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Apostila de Matemática.
GOVERNO DO ESTADO DE RORAIMA
UNIVERSIDADE VIRTUAL DE RORAIMA - UNIVIRR




     APOSTILA
 CURSO DE MATEMÁTICA




                 Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

                        Fatoração e Produtos Notáveis
Produtos Notáveis:
Quadrado da Soma ou Diferença:

(a + b)2 = a2+ 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc

(a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc

(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc

Ex:

(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y2) + (3y2)2 =

= 4x2 + 12xy2 + 9y4

                      Produto da Soma pela Diferença:
(a + b). (a - b) = a2 - b2

Ex:

x2 - 16 = (x + 4). (x - 4)

a4 - b4 = (a2)2 - (b2)2 = (a2 - b2). (a2 + b2) = (a + b). (a - b). (a2 + b2)

Cubo da soma e da diferença:

(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ex:

(x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3(x) (2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8




                           Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
                                      Fatoração
Fatorar: Significa encontrar fatores que conduzam a um produto dado.

Principais casos de fatoração:
Fator comum (evidência)

ax + bx = x(a + b)

Agrupamento:
ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

Diferença de Quadrados:
a2 - b2 = (a + b) (a - b)

Quadrados Perfeitos:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Soma de Cubos:
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)

Diferença de cubos:
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Ex:

8y3 - 125 = (2y)3 - 53 = (2y - 5). (4y2 + 10y + 25)

Cubos Perfeitos:
a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Ex:

x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3




                            Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.


                                    Equações
Equações de 1º e 2º graus:
O problema

Quando escrevemos uma equação, como por exemplo: "x2 - 2x = x - 4" propomos o
seguinte problema:

"Quais são os valores de x para os quais a igualdade é verdadeira?"

Resolver uma equação é dar resposta ao problema, isto é, é encontrar todos os
valores de x que verificam (satisfazem) a igualdade. Tais valores (números) são as
raízes ou as soluções da equação.

Na escritura de uma equação, como a do exemplo acima, a letra x (ou y, z, t, a,...)
chama-se incógnita.

Conjunto-solução de uma equação é o conjunto cujos elementos são todas as raízes (ou
soluções) da equação.

Duas equações dizem-se equivalentes se possuem o mesmo conjunto-solução.

As transformações

De um modo bem geral, para resolvermos uma equação transformamos suas
escrituras. Por exemplo, para resolvermos uma equação como.

2x + 4 = 8 + x,

Transformamos sua escritura até isolarmos a incógnita em um dos dois membros.

As transformações mais importantes estão descritas a seguir.

Transformação TE1

Dada uma equação aos seus dois membros podemos somar (ou subtrair) um mesmo
número. A equação assim obtida é equivalente à equação dada
Transformação TE2

Dada uma equação, seus dois membros podem ser multiplicados (ou divididos) por um
mesmo número diferente de zero. A equação assim obtida é equivalente à equação
dada.



Equações do 1º grau

                     Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
Equação do 1º grau

Uma equação do 1º grau na incógnita x é qualquer equação que pode ser escrita na
forma

ax + b = 0

(a e b são números reais e a ≠ 0)

Equação - produto

Sabemos que, se a e b são números com a. b = 0, então a = 0 ou b = 0. Esse resultado
estabelece que se o produto de dois ou mais fatores é zero então ao menos um dos
fatores é zero.

Essa propriedade nos dá um poderoso método para a resolução de equações. Por
exemplo, vamos resolver a equação.

4x2 + 8x = 0

Inicialmente, fatoramos o 1º membro da equação:

4x. x + 4x. 2 = 0

4x. (x + 2) = 0

Sendo zero o produto de 4x por x + 2, então ao menos um desses fatores deve ser zero.
Igualamos a zero cada fator e resolvemos as equações em x assim obtidas:

                               4x = 0   ou    x+2=0
                                x=0            x = -2

Ambos os valores encontrados 0 e -2 são raízes da equação 4x 2 + 8x = 0; daí, seu
conjunto-solução é.

S = {0; -2}.

Resolução de um problema com auxílio de uma equação

Há problemas, mesmo problemas de nosso dia a dia, que podem ser resolvidos com
auxílio de equações, desde que seus enunciados sejam convenientemente traduzidos na
linguagem da matemática.




