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SEMELHANÇA
    DE
TRIÂNGULOS
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apresentam a mesma forma, independente do
tamanho.
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1º) os ângulos correspondentes congruentes:
2º) os lados homólogos são proporcionais.




                a    b    c
                a'   b'   c'
Exemplo:




   3   2   5
   9   6   15
Ângulos correspondentes
                                congruentes
              Definição
                          Lados homólogos
                            proporcionias




 Triângulos
semelhantes
Tente fazer sozinho
1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são
  semelhantes..
Tente fazer sozinho
1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são
  semelhantes.
Solução


      São semelhantes



     Não são semelhantes,
        pois os ângulos
     correspondentes não
       são congruentes
Tente fazer sozinho
2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,
calcule os valores de x e y.
Tente fazer sozinho
2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,
calcule os valores de x e y.
Solução




                12   18
12    x         9     y
9     18             27
                y
x    24              2
Razão de semelhança
  Razão de semelhança é a razão entre os
lados homólogos.
Exemplo:


                               Razão de
                              semelhança

     3     2       5   1
     9     6   15      3
A razão de semelhança entre dois triângulos
é a mesma para:

   Os lados correspondentes
   Os perímetros
   As alturas
   As medianas
   As bissetrizes
Exemplo:




3    2    5         1        PA   10   1
9    6    15        3
                             PB   30   3
PA   10        PB       30
Ângulos correspondentes
                                     congruentes
              Definição
                               Lados homólogos
                                 proporcionias


                                Apresentam razão
              característica
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 Triângulos
semelhantes
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4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo
  que seu perímetro é igual a 130.
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Solução
 PABC   94     PNMP   130
  94    48
               MP     60
 130    MP
  94    20
               PN     25
 130    PN
  94      36
                MN    45
 130    MN
Teorema Fundamental da
                  semelhança
  Toda paralela a um lado de um triângulo e
que cruza os outros lados em dois pontos,
determina um triângulo semelhante ao primeiro.




         OC1C ~ OB1B ~ OA1 A
Exemplo:
Determine os valores de x e y:

                                 8         12
                                 20    12       x
                                 x    18

                                 8          y
                                 20    y        21
                                 y    14
Tente fazer sozinho
5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas
  dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são
  segmentos paralelos.
Tente fazer sozinho
5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas
  dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são
  segmentos paralelos.
Solução

             AB     12

    Dados    DE     9

             EB     4



                    CE   ?
    O que se pede
                    CB   ?
Solução
CD     CE         DE
CA     CB         AB
 CE          9
CE     4     12
12CE       9CE     36
12CE       9CE     36   CB   CE   4

3CE     36              CB   12   4
CE     12               CB   16
Tente fazer sozinho
6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB,
  a razão FG/DE vale:

 a) 3
 b) 4
 c) 5
 d) 5/2
 e) 7/2
Tente fazer sozinho
6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB,
  a razão FG/DE vale:

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Solução

      FG       4x
      DE        x
      FG
               4
      DE

          Letra b
Propriedade
  Se a paralela a um lado de triângulo intercepta
um dos lados no seu ponto médio, então ela
também intercepta o outro lado no ponto médio.

Exemplo:


M é o ponto médio de AB,
então N é o ponto médio de
AC.
Ângulos correspondentes
                                     congruentes
              Definição
                               Lados homólogos
                                 proporcionias


                                Apresentam razão
              característica
                                 de semelhança

 Triângulos
semelhantes                     Paralela a um lado que cruza
                Teorema
                                 os outros lados determina
              Fundamental
                                dois triângulos semelhantes
Casos de semelhança
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 Dois lados homólogos proporcionais e os
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congruentes.
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 Dois ângulos correspondentes congruentes.
Ângulos correspondentes
                                     congruentes
              Definição
                               Lados homólogos
                                 proporcionias


                                Apresentam razão
              característica
                                 de semelhança

 Triângulos
semelhantes                     Paralela a um lado que cruza
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               Casos de
                                 LAL
              semelhança
                                 AA
Tente fazer sozinho
7) Se, num triângulo ABC, temos Bˆ 40o ,
AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE,
ocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm.
        ˆ
Qual o caso de congruência entre os triângulos
ABC e FDE?
Tente fazer sozinho
                                ˆ
7) Se, num triângulo ABC, temos B   40 ,
                                      o


AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE,
ocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm.
        ˆ
Qual o caso de semelhança entre os triângulos
ABC e FDE?
Solução

                                   ˆ
                                   B
                                        o
                                       40
                                   ˆ
                                   D   40
                                            o

                      4
2                                  AB = 4cm
                6          Dados
                                   DF = 2cm
    3                              BC = 6cm

                                   DE = 3cm




    O que se pede: caso de congruência
Solução


                        4
                                B       D
2
                 6
                               4    6
                                            2
    3                          2    3



    Logo, o caso de semelhança é LAL.
Tente fazer sozinho
7) (Unesp 2004) Um observador situado num
ponto O, localizado na margem de um rio,
precisa determinar sua distância até um ponto
P, localizado na outra margem, sem atravessar
o rio. Para isso marca, com estacas, outros
pontos do lado da margem em que se
Encontra,de tal forma que P, O e B estão
alinhados entre si e P, A e C também.
Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,
BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.




A distância, em metros, do observador em O
até o ponto P, é:
       a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
Tente fazer sozinho
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A distância, em metros, do observador em O
até o ponto P, é:
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Solução

      25          x
      40     30       x
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      x     50    LetraE
Bibliografia
   IEZZI, Gelson et al. Matemática:Ciência e
    Aplicações. 4ed. SP:Atual Editora, 2006.

