CONJUNTOS NUMÉRICOS               NOTAÇÕES BÁSICASa, b, ...     : Variáveis e parâmetrosA, B, ...     : Conjuntos∈        ...
Propriedades das desigualdades:a) Se a > b, b > c ⇒ a > c                                  Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2b) Sej...
O conjunto dos números naturais – símbolo N – é formado pelos números 0,1,2,...                                           ...
•   Elemento Neutro    Existem    únicos     números         reais,   indicados     por     0   e   1,   tais   que,   par...
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZEROSoma de frações:a b a ±b ± =                (c ≠ 0)c c   ca c ad ± bc ± =        (b ≠ 0, d ≠ 0)...
3) Efetue:a) (-4)(-3)=..........b) (2)(-4)(3) =..............c) (-3)6 =...............4) Complete com verdadeiro ou falso,...
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  1. 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICASa, b, ... : Variáveis e parâmetrosA, B, ... : Conjuntos∈ : Pertence∉ : Não pertence⊂ : Está contido⊄ : Não está contido⊃ : Contém⊃ : Não contém∃ : Existe∃ : Não existe∃| : Existe apenas um / existe um único| : Tal que∀ : Todo, qualquer⇒ : Implica (se então)⇔ : Equivale (se e somente se)∪ : União de conjuntos∩ : Intersecção de conjuntos∅ : Conjunto vazio∨ : ou∧ :e~ : Negação> : Maior que< : Menor que≥ : Maior ou igual a≤ : Menor ou igual a
  2. 2. Propriedades das desigualdades:a) Se a > b, b > c ⇒ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2b) Seja a > b : • Se c >0 ⇒ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2 • Se c < 0 ⇒ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ Rd) a > b , c > d ⇒ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. dValor AbsolutoO valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem,independentemente do sentido.  a , se a ≥ 0a = − a , se a < 0Propriedades do Valor Absoluto• a ≥0 e a =0 ⇔ a =0 2• a2 = a• a2 = a• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b•  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b ou• | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b• Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b | a a• Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒ = b b• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b | (Desigualdade Triangular)• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b | O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAISIntrodução Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.
  3. 3. O conjunto dos números naturais – símbolo N – é formado pelos números 0,1,2,... N = { 0,1,2,3,...}. O conjunto dos números inteiros – símbolo Z – é formado pelos números naturaisacrescido dos números - 1,-2,-3,... . Z = { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} O conjunto dos números racionais – símbolo Q – é formado pelos números na forma a/b,onde a e b são inteiros com b ≠ 0. 1 1 Q = { .....,-3,-2,-1, − ,0, ,1,2,3,....} 2 2 Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples: a  Q =  | a ∈ Z e b ∈ Z * b  O conjunto dos números irracionais – símbolo I – é formado pelos números cujarepresentação decimal infinita não é periódica. Ex: 2 = 1,4142136... 3 = 1,7320508...π = 3,1415926... O conjunto dos números reais – símbolo R – é formado pelos números racionais epelos números irracionais. R = Q U I , sendo Q I I = ∅Regras BásicasEm R estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação, que a cada par ordenado(a,b) de números reais associa um único número real, a+b e a . b respectivamenteNa reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que qualquer número xcolocado à sua direita e maior que qualquer x à sua esquerda.As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:• Propriedade comutativa Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se: a +b=b+a a. b=b. a• Propriedade associativa Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se (a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)
  4. 4. • Elemento Neutro Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a, tem-se: a+0=a a.1=a• Elemento oposto e elemento inverso Existem únicos números reais, indicados 1 a ( chamado oposto) e ( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que a 1 a + (-a) = 0 a. =1 a• Propriedade distributiva Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se a (b + c ) = ab + ac (b + c) a = ba + caPartindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:Cancelamento se a + b = a + c então b = c se ab = ac e a ?0 então b = cAnulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a R para quaisquer a e b de R, se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.Regras de sinal para quaisquer a e b de R -( -a) = a (-a)b = - (ab) = a(-b) (-a)(-b) = abSubtraçãoA diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e breais.A regra dos sinais nos diz:– ( a + b) = – a – bDivisão b O quociente de b por a, onde a ≠ 0, indicado por , onde b é o numerador e a o adenominador. Também é chamado fração b / a .
  5. 5. É PROIBIDO DIVIDIR POR ZEROSoma de frações:a b a ±b ± = (c ≠ 0)c c ca c ad ± bc ± = (b ≠ 0, d ≠ 0)b d bdProduto de frações:a c ac ⋅ = (b ≠ 0, d ≠ 0)b d bdQuociente de frações:ab = a ⋅ d (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0)c b cdBibliografia:1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São Paulo, 2002.2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000. EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS1) Quais das proposições são verdadeiras?a) 3 R e) 4 ∈Rb) N ⊂ R f) 3 Rc) Z ⊂ R 1d) ∈R 22) Complete, usando as propriedades especificadas:a) 32 . 45 = (comutativa)b) 5(2 +3 ) = (distributiva)c) 7 + 0 = (elemento neutro) 1d) 3 . = (elemento inverso) 3
  6. 6. 3) Efetue:a) (-4)(-3)=..........b) (2)(-4)(3) =..............c) (-3)6 =...............4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:( ) – (– a + 3) = a + 3( ) – (1 – a) = –1 + a( ) –2 – a = – (2 + a)5) Efetue: 1 7 8 4 −2a) + = e) ⋅ = 3 3 5 3 h) 3 = 2 2 3  1  6b) − = f) −  ⋅ −  = 7 5 7  3  8 a a 2 1 12 i) − , com bcd ?c) -2 + = bc cd 3 4 g) 10 = 0 2 3 1 3d) − + = 8 3 4 5 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOSINTRODUÇÃO:1)a) V b) V c) V d) V e) V f) VPROPRIEDADES2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1EFETUE3) a) 12 b) – 24 c) – 18REGRA DE SINAL4) a) F b) V c) VEFETUE 8 40 − 45 + 12 52 − 45 7 12 3 12 8 165) a) d) = = g) ÷ = . = 3 60 60 60 10 8 10 3 5 14 − 15 1 32 2 2 2 7 7b) =− e) h) − ÷ =− . =− 35 35 15 3 7 3 2 3 8 1 −32 + 3 29 1 ad − ab a (d − b )c) − + = =− f) i) = 3 4 12 12 4 bcd bcd

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