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1
Teorema de Tales
e Semelhança
Teorema de Tales
Tales de Mileto viveu Na Grécia
por volta dos anos 600 antes de
Cristo.
Em muitas de suas viagens, diz a
lenda, foi desafiado a calcular a
altura de uma pirâmide, no Egito.
3
Feixe de retas paralelas
Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente
no Teorema de Tales, determine o valor
dos segmentos AB e BC na ilustração a
seguir:
Semelhança
de
Figuras
7
Semelhança de Figuras
NOÇÃO DE FORMA
Qual das figuras (1, 2, 3 ou 4)
tem a mesma forma da
figura A?
8
Semelhança de Figuras
Devem ter reparado que apenas a figura 1 tem a
mesma forma da figura A.
Isso só acontece porque:
a figura 1 é uma redução da figura A
ou
a figura A é uma ampliação da figura 1.
9
Semelhança de Figuras
10
Duas figuras têm a mesma forma se uma
delas é uma ampliação ou redução da
outra ou se forem geometricamente
iguais.
Semelhança de Figuras
Conclusão:
Duas figuras são semelhantes se
tiverem a mesma forma.
As 3 figuras são semelhantes.
F1 e F3 são geometricamente
iguais e F2 é uma ampliação das
outras.
Para dizer que as figuras são
semelhantes escreve-se:
F1 ~ F2 ~ F3
11
Semelhança de Figuras
Os dois quadrados representados ao lado
são semelhantes.
12
Repare que o quadrado B é uma
ampliação do quadrado A.
Se dividirmos o comprimento do lado do
quadrado B pelo comprimento do lado do
quadrado A, teremos:
A medida dos lados do quadrado B é o
dobro da medida dos lados do quadrado
A.
O número 2 é a razão de semelhança na
ampliação.
Semelhança de Figuras
Para representar a razão de semelhança usa-se a letra k.
Para o caso anterior, podemos dizer que a razão de semelhança na
ampliação do quadrado A para o quadrado B é:
k = 2
Pode ainda dizer-se que o quadrado
B é uma ampliação do quadrado A
na escala 2:1.
13
Semelhança de Figuras
Observe os retângulos A e B da figura.
O retângulo B é uma redução do
retângulo A.
Repara que os lados do retângulo B
têm ambos metade do comprimento
dos lados do retângulo A.
Para calcular a razão de semelhança
na redução teremos que dividir o
comprimento do lado do retângulo
menor pelo lado correspondente do
maior.
A razão de semelhança é:
k = 0,5.
14
Semelhança de Figuras
Se as duas figuras forem geometricamente iguais, qual será a
razão de semelhança de uma para a outra?
Repare que, sendo as figuras geometricamente iguais, elas
têm as mesmas dimensões.
Neste caso, a razão de semelhança é 1 (ou seja, k = 1).
15
Semelhança de Figuras
CONDIÇÃO: Dois ou mais polígonos são ditos
semelhantes
quando:
- Os ângulos correspondentes são congruentes;
- As medidas de lados correspondentes são
proporcionais.
- Neste caso é necessário satisfazer as duas condições.
16
Semelhança de Figuras
Numa redução a razão de semelhança é menor do
que 1 (k < 1).
Numa ampliação a razão de semelhança é maior do
que 1 (k > 1).
Entre duas figuras geometricamente iguais a razão
de semelhança é igual a 1 (k = 1).
17
Semelhança de Polígonos
CONDIÇÃO: Dois ou mais polígonos são ditos
Semelhantes quando:
- Os ângulos correspondentes são congruentes;
- As medidas de lados correspondentes são
proporcionais.
- Neste caso é necessário satisfazer as duas condições.
18
1º CASO: AA (Ângulo,Ângulo)
Dois triângulos semelhantes tem os
mesmos ângulos.
Os lados correspondentes são
proporcionais.
20
2º Caso: LLL (Lado, Lado, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se os
lados de um são proporcionais aos lados
do outro
A partir dos dados indicados
na figura, verifique se os
triângulos representados são
ou não semelhantes.
3º Caso: LAL
Dois triângulos são semelhantes se os
lados de um são proporcionais aos lados
do outro e se o ângulo por eles
compreendido tem a mesma medida.
Observação
Com base nos casos de semelhança estudados,
podemos ter os seguintes resultado:
Se a razão de semelhança de dois triângulos
semelhantes é k, então:
A razão entre os lados correspondentes é k;
A razão entre as alturas correspondentes é k;
A razão entre os perímetros é k;
1) Diga se os pares de triângulos abaixo são ou
não semelhantes.
2) Nas figuras abaixo, determine as medidas x e y.
