O documento determina o ponto C(x,4) para que o triângulo ABC seja retângulo em B. Ele aplica o Teorema de Pitágoras e encontra que x = -3.

1. 1
Determinar x de modo que o triângulo ABC seja
retângulo em B. São dados: A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4)
Se o triângulo é retângulo em B, tiramos as seguintes
conclusões:
A hipotenusa é o lado AC
Cateto BA
Cateto BC
A(4,5) ; B(1,1), C(x,4).
DAC = √(4 − 𝑥)2 + (5 − 4)²
DAC = √16 − 8𝑥 + 𝑥2 + 1
DAC = √ 𝑥² − 8𝑥 + 17
DAB = √(4 − 1)2 + (5 − 1)²
DAB = √3² + 4²
DAB = √9 + 16
DAB = √25
DAB = 5
DBC = √(1 − 𝑥)2 + (1 − 4)²
DBC = √1 − 2𝑥 + 𝑥2 + 9
DBC = √ 𝑥² − 2𝑥 + 10
Pelo TEOREMA DE PITÁGORAS:
AC² = BA²+BC²
(√ 𝑥² − 8𝑥 + 17)² = 5²+ (√ 𝑥² − 2𝑥 + 10)²
x² - 8x + 17 = 25 + x² - 2x + 10
x² - x² - 8x + 2x + 17 – 25 – 10 = 0
- 6x = 35 – 17
- 6x = 18 x( - 1 )
6x = - 18
x = - 18/6
x = - 3 .
2
Se P(x, y) equidista de A(-3, 7) e B(4,3), qual é a
relação existente entre x e y ?
Para que o ponto P equidiste de A e B, obrigatoriamente:
DPA = DPB, logo:
√( 𝑥 + 3)2 + ( 𝑦 − 7 )²) = (√( 𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)²
(√𝑥² + 6𝑥 + 9 + 𝑦² − 14𝑦 + 49)²=(√𝑥² − 8𝑥 + 16 + 𝑦2
− 6𝑦 + 9 )²
x² + 6x + 9 + y² - 14y + 49 = x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9
x² + 6x + 9 + y² - 14y + 49 – x² + 8x – 16 – y² + 6y – 9 = 0
x² - x² + y² - y² + 6x + 8x – 14y + 6y + 9 + 49 – 16 – 9 = 0
14x – 8y – 33 = 0
14x = 8y + 33
x = 8y + 33 .
14
3
Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das
abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos
A(1, 3) e B(-3, 5).
Se o ponto P é equidistante dos pontos A e B, então a
distância do P ao A é a mesma para o B. Como p ponto P
pertence ao eixo das abscissas, ele é o ponto P(x,0).
Dados:
P(x,0) A(1,3) B(-3,5)
DPA = DPB
√( 𝑥 − 1)2
+ (0 − 3)² = √( 𝑥 + 3)2
+ (0 − 5)²
√ 𝑥² − 2𝑥 + 1 + 9 = √ 𝑥² + 6𝑥 + 9 + 25
(√ 𝑥² − 2𝑥 + 10)²=( √ 𝑥² + 6𝑥 + 34)²
x²-2x+10 = x²+6x+34
x²-x²-2x-6x+10-34 = 0
-8x– 24 = 0
-8x= 24 x( - 1 )
8x = -24
x = -24/8
x = - 3 .
4
Dados os pontos B(2,3) e C(-4, 1), determinar o
vértice A do triângulo ABC, sabendo que é o ponto
do eixo y do qual se vê BC sob ângulo reto.
Como temos um ângulo reto, faremos pelo teorema de
Pitágoras:
B=(2,3)
C=(-4,1)
A=(0,y), já que vê-se BC sob um ângulo reto.
DAC=√(−4 − 0)2 + (1 − 𝑦)²
DAC=√16 + 1 − 2𝑦 + 𝑦²
DAC=√𝑦² − 2𝑦 + 17