 Klick Educação, site:
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20
  /display/0,5912,POR-20-92-963-,00.html

   Bianchini, Edwaldo: Matemática, Editora
    Moderna, 6ª edição, 2006.

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  • 1. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
  • 2. Figuras semelhantes Figuras semelhantes são aquelas que apresentam a mesma forma, independente do tamanho. Exemplos:
  • 3. Polígonos semelhantes Polígonos semelhantes são aquelas que apresentam ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais. Exemplos:
  • 4. Triângulos semelhantes Dois triângulos são semelhantes se atenderem a duas condições: 1º) os ângulos correspondentes congruentes:
  • 5. 2º) os lados homólogos são proporcionais. a b c a' b' c'
  • 6. Exemplo: 3 2 5 9 6 15
  • 7. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Triângulos semelhantes
  • 8. Tente fazer sozinho 1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são semelhantes..
  • 9. Tente fazer sozinho 1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são semelhantes.
  • 10. Solução São semelhantes Não são semelhantes, pois os ângulos correspondentes não são congruentes
  • 11. Tente fazer sozinho 2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes, calcule os valores de x e y.
  • 12. Tente fazer sozinho 2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes, calcule os valores de x e y.
  • 13. Solução 12 18 12 x 9 y 9 18 27 y x 24 2
  • 14. Razão de semelhança Razão de semelhança é a razão entre os lados homólogos. Exemplo: Razão de semelhança 3 2 5 1 9 6 15 3
  • 15. A razão de semelhança entre dois triângulos é a mesma para:  Os lados correspondentes  Os perímetros  As alturas  As medianas  As bissetrizes
  • 16. Exemplo: 3 2 5 1 PA 10 1 9 6 15 3 PB 30 3 PA 10 PB 30
  • 17. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Apresentam razão característica de semelhança Triângulos semelhantes
  • 18. Tente fazer sozinho 4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo que seu perímetro é igual a 130.
  • 19. Tente fazer sozinho 4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo que seu perímetro é igual a 130.
  • 20. Solução PABC 94 PNMP 130 94 48 MP 60 130 MP 94 20 PN 25 130 PN 94 36 MN 45 130 MN
  • 21. Teorema Fundamental da semelhança Toda paralela a um lado de um triângulo e que cruza os outros lados em dois pontos, determina um triângulo semelhante ao primeiro. OC1C ~ OB1B ~ OA1 A
  • 22. Exemplo: Determine os valores de x e y: 8 12 20 12 x x 18 8 y 20 y 21 y 14
  • 23. Tente fazer sozinho 5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são segmentos paralelos.
  • 24. Tente fazer sozinho 5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são segmentos paralelos.
  • 25. Solução AB 12 Dados DE 9 EB 4 CE ? O que se pede CB ?
  • 26. Solução CD CE DE CA CB AB CE 9 CE 4 12 12CE 9CE 36 12CE 9CE 36 CB CE 4 3CE 36 CB 12 4 CE 12 CB 16
  • 27. Tente fazer sozinho 6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB, a razão FG/DE vale: a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/2 e) 7/2
  • 28. Tente fazer sozinho 6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB, a razão FG/DE vale: a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/2 e) 7/2
  • 29. Solução FG 4x DE x FG 4 DE Letra b
  • 30. Propriedade Se a paralela a um lado de triângulo intercepta um dos lados no seu ponto médio, então ela também intercepta o outro lado no ponto médio. Exemplo: M é o ponto médio de AB, então N é o ponto médio de AC.
  • 31. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Apresentam razão característica de semelhança Triângulos semelhantes Paralela a um lado que cruza Teorema os outros lados determina Fundamental dois triângulos semelhantes
  • 32. Casos de semelhança 1º) LLL (Lado, Lado, Lado) Três lados homólogos proporcionais.
  • 33. 2º) LAL (Lado Ângulo Lado) Dois lados homólogos proporcionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes.
  • 34. 3º) AA (Ângulo, Ângulo) Dois ângulos correspondentes congruentes.
  • 35. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Apresentam razão característica de semelhança Triângulos semelhantes Paralela a um lado que cruza Teorema os outros lados determina Fundamental dois triângulos semelhantes LLL Casos de LAL semelhança AA
  • 36. Tente fazer sozinho 7) Se, num triângulo ABC, temos Bˆ 40o , AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE, ocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm. ˆ Qual o caso de congruência entre os triângulos ABC e FDE?
  • 37. Tente fazer sozinho ˆ 7) Se, num triângulo ABC, temos B 40 , o AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE, ocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm. ˆ Qual o caso de semelhança entre os triângulos ABC e FDE?
  • 38. Solução ˆ B o 40 ˆ D 40 o 4 2 AB = 4cm 6 Dados DF = 2cm 3 BC = 6cm DE = 3cm O que se pede: caso de congruência
  • 39. Solução 4 B D 2 6 4 6 2 3 2 3 Logo, o caso de semelhança é LAL.
  • 40. Tente fazer sozinho 7) (Unesp 2004) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se Encontra,de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também.
  • 41. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura. A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
  • 42. Tente fazer sozinho 7) (Unesp 2004) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se Encontra,de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também.
  • 43. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura. A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
  • 44. Solução 25 x 40 30 x 5 25 x 8 40 30 x 8x 150 5x 3x 150 x 50 LetraE
  • 45. Bibliografia  IEZZI, Gelson et al. Matemática:Ciência e Aplicações. 4ed. SP:Atual Editora, 2006.  Klick Educação, site: http://www.klickeducacao.com.br/materia/20 /display/0,5912,POR-20-92-963-,00.html  Bianchini, Edwaldo: Matemática, Editora Moderna, 6ª edição, 2006.