Este documento é uma apostila de matemática básica dividida em dois volumes escrita pelo professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira. A apostila aborda tópicos como progressão aritmética, progressão geométrica e fórmulas para cálculo de termos e somas dessas progressões. Exemplos ilustram o uso dessas fórmulas para resolver problemas matemáticos.
Prova de Conhecimentos Específicos (resolvida e comentada) do Concurso Público para Professor de Matemática do estado do Rio Grande do Norte / 2015.
Banca realizadora: IDECAN
Prova de Conhecimentos Específicos (resolvida e comentada) do Concurso Público para Professor de Matemática do estado do Rio Grande do Norte / 2015.
Banca realizadora: IDECAN
A Coordenadoria Geral de Bibliotecas da UNESP, dando prosseguimento às atividades do espaço para palestras e/ou capacitações por videoconferência, “Espaço para Informação”, promoverá evento no mês de maio/2015, em parceria com a Content Mind Capacitação Profissional: Roda de conversa sobre “Curadoria digital dos dados pessoais”. A Roda de Conversa será moderada pela bibliotecária aposentada da UNESP, Suely de Brito Clemente Soares. Convidado especial: Eduardo Graziosi Silva, Prof. da Content Mind e bibliotecário da EESC-USP, que compartilhará conosco sua experiência pessoal. Caso queira compartilhar sua experiência também, entre em contato conosco com antecedência, em qualquer um dos canais de interação disponibilizados aqui no site da Content Mind. Venha participar!
Em videoconferência serão interligadas salas da UNESP, com retransmissão simultânea pelo WIZIQ, sistema de WebConferências da Content Mind, para que outros interessados, que não são da UNESP, também possam participar
SEER e DSpace na BRCdigit@l Interativa do campus de Rio Claro, UNESP, SP, BrasilSuelybcs .
ppt de apresentacao oral de trabalho aprovado no SNBU2008, Sao Paulo, promovido pelo CRUESP - co-autoria de Ana Paula Santulo Custodio de Medeiros (apresentadora) e Eugenio Maria Franca Ramos
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Apostila Matematica Col Fundamental 2 8
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Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 2/8
Autor:
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
25
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Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Continuação ....
Pela fórmula do termo geral,
(16)
A =a1 + p − )r
( 1
Considerando agora a progressão
B , , a −1 , a
n n
p termos
temos pela fórmula de termo geral,
(17)
an =B +( p − )r
1
Subtraindo (17) de (16) resulta:
A − an = a1 − B
o que nos conduz a
(18) C.Q.D
A +B =a1 +an
I) Em uma P.A. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média aritmética
dos extremos.
Neste caso temos:
a1 , a2 , , A , M , B , , an −1 , an
( p termos ) p termos
P.A. com n = 2 p +1 termos
Pelas propriedades I e II temos:
A+ B
M=
2
e
A + B = a1 + an
Logo,
a1 + an
(19) C.Q.D.
M=
2
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Com relação a P.A.:
26
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a1 , a2 , a , , an − 2 , a , a , a ,
( 3 n −1 n n +1 )
n termos
podemos escrever:
(20)
Sn = 1 + 2 + 3 + + n − + n − + n
a a a a2 a1 a
ou, invertendo-se a ordem das parcelas,
(21)
Sn = n + n − + n − + + 3 + 2 + 1
a a1 a2 a a a
Somando (20) e (21) membro a membro obtemos:
2 S n = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + ( a3 + an − 2 ) + + ( an − 2 + a3 ) + ( an −1 + a2 ) + ( an + a1 ) , onde
temos n parênteses.
No entanto, pela propriedade II todos os parênteses são iguais a a1 + a n .
Logo,
2 S n = ( a1 + a n )n
e
( a1 + a n ) n
(22)
Sn =
2
Observações:
1) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos S n > N , sendo N um número arbitrariamente
grande.
Poremos:
lim S n = + ∞
n → +∞
ou
S n → + ∞ quando n → + ∞
2) No caso de uma progressão decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condições:
lim S n = − ∞
n → +∞
ou
27
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S n → − ∞ quando n → + ∞
Exemplo 1.3
Calcule o 17: termo da P.A. ( 3, 8, 13, )
Solução:
Temos que:
a1 = 3 e r = 5
Logo,
a17 = a1 + (17 − 1) r = a1 + 16r = 3 + 16 × 5 = 83
Exemplo 1.4
Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares.
