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Aula 07 de estatística

MEDIDAS DE DISPERSÃO

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Estat´ıtica B´asica
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Uma breve reflex˜ao sobre as medidas de tendˆencia central permite-
nos concluir que elas n˜ao s˜ao suficientes para caracterizar totalmente
uma sequˆencia num´erica.
Se observarmos as sequˆencias:
X : 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10
Y : 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13
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concluiremos que todas possuem a mesma m´edia 13.
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vista da variabilidade de dados.
Estat´ıtica B´asica
MEDIDAS DE DISPERS˜AO
C´alculo da Amplitude Total
Desvio M´edio Simples
Introdu¸c˜ao
Na sequˆencia Z (3) n˜ao h´a variabilidade de dados.
A m´edia 13 representa bem qualquer valor da s´erie.
Na sequˆencia Y , a m´edia 13 representa bem a s´erie, mas existem
elementos da s´erie levemente diferenciados da m´edia 13.
Na sequˆencia X existem muitos elementos bastante diferenciados da
m´edia 13.
Conclu´ımos que a m´edia 13 representa otimamente a sequˆencia Z,
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X.
Estat´ıtica B´asica
MEDIDAS DE DISPERS˜AO
C´alculo da Amplitude Total
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Conceitos
O nosso objetivo ´e construir medidas que avaliem a representativi-
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Observe que na sequˆencia Z os dados est˜ao totalmente concentrados
sobre a m´edia 13.
N˜ao h´a dispers˜ao de dados. Na sequˆencia Y h´a forte concentra¸c˜ao
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MEDIDAS DE DISPERS˜AO
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Aula 07 de estatística

  • 1. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos MEDIDAS DE DISPERS˜AO UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANH˜AO 17 de outubro de 2016 Estat´ıtica B´asica
  • 2. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Sum´ario MEDIDAS DE DISPERS˜AO Introdu¸c˜ao; Medidas de Dispers˜ao Absoluta; Amplitude Total; C´alculo da Amplitude Total; Desvio M´edio Simples; C´alculo do Desvio M´edio Simples: 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL 2o Caso - Vari´avel Discreta 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Estat´ıtica B´asica
  • 3. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Introdu¸c˜ao Uma breve reflex˜ao sobre as medidas de tendˆencia central permite- nos concluir que elas n˜ao s˜ao suficientes para caracterizar totalmente uma sequˆencia num´erica. Se observarmos as sequˆencias: X : 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 Y : 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 Z : 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 concluiremos que todas possuem a mesma m´edia 13. No entanto, s˜ao sequˆencias completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. Estat´ıtica B´asica
  • 4. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Introdu¸c˜ao Na sequˆencia Z (3) n˜ao h´a variabilidade de dados. A m´edia 13 representa bem qualquer valor da s´erie. Na sequˆencia Y , a m´edia 13 representa bem a s´erie, mas existem elementos da s´erie levemente diferenciados da m´edia 13. Na sequˆencia X existem muitos elementos bastante diferenciados da m´edia 13. Conclu´ımos que a m´edia 13 representa otimamente a sequˆencia Z, representa bem a sequˆencia Y , mas n˜ao representa bem a sequˆencia X. Estat´ıtica B´asica
  • 5. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Conceitos O nosso objetivo ´e construir medidas que avaliem a representativi- dade da m´edia. Para isto usaremos as medidas de dispers˜ao. Observe que na sequˆencia Z os dados est˜ao totalmente concentrados sobre a m´edia 13. N˜ao h´a dispers˜ao de dados. Na sequˆencia Y h´a forte concentra¸c˜ao dos dados sobre a m´edia 13, mas h´a fraca dispers˜ao de dados. J´a na s´erie X h´a fraca concentra¸c˜ao de dados em torno da m´edia 13 e forte dispers˜ao de dados em rela¸c˜ao a m´edia 13. Estat´ıtica B´asica