Para essa resolução, devemos organizar o nosso trabalho em etapas.



                      Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
1ª) Leitura atenciosa do enunciado.

2ª) Escolha das incógnitas.

3ª) Tradução do enunciado em equações.

4ª) Resolução dessas equações.

5ª) Conclusão, na qual confrontamos os resultados encontrados com as limitações
que o enunciado impõe às incógnitas.

Exemplo

Uma pessoa dispõe de material para construir 28 m de cerca. Com esse material ele
deseja construir um canil com a forma de um retângulo, de modo que o comprimento
seja maior que a largura em 6 m. Quais devem ser as dimensões do canil?

O perímetro do retângulo (soma das medidas de seus lados) é 28. Se escolhermos x para
representar a largura do canil, x + 6 representa o seu comprimento.




O perímetro do retângulo pode ser expresso por 2x + 2 (x + 6) ou por 28.

Então,

2x + 2 (x + 6) = 28

Resolvemos à equação obtida.




Daí, x + 6 = 10

As dimensões do canil são 6 m e 10 m.

                                  Porcentagem

                      Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

5% é

Para dividir um número por 100 podemos, em sua representação, deslocar a vírgula
duas casas (posições) para a esquerda. Então,


5% é      = 0,05

Também,


37,5% =       = 0,375



 %=       =    = 0,005

Definição


x%=



Algumas situações




                         Tradução em linguagem
   Situação                                    Exemplo
                         matemática


   tomar x% de A         x % de A =          .A       12% de 50 é    . 50 = 6
                                                      Se 50 aumentar de 12% obtém-se
                         A + x% de A =
   aumentar A de x%
                         A+       . A = A.                     . 50 = 1,12. 50 = 56
                                                      Se 50 diminuir de 12% obtém-se
                         A    -   x%   de     A   =
   Diminuir A de x%
                         A-       . A = A.                    . 50 = 0,88. 50 = 44




Equação do 2º Grau

                        Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
Definição

Uma equação do 2º grau é da forma

ax2 + bx + c = 0,

onde x é a incógnita, a, b, c são números reais com a ≠ 0.

Por exemplo, na equação do 2º grau -2x 2 + 3x + 2 = 0 temos a = -2, b = 3 e c = 2. Os
números a, b e c são os coeficientes da equação; c é o seu termo independente.

As equações incompletas

Se na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 temos b = 0 ou c = 0, ela diz incompleta. Por
exemplo, são incompletas as equações.

3x2 - 2x = 0 (c = 0)

9x2 - 4 = 0 (b = 0)

Uma equação incompleta como 3x2 - 2x = 0 pode ser resolvida fatorando seu 1º
membro:

3x2 - 2x = 0

3x. x - 2x. x = 0

X. (3x -2) = 0

x = 0 ou 3x - 2 = 0
         3x = 2

          x=



S = {0;     }

Resolvemos à equação incompleta 9x2 - 4 = 0, isolando x2 no seu 1º membro:

9x2 - 4 = 0

9x2 = 4


x2 =


x=     ou x = -


                       Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

S ={   ;-      }

Resolução da equação do 2º grau

Fórmula

Seja a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

Construímos o número

∆ = b2 - 4ac

Ao número ∆ dá-se o nome de discriminante da equação.

Se representamos com S o conjunto-solução da equação temos:

       A equação não admite solução;

∆ < 0 seu conjunto-solução é vazio:

       S=∅

       A equação tem uma única raiz:


∆ =0 x=            .


       S={             }



       A equação tem duas raízes: x =
∆>0


       S={                       }

Observação:

O desenho ∆ é uma letra do alfabeto grego que se lê "delta".

Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau

Propriedade




                           Professor: Nonato Mesquita.
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Se r1 e r2 são as raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, então.




Exemplos

Na equação do 2º grau 12x2 - 5x - 2 = 0 temos a = 12, b = -5 e c = -2.

A soma das raízes é




O produto das raízes é




De fato, na equação temos:

a = 12, b = -5 e c = -2

∆ = b2 - 4ac

= (-5)2 - 4. 12. (-2)

= 25 + 96

= 121




               ou




Note então, que a soma das raízes é.