Solução:
Temos então:
(1, 3, 5, )
Donde,
a1 = 1 e r = 2 , logo
a12 = a1 + (12 − 1) r = a1 + 11r = 1 + 11 × 2 = 23
( a1 + a12 ) ×12 = (1 + 23) ×12 = 144
S12 =
2 2
Exemplo 1.5
No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um determinado
equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas dessas filas
seriam necessárias para empilhar 171 dessas caixas?
28
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Fig. 1.2
Solução:
Temos uma P.A. representada por
(1, 2, 3, )
onde, a1 = 1 e r = 1
Desejamos saber o n para o qual temos S n = 171 .
Sabemos que:
( a1 + a n ) n [ a1 + a1 + ( n − 1) r ] n [ 2a1 + ( n − 1) × r ] n
Sn = = =
2 2 2
Substituindo valores,
[ 2 × 1 + ( n − 1) × 1] n ,
171 =
2
342 = [ 2 + n − 1] n,
342 = [1 + n] n,
342 = n 2 + n,
n 2 + n − 342 = 0
que é uma equação do 2º grau para a qual a = 1 , b = 1 e c = −342 .
Assim sendo,
− b ± b 2 − 4ac − 1 ± 12 − 4 × 1 × ( − 342 )
n= = =
2 ×1
2a
− 1 ± 1369 − 1 ± 37
= = =
2 2
n ' = 18
nquot; = −19
Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico.
1.8 Progressão Geométrica (P.G.)
29
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1.8.1 Definição
É uma sucessão de termos
a1 , a2 , a3 , a4 , , an , a , a , ,
( −1 n n +1 )
n termos
finita ou infinita, sendo que , a partir do 2º termo inclusive, a razão entre um termo qualquer e o seu
antecedente é igual a uma quantidade constante q, denominada razão da progressão, ou seja:
a2 a3 a a
= = = n = n +1 = q
a1 a2 an −1 an
As seqüências a seguir são exemplos de P.G.:
a) (1 , 4 , 16 , 64 , ) ⇒ a1 = 1 e q = 4
b) (x , xt 2 , xt 4 , xt 6 , ) ⇒ a1 = x e q = t
2
11 1
, , ) ⇒ a1 = 8 e q =
c) (8 , 2 ,
28 4
d) (7 , 7 , 7 , 7 , ) ⇒ a1 = 7 e q = 1
e) ( − 4 , 8 , − 16 , 32 , ) ⇒ a1 = 4 e q = −2
1.8.2 Classificação
a1 > 0 e q > 1
⇒ P.G. crescente
ou
a1 < 0 e 0 < q < 1
a1 < 0 e q > 1
⇒ P.G. decrescente
ou
a1 > 0 e 0 < q < 1
∀a1 e q < 0 ⇒ P.G. alternante
∀a1 e q = 0 ⇒ P.G. constante ou estacionária
1.8.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma:
30
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a2
= q ⇒ a2 = a1q
a1
a3
= q ⇒ a3 = a2 q = ( a1q ) q = a1q 2
a2
a4
= q ⇒ a4 = a3q = ( a1q 2 ) q = a1q 3
a3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
an
= q ⇒ an = an −1q = = a1q n −1
an −1
Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a
razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
a2 = a1q = a1q 2 −1
a3 = a1q 2 = a1q 3−1
a4 = a1q 3 = a1q 4−1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
an = = a1q n −1
O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
(23)
an = a1q n −1
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
a2
= q
a1
a3
= q
Multiplicando membro a membro estas n − 1 igualdades
a2
a4 obtemos a expressão do termo de ordem n
= q
a3
an
= q
a n −1
a2 a3 a4 a
× × × × n = q n −1
a1 a2 a3 an −1
Fazendo os cancelamentos, obtemos:
31
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an
= q n −1
a1
o que nos leva a
an = a1q n −1 (23)
conforme há havia sido deduzido anteriormente.
1.8.4 Propriedades
I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo precedente e
o termo seguinte.