  • 6. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Medidas de Dispers˜ao Absoluta As principais medidas de dispers˜ao absolutas s˜ao: amplitude total, desvio m´edio simples, variˆancia e desvio padr˜ao. Amplitude Total - ´E a diferen¸ca entre o maior e o menor valor da sequˆencia. Estat´ıtica B´asica
  • 7. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Basta identificar o maior e o menor valor da sequˆencia e efetuar a diferen¸ca entre estes valores. Exemplo Determine a amplitude total da sequˆencia X : 11, 12, 9, 10, 10, 15. O maior valor desta sequˆencia ´e 15 e o menor valor ´e 9. Portanto, a amplitude total da sequˆencia ´e At = 15 − 9 = 6 unidades. Estat´ıtica B´asica
  • 8. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Como os valores j´a se apresentam ordenados, a amplitude total ´e a diferen¸ca entre o ´ultimo e o primeiro elemento da s´erie. Exemplo Determine a amplitude total da s´erie. xi fi 2 1 3 6 5 10 7 3 O maior valor da s´erie ´e 7 e o menor valor da s´erie ´e 2. Portanto, a amplitude total da s´erie ´e At = 7 − 2 = 5 unidades. Estat´ıtica B´asica
  • 9. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Nesta situa¸c˜ao, por desconhecer o maior e o menor valor da s´erie devemos fazer um c´alculo aproximado da amplitude total da s´erie. Consideraremos como maior valor da s´erie o ponto m´edio da ´ultima classe e como menor valor da s´erie o ponto m´edio da primeira classe. A amplitude total ´e a diferen¸ca entre estes valores. Exemplo Determine a amplitude total da s´erie: Classe Int. cl. fi 1 2 4 5 2 4 6 10 3 6 8 20 4 8 10 7 5 10 12 2 Estat´ıtica B´asica
  • 10. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA O ponto m´edio da ´ultima classe ´e 11 e o ponto m´edio da primeira classe ´e 3. Portanto, At = 11 − 3 = 8 unidades. COMENT´ARIO: Apesar da facilidade de obten¸c˜ao da amplitude total, esta medida apresenta a inconveniˆencia de depender apenas de dois valores da s´erie. ´E poss´ıvel modificar completamente a dis- pers˜ao ou a concentra¸c˜ao dos elementos em torno da m´edia, sem alterar a amplitude total da s´erie. ´E uma medida que tem pouca sensibilidade estat´ıstica. Estat´ıtica B´asica
  • 11. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples Desvio M´edio Simples O conceito estat´ıstico de desvio corresponde ao conceito matem´atico de distˆancia. A dispers˜ao dos dados em rela¸c˜ao a m´edia de uma sequˆencia pode ser avaliada atrav´es dos desvios de cada elemento da sequˆencia em rela¸c˜ao a m´edia da sequˆencia. O desvio m´edio simples que indicaremos por DMS ´e definido como sendo uma m´edia aritm´etica dos desvios de cada elemento da s´erie para a m´edia da s´erie Estat´ıtica B´asica
  • 12. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Calculamos inicialmente a m´edia da sequˆencia. Em seguida identi- ficamos a distˆancia de cada elemento da sequˆencia para sua m´edia. Finalmente, calculamos a m´edia destas distˆancias. Se a sequˆencia for representada por X : x1, x2, . . . , xn, ent˜ao o DMS admite como f´ormula de c´alculo: DMS = |xi − x| n Exemplo Calcule o DMS para a sequˆencia: X : 2, 8, 5, 6. Estat´ıtica B´asica
  • 13. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Determinamos inicialmente a m´edia da s´erie: X = xi n = 2 + 8 + 5 + 6 4 = 5, 25 em seguida determinamos as distˆancias de cada elemento da s´erie para a m´edia da s´erie: |x1 − x| = |2 − 5, 25| = 3, 25 |x1 − x| = |8 − 5, 25| = 2, 75 |x1 − x| = |5 − 5, 25| = 0, 25 |x1 − x| = |6 − 5, 25| = 0, 75 O DMS ´e a m´edia aritm´etica simples destes valores. DMS = 3, 25 + 2, 75 + 0, 25 + 0, 75 4 = 7 4 = 1, 75 Interpreta¸c˜ao: Em m´edia, cada elemento da sequˆencia est´a afastado do valor 5,25 por 1,75 unidades. Estat´ıtica B´asica