2. DBC=√(−4 − 2)2 + (1 − 3)²
DBC=√(−6)2 + (−2)²
DBC=√36 + 4
DBC=√40
DAB=√(0 − 2)2 + (𝑦 − 3)²
DAB=√4 + 𝑦² − 6𝑦 + 9
DAB=√𝑦² − 6𝑦 + 13
A hipotenusa é: DBC=√40, logo, pelo teorema de
Pitágoras:
BC² = AC²+AB²
(√40)² = (√𝑦² − 2𝑦 + 17)² + (√𝑦² − 6𝑦 + 13)²
40 = y²-2y+17+y²-6y+13
y²-2y+17+y²-6y+13 – 40 = 0
2y²-8y-10 = 0 ( : 2)
Y²-4y-5 = 0
= b² - 4ac
= (-4)²-4.1.(-5)
= 16+20
= 36
Y = - b ± √
2.a
Y = 4 ± √36
2
Y = 4 ± 6
2
Y’ = 10/2 = 5
Y’’ = - 2/2 = - 1. Logo: y = -1 ou y = 5.
5
Mostrar que A(a,2a–1), B(a+1,2a+1) e C(a+2,2a+3)
Serão colineares se o determinante for igual a zero.
a(2a+1)+(2a-1)(a+2)+(a+1)(2a+3)-
- [(a+2)(2a+1)+a(2a+3)+(a+1)(2a-1)] = 0
2a²+a+2a²+4a-a-2+2a²+3a+2a+3-[2a²+a+4a+2+2a²+
+3a+2a²-a+2a-1] = 0
2a²+a+2a²+4a-a-2+2a²+3a+2a+3-2a²-a-4a-2-2a²-
-3a-2a²+a-2a+1 = 0
-2+3-2+1 = 0
-2-2+3+1 = 0
-4+4 = 0,  0 = 0 logo
Realmente os pontos são colineares.
6
Dados A(-5,-5), B(1,5), C(19,0) e
( r )5x-3y=0, verificar se r passa pelo baricentro do
triângulo ABC.
G = (xa+xb+xc , ya+yb+yc)
3 3
G = (-5+19+1 , - 5+0+5)
3 3
G = ( 5, 0 )
Vamos testar na equação da reta (r)=5x-3y = 0 para
verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC.
G(5,0)
5x-3y = 0
5.5 – 3.0 = 0
25 – 0 = 0
25 ≠ 0, logo, a reta r não passa pelo baricentro.
7
(MAPOFEI-74) Determinar a interseção das retas x
+ 2y = 3 e 2x + 3y = 5.
x + 2y = 3 x(-2)
2x + 3y = 5
= 0

3. -2x -4y = -6
2x + 3y = 5
-y = -1 x(-1)
y = 1
X = ?
x + 2y = 3
x + 2.1 = 3
x + 2 = 3
x = 3 – 2
x = 1
Logo, o ponto de interseção é (1,1)
8
Determinar a equação da reta comum aos feixes:
(1) ( x + y + 1) + m . ( x – y – 3 ) = 0
(2) ( 2x + 3y – 5 ) + p . ( 4x + y – 5 ) = 0
Primeira reta:
Para m = 1
x + y + 1 + 1 . (x – y – 3) = 0
x + y + 1 + x – y – 3 = 0
2x – 2 = 0 (I)
Para m = 2
x + y + 1 + 2 . ( x – y – 3 ) = 0
x + y + 1 + 2x – 2y – 6 = 0
3x – y – 5 = 0 (II)
Sistema entre (I) e (II) para determinar suas
coordenadas:
2x – 2 = 0
3x – y – 5 = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Y = ?
3x – y – 5 = 0  3 . 1 – y – 5 = 0
3 – y – 5 = 0  -y = 5 – 3
-y = 2 x(-1)  Y = -2
Par ordenado da primeira reta: (1, -2)
Segunda reta:
Para p = 3
2x + 3y – 5 + 3 . (4x + y – 5 ) = 0
2x + 3y – 5 + 12x + 3y – 15 = 0
14x + 6y – 20 = 0 ( III )
Para p = 2
2x + 3y – 5 + 2 . (4x + y – 5 ) = 0
2x + 3y – 5 + 8x + 2y – 10 = 0
10x + 5y – 15 = 0 ( IV )
Sistema entre ( III ) e ( IV ) para determinar suas
coordenadas:
14x + 6y = 20 x(-5)
10x + 5y = 15 x(6)
-70x – 30y = - 100
60x + 30y = 90
-10x = -10 x( - 1 )
10x = 10
X = 10/10
X = 1
Par ordenado da segunda reta: (1, 1)
Usando os pares ordenados através do determinante,
iremos encontrar a equação da reta comum às duas
retas.
-2x + y + 1 – ( -2 + y + x) = 0
-2x + y + 1 + 2 – y – x = 0
-2x –x +y – y + 1 + 2 = 0
-3x + 3 = 0 resposta