Realmente, se
an −1 , an , an +1
são termos consecutivos de uma P.G., então podemos escrever:
an a
= n +1
an −1 an
ou seja,
an = an −1 × an +1
2
e
. (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as
an = ± an −1 ×an +1
características da P.G.
II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto
dos extremos.
Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos eqüidistantes dos
extremos, conforme mostrado logo a seguir:
a1 , a , , A , , B , , an −1 , an
( 2
)
p termos p termos
Pela fórmula do termo geral,
. (25)
A = a1q p −1
Considerando agora a progressão
B , , a −1 , a
n n
p termos
temos pela fórmula do termo geral,
32
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. (26)
an = Bq p −1
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta:
A a1
=
an B
o que nos leva a:
. (27) C.Q.D.
AB =a1 ×an
III) Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média geométrica
dos extremos.
Neste caso temos:
a1 , a2 , , A , M , B , , an −1 , an
( p termos ) p termos
P.G. com n = 2 p +1 termos
Pelas propriedades I e II temos:
M= AB
e
AB = a1 × an
logo,
. (28) C.Q.D.
M = ± a1 ×an
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Com relação a P.G.
a1 , a2 , a3 , , an , a , a , a , ,
( − 2 n −1 n n +1 )
n termos
podemos escrever:
. (29)
Sn = 1 + 2 + 3 + + n − + n − + n
a a a a2 a1 a
Multiplicando ambos os membros por q resulta:
qS n = a1q + a2 q + a3q + + an − 2 q + an −1q + an q
o que é equivalente a
(30)
qS n = 2 + 3 + 4 + + n − + n + n +
a a a a1 a a1
Subtraindo (30) de (29) temos:
33
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Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
S n − qS n = a1 − an +1
ou já que an +1 = a1q ,
n
S n (1 − q) = a1 − a1q n
e
( )
a1 1 − q n
, ( q ≠ 1) (31)
Sn =
1−q
Observações:
1.ª) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos S n > N , sendo N um número arbitrariamente
grande. Poremos,
lim S n = + ∞
n → +∞
ou
S n → + ∞ quando n → + ∞
2.ª) Na hipótese da progressão decrescente q < 1 ,
a1 (1 − q n ) a qn
a
Sn = = 1−1
1− q 1− q 1− q
a1
se admitirmos que n → +∞ (cresça cada vez mais), a primeira parcela, , não sofre qualquer
1− q
modificação, enquanto que a segunda pode ser tomada tão próxima de zero quanto quisermos.
Poremos:
lim a1
Sn = (32)
1− q
n→+∞
Exemplo 1.6
Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , )
34
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Solução:
a1 = 1 e q = 2
Logo,
a10 = a1q10 −1 = a1q 9 = (1) ( 2 ) = 512
9
Exemplo 1.7
Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 2−2 , 2−1 , 20 , )
Solução:
Temos:
2−1
11
e q = − 2 = 2−1− ( − 2 ) = 2−1+ 2 = 2
a1 = 2− 2 = =
22 4 2
Logo,
( )
1
( ) 1 − 220
a1 1 − q 20 4
S 20 = = =
1− q 1− 2
= 262 143,75
Exemplo 1.8
Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas
pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na
mesma direção e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha é o dobro da velocidade do
navio, pede-se calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio.
Solução:
v
2
v
x
0
65 mi
Fig. 1.3
35
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65
Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido
2
milhas, uma vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer também
65 65 65
milhas. Quando o barco tiver percorrido estas últimas milhas, o navio terá percorrido
2 2 4
milhas, e assim por diante, de modo que a distância total a ser percorrida pelo barco é:
65 65
x b = 65 mi + mi + mi + .
2 4
1
Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a a1 = 65 mi e q = . Logo,
2
a1 65 mi
xb = = = 130
1− q 1− 1 mi.
2
Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos métodos
da Cinemática aprendidos na Física do 2º grau?
Sim, é claro! Senão vejamos:
As equações horárias dos movimentos são:
Barco → x b = vt
v
Navio → xn = 65 + t
2
No encontro xb = xn
e
v
vt = 65 + t ,
2
vt
vt − = 65 ,
2
vt
= 65
2
36
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e o tempo de encontro é:
130
t= .
v
Voltando à equação do barco, temos então:
130
xb = vt = v × = 130 mi
v
e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio.
Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método?
A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos de
uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores.
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano
Este nome é em homenagem ao grande matemático francês René Descartes (Renatus
Cartesius em Latim).
Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas
dimensões) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que têm a
mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir:
37
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y
2º quadrante 1º quadrante
(+ )
P ( x, y )
y x
y
0
x x
(− ) (+ )
Plano ( π )
(− ) 4º quadrante
3º quadrante
Fig. 1.4
A localização de um ponto P qualquer de uma plano ( π ) genérico, fica então perfeitamente
determinada através de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representação genérica é
P( x, y ) . No caso presente o ponto genérico foi representado no 1º quadrante, onde x > 0 e y > 0
mas, de um modo geral temos:
x > 0 e y > 0 ⇒ 1º quadrante
x < 0 e y > 0 ⇒ 2º quadrante
Temos também que se
x < 0 e y < 0 ⇒ 3º quadrante
x > 0 e y < 0 ⇒ 4º quadrante
x = 0 ⇒ ponto situado no eixo y
i)
y = 0 ⇒ ponto situado no eixo x
ii)
x = y = 0 ⇒ ponto situado origem
iii)
Exemplo 9
Marcar em um diagrama cartesiano as localizações dos pontos a seguir:
P ( 4,3) ; P2 ( − 2,5) ; P3 ( − 3,−4) ; P4 ( 2,−6) ; P5 ( 5,0 ) ; P6 ( 0,4)
1
38
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Solução:
y
P2 ( − 2, 5)
5
P6 ( 0, 4 )
4
P ( 4, 3)
3 1
2
1
P5 ( 5, 0)
0
x
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
P3 ( − 3, − 4 )
−5
P4 ( 2, − 6)
−6
Fig. 1.5
1.10Equação Reduzida da Reta
Em Geometria Analítica demonstra-se que toda equação do primeiro grau em x e y
representa, no plano, uma reta, ou seja:
(33)
y=mx +p
onde m = tgα é coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que a mesma forma com a
direção horizontal (paralela ao eixo x), e p é o coeficiente linear, sendo igual à ordenada do ponto
onde a reta corta o eixo y. Por esta convenção teremos sempre 0 ≤ α < 180º.
Analisemos então algumas situações mostradas na figura 1.6. São evidentes as seguintes
propriedades:
1ª) Se α é agudo, então m é positivo, pois a tangente de um ângulo é sempre positiva no 1º
quadrante.
2ª) Se α é obtuso, então m é negativo, pois a tangente de uma ângulo do 2º quadrante é negativa.
39
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3ª) Se α é nulo, então m é nulo, pois a tg de 0 é nula e, neste caso, a equação da reta se reduz a
y = constante , uma vez que ela é paralela ao eixo x.
4ª) Se α é reto, então m não é definido, pois tg 90º = ∃ , e neste caso a equação da reta tem a forma
/
x = constante , uma vez que ela é paralela ao eixo y.
y y
α é um
ângulo
α obtuso
( 90º < α < 180º )
α
α é um
ângulo agudo
( 0 < α < 90º )
x x
0 0
y y
α é um α =0
ângulo
reto
( α = 90º )
α = 90º
x x
0 0
Fig. 1.6
É também oportuno, baseados no que se viu até então, listarmos algumas situações na figura
1.7, lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equação é da forma y = mx.
40
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y
R4 ( < >
m 0 e p 0)
α
R1 ( > >
m 0 e p 0)
α
R2 ( > =
m 0 e p 0)
R5 ( < =
m 0 e p 0) p
α α
R3 ( > <
m 0 e p 0)
x
0
R6 ( < <
m 0 e p 0)
α
α
Fig. 1.7
Exemplo 1.10
Representar graficamente as seguintes retas:
a) R1 : y = 2 x + 1
x
b) R2 : y = − + 1
2
c) R3 : y = 2 x
d) R4 : y = 4
e) R5 : x = 5
Solução:
As representações das retas R4 e R5 são imediatas. Entretanto, para as retas R1 , R2 e R3
vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substituídos nas
equações conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar cada
reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa tão somente uma reta ou, em outras palavras: dois
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pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na prática, que
uma equação do 1.º grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger três pontos para cada uma
delas, e concluir que, em cada caso, os três pontos estão alinhados ao longo de uma mesma direção,
ou seja, pertencem a uma mesma reta.