  • 14. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 2o Caso - Vari´avel Discreta No caso da apresenta¸c˜ao de uma vari´avel discreta, lembramos que a frequˆencia simples de cada elemento representa o n´umero de vezes que este valor figura na s´erie. Conseq¨uentemente, haver´a repeti¸c˜oes de distˆancias iguais de cada elemento distinto da s´erie para a m´edia da s´erie. Assim, a m´edia indicada para estas distˆancias ´e uma m´edia aritm´etica ponderada. A f´ormula para o c´alculo do DMS ´e: DMS = |xi − x|fi fi Estat´ıtica B´asica
  • 15. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 2o Caso - Vari´avel Discreta Exemplo Determine o DMS para a s´erie: xi fi 1 2 3 5 4 2 5 1 O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 10. A m´edia da s´erie ´e: X = xi fi fi Usaremos a disposi¸c˜ao da tabela, acrescentando novas colunas para a resolu¸c˜ao dos c´alculos. Estat´ıtica B´asica
  • 16. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 2o Caso - Vari´avel Discreta xi fi xi fi 1 2 2 3 5 15 4 2 8 5 1 5 fi = 10 xi fi = 30 A m´edia da s´erie ´e: X = xi fi fi = 30 10 = 3 O DMS ´e dado por: DMS = |xi − x|fi fi Estat´ıtica B´asica
  • 17. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 2o Caso - Vari´avel Discreta Incluiremos outra coluna para efetuar estes c´alculos: xi fi xi fi |xi − x|fi 1 2 2 4 3 5 15 0 4 2 8 2 5 1 5 2 fi = 10 xi fi = 30 |xi − x|fi = 8 O desvio m´edio simples ´e: DMS = |xi − x|fi fi = 8 10 = 0, 8 unidades. Interpreta¸c˜ao: Em m´edia, cada elemento da s´erie est´a afastado do valor 3 por 0,8 unidade. Estat´ıtica B´asica
  • 18. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Nesta situa¸c˜ao, por desconhecer os valores individuais dos elementos componentes da s´erie, substituiremos estes valores xi , pelos pontos m´edios de classe. Desta forma, o desvio m´edio simples tem por c´alculo a f´ormula: DMS = |xi − x|fi fi onde xi ´e o ponto m´edio da classe i. Estat´ıtica B´asica
  • 19. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Exemplo Determine o DMS para a s´erie. Classe Int. cl. fi 1 2 4 5 2 4 6 10 3 6 8 4 4 8 10 1 O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 20. Usaremos a disposi¸c˜ao da tabela acrescentando as colunas necess´arias para a resolu¸c˜ao dos c´alculos. Estat´ıtica B´asica
  • 20. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Inicialmente acrescentamos a coluna dos pontos m´edios das classes: Classe Int. cl. fi xi 1 2 4 5 3 2 4 6 10 5 3 6 8 4 7 4 8 10 1 9 fi = 20 Em seguida, calculamos a m´edia da s´erie: X = xi fi fi Estat´ıtica B´asica
  • 21. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Classe Int. cl. fi xi xi fi 1 2 4 5 3 15 2 4 6 10 5 50 3 6 8 4 7 28 4 8 10 1 9 9 fi = 20 xi fi = 102 A m´edia da s´erie ´e: X = xi fi fi = 102 20 = 5, 1 O DMS ´e dado por DMS = |xi − x|fi fi Estat´ıtica B´asica
  • 22. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Classe Int. cl. fi xi xi fi |xi − x|fi 1 2 4 5 3 15 10,50 2 4 6 10 5 50 1,00 3 6 8 4 7 28 7,60 4 8 10 1 9 9 3,90 = 20 = 102 = 23 O DMS = |xi − x|fi fi = 23 20 = 1, 15 unidades Interpreta¸c˜ao: Em m´edia, cada elemento da s´erie est´a afastado de 5,1 por 1,15 unidades. Estat´ıtica B´asica
  • 23. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua COMENT´ARIO: O desvio m´edio simples depende de cada compo- nerte da s´erie. Se mudarmos o valor de um ´unico elemento da s´erie, mudamos tamb´em o DMS. Portanto, o desvio m´edio simples tem perfeita sensibilidade estat´ıstica. A maior dificuldade desta medida ´e envolver m´odulos, cujas propriedades, em geral n˜ao s˜ao suficien- temente conhecidas pelos estagi´arios que normalmente desenvolvem estes c´alculos. Estat´ıtica B´asica
  • 24. MEDIDAS DE DISPERS˜AO C´alculo da Amplitude Total Desvio M´edio Simples MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011 SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos, ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999 Estat´ıtica B´asica