Desvio Padrão e Variância

Variância e Desvio Padrão
Calculo da Variância e Desvio Padrão
Interpreta¸cão do Desvio Padrão
Medidas de dispersão relativa
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
MEDIDAS DE DISPERSÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO
17 de outubro de 2016
Estat´ıtica Básica

Sumário
Introdu¸cão;
Calculo da Variância e Desvio Padrão;
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
2o Caso - Variável Discreta
3o Caso - Variável Cont´ınua

Introdu¸cão
Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o
DMS se deve a presen¸ca do módulo, para que as diferen¸cas xi − x
possam ser interpretadas como distâncias.
Outra forma de se conseguir que as diferen¸cas xi − x se tornem
sempre positivas ou nulas é considerar o quadrado destas diferen¸cas,
isto é: (xi − x)2.
Se substituirmos, nas fórmulas do DMS a expressão xi − x por
(xi − x)2, obteremos nova medida de dispersão chamada variância.
Portanto, variância é uma média aritmética calculada a partir dos
quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da série e a sua
média.

Introdu¸cão
O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância.
Em particular, para estas medidas levaremos em considera¸cão o fato
de a sequência de dados representar toda uma popula¸cão ou apenas
uma amostra de uma popula¸cão.
No final desta seçcão justificaremos esta necessidade.
Nota¸cões: Quando a sequência de dados representa uma Popula¸cão
a variância será denotada por σ2(x) e o desvio padrão correspon-
dente por σ(x).
Quando a sequência de dados representa uma amostra, a variância
será denotada por s2(x) e o desvio padrão correspondente por s(x).

1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
a) Se a sequência representa uma Popula¸cão, a variância é calcu-
lada pela fórmula:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
Exemplo
Calcule a variância e o desvio padrão da sequência: X : 4, 5, 8, 5.
A sequência contém n = 4 elementos e tem por média:
X =
xi
n
=
4 + 5 + 8 + 5
4
= 5, 5

1o
Os quadrados das diferen¸cas (xi − x)2 valem:
(xi − x)2 = (4 − 5, 5)2 = 2, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
(xi − x)2 = (8 − 5, 5)2 = 6, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
Somando-se estes valores obtem-se (xi − x)2 = 9.
Substituindo esses valores na fórmula da variância, teremos:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
=
9
4
= 2, 25
Como o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância,
σ(x) = σ2(x) = 2, 25 = 1, 5 unidades.

1o
b) Se a sequência anterior representasse apenas uma amostra, a
variância seria denotada por s2(x) e o desvio padrão por s(x).
Neste caso,
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
e
s(x) = s2(x)
Notemos a diferen¸ca entre a fórmula do slide 5 de σ2(x) (indi-
cado para Popula¸cões) e s2(x) para amostra.
Assim,
s2(x) =
(xi − x)2
n − 1
=
9
3
= 3 e o desvio padrão é s(x) =
√
3 = 1, 73.

2o
Caso - VARIÁVEL DISCRETA
Como há repeti¸cões de elementos na série, definimos a variância
como sendo uma média aritmética ponderada dos quadrados dos
desvios dos elementos da série para a média da série.
a) Se a variável discreta é representativa de uma Popula¸cão, então
a variância é dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
e o desvio padrão é:
σ(x) = σ2(x)

2o
b) Se a variável discreta é representativa de uma amostra, então
a variância é dada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
e o desvio padrão é:
s(x) = s2(x)

2o
Exemplo
Calcule a variância e o desvio padrão da série abaixo, representativa
de uma popula¸cão.
xi fi
2 3
3 5
4 8
5 4
O número de elemento da série é n = fi = 20.
A média desta série é X =
xi fi
fi

2o
xi fi xi fi
2 3 6
3 5 15
4 8 32
5 4 20
fi = 20 xi fi = 73
A média desta série é X =
xi fi
fi
=
73
20
= 3, 65
Como estamos trabalhando com uma Popula¸cão a variância é dada
por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Desenvolvendo nova coluna para estes cálculos, obtém-se:

2o
xi fi xi fi (xi − x)2fi
2 3 6 8,1675
3 5 15 2,1125
4 8 32 0,9800
5 4 20 7,2900
fi = 20 xi fi = 73 [(xi − x)2fi ] = 18, 55
A variância é:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
18, 55
20
= 0, 9275
e o desvio padrão correspondente é σ(x) =
√
0, 9275 = 0, 963

2o
Exemplo
Se a variável discreta fosse representativa de uma amostra, a
variância seria indicada por s2(x) e seria calculada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
=
18, 55
19
= 0, 9763
O desvio padrão seria calculado por s(x) =
√
0, 9763 = 0, 988.

