Aula 06 de estatística

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Material para a aula de Estatística, para as turmas de Gestão Ambiental e Administração - UEMA.

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Aula 06 de estatística

  1. 1. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos Medidas Separatrizes UNIVERSIADE ESTADUAL DO MARANH˜AO 22 de setembro de 2016 Estat´ıtica B´asica
  2. 2. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize Sum´ario MEDIDAS SEPARATRIZES Conceitos; C´alculo das Medidas separatrize; Estat´ıtica B´asica
  3. 3. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize Conceitos S˜ao n´umeros reais que dividem a sequˆencia ordenada de dados em partes que contˆem a mesma quantidade de elementos da s´erie. Desta forma, a mediana que divide a sequˆencia ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos valores da sequˆencia, ´e tamb´em uma medida separatriz. Al´em da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos s˜ao: quartis, quintis, decis e percentis. Se dividirmos a s´erie ordenada em quatro partes, cada uma ficar´a com 25% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos s˜ao chamados quartis. Assim, o primeiio quartil, que indicaremos por Q1, separa a sequˆencia ordenada deixando 25% de seus valores a esquerda e 75% de seus valores a direita. Estat´ıtica B´asica
  4. 4. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize Conceitos O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a sequˆencia or- denada, deixando 50% de seus valores a esquerda e 50% de seus valores a direita. Note que o Q2 ´e a mediana da s´erie. O terceiro quartil, que indicaremos por Q3, separa a sequˆencia or- denada deixando a sua esquerda 75% de seus elementos e 25% de seus elementos a direita. Se dividirmos a sequˆencia ordenada em cinco partes, cada uma ficar´a com 20% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos s˜ao chamados quintis. Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1, separa a sequˆencia ordenada, deixando a sua esquerda 20% de seus valores e a sua direita 80% de seus valores. De modo an´alogo s˜ao definidos os outros quintis. Estat´ıtica B´asica
  5. 5. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize Conceitos Se dividirmos a sequˆencia ordenada em dez partes, cada uma ficar´a com 10% de seus valores. Os elementos que separam estes grupos s˜ao chamados decis. Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1 separa a sequˆencia ordenada, deixando a sua esquerda 10% de seus valores e 90% de seus valores a direita. De modo an´alogo s˜ao definidos os outros decis. Se dividirmos a sequˆencia ordenada em 100 partes, cada uma ficar´a com 1% de seus elementos. Os elementos que separam estes grupos s˜ao chamados centis ou percentis. Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por P1, separa a sequˆencia ordenada deixando a sua esquerda 1% de seus valores e 99% de seus valores a direita. De modo an´alogo s˜ao definidos os outros percentis. Estat´ıtica B´asica
  6. 6. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize Conceitos Note que o Q4, K5, D10, P100 s˜ao elementos que deixam a sua es- querda 100% dos valores da sequencia ordenada e correspondem diretamente ao ´ultimo valor da sequˆencia. Se observarmos que os quartis, quintis e decis s˜ao m´ultiplos dos percentis, ent˜ao basta estabelecer a f´ormula de c´alculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis. Desta forma: Estat´ıtica B´asica
  7. 7. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Devemos ordenar os elementos, caso sejam Dados Brutos obtendo o Rol. Identificamos a medida que queremos obter com o percentil corres- pondente, Pi Calculamos i% de n, ou seja, i.n 100 para localizar a posi¸c˜ao do per- centil i no Rol. Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posi¸c˜ao. Note que se i.n 100 for um n´umero inteiro, ent˜ao Pi que estamos procurando identificar ´e um dos elementos da sequˆencia ordenada. Se i.n 100 n˜ao for um n´umero inteiro, isto significa que o Pi ´e um elemento itermedi´ario entre os elementos que ocupam as posi¸c˜oes aproximadas por falta e por excesso do valor i.n 100 . Neste caso, o Pi ´e definido como sendo a m´edia dos valores que ocupam estas posi¸c˜oes aproximadas. Estat´ıtica B´asica