                        Professor: Nonato Mesquita.
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e o produto é


                .




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             Progressões Aritméticas e Geométricas
Seqüência
É uma expressão do termo geral an em função de n (índice do termo da seqüência).

A formula de recorrência fornece o 1º termo e expressa um termo qualquer a n+1, em
função do seu antecedente an.

Ex:

   a1 = 3

   an = 2 + an+1      {3, 5, 7, 9 ...}

Progressão Aritmética

Definição

É uma seqüência onde somando uma constante r ( denominada razão ) a cada termo,
obtem–se o termo seguinte.

Assim:

   a2 = a1 + r

   a3 = a2 + r = a1 + 2r

   a4 = a3 + r = a1 + 3r
   .
   .
   .
   .
   an = a1 + (n - 1) . r, que é conhecida como a Fórmula   do Termo Geral.
Propriedades

(1ª) Cada termo, a partir do segundo, é média aritmética entre o termo que o precede e o
termo que o sucede.

(2ª) A soma de dois termos eqüidistante dos extremos é igual à soma dos extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que a soma dos termos de uma P.A. é dada
por:


   Sn =          .n


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Interpolação Aritmética


            A e C são os extremos da PA e k é o número de termos a ser interpolado.

Definição

É uma seqüência onde multiplicando cada termo por uma constante q (denominada
razão), obtém-se o termo seguinte.

Assim:

   a2 = a1. q

   a3 = a2. q = a1. q2

   a4 = a3 . q = a1. q3
   .
   .
   .
   an = a1 . qn-1 que é a Fórmula do Termo Geral.

Propriedades
(1ª) Cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo que o precede e
o termo que o sucede.

(2ª) O produto de dois termos eqüidistante dos extremos é igual ao produto dos
extremos.

A partir desta propriedade demonstra-se que o produto dos termos de uma P.G. é dado
por:




                                                                   1.

Se q = 1 então sn = n . a1

( 4ª ) Se –1 < q < 1

e n tende a infinito, an tende a zero, e Sn a um número S chamado limite da soma obtido

por S =      .

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Interpolação geométrica




onde B e A são os extremos da PG,

K = número de termos que se deseja interpolar.




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                                     Matrizes
Conceito:
Matriz é uma tabela constituída por números ou letras dispostos em “m” linhas por “n”
colunas.

Exemplo:




Obs. 1. A matriz acima tem 2 linhas por 3 colunas.

Obs. 2. A representação genérica da matriz M é M = (a ij) nxp onde aij é o elemento que
ocupa a linha “i” e a coluna “j”.

Para a matriz acima, temos, por exemplo, a23 = p e a12 = 5.

Tipos de Matrizes

Classificação de matrizes

Matriz Nula: É a matriz que tem todos os seus elementos iguais à zero.

Matriz quadrada: É a matriz que tem o numero m de linhas igual ao número n de
colunas.

Obs.: A matriz nxn é denominada matriz quadrada de ordem n.

Diagonal principal e diagonal secundária:




   Seja A=

Os elementos a11 = 1, a22 = 5 e a33 = 9 formam a diagonal principal e os elementos a 13 =
3, a22 = 5 e a31 = 7 formam a diagonal secundária.

Matriz diagonal: É a matriz que apresenta todos os elementos que não pertencem à
diagonal principal iguais a zero.

Exemplo:




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Matriz Identidade ou Unidade: É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal
principal são iguais a um e os demais elementos são iguais à zero.

Exemplo:




I2 =               I3 =

Matriz transposta: Dada uma matriz A = (aji) mxn, chama-se transposta de A a matriz At
= (aji)mxn, tal que aji = aij, para todo i e todo j, ou seja, as colunas de A t são
ordenadamente iguais às linhas de A.

Exemplo:




Matriz Simétrica

É toda matriz quadrada A tal que At = A.

Exemplo:


A=                 é simétrica, pois At = A.

Matriz Anti-simétrica

É toda matriz quadrada A tal que At = -A



A=                   é anti-simétrica, pois At = -A

Operações com Matrizes

a) Adição e Subtração

A e B sendo matrizes do mesmo tipo, tem por adição à matriz          onde cij = aij bij.

b) Multiplicação por um nº. real

Sendo h = ( aij ) e

 . h = ( aij)nxp



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Exemplo:




c) Multiplicação entre matrizes

Para ser possível efetuar o produto entre duas matrizes, o número de colunas da
primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.