3o
Caso - VARIÁVEL CONTÍNUA
Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da série, subs-
tituiremos nas fórmulas anteriores estes valores pelos pontos médios
de classe.
A fórmula da variância para uma variável cont´ınua representativa de
uma popula¸cão é:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
onde xi é o ponto médio da classe i.
Se a variável cont´ınua representa uma amostra então a variância
denotada por s2(x) e sua fórmula de cálculo é:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1

3o
Exemplo
Calcule a variância e o desvio padrão para a série representativa de
uma Popula¸cão:
Classe Int. cl. fi
1 0 4 1
2 4 8 3
3 8 12 5
4 12 16 1
O número de elementos da série é n = fi = 10.
A média da série é X =
xi fi
fi
onde xi são os pontos médios de
classe.

3o
Classe Int. cl. fi xi fi
1 0 4 1 2
2 4 8 3 18
3 8 12 5 50
4 12 16 1 14
fi = 10 xi fi = 84
A média da série é:
X =
xi fi
fi
=
84
10
= 8, 4
Como a variável cont´ınua é representativa de uma popula¸cão,
então a variância é dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi

3o
Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi
1 0 4 1 2 40,96
2 4 8 3 18 17,28
3 8 12 5 50 12,80
4 12 16 1 14 31,36
= 10 = 84 = 102, 4
A variância é, portanto:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
102, 4
10
= 10, 24
e o desvio padrão é: σ(x) =
√
10, 24 = 3, 2.

3o
Exemplo
Se a variável cont´ınua fosse representativa de uma amostra, a
variância seria indicada por s2(x) e sua fórmula de cálculo seria:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Dessa forma, s2(x) =
102, 4
9
= 11, 38 e o desvio padrão seria
s(x) =
√
11, 38 = 3, 373

Comentários:
1. No cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a di-
feren¸ca (xi − x), a unidade de medida da série fica também
elevada ao quadrado.
Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade
de medida da série.
Se os dados são expressos em metros, a variância é expressa
em metros quadrados.
Em algumas situa¸cões, a unidade de medida da variância nem
faz sentido.
É o caso, por exemplo, em que os dados são expressos em litros.
A variância será expressa em litros quadrados.
Portanto, o valor da variância não pode ser comparado dire-
tamente com os dados da série, ou seja: variância não tem
interpreta¸cão.

2. Exatamente para suprir esta deficiência da variância é que se
define o desvio padrão.
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio
padrão terá sempre a mesma unidade de medida da série e
portanto admite interprcta¸cão.

O desvio padrão é, sem duvida, a mais importante das medidas de
dispersão.
É fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido
do desvio padrão com os dados da série.
Quando uma curva de frequência representativa da série é perfei-
tamente simétrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o
intervalo [x − σ, x + σ] contém aproximadamente 68% dos valores
da série.

O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] contém aproximadamente 95% dos
valores da série.
O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] contém aproximadamente 99% dos
valores da série.

Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpreta¸cão
poderão mais tarde ser comprovados, com maior precisão, no estudo
da distribui¸cão normal de probabilidades.

Para uma compreensão inicial do desvio padrão, estas no¸cões são
suficientes.
Quando a distribui¸cão não é perfeitamente simétrica estes percen-
tuais apresentam pequenas varia¸cões para mais ou para menos, se-
gundo o caso.
De modo que, quando se afirma que uma série apresenta média
x = 100 e desvio padrão σ(x) = 5, podemos interpretar estes valores
da seguinte forma:
1. Os valores da série estão concentrados em torno de 100.

