1) O documento apresenta uma lista de exercícios lógicos com respostas. 2) Os alunos devem mostrar justificativas completas para afirmações sobre números naturais e inteiros. 3) As questões incluem mostrar que a soma de números ímpares é par e que um produto é par se um fator for par.

1. 1
Lógica. Exercícios.
Lista 1a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
Iezzi p.3:
N1: a), f); N2: b), f).
Iezzi p.6:
N3: b), f)
Iezzi p.9:
N4: a), f); N5: a), g)
Iezzi p.14:
N8: b), g)
Iezzi p.17:
N9: b), i)
Exercícios. Demonstrar armações justicando suas respostas:
a) Mostrar que caso n e m são ímpares, então n + m é par.
b) Mostrar que o produto nm dos dois números naturais é par, se e somente se, pelo menos um dos
dois números n ou m é par.
c) Mostrar que não tem números inteiros n e m tais que 18n + 6m = 1.
Observação. Lembramos que os números naturais são aqueles usados para contagem de obje-
tos, isto é, 0, 1, 2, 3, . . .. Os números inteiros são naturais, e naturais com sinal negativo, isto é,
0, ±1, ±2, ±3, . . ..
Solução.
a) Como n e m são ímpares, isso signica, pela denição, que n = 2k + 1 e m = 2l + 1, onde
k, l ∈ Z. Logo, n + m = 2k + 1 + 2l + 1 = 2(k + l + 1), onde k + l + 1 ∈ Z.
b) Para primeira implicação, temos hipótese que o produto nm dos dois números naturais é par.
Vamos supor, por absurdo, que ambos n e m são ímpares. Então, n = 2k + 1, m = 2l + 1, onde
k, l ∈ N. Consequentemente, nm = (2k + 1)(2l + 1) = 2k(2l + 1) + 2l + 1 = 2(k(2l + 1) + l) + 1,
onde k(2l +1)+l ∈ N. Assim, chegamos a contradição com a hipótese. Portanto, a nossa suposição
é falsa e, portanto, pelo menos um dos números deve ser par. Para segunda implicação, temos
hipótese que, pelo menos, um dos dois números naturais n ou m é par. Sem perda de generalidade,
podemos supor que n é par, isto é, n = 2k, k ∈ N. Então, nm = 2km, onde km é um número
natural e, portanto, nm é um número par.
c) Para simplicar raciocínios, dividimos a igualdade dada por 6 e obtemos a igualdade equi-
valente 3n + m = 1
6
. Agora, lembrando que a soma de dois números inteiros sempre é um número
inteiro, concluímos que a igualdade não é válida quaisquer que fossem n e m inteiros.
Iezzi p.59:
N98, 100, 102, 112
Solução.
N98: 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+1)
2
, ∀n ∈ N∗
.
Solução. Para n = 1 a armação é verdadeira: 1 = 1·2
2
. Vamos supor que a armação é
válida para k ≤ n e mostremos que isso implica na sua validade para k = n + 1. Temos:
1 + 2 + 3 + . . . + n + (n + 1) = n(n+1)
2
+ (n + 1) = n(n+1)+2(n+1)
2
= (n+1)(n+2)
2
, o que foi neces-
sário demonstrar.
Observação. Tem outra forma simples da demonstração, usando a técnica de Gauss.

2. 2
N102: 13
+ 23
+ 33
+ . . . + n3
=
(
n(n+1)
2
)2
, ∀n ∈ N∗
.
Solução. Para n = 1 a armação é verdadeira: 13
= 1 =
(1·2
2
)2
. Vamos supor que a armação
é válida para k ≤ n e mostremos que isso implica na sua validade para k = n + 1. Temos:
13
+23
+33
+. . .+n3
+(n+1)3
=
(
n(n+1)
2
)2
+(n+1)3
= (n+1)2
(
n2
4
+ n + 1
)
= (n+1)2
· n2+4n+4
2
=
(n + 1)2
· (n+2)2
2
=
(
(n+1)(n+2
2
)2
, o que foi necessário demonstrar.