAL 2b 17 5. O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqüentam cinema (C), teatro (T), e shows musicais ao vivo (S). Entretenimentos C T S C,T C,S T,S C,T,S Participantes (%) 80 15 6 6 4 3 2 Verifique se esta pesquisa feita é consistente. 8
  • 9. 9 Exercícios de aplicação 3: 01)Se A 1, 2,3 , B 1, 2, 4,5,7, e C 1,3, 4,5,8 , então A ( B C ) é igual a (A) 1, 2,3 (B) 2,3 (C) 4,5 (D) 1 (E) nda 02)Se o conjunto A tem 20 elementos, o conjunto A  B tem 12 elementos e o conjunto A  B tem 50 elementos, então o conjunto B tem (A) 20 (B) 38 (C) 50 (D) 42 (E) nda 03) Indique a resposta verdadeira. (A) 3 1,3,5 (B) 3 1,3,5 (C) 1,3,5 (D) 0 0,1, 0 (E) nda 04) Sejam os conjuntos A,B e C finitos. Se n( A  B) )=18, n( A  C )=20 e n( A B C ) 8 , então n( A (B C) é (A) 10 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 40 05) O quadro indica o resultado de uma pesquisa com pessoas que lêem os jornais A, B e C Jornais A B C A,B A,C B,C A,B,C Leitores 100 90 110 15 20 30 5 Nestas condições podemos dizer que lêem (A) só A 75 pessoas. (B) só B 57 pessoas (C) só C 64 pessoas (D) dois jornais 50 pessoas (E) os três jornais 10 pessoas 9
  • 10. 10 06) Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas. i) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então a) B A ( ) b) a A ( ) c) b B ( ) d) {a,b} B( ) e) {a} A ( ) ii) Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com , , e . a) A.........B c) {1,2,3}...........B b) {1,2}.......A d) 2.............B 07) Determinar A B e A B, sendo: a) A = {1,2,3,4} e B = {0,3,4,5} A B= A B= b) A = {a, c, e, g} e B = {b, d, f, g} A B= A B= 08) Sejam A = {0,1,{2},{0,1}} e B = {1,{2},{0,1}} e C = {0,1,2,{2},{0,1}}. Determinar: a) A B = b)B C = c) (A B) C = d) C-(A B)= 9) No diagrama hachurar o que se pede a) A-(B C) b)(A-B) (A-C) B B A A C C 10
  • 11. 11 Exercícios de aplicação 4: 1. Sendo A= {x x< 5} e B= {x x<5}, assinale com (V) as sentenças a) A B ( ) d) A B = {0,1,2} ( ) b) A B ( ) e) A - B = {3,4,5} ( ) c) A B = {1,2,3,4} ( ) f) B - A = ( ) 2. Hachurar o diagrama usando a lei C - (A B) A B C 3. Assinale a resposta correta no diagrama: a) A B b) (A B) - C c) C - (A B) d) A B C 4. Seja A = {0, }, determinar o conjunto das partes de A , ( ( A) )). 5. Sejam A, B e C os conjuntos finitos. Se n(A B) = 30, n(A C) = 20 e n(A B C) = 15, então o n(A (B C)) é: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) n.d.a. 11
  • 12. 12 6. Se n(A) = 90, n(B) = 50 e n(A B) = 30 então n(A B) é: a) 60 b) 90 c) 100 d) 110 e) n.d.a. 7. Sobre os membros de uma comissão sabe-se que: a) 9 são solteiros; b) 5 são homens c) 10 não são mulheres casadas; d) 8 não são homens solteiros. Pede - se: 1) Quantos membros existem nessa comissão ? 2) Quantos membros dessa comissão são homens casados ? 8. Sendo A={1, 2, {1}} e B={1, {1}, {1,2}}. Coloque (V) ou (F) a) A B ( ) c) {1, 2} B ( ) b) {1, 2} B ( ) d) {1, 2} A ( ) 9. Sendo: A = {n n < 1} B = {n -1 < n} C = {n -2< n <1} Determinar: a) A B C b) A - (B C) c) C - (A B) Exercícios de aplicação 5: 1) Em uma agência de turismo, o quadro de funcionários era composto por pessoas que falavam apenas um dos seguintes idiomas (além do português): francês, inglês e espanhol. Sabendo que 70 falavam inglês; 40, francês; e 60% falavam espanhol, quantos funcionários da empresa falam espanhol ou francês? (A) 205 (B) 165 (C) 235 (D) 110 (E) 275 12
