1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Resolvidos de Fa...Beatriz Góes
O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
O documento apresenta a resolução de várias equações do 1o grau. As principais etapas incluem determinar o MMC, isolar a incógnita, e encontrar o conjunto solução.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Resolução I - Polinômios e números complexosFeefelipeeRS
1) O documento apresenta resumos comentados de questões sobre polinômios e números complexos de uma lista.
2) São abordados tópicos como demonstração de igualdade entre polinômios, determinação de raízes, resolução de sistemas lineares, aplicação do algoritmo de Briot-Ruffini, entre outros.
3) Cita teoremas como o fundamental da álgebra e das raízes complexas para auxiliar na resolução dos exercícios.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
Prova de Conhecimentos Específicos (resolvida e comentada) do Concurso Público para Professor de Matemática do estado do Rio Grande do Norte / 2015.
Banca realizadora: IDECAN
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
I) O documento apresenta notações matemáticas sobre conjuntos numéricos e operações.
II) Define símbolos como i (unidade imaginária), módulo e conjugado de números complexos, intervalos reais e matrizes.
III) Fornece exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas retangulares.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Resolvidos de Fa...Beatriz Góes
O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
O documento apresenta a resolução de várias equações do 1o grau. As principais etapas incluem determinar o MMC, isolar a incógnita, e encontrar o conjunto solução.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Resolução I - Polinômios e números complexosFeefelipeeRS
1) O documento apresenta resumos comentados de questões sobre polinômios e números complexos de uma lista.
2) São abordados tópicos como demonstração de igualdade entre polinômios, determinação de raízes, resolução de sistemas lineares, aplicação do algoritmo de Briot-Ruffini, entre outros.
3) Cita teoremas como o fundamental da álgebra e das raízes complexas para auxiliar na resolução dos exercícios.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
Prova de Conhecimentos Específicos (resolvida e comentada) do Concurso Público para Professor de Matemática do estado do Rio Grande do Norte / 2015.
Banca realizadora: IDECAN
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
I) O documento apresenta notações matemáticas sobre conjuntos numéricos e operações.
II) Define símbolos como i (unidade imaginária), módulo e conjugado de números complexos, intervalos reais e matrizes.
III) Fornece exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas retangulares.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
I. O documento apresenta notações matemáticas comuns como conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C), operações com números complexos e notações para intervalos e somas.
II. Também fornece uma observação sobre os sistemas de coordenadas considerados serem cartesianos retangulares.
O documento apresenta três problemas matemáticos relacionados a conjuntos, progressões aritméticas e equações. O primeiro problema trata de conjuntos e progressões aritméticas, o segundo de subconjuntos e o terceiro de equações complexas e soma de quadrados.
O documento apresenta 9 exercícios resolvidos sobre números complexos na forma trigonométrica e algébrica. As questões abordam conversão entre as formas, cálculo de conjugados, determinação de argumentos e módulos.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
3. As técnicas apresentadas permitem calcular integrais de funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e hiperbólicas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma, diferença, quadrado e cubo de termos. Inclui identidades como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. O texto também fornece exemplos para aplicar essas fórmulas em expressões algébricas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma e diferença de termos, como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. Também mostra como desenvolver expressões como (a + b)3, (a - b)3 e produtos da soma pela diferença de termos. Exercícios são fornecidos para aplicar essas fórmulas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre operações com números complexos, incluindo:
1) Igualdade de complexos que ocorre quando suas partes reais e imaginárias são iguais;
2) O oposto de um número complexo é obtido multiplicando-o por -1;
3) O conjugado troca o sinal da parte imaginária.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
O documento contém:
1) Um texto de apresentação de um professor de matemática e uma citação;
2) Dez questões de matemática resolvidas, com explicações passo a passo;
3) O nome do professor e a nota final de 6/10.
Semelhante a Gab complexos formaalgebrica2012 (20)
1. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
Exercícios de Números Complexos – Forma Algébrica – 2012 - GABARITO
1. (UFU) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o
produto x.y é: a) 6 b) 4 c) 3 d) –3 e) – 6
Solução. Igualando os complexos, temos:
3)3).(1(y.x)ii
3y
1x
y3
2x2
)tIm()zIm(
)tRe()zRe(
yi2i3x2)i
−=−=
−=
=
⇒
=−
=
⇒
=
=
⇒+=−
.
2. (PUC) O é o quociente de
i2
i8
−
+
é igual a:
a) 1 + 2i b) 2 + i c) 2 + 2i d) 2 + 3i e) 3 + 2i
Solução. Multiplicando o denominador e o numerador pelo conjugado de (2 – i), temos:
i23
5
)i23(5
5
i1015
)1(²2
1i2i816
²i²2
²ii2i816
i2
i2
.
i2
i8
i2
i8
+=
+
=
+
=
−−
−++
=
−
+++
=
+
+
−
+
=
−
+
.
3. (MACK) Se z é um número complexo e o seu conjugado, então, o número de soluções da
equação: ²zz = é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Solução. Considerando z = a + bi, temos:
3. 5. (CESGRANRIO) O módulo do complexo z, tal que z2
= i, é:
a) 0 b)
2
2
c) 1 d) 2 e) 2
Solução. Considerando z = a +bi, temos:
=⇒+−=
+−=
=⇒+=
−=
⇒±=⇒−=⇒=−⇒−=
=
−+
−=−−⇒−−=
=
+
=+⇒+=
⇒±=⇒=⇒=⇒=
⇒
=⇒=
−==⇒=−
⇒
=
+−=++=+=
1z
2
2
i
2
2
i
2
2
i
2
2
iz
1z
2
2
i
2
2
i
2
2
i
2
2
iz
2
2
ia
2
1
²a
2
1
²aba)ii
1
2
2
2
2
2
2
i
2
2
2
2
i
2
2
z
1
2
2
2
2
2
2
i
2
2
2
2
i
2
2
z
2
2
a
2
1
²a
2
1
a.aba)i
2
1
ab1ab2
baouba0²b²a
i²z
abi2²)b²a(²i²babi2²a)²bia(²z
44
33
22
2
22
1
.
6. (UFPA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
Solução. Um número complexo é imaginário puro, se sua parte real for nula.
[ ] 6m0m60i)m2()m6Re)ii
i)m2()m6(mmi3i26²mimi3i26)i3).(mi2()i
=⇒=−⇒=++−
++−=−++=+++=++
.
7. (MACK) O conjugado de
i
i2 −
vale:
a) 1 – 2i b) 1 + 2i c) 1 + 3i d) –1 – 2i e) 2 - i
Solução. Multiplicando o numerador e o denominador por i, vem:
i21
1
1i2
)1(
1i2
²i
²ii2
i
i
.
i
i2
i
i2
−−=
−−
=
−−
−−
=
−
+−
=
−
−−
=
−
.
8. Calcule [(1 + i)80
+ (1 + i)82
] ÷ i96
.240
.
Solução. Aplicando as propriedades das potências de i, temos:
4. [ ] [ ] [ ][ ] ( )
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] i21)i21()i(
2
)i21(i.2
2)i2.(i2i22.1)i1.(i2i2
2.i)i1.()i1()i1(2.i)i1()i1()ii
i21i21²ii21)²i1()i
104
40
4040
4040404024040
40244240240240968280
+=+=
+
=÷+=÷++=
=÷++++=÷+++
=−+=++=+
.
9. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número
real e z.w é um imaginário puro, pede-se calcular o valor de b2
- 2a.
Solução. Efetuando e utilizando o fato que número real possui a parte imaginária for nula, temos:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
502525
2
25
2)²5(a2²b)iii
2
25
a25a2025a20²i25ai5i10a2Re0)i5a).(i52(Re)ii
5b0b50)b5(i)a2(Im0)bia()i52(Im)i
=+=
−−=−
−=⇒−=⇒=+⇒=−−+⇒=+−
=⇒=+−⇒=+−++⇒=++−
.
10. Determine o número complexo z tal que 0i1z.2z.i =−++ .
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
i1z,Então.1b2b21b2)1(,Logo
1a3a3
1b2a
2b2a4
1b2a
)2(1ba2
0)1b2a(i)1ba2(0i1bi2a2²biai0i1)bia(2)bia(i
biaz
biaz
−−=−=⇒−=⇒=−−
−=⇒=−⇒
=−
=+−
⇒
=−
−×→−=−
⇒
⇒=−−++−⇒=−+−++⇒=−+−++⇒
−=
+=
.
11. (UEFS) Encontre o valor da expressão E = x-1
+ x2
, para x = 1 – i.
a) -3i b) 1 – i c) i
2
5
2
5
+ d) i
2
3
2
5
− e) i
2
3
2
1
−
Solução. Desenvolvendo, temos:
i
2
3
2
1
2
i4i1
i2
2
i1
1i21
²i1
i1
²ii21
i1
i1
.
i1
1
)²i1(
i1
1
E
²xxE
i1x
1
−=
−+
=−
+
=−−+
−
+
=+−+
+
+
−
=++
−
=⇒
+=
−=
−
.
12. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7
+ i5
+ ( i3
+ 2i4
)2
, obtêm-se:
a) -1 + 2i b) 1 + 2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i
Solução. Utilizando as propriedades das potências de i, temos:
i434i414i4)²i(ii)²2i(i³i)²i2³i(ii 457
−=+−−=+−−++−=+−++=+++ .
13. (FUVEST) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária. Suponha z ≠ i.
5. Para quais valores de z tem-se 2
iz1
iz
=
+
+
?
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
i
5
3
5
4
z:R
.
5
4
2
1
.
5
8
a
5
8
a21
5
3
a21
5
3
a2,Logo.
5
3
b3b5
1ba2
4b4a2
1ba2
)2(2b2a
0)1a2b(i)2b2a(0b2ai2i2bia
0²bi2ai2i2bia0)bia(i2i2)bia(0iz2i2ziz22iz2
iz1
iz
+=
==⇒=⇒+=⇒−=+−=⇒=⇒
⇒
−=+−
=+
⇒
−=+−
×→=+
⇒=+−+−+⇒=+−+−+⇒
⇒=−−+−+⇒=+−+−+⇒=−+−⇒+=+⇒=
+
+
.
14. (FGV) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2‚ no plano complexo. Se Z1.Z2‚ = a + bi, calcule
a + b.
Solução. Observando o gráfico podemos escrever z2 = x + iy. Os ângulos u e v são os argumentos.
Temos:
( )( )
( )314434ba
4b
34a
bia.z.z
i43432i2i6323i1.i232.z.z
)iii
3i1z
3
2
3
.2º60sen.2senv.2y
1
2
1
.2º60cos.2vcos.2x
)ii
º60vº30u
3
3
3
1
32
2
tgu
i232z
)i
21
21
2
1
−=+−=+⇒
=
−=
⇒
⇒
+=
+−=−−+−=+−+=
+−=⇒
=
===
=
===
=⇒=⇒===
+=
.
6. Para quais valores de z tem-se 2
iz1
iz
=
+
+
?
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação, temos:
i
5
3
5
4
z:R
.
5
4
2
1
.
5
8
a
5
8
a21
5
3
a21
5
3
a2,Logo.
5
3
b3b5
1ba2
4b4a2
1ba2
)2(2b2a
0)1a2b(i)2b2a(0b2ai2i2bia
0²bi2ai2i2bia0)bia(i2i2)bia(0iz2i2ziz22iz2
iz1
iz
+=
==⇒=⇒+=⇒−=+−=⇒=⇒
⇒
−=+−
=+
⇒
−=+−
×→=+
⇒=+−+−+⇒=+−+−+⇒
⇒=−−+−+⇒=+−+−+⇒=−+−⇒+=+⇒=
+
+
.
14. (FGV) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2‚ no plano complexo. Se Z1.Z2‚ = a + bi, calcule
a + b.
Solução. Observando o gráfico podemos escrever z2 = x + iy. Os ângulos u e v são os argumentos.
Temos:
( )( )
( )314434ba
4b
34a
bia.z.z
i43432i2i6323i1.i232.z.z
)iii
3i1z
3
2
3
.2º60sen.2senv.2y
1
2
1
.2º60cos.2vcos.2x
)ii
º60vº30u
3
3
3
1
32
2
tgu
i232z
)i
21
21
2
1
−=+−=+⇒
=
−=
⇒
⇒
+=
+−=−−+−=+−+=
+−=⇒
=
===
=
===
=⇒=⇒===
+=
.