4. 9
São dados os feixes de retas concorrentes:
(I) x + y + 1 + k . (x – y + 1) = 0
(II) 2x + 2y + 6 + l . ( 2x – 2y + 1) = 0
Obter a equação da reta comum aos dois feixes.
Daremos dois valores para k em cada reta, daí, a partir
de um sistema de duas equações, descobriremos o par
ordenado (x,y). Daí, encontramos a equação da reta:
(I) x + y + 1 + k(x – y + 1) = 0
(II) 2x + 2y + 6 + l(2x – 2y + 1) = 0
Para K = 1 na reta (1)
x + y + 1 + 1 . (x – y + 1) = 0
x + y + 1 + x – y + 1 = 0
2x + 2 = 0
Para k = 2 na reta (1)
x + y + 1 + 2.(x – y + 1) = 0
x + y + 1+ 2x – 2y + 2 = 0
3x – y + 3 = 0
Sistema:
2x + 2 = 0
3x – y + 3 = 0
2x + 2 = 0
2x = -2
x = -1 .
y = ?
3x – y + 3 = 0
3 . (-1) – y + 3 = 0
-3 –y + 3 = 0
-y = -3+3
-y = 0
Y = 0 .
Primeiro par ordenado: (-1, 0).
Para k = 1 na reta (2):
2x + 2y + 6 + 1 . (2x – 2y + 1 ) = 0
2x + 2y + 6 + 2x – 2y + 1 = 0
4x + 7 = 0
Para k=2 na reta (2):
2x + 2y + 6 + 2.(2x – 2y + 1) = 0
2x + 2y + 6 + 4x – 4y + 2) = 0
2x + 4x + 2y – 4y + 6 + 2 = 0
6x – 2y + 8 = 0
Sistema para a reta 2
4x + 7 = 0
6x – 2y + 8 = 0
4x = - 7
X = - 7/4.
Valor de y = ???
6x – 2y + 8 = 0
6 . (- 7 / 4) – 2y + 8 = 0
- 42/4 – 2y + 8 = 0
mmc:
-42 – 8y + 32 = 0
4 4
-42 – 8y + 32 = 0
- 8y = -32+42
- 8y = 10 x(-1)
8y = - 10
Y = - 10/8 (:2)
Y = - 5/4.  Par: (-7/4 ,-5/4)
Equação comum das retas:Determinante:
5 – 7y – ( - y – 5x) = 0
4 4 4
5 – 7y + y + 5x = 0
4 4 4
5 – 7y + 4y + 5x = 0
4 4
5x – 3y + 5 = 0 resposta:

5. 10
Demonstrar que as retas de equações
(2m + 1)x + (1 – 3m)y – 1 = 0 onde m é uma variável
real, passam por um mesmo ponto.
(2m + 1)x + ( 1 – 3m)y – 1 = 0
2mx + x + y – 3my – 1 = 0
m(2x – 3y) + x + y – 1 = 0
fazer o Sistema:
2x – 3y = 0
x + 1 – 1 = 0
2x – 3y = 0
x + y = 1 x(-2)
2x – 3y = 0
-2x -2y = -2
- 5y = - 2
Y = 2 / 5 .
Valor de x ?
2x – 3y = 0
2x – 3 . 2/5 = 0
2x – 6/5 = 0
Mmc:
10x – 6 = 0
5 5
10x = 6
X = 6/10 (:2)
X = 3 / 5 .
O par (3/5 , 2/5) . Logo, a interseção dessas retas é esse
ponto.