  8. 8. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Exemplo Calcule o Q1 da sequˆencia X : 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15. Ordenando a seq¨uˆencia, obtemos o Rol: X : 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15 Identificamos Q1 = P25. Calculamos 25% de 12 que ´e o n´umero de elementos da s´erie obtendo 3. Este valor indica a posi¸c˜ao do P25 no Rol, isto ´e, o P25 ´e o terceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol obt´em-se 5. Portanto, Q1 = P25 = 5. Interpreta¸c˜ao: 25% dos valores desta sequˆencia s˜ao valores menores ou iguais a 5 e 75% dos valores desta sequˆencia s˜ao valores maiores ou iguais a 5. Estat´ıtica B´asica
  9. 9. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Se os dados est˜ao apresentados na forma de uma vari´avel discreta, eles j´a est˜ao naturalmente ordenados. Identifica-se a medida que queremos obter com o percentil corres- pondente: Pi . Calculamos i% de n, ou seja, i.n 100 para localizar a posi¸c˜ao do per- centil i na s´erie. Em seguida utilizamos a frequˆencia acumulada da s´erie para localizar o elemento que ocupa esta posi¸c˜ao. O valor deste elemento ´e o Pi . Estat´ıtica B´asica
  10. 10. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Exemplo Calcule o D4 para a s´erie: xi fi 2 3 4 5 5 8 7 6 10 2 O n´umero de elementos da s´erie ´e fi = 24 Temos que D4 = P40 e calculamos 40% de 24, obtendo 9,6. Esta posi¸c˜ao n˜ao-inteira significa que o P40 ´e um valor compreendido entre o nono e o d´ecimo elemento da s´erie. Construindo a frequˆencia acumulada: Estat´ıtica B´asica
  11. 11. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA xi fi Fi 2 3 3 4 5 8 5 8 16 7 6 22 10 2 24 observamos que o nono elemento ´e 5, e o d´ecimo elemento tamb´em ´e 5. Assim, D4 = P40 = 5 + 5 2 = 5. Interpreta¸c˜ao: 40% dos valores desta s´erie s˜ao valores menores ou guais a 5 e 60% dos valores desta s´erie s˜ao valores maiores ou iguais a 5. Estat´ıtica B´asica
  12. 12. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Se os dados est˜ao apresentados na forma de uma vari´avel cont´ınua, eles j´a est˜ao naturalmente ordenados e o n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi . A f´ormula para o c´alculo dos percentis, fazemos uma generaliza¸c˜ao da mediana, resultando em Pi = li + i.n 100 − Fant fi .h Onde: Pi - Percentil i(i = 1, 2, 3, . . . , 99) li - limite inferior da classe que cont´em o percentil i. n - n´umero de elementos da s´erie. Fant - frequˆencia acumulada da classe anterior a classe que cont´em o Pi . Estat´ıtica B´asica
  13. 13. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA fi - frequˆencia simples da classe que cont´em o percentil i. h - amplitude do intervalo de classe. Exemplo Calcule o Q3 da s´erie: Classe Int. cl. fi 1 0 10 16 2 10 20 18 3 20 30 24 4 30 40 35 5 40 50 12 O n´umero de elementos da s´erie ´e dado por fi = 105. Identifica- mos Q3 = P75 Estat´ıtica B´asica
  14. 14. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Iniciamos o c´alculo do valor P75 lembrando que neste caso i = 75 e que i.n 100 = 75.105 100 = 78, 75 Isto nos d´a a posi¸c˜ao do P75 na s´erie. Construindo a frequˆencia acumulada da s´erie obtemos: Classe Int. cl. fi Fi 1 0 10 16 16 2 10 20 18 34 3 20 30 24 58 4 30 40 35 93 5 40 50 12 105 A classe que cont´em o elemento que ocupa a posi¸c˜ao 78,75 na s´erie ´e a quarta classe. Esta ´e a classe que cont´em o P75. Estat´ıtica B´asica
  15. 15. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Substituindo os valores indicados na f´ormula, obt´em-se: P75 = 30 + 78, 75 − 58 35 .10 Portanto, Q3 = P75 = 35, 93 Interpreta¸c˜ao: 75% dos valores da s´erie s˜ao menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valores da s´erie s˜ao maiores ou iguais a 35,93. Estat´ıtica B´asica
  16. 16. MEDIDAS SEPARATRIZES C´alculo das Medidas separatrize MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011 SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos, ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999 Estat´ıtica B´asica

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