3) Na figura abaixo, MN// BC. Nessas condições,
determine:
a) As medidas x e y indicadas.
b) As medidas dos lados AB e AC.
c) Os perímetros dos triângulos ABC e AMN.
d) A razão de semelhança entre os triângulos ABC e
AMN.
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  • 1. 1 Teorema de Tales e Semelhança
  • 2. Teorema de Tales Tales de Mileto viveu Na Grécia por volta dos anos 600 antes de Cristo. Em muitas de suas viagens, diz a lenda, foi desafiado a calcular a altura de uma pirâmide, no Egito.
  • 3. 3
  • 4. Feixe de retas paralelas
  • 5.
  • 6. Exemplo 1 Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
  • 8. Semelhança de Figuras NOÇÃO DE FORMA Qual das figuras (1, 2, 3 ou 4) tem a mesma forma da figura A? 8
  • 9. Semelhança de Figuras Devem ter reparado que apenas a figura 1 tem a mesma forma da figura A. Isso só acontece porque: a figura 1 é uma redução da figura A ou a figura A é uma ampliação da figura 1. 9
  • 10. Semelhança de Figuras 10 Duas figuras têm a mesma forma se uma delas é uma ampliação ou redução da outra ou se forem geometricamente iguais.
  • 11. Semelhança de Figuras Conclusão: Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma. As 3 figuras são semelhantes. F1 e F3 são geometricamente iguais e F2 é uma ampliação das outras. Para dizer que as figuras são semelhantes escreve-se: F1 ~ F2 ~ F3 11
  • 12. Semelhança de Figuras Os dois quadrados representados ao lado são semelhantes. 12 Repare que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A. Se dividirmos o comprimento do lado do quadrado B pelo comprimento do lado do quadrado A, teremos: A medida dos lados do quadrado B é o dobro da medida dos lados do quadrado A. O número 2 é a razão de semelhança na ampliação.
  • 13. Semelhança de Figuras Para representar a razão de semelhança usa-se a letra k. Para o caso anterior, podemos dizer que a razão de semelhança na ampliação do quadrado A para o quadrado B é: k = 2 Pode ainda dizer-se que o quadrado B é uma ampliação do quadrado A na escala 2:1. 13
  • 14. Semelhança de Figuras Observe os retângulos A e B da figura. O retângulo B é uma redução do retângulo A. Repara que os lados do retângulo B têm ambos metade do comprimento dos lados do retângulo A. Para calcular a razão de semelhança na redução teremos que dividir o comprimento do lado do retângulo menor pelo lado correspondente do maior. A razão de semelhança é: k = 0,5. 14
  • 15. Semelhança de Figuras Se as duas figuras forem geometricamente iguais, qual será a razão de semelhança de uma para a outra? Repare que, sendo as figuras geometricamente iguais, elas têm as mesmas dimensões. Neste caso, a razão de semelhança é 1 (ou seja, k = 1). 15
  • 16. Semelhança de Figuras CONDIÇÃO: Dois ou mais polígonos são ditos semelhantes quando: - Os ângulos correspondentes são congruentes; - As medidas de lados correspondentes são proporcionais. - Neste caso é necessário satisfazer as duas condições. 16
  • 17. Semelhança de Figuras Numa redução a razão de semelhança é menor do que 1 (k < 1). Numa ampliação a razão de semelhança é maior do que 1 (k > 1). Entre duas figuras geometricamente iguais a razão de semelhança é igual a 1 (k = 1). 17
  • 18. Semelhança de Polígonos CONDIÇÃO: Dois ou mais polígonos são ditos Semelhantes quando: - Os ângulos correspondentes são congruentes; - As medidas de lados correspondentes são proporcionais. - Neste caso é necessário satisfazer as duas condições. 18
  • 19. 1º CASO: AA (Ângulo,Ângulo) Dois triângulos semelhantes tem os mesmos ângulos. Os lados correspondentes são proporcionais.
  • 20. 20
  • 21. 2º Caso: LLL (Lado, Lado, Lado) Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro
  • 22. A partir dos dados indicados na figura, verifique se os triângulos representados são ou não semelhantes.
  • 23. 3º Caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro e se o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida.
  • 24. Observação Com base nos casos de semelhança estudados, podemos ter os seguintes resultado: Se a razão de semelhança de dois triângulos semelhantes é k, então: A razão entre os lados correspondentes é k; A razão entre as alturas correspondentes é k; A razão entre os perímetros é k;
  • 25. 1) Diga se os pares de triângulos abaixo são ou não semelhantes.
  • 26. 2) Nas figuras abaixo, determine as medidas x e y.
  • 27. 3) Na figura abaixo, MN// BC. Nessas condições, determine: a) As medidas x e y indicadas. b) As medidas dos lados AB e AC. c) Os perímetros dos triângulos ABC e AMN. d) A razão de semelhança entre os triângulos ABC e AMN.