2. O intervalo [95, 105] contém aproximadamente, 68% dos valo-
res da série.
O intervalo [90, 110] contém aproximadamente 95% dos valores
da série.
O intervalo [85, 115] contém aproximadamente 99% dos valores
da série.
É importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama-
nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido
no intervalo.
Adiante verificaremos que é poss´ıvel controlar o tamanho do
intervalo de modo que contenha exatamente o percentual que
queremos.

3. As medidas de dispersão vistas até agora são medidas absolutas
e portanto avaliam a dispersão absoluta da série. Todas elas
são diretamente proporcionais a dispersão absoluta.
Assim, se a série X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a série Y
apresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparando
os desvios padrão, que a série X apresenta maior dispersão
absoluta.
4. Para justificar que o denominador da variância amostral deve
ser n − 1 e não n, usaremos o seguinte argumento:
O modelo matemático que calcula a variância de uma amostra
não pode ser
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
,
pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar
a variância para qualquer tamanho de amostra.

Suponha uma amostra constitu´ıda de um único elemento X1.
O valor médio da amostra também é x1.
Calculando a variância pelo modelo acima, teremos:
σ2
(x) =
(xi − xi )2
1
= 0.
Ser´ıamos induzidos a afirmar que a dispersão da popula¸cão de onde
provém a amostra é zero, isto é, a popula¸cão é constitu´ıda em sua to-
talidade por elementos idênticos. O que é, em geral, uma afirma¸cão
falsa.
Para corrigir o modelo matemático, basta colocar no denominador
n − 1. O modelo é escrito então:
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1

Observe que agora o modelo é coerente. Mesmo quando a amostra
tiver apenas um elemento x1, o cálculo de s2(x) leva-nos a uma
indetermina¸cão do tipo
0
0
. O que significa que a variância existe,
mas não está determinada.
Significa também que amostras de apenas um elemento não nos
fornece informa¸cões sobre a variância da série.

Se uma série X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma série Y apresenta
y = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispersão absoluta, a
série Y apresenta maior dispersão que a série X.
No entanto, se levarmos em considera¸cão as médias das séries, o
desvio padrão de Y que é 5 em rela¸cão a 100 é um valor menos
significativo que o desvio padrão de X que é 2 em rela¸cão a 10.
Isto nos leva a definir as medidas de dispersão relativas: coeficiente
de varia¸cão e variância relativa.
O coeficiente de varia¸cão de uma série X é indicado por CV(x) de-
finido por:
CV(x) =
σ(x)
x

A variância relativa de uma série X é indicada por V (x) e definida
por:
V (x) =
σ2(x)
(x)2
Note que o coeficiente de varia¸cão, como é uma divisão de elementos
de mesma unidade, é um número puro. Portanto, pode ser expresso
em percentual.
Este fato justifica a utiliza¸cão do denominador (x)2 na defini¸cão de
V (x).
Deste modo, se calcularmos o coeficiente de varia¸cão da série X
citada no in´ıcio obteremos:

CV(x) =
2
10
= 0, 2 ou 20%
Calculando o coeficiente de varia¸cão da série Y obteremos:
CV(y) =
5
100
= 0, 05 ou 5%
Comparando os valores destes dois coeficientes conclu´ımos que a
série X admite maior dispersão relativa.
Como a medida de dispersão relativa leva em considera¸cão a me-
dida de dispersão absoluta e a média da série, é uma medida mais
completa que a medida de dispersão absoluta.

Portanto, a medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida
de dispersão absoluta. Podemos afirmar que a série que tem a maior
disperssão relativa, tem de modo geral a maior dispersão.
Concluindo o exemplo anterior:
A série Y apresenta maior dispersão absoluta.
A série X apresenta maior dispersão relativa.
Portanto, a série X apresenta maior dispersão.

MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e
Aplicada, 4 ed. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2011
SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;
GONÇALVES, Valter; MUROLO, Afrânio Carlos,
ESTATÍSTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸cão e
Ciências Contabeis 3 ed. São Paulo: Editora Atlas S.A., 1999

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