R3
R1 R2
X y x y x y
0 1 0 1 0 0
1
1 3 1 1 2
2
2 5 2 0 2 4
y R1
R3
5
4 R4
3
R5
2
1
1
2
x
0 1 2 4
3 5
R2
Fig. 1.8
Exemplo 1.11
Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma
firma B cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia.
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a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos serviços de ambas as empresas.
b) Estabelecer um critério para a escolha da melhor firma pelo usuário, sob o ponto de vista
financeiro, admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competência.
Solução:
a) Do enunciado vem que:
Custo de A: C A = ( R$ 600,00/dia ) d + ( R$ 1000,00 )
Custo de B: CB = ( R$ 800,00/dia ) d + ( R$ 400,00)
em que C A e CB representam, respectivamente, os custos dos serviços das empresas e d os dias
trabalhados.
Temos então as seguintes correspondências:
x↔d
y↔C
Tratam-se, portanto, das equações de duas retas e a reta A começa em um ponto de ordenada mais
baixa (pA = 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (pB = 1000). No entanto, o
coeficiente angular de B (mB = 800) é maior do que o coeficiente angular de A (mA = 600). Isto
significa que tgαB > tgαA , ou seja αB > αA , e as retas vão se interceptar. Determinemos pois as
coordenadas do ponto de intersecção:
C A = C B ⇒ ( R$ 600,00/dia ) d + ( R$1000,00 ) = ( R$ 800,00/dia ) d + ( R$ 400,00)∴
R$ 1000,00 − R$ 400,00 = ( R$ 800,00/dia ) d − ( R$ 600,00/dia ) d ∴
R$ 600,00 = ( R$ 200,00/dia ) d ∴
d = 3 dias ⇒ C A = C B = R$ 2800,00
Lembrando também que para d = 0 temos
C A = R$ 1000,00
e
C B = R$ 400,00
podemos traçar as retas de custos. Assim sendo:
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C A , C B ( custos )
B
A
R$ 2800,00
R$ 1000,00
R$ 400,00
d ( dias )
0 3
1 2
Fig. 1.9
b) Uma rápida análise dos gráficos nos conduzem às seguintes conclusões:
1.ª) d < 3 dias ⇒ B é mais econômica.
2.ª) d = 3 dias ⇒ o custo é o mesmo.
3.ª) d > 3 dias ⇒ A é mais econômica.
1.11Noção de Aplicação
Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicação de A em B a toda correspondência em
que a cada elemento x ∈ A temos associado um único y ∈ B.
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Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a
seguir algumas aplicações de A em B:
5 6 7 8
5 6 7 8 5 6 7 8
g h i l g h i j l g h i j l
(a) (b) (c)
Fig. 1.10
A flecha indica a correspondência entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicação é o
conjunto de pares ordenados.
{(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)}
na parte (b)
{(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)}
e na parte (c)
{(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}.
Devemos ressaltar que cada elemento de A é unido pela flecha a um só elemento de B.
Assim sendo, do mesmo elemento x ∈ A não podem partir duas ou mais flechas.
Deste modo a correspondência
5678
5678 5678
ghi l ghijl ghijl
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Fig. 1.11
não é uma aplicação.
O conjunto A é denominado domínio da aplicação e o elemento y, correspondente de x, é
denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos.
Elemento de A Imagem
5 → g
6 → h
7 → i
8 → j
O conjunto das imagens de uma aplicação f de A em B denomina-se imagem da aplicação e
será representado por f(A). Devemos notar que f(A) é uma sucessão, ou seja, um conjunto ordenado.
Para o exemplo (a) da figura 1.9 temos:
( h , j)
,g ,i
f ( A) = ( g , h, i, j ) e não
ordem incorreta
1.12Exercícios Propostos
1) Calcular as seguintes expressões:
( + 5) + ( − 12)
a)
( + 3,7 ) + ( − 0,7 )
b)
( + 1,72) + ( − 0,28)
c)
( + 2) + ( − 7 ) + ( + 4) + ( + 2) + ( − 5) + ( + 3)
d)
( + 9) + ( − 6) + ( − 2) + ( − 1) + ( − 5) + ( + 7 )
e)
2) Calcular as seguintes expressões:
( + 4) − ( + 2)
a)
( + 10) − ( + 4)
b)
( − 9) − ( + 3)
c)
( − 7 ) − ( − 5)
d)
( + 6) − ( − 2)
e)
3) Calcular as seguintes expressões:
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( + 4 ) × ( + 5)
a)
( − 4 ) × ( − 5)
b)
( − 2) × ( + 1)
c)
( − 4) × ( − 1) × ( + 3) × ( − 2) × ( − 5)
d)
( + 2) × ( − 3) × ( − 1) × ( − 4) × ( + 5)
e)
4) Calcular as seguintes expressões:
( + 12) ÷ ( + 3)
a)
( − 15) ÷ ( − 3)
b)
( + 36) ÷ ( − 4)
c)
( − 42) ÷ ( + 6)
d)
( − 81) ÷ ( − 9)
e)
5) Calcular as seguintes potências:
( + 2) 5
a)
( − 3) 3
b)
( − 2) 3
c)
( − 7) 3
d)
( + 10) 4
e)
6) Calcular os valores algébricos das seguintes raízes:
4
625
a)
3
8
b)
4
81
c)
− 27
3
d)
5
32
e)
7) Efetuar os seguintes produtos notáveis:
( 2m y − 5b3m )
2
3 4
a)
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2
2 2 3 5
a+ x
b)
3 4
(5 − a 2 ) (5 + a 2 )
c)
8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau:
x
=5
a)
2
5( z − 3) − 4( z + 2 ) = 3(1 − 2 z ) + 2
b)
2y − 5
6− =y
c)
5
9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau:
z 2 − 8 z + 15 = 0
a)
6 z −2 − 5 z −1 + 1 = 0
b)
z ( z − 1)
=6
c)
7
z2 − 4z + 4 = 0
d)
1
z2 + z + =0
e)
3
10) Calcular a13 na progressão aritmética
: 1 , 5 , 9 ,
11) Calcular a1 em uma progressão aritmética, sabendo-se que r = 4 e a8 = 31 .
7
12) Somar os 15 primeiros termos da progressão aritmética : 3 , , 4,
2
13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas?
14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão geométrica :: 2 , 4,
15) Em uma progressão geométrica, sabemos que a4 = 128 e q = 4 . Achar a1 .
16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expressões a seguir quando o número de radicais
cresce indefinidamente.
a) x x x x
b) x y x y
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c) x+ x+ x+ x
1.13Respostas dos Exercícios Propostos
b) + 3,0 ; c) + 1,44 ;
a) − 7 ; d) − 1 e) + 2
1)
b) + 6 ; e) + 8
a) + 2 ; c) − 12 ; d) − 2
2)
a) + 20 ; b) + 20 ; d) + 120 e) − 120
c) − 2 ;
3)
b) + 5 ; c) − 9 ; d) − 7 ; e) + 9
a) + 4 ;
4)
a) + 32 ; b) − 27 ; c) − 8 ; d) − 343 ; e) + 10.000
5)
a) ± 5 ; c) ± 3 ; d) − 3 ;
b) + 2 ; e) + 2
6)
a) 4m 6 y 8 − 20b 3 m 4 y 4 + 25b 6 m 2
7)
44 9
a + a 2 x 5 + x 10
b)
9 16
c) 25 − 2a 2
c) y = 5
a) x = 10 ; b) z = 4 ;
8)
a) z1 = 3 ; z 2 = 5
9)
b) x1 = 3 ; x 2 = 2
c) y1 = 7 ; y 2 = −6
d) z = 2
e) Não admite raízes no conjunto dos números reais. Voltaremos a esse assunto após estudar
1 3
1 3
; z2 = − − j
a seção 1.14 (suas raízes são: z1 = − + j ).
2 6 2 6
10) a13 = 49
11) a1 = 3
195
12) S15 =
2
13) 156
14) a5 = 32 ; a8 = 256
15) a1 = 2
49
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1 + 1 + 4x
2 1
16) a) x; b) x 3 y 3 = 3 x 2 y c)
2
50