Somam-se os produtos dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos
correspondentes das colunas da 2º matriz.

Disposição prática para o cálculo do produto: Considerando as matrizes A e B e
dispondo conforme esquema abaixo, cada elemento cij é obtido a partir da linha de A e
coluna de B que nela se “cruzam”. Assim, por exemplo: c12= 1. 7 + 3. 9 = 34.




Obs. somente existe o produto de uma matriz A por outra B se o número de colunas de
A é igual ao número de linhas de B. Se existe um produto de A por B, o tipo da matriz
produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número de colunas de B. Pode existir
o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A.

Equações Matriciais

Veja o modelo: sendo A e B matrizes de mesma ordem, calcular x em função de A e B.

   2x - A = 3 B

Adicionando-se a matriz A pela direita nos 2 membros:

   2x - A + A = 3 B + A

   2x = 3 B + A

Multiplicando-se os dois membros por 1/2:




                      Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.


Matriz Inversa

Chama-se matriz inversa da matriz quadrada A e indica-se por A -1, à matriz também
quadrada, que, se existir, satisfaz a condição:

   A. A-1 = A-1. A = In

Onde In é a matriz unidade ou identidade.




Exemplo:


Dada a Matriz A =         sua inversa é:    , pois.




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Cadernos de Exercícios.




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                          Lista de Exercício
Assunto: Razão e Proporção.

01. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (15, X, Y, Z) e (3, 8,
10,12) sejam diretamente proporcionais:

02. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (X, 32, Y, Z) e (3, 4,
7,9) sejam diretamente proporcionais:

03. Determine X e Y de modo que as sucessões (20, X, Y,) e (3,4,5) sejam
inversamente proporcionais:

04. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (6, X, Y, Z) e
(20,12,10,6) sejam inversamente proporcionais:

05. Determine X e Y de modo que as sucessões (3, X, Y) e (4,6,12) sejam
inversamente proporcionais:

06. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5,7 e 13.

07. Dividir 1200 em partes diretamente proporcionais a 26,34 e 40.

08. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 1,2; 2 /5; e 8.

09. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4:

10. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6:

11. Dividir 1090 em partes inversamente proporcionais a 2 /3; 4 /5; e 7 /
8:

12. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e
inversamente proporcionais a 5 e 6:

13. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3,6 e 7 e
inversamente proporcionais a 5,4 e 2:

15. Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente
proporcionais às suas idades. Sabendo que cada um deles ganhou,
respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam
60 anos, qual é a idade de cada um deles?




                  Professor: Nonato Mesquita.
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                       Lista de Exercício


Assunto: Regra de Três.

01. Se três quilos de queijo custam R$ 24,60 quanto custarão cinco
quilos deste queijo?

02. Se três quilos de queijo custam R$ 24,60 quanto deste queijo poderei
comprar com R$ 53,30?

03. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem
casca. Quantos quilogramas de arroz com casca serão necessários para
que tenhamos 300 kg de arroz sem casca?

04. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem três
pintores a mais em quanto tempo pintariam o mesmo prédio?

05. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h faz um
determinado percurso em duas horas, em quanto tempo um outro
automóvel faria o mesmo percurso a uma velocidade de 80 km/h?

06. Uma roda-d’água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá
dado em uma hora e meia?

07. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor delas
tem 12 dentes a maior 78 dentes. Quantas voltas terá dado a menor
quando a maior tiver dado 10 voltas?

08. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de 12 m, se no
mesmo instante uma estaca vertical de um metro e meio projeta uma
sombra de meio metro?

09. Se um relógio adianta 18 minutos por dia quanto tempo terá
adiantado em 4 horas e 40 minutos?

10. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais
cumprida custou R$ 660, 00, enquanto a outra 12 metros mais curta,
custou R$ 528,00. Quanto media a mais cumprida?


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Apostila de Matemática.
11. Um rato está 30 metros à frente de um gato que o persegue.
Enquanto o rato corre 8 metros, o gato corre 11 metros. