Apostila mat2

Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia
ibular

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Como:
DISCIPLINA: MATEMÁTICA II
PROFESSORA: JULIANA [d(P, R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2

Eixos Coordenados e
Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, [d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 - y2)2
sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal
será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical
então
será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares
ordenados de pontos do plano são indicados na forma
P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do
ponto P.
Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é:

√(2-5)2 +(3-12)2 = √90 (raiz quadrada de 90)
90

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é
dada por:
Na verdade, x representa a distância entre as duas retas
verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas
retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de
Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de
Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro Ponto médio de um segmento
regiões denominadas quadrantes.
Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e
Distância entre dois pontos do plano cartesiano Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que
se
está localizado entre P e Q.
Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2.

Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética,
Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.
coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o
Teorema de Pitágoras. xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2

Observação: O centro de gravidade(ou Baricentro) de um
triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são
rdenadas
A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), é:

G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )
O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR,
o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro Retas no plano cartesiano
cateto, logo:
Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e
2 2
[d(P,Q)] = [d(P,R)] + [d(Q,R)] 2 P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que
passa por esses pontos. Para a determinação da equação de
uma reta existe a necessidade de duas informações e dois

Matemática II 1

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conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de
coeficiente linear da reta. uma reta, então poderemos obter a equação da reta através
de sua equação reduzida dada por:
Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos
P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1 x2, o coeficiente angular y=kx+w
k da reta que passa por estes pontos é o número real
Exemplos

1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x
4, y=5x-4.
2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x.
3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.
Significado geométrico do coeficiente angular: O
coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do
ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.
1. a) Reta que passa por um ponto e tem coeficiente
angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo)
e tem coeficiente angular k, é dada por:
te

y - yo = k (x - xo)

Exemplos

1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente
Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro
e angular k=8, então a equação da reta é y=8(x
y=8(x-1)+5.
quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o 2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente
ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, angular k= -1, então a sua equação é dada por: y=-
1,
o sinal do coeficiente angular é negativo. x.

Coeficiente linear de uma reta: é a ordenad (altura) w do
ordenada
ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.
1. b)Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos
Reta
(x1,y1) e (x2,y2) não estão alinhados verticalmente, podemos
obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

Retas paralelas e perpendiculares

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela Retas paralelas: Duas retas no plano são par
paralelas se
não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes
a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde angulares.
a reta cortou o eixo OX.

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e
a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto Exemplos
onde está reta corta o eixo OY.
1. x=3 e x=7 são retas paralelas.
1)Equação reduzida da reta 2. As retas y=34 e y=0 são paralelas.

Matemática II 2

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3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas.
7

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são
perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é
e
vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal
que k'k"=-1. Área de um triângulo no plano cartesiano

Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que
passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área
do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando
para isto determinar a medida da base do triângulo que é a
distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é
a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois
Exemplos pontos.

1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares,
x+12 Como o processo é bastante complicado, apresentamos um
pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1. procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de
2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são
100 memorizar.
perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e k'k"=
1/5 k'k"=-1.
A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto
Equação geral da reta do determinante da matriz indica pela expressão:

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua
equação geral:

ax+by+c=0

Exemplos
Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2),
1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0.
se (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:
2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0.
se
3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.

Distância de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por
ax+by+c=0.
Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no
plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à
mesma reta.

Um processo simples sugere que estes três pontos formem
um triângulo de área nula, assim basta verificar que o
determinante da matriz abaixo deve ser nulo.
A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida
pela fórmula abaixo:

Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é: Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:

Matemática II 3

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x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0

Equação da circunferência com centro em um ponto e
passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da
circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à
circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da
se
distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da
IMPORTANTE: Podemos utilizar as características de circunferência para se obter a sua equação.
três pontos colineares para encontrar a equação da reta
que passa por dois pontos. Sendo os dois pontos A(x0, Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em
y0) e B(x1, y1) e C um ponto genérico(incógnitas da
érico(incógnitas (8,16) tem raio tal que:
equação) C (x,y), a fim de que esses três pontos sejam
colineares devemos ter o determinante formado pelas r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146
5+121
coordenadas de A,B e C nulo.
logo, a sua equação é dada por:
Circunferências no plano
(x-3)2 + (y-5)2 = 146
Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma
circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e
tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) Posições entre ponto e circunferência no plano
deste plano que estão localizados à mesma distância r do cartesiano
centro (a,b).
Dada uma circunferência no plano cartesiano de equação (x
– a)² + (y – b)² = r², podemos dizer que o ponto em relação
à circunferência dada é externo, interno ou tangente.
ência

Ponto externo à circunferência (dPC > r)

A equação reduzida desta circunferência é dada por:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Disco circular é a região que contém a circunferência e
todos os pontos contidos no interior da circunferência.

Exemplo: A equação da circunferência com centro em
(2,3) e raio igual a 8 é:

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 82 (x – a)² + (y – b)² – r² > 0

A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e
raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência Ponto tangente à circunferência (dPC = r)
e é dada por:

x2 + y2 = r2

Equação geral da circunferência: Dada a equação (x
(x-
a)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a
forma geral da circunferência:

x2 + y2 + A x + B y + C = 0

Exemplo: A equação geral da circunferência com centro (x – a)² + (y – b)² – r² = 0
em (2,3) e raio r=8 é:

Matemática II 4

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Para determinarmos a distância entre uma reta e uma
Ponto interno à circunferência (dPC < r) circunferência e, ao mesmo tempo, a posição relativa entre
elas, aplicamos a seguinte expressão:

Reta externa à circunferência

Reta tangente à circunferência

(x – a)² + (y – b)² – r² < 0 Reta secante à circunferência

Posições entre reta e circunferência no plano cartesiano

Reta externa à circunferência Exemplo 1

Dada a circunferência (x – 2)² + (y – 1)² = 25 e reta r: 8x +
6y – 72 = 0, verifique sua posição perante a circunferência
e a distância entre elas.

Temos que a circunferência possui centro (2,1) e raio = 5.
A reta possui coeficientes: a = 8, b = 6 e c = -72.

Reta tangente à circunferência, pois o raio e a distância do
Reta tangente à circunferência centro da circunferência até a reta são iguais.

Determinando os pontos de interseção entre reta e
circunferência

Para determinar os pontos do plano Cartesiano que
pertencem à uma dada reta e também à uma circunferência,
a
basta resolver o sistema formado por suas respectivas
equações. Considerando o exemplo 1, teremos:

(x – 2)² + (y – 1)² = 25 (1ª equação)

r: 8x + 6y – 72 = 0 (2ª equação)
Reta secante à circunferência
Assim, substituindo y = -4/3x + 12, na 1ª equação,
4/3x
obteremos: (x – 2)² + ((-4/3x +12) – 1)² = 25 ou seja, (x –
4/3x
2)² + (-4/3x +11) ² que é uma equação de 2º grau, podendo
4/3x
ser resolvida facilmente utilizando a Fórmula de
utilizando-se
Bháskara.

Lembrando que a quantidade de raízes de uma equação de
2º grau, pode ser descoberta por seu discriminante, teremos
de
uma equação do tipo Ax² + Bx +C = 0 com o discriminante
∆ = B² - 4.A.C, tal que:

Matemática II 5

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Se ∆ > 0, existem duas raízes e a reta é secante à
ízes
circunferência.

Se ∆ = 0, existem apenas uma raiz e a reta é tangente à
circunferência

Se ∆ < 0, não existe raiz real e a reta é externa à
ão
circunferência.

* As raízes encontradas para a equação, são as abscissas
dos pontos de intercessão no plano.

Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subco
subconjunto deste
onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior
plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista
da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado eixo
prático, são as que podem ser representadas por linhas,
menor da elipse.
como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos,
Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem
poderemos escrever:
regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir
om
algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas
que as contém, que são as relações matemáticas.
Observe que x – (-c) = x + c.
Seções cônicas
Quadrando a expressão acima, vem:
o
ELIPSE

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a
distancia entre estes pontos seja igual a 2c  0, denomina- Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima
se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada
, e fazendo a2 – c2 = b2 , a expressão acima depois de
um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a desenvolvida e simplificada, chegará a:
um valor constante 2a , onde a  c. b2.x2 + a2.y2 = a2.b2
Assim é que temos por definição: Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem
PF1 + PF2 = 2 a finalmente:
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2
é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da
elipse.
Como, por definição, a  c, podemos afirm que a
irmar que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro
excentricidade de uma elipse é um número positivo menor na origem (0,0).
que a unidade.
Caso a elipse possua seu eixo maior vertical
Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e
quação
centro na origem (0,0). Existe na elipse ainda uma relação entre seus semi
semi-eixos e
a distância entre o centro e um dos focos (c); sendo assim
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam numa elipse, sempre temos:
F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante
c,0)
com c  a, como vimos acima, podemos es escrever:
a2 = b2 + c2 , onde:
PF1 + PF2 = 2.a
a = semi eixo maior

b = semi eixo menor

c = distância entre o centro e um dos focos.

Exercícios:
Matemática II 6

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1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 +
25y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe qu a que
equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos
dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c =
3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 =
0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60. Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2
é conhecida com distancia focal da hipérbole.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos O quociente c/a é conhecido como excentricidade da
da elipse de equação hipérbole.
9x2 + 25y2 = 225. Como, por definição, a  c, concluímos que a
,c
excentricidade de uma hipérbole é um número positivo
SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem: maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da
hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não
transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b figura acima que é válida a relação:
= 3. c2 = a2 + b2
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4. O ponto (0,0) é o centro da h
hipérbole.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso
3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 horizontal e centro na origem (0,0)
=0.
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante
c,0)
distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse com c  a, como vimos acim podemos escrever:
ima,
será:  PF1 - PF2  = 2 a
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento). Usando a fórmula da distancia entre dois pontos,
poderemos escrever:
4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse
25x2 + 169y2 = 4225.
5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, Observe que x – (-c) = x + c.
que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F( 6 /2, 0).
F(- Quadrando a expressão acima, vem:

HIPÉRBOLE
Com bastante paciência e aplicando as propriedades
Hipérbole de centro na origem (0,0) corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e
simplificada, chegará a:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser
distancia entre estes pontos seja igual a 2c  0, denomina- verificado na figura acima.
se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das
,
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem
distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos
finalmente:
F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a  c.
Assim é que temos por definição:
 PF1 - PF2  = 2 a
Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da
hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso
ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a
equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a
ser:

Matemática II 7

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Uma seqüência numérica pode ser representada
genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é
o segundo termo, ... , ak é o k k-ésimo termo, ... , an é o n-
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS ésimo termo. (Neste caso, k < n).

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... )
25x2 - 16y2 – 400 = 0. podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a São de particular interesse, as seqüências cujos termos
equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível
dividir ambos os membro por 400. Fica então: escrever uma relação matemática entre eles.
screver
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada
termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5. por 3.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c =  A lei de formação ou seja a expressão matemática que
41 relaciona entre si os termos da seqüên
seqüência, é denominada
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a =  41 /4 termo geral.
= 1,60
Resposta: 1,60. Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja
dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não
2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação nulo.
25x2 – 9y2 = 225 . Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o
se
termo an (n - ésimo termo) correspondente.
SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem: Assim por exemplo, para n = 20, teremos
r
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa
seqüência (a20) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: seqüência S que seria:
a=3 e b=5. S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c =  34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil
ma
igual a 2 34. determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n +
OBSERVAÇÃO: Caso as cônicas não estejam centradas
: 10, para n inteiro e positivo.
na origem, basta localizar o ponto onde a mesma está
gem, Nestas condições, podemos concluir que a seqüência
centralizada no plano cartesiano e acrescentar as poderá ser escrita como:
coordenadas antecedidas por um sinal de subtração após os (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
coeficientes quadráticos.
Por exemplo:
Exemplo: Para uma elipse com centro no ponto (2, de
(2,-1) a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
semi eixo maior horizontal = 5 e semi eixo menor vertical
zontal
igual a 3, teremos a seguinte equação: 2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

(x -2) 2/25 + (y +1) 2/ 9 = 1 Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência
se
numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao
SEQUÊNCIAS: anterior somado com um valor constante ddenominado
razão.
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer
se
conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, Exemplos:
por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... ,
nado A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA
Uma seqüência pode ser finita ou infinita. decrescente)
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita. 3 - Termo Geral de uma PA

Matemática II 8

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Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 4 - Propriedades das Progressões Aritméticas
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r aritmética dos termos vizinhos deste.
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
..................................................... Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
.............. an = a1 + (n – 1) . r Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral Três números estão em PA, .. , a forma mais inteligente de
...
da PA. resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n- (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da
Progressão Aritmética – PA. Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos
extremos é constante.
Exemplos:
Exemplo:
Qual o milésimo número ímpar positivo? PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1=
1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de
Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: problemas.
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1
calcular n. + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n segunda propriedade acima.
- 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde
Temos:
conclui-se que - 80 = - 2n ,
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
É claro que também poderemos escrever a igualdade acima
como:
Através de um tratamento simples e conveniente da
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza
generaliza-la
da seguinte forma:
Somando membro a membro estas duas i igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o
ésimo
termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos
ésimo
escrever a seguinte fórmula genérica: Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre
aj = ak + (j - k).r parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos
termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos
inevitavelmente que:
Exemplos:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.
Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60,
Daí então, vem finalmente que:
qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r
ndo
;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares
Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o positivos.
terceiro termo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Temos r = 5, a20 = 8. Precisamos conhecer o valor de a200 .
Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5 Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77. Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Matemática II 9

ibular

Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares 2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
positivos é igual a 40000. 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Exercícios resolvidos e propostos:
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade
1)
1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar acima, fica:
na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, x2 – 3x – 4 = 0
para que a soma seja negativa? Resolvendo a equação do segundo grau acima
*a) 9 encontraremos x = 4 ou x = - 1.
b) 8
c) 7 Assim, teremos:
d)6 x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou
e) 5 substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as
medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do
SOLUÇÃO: triângulo (soma das medidas dos lados) será igua a
igual
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = 5+8+11 = 24.
-2/5. O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
ésimo a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 –
2n/5 um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a
2n)/5 alternativa correta é a letra D.
ativa

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista 4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo
anteriormente será então: é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é
ésimo
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2. Calcule a razão dessa progressão.
2n)/5].(n/2) Resp: r = -1
Sn = (16n – 2n2) / 10
SOLUÇÃO:
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
(16n – 2n2) / 10 < 0 Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem
imediatamente que a2 = 0.
Como o denominador é positivo, para que a fração acima Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.
,
seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo,
deveremos ter: 1 – Definição
16n – 2n2 < 0
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como
Portanto, n(16 – 2n ) < 0 qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior,
e positivo. Portanto, para que o produto acima seja multiplicado por uma constante denominada razão.
negativo, deveremos ter:
16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8. Exemplos:

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos (1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
imediatamente que n = 9. (5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
Portanto, a alternativa correta é a letra A. (100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
,25,
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3
54,162,
2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por
x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro 2 - Fórmula do termo geral
do triângulo vale:
a) 8 Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o
b) 12 primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de
ésimo
c) 15 ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos
*d) 24 escrever:
e) 33 a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
SOLUÇÃO: a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos ................................................
escrever: ................................................
Matemática II 10

ibular

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova
1

fórmula do termo geral da PG. apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
se
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o Exemplo:
décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual
se
a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4
. q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16 e portanto q = 2.
Observe que neste caso a1 = 1.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e
decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no
3 - Propriedades principais
limite teremos an = 0. Substituin na fórmula anterior,
Substituindo
encontraremos:
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos
termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D .
F etc.
Exemplo:
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
uma PG é constante. Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
6 – Exercícios resolvidos e propostos
s
Multiplicando ambos os membros pela razão q ve vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . 6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG
decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e
c os tres primeiros termos , pede calcular o valor de a2 +
pede-se
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a
b2 + c 2 .
expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Solução:
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo,
Sendo q a razão da PG, poderemos es escrever a sua forma
substituindo, vem:
genérica: (x/q, x, xq).
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
seguinte fórmula da soma:
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Matemática II 11

ibular

Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. PENGE 1
Resolvendo a equação do segundo grau acima
encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ
se
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar onde X(2,5), Y(-4,6), responda:
4,6),
apenas o valor a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo
)
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. XYZ?
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3. b) Qual o comprimento do segmento BZ?
)

O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819 2. Seja a reta y = -2x, determine:
2x,

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9
se a) As coordenadas do ponto P que está no segundo
onde a última parcela contém n algarismos. Nestas quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto
condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: (0,-1) é √10 unidades;
10
A)1 b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que esestá
*B) 10 mais próximo do ponto (0,(0,-1).
C) 100
D) -1
E) -10 PENGE 2

Solução: 1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertencente a bissetriz dos
quadrantes ímpares e P’(s-12, 4s
12, 4s-13) pertencente a bissetriz
Observe que podemos escrever a soma S como:
rve dos quadrantes ímpares, determine:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... +
(10n – 1)
a) O valor da distância entre P e P’.
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n –
1)
b) Qual dos pontos está mais próximo da origem.
ntos
Como existem n parcelas, observe que o número ( 1) é
(–
somado n vezes, 2. Considere o gráfico:
resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n
, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e
último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 –
10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) /
9 a) Obtenha uma equação da reta r

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é
10) = 10 perpendicular a r.

Matemática II 12

ibular

c) Determine o ponto A de interseção de r com a reta
s obtida no item b

PENGE 3

Questão 2

Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da
reta s, considerando a figura abaixo.

PENGE 5

1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a
circunferência que tem os segmentos MN com um
diâmetro, então a equação de C1 é?

2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Determine
a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B
(1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pontos A,B e
C são ou não colineares. Em caso negativo, determine a
área do triângulo formado.
PENGE 4

PENGE 6
Questão 1
Matemática II 13

ibular

1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir
de suas equações, determinando:

No caso de circunferência, o centro e o raio.

No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos.

No caso de não representar uma cônica, justificar o
porquê.

a) 25x2 - 16y2 = 400.
b) (x2/100) + (y2/36) =1
c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0.
d) x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 19 = 0
e) x 2 + y 2 − 10 x − 4 y + 30 = 0

2)Faça o que se pede em cada item:

a)Sendo a elipse x2/36 + y2/64 = 1, determine as
coordenadas seus eixos (maior e menor) e seus foco.

b)Sendo a circunferência (x-1)2 + (y-2)2 = 16 e a reta r: y =
2x-3, determine a posição relativa entre elas.
3,

PENGE 7

Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido no
conjuntos dos reais) para que o ponto A(-2,K) pertença à
2,K)
elipse 9x2+4y2+18x-8y-23= 0

Questão 4)

Matemática II 14

Apostila mat2

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