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Matemática
Fabiano Bernardes
Geometria Analítica
y
A
B 1
2
A (2 , 2)
B (- 2 , 1)
C (- 1, - 3)
D (3 , - 2)
x
C
D
2 3
-1
-2
-2
-3
D (3 , - 2)
Ponto Médio
y
A
B 1
2
A (2 , 2)
B (- 2 , 1)
x2-2
2
A B
M
X X
X


2
A B
M
Y Y
Y


2 2
0
2
MX

 
2 1 3
2 2
MY

 
Ex.: O ponto médio entre A (2 ,5) e B (x , y) tem
coordenadas iguais a (4 , 2). O valor de 2x + 5y é igual a
(A) 3.
(B) 5.
(C) 7.
(D) 9.
(E) 11.
2
2
4
2
A B
M
B
X X
X
X




2
5
2
2
A B
M
B
Y Y
Y
Y




(E) 11.
2
8 2
6
B
B
X
X
 

2
4 5
1
B
B
Y
Y
 
 
   
2 5
2 6 5 1
12 5 7
x y
 
 
Distância entre 2 Pontos
y
A
B
1
2
d(AB)
x2-2
1
     
     
2 2
2 2
a b a bd AB x x y y
d AB x y
   
   
Ex.: A distância entre os pontos A(3 , 1) e B(- 1 , y)
é 5. Um possível valor de y é
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 9
(E) 10
     
2 2
a b a bd AB x x y y   
    
2 2
5 3 1 1 y    
   
2 2
5 3 1 1 y   
 
2
25 16 1 y  
 
2
9 1 y 
9 1 y  
(E) 10    5 3 1 1 y   
   
2 22
5 3 1 1 y   
 
22
25 4 1 y  
9 1 y  
' 4y 
" 2y  
Alinhamento de 3 Pontos
A(2 , 3)
B(3 , 5)
C(0 , - 1)
0
0 1
2 3
3 5
0 1


2
10
- 3
0 1
7
- 9
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Como 7 – 7 = 0 concluímos que os pontos estão alinhados
Considere os pontos: A(2 , 3), B (5 , - 1) e C (1 , 3)
A(2 , 3)
B(5 , - 1)
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- 2- 15
2 3
5 1
1 3
2 3

15
3
16
1
- 6
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Como – 20 + 16 = - 4 concluímos que os pontos formam
um triângulo
2 3
A área do triângulo anterior vai ser calculada
por:
det
2
A 
2
Assim:
4
2
2
A

 
Equações da Reta
Pelos pontos A (1 , 5) e B (3 , 2) passa uma
reta cujas equações são:
1 5
x y
5x
2
3y
5x + 3y + 2
- y
- 15
- 2x
– 2x – y – 15
1 5
3 2
x y
5x + 3y + 2 – 2x – y – 15 = 0
Somando as duas expressões obtidas, e
igualando a zero encontramos:
5x – 2x + 3y – y + 2 – 15 = 0
3x + 2y – 13 = 0 Equação Geral da Reta3x + 2y – 13 = 0
2y = – 3x + 13
y = – 3x + 13
2
Equação Reduzida da Reta
UFRGS: Considere a figura abaixo (Dado: )
x
y
30º
0
3
tan30º
3

1 x0
r
Uma equação cartesiana da reta r é
3
3
y x 
 
3
1
3
y x 
1 3y x 
 3 1y x 
 3 1y x 
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
x
y
30º
0
r
1
tan30º tan150º tan30º
CO
CA
   
3
3 1
CO

3
3
CO 
3
3
y mx n  3 3
3 3
y x    
3
1
3
y x  
 
3
1
3
y x 
E se o questionamento anterior fosse a equação
geral da reta?
 
3
1
3
y x 
3 3
3 3
y x 
3 3
0
3 3
y x  
3 3 3 0y x  
3 3 3 0x y  
3 3 3 0y x  
Distância Ponto-Reta
y
r
  0 0
2 2
,
Ax By C
d P r
A B
 


x0
A B
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0.
Estabeleça a distância entre A e r utilizando a
expressão dada anteriormente.
  0 0
2 2
,
Ax By C
d P r
A B
 


 
   
2 2
4 3 6 6 2
,
4 6
d P r
    


 
12 36 2
,d P r
 


 
22
,
52
d P r

  
22
,
52
d P r  ,
16 36
d P r 

 ,
52
d P r   ,
52
d P r 
 
22 52
,
52 52
d P r  
 
11 13
,
13
d P r 
 
22 52
,
52
d P r   
11 4 13
,
26
d P r


Geometria Plana
Triângulos
Isósceles Retângulo Equilátero
y xy
xx x xx
Área dos Triângulos
2
b h
A


a b
A sen

 
2
a b
A sen

 
2
3
4
a
A 
Triângulo Equilátero
h
l
h
l
3
tan 60
3
3
3
h
l


l /2 l /2
60 3
3
h l
2
3
4
l
A 
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são chamados de semelhantes se possuírem os
mesmos valores numéricos de ângulos
y
A
x
y
B
C
D
E
AB BC AC
BD BE DE
 
Quadrado
2
2
A a
d a


2
2
d
A 
Losango
d
D
d D
A


2
A 
Trapézio
b
h
2
B b
A h
 
  
 
B
2 
Hexágono Regular
2
3
6
4
a
A  
4
Círculo e Circunferência
R2
2
2
D R
A R
C R


 
 
  2C R  
Triângulo inscrito em semicírculo
B
C
A
B
Triângulo Equilátero Inscrito em uma
circunferência
3
3 6
h a
apótema ap  
apótema
 
2 3
3 3
a
raio R h R  
Triângulo Equilátero circunscrito em uma
circunferência
3
raio apótema
a

3
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a
R 
Geometria Espacial
Área Lateral de “Prismas”
lA Perímetro da Base Altura do sólido 
Área Total de “Prismas”
2tA Área Lateral Área da Base  
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