  • 13. 13 2) Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres. 30% dos homens fumam e 6 mulheres fumam. A porcentagem de fumantes no grupo é (A) 20%. (B) 24%. (C) 26,25%. (D) 22,5%. (E) 28,5%. 3) Em um grupo de 30 gatos, há gatos brancos e gatos pretos.Nesse grupo, existem 20 gatos machos, 15 gatos pretos, e sabe-se que 4 fêmeas são brancas. O número de machos pretos é: (A) 7. (B) 9. (C) 8. (D) 11. (E) 10. 4) Os elementos dos dois conjuntos a seguir são números naturais: A = {1,2,3,...,48} B = {15,16,17,...,63} . O número de elementos do conjunto A B é: (A) 48. (B)34. (C) 33. (D) 63. (E) 35. 5) Durante uma viagem, choveu cinco vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca durante a manhã e à tarde no mesmo dia. Houve seis manhãs e três tardes sem chuva durante a viagem. Quantos dias duraram a viagem? (A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 7 6) Após uma pesquisa realizada numa cidade, constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão.Sabe-se que 40% consomem arroz;30%consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. Calcule a percentagem correspondente às famílias que não consomem nenhum desses três produtos. (A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 7% (E) 8% 13
  • 14. 14 7) Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distribuídos: 29 com sangue do tipo 0; 30 com fator Rh negativo; 14 com fator Rh positivo e tipo sanguíneo diferente de 0. Quantos doadores possuem tipo sanguíneo diferente de 0 e fator Rh negativo? (A) 19 (B) 18 (C) 20 (D) 21 (E)17 Exercícios de aplicação 6: 1. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando) ( ) a) A BBB A ( A  B)  ( A  B) ( ) b) ( A  B)  A BA ( ) c) B  (B A) A B 14
  • 15. 15 2. A  ( A B) é igual a a) A  B b) A  B c) A B 3.Mostre que A B ( A  B)  ( A  B ) 4. Mostre que ( A  B)  A B ( A  B) U 5. Prove que para quaisquer A e B, A B B A 6. Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando) a) 15
  • 16. 16 b) A (B  C) ( A B)  ( A C) c) d) 7. Sabendo-se que n( ( A) n( ( B A) 32 e determinar n( A  B) . 16
  • 17. 17 8. Se A e B são subconjuntos de U tais que ( A  B) ( A  B) . Se n(U ) é ímpar, mostre que n( A) n(B) Exercícios de aplicação 7: 1)Em um grupo de 18 pessoas, o número de pessoas casadas é igual ao número de homens solteiros. Há 10 pessoas solteiras e o número de homens casados é igual ao números de mulheres casadas. Qual o número de mulheres solteiras? 2)Em um grupo de 20 pessoas, 14 são não fumantes. O número de não fumantes estrangeiros é simultaneamente o quádruplo do número de fumantes brasileiros e o dobro do número de fumantes estrangeiros.Quantos são os brasileiros não fumantes? 3)Use o P.I.F. e mostre a lei de De Morgan generalizada. 17
  • 18. 18 4)Mostre que a sentença é verdadeira Respostas dos exercícios de aplicação 1. 1) V,V,V,F,V,F 2) V,V,F,V,V,V 2) , , . Respostas dos exercícios de aplicação 2. 1) 9 elementos 2) F,V,F 3) a) 50 b) 60 c) 220 d) 60 4) 6 mulheres 5) É consistente Respostas dos exercícios de aplicação 3. 1) B 2) D 3) D 4) D 5) D 6) i)V,V,F,V,V ii) , , , 7) a) {0,1,2,3,4,5}, {3,4} b) { a,b,c,d,e,f,g} , {g} 8) a) {1,{2},{0,1}} b) {1,{2},{0,1}} c) {1,{2},{0,1}} d)= {2} Respostas dos exercícios de aplicação 4: 1) F,V,F,F,F,V 3) d) 4) ( A) = 0 , , , 0, 5) c) 6) d) 7) 1) 12membros 2) 1 membro 8) F,V,V,V. 9) a) 1,0 b) ... 3, 2,1 c) 2 Respostas dos exercícios de aplicação 5: 1) A 2) D 3) B 4) B 5) E 6) B 7) E Respostas dos exercícios de aplicação 6: 1) F,F,V 2) a 6 a) V b) V c)V d) V 7) 3 Respostas dos exercícios de aplicação 7: 1) 2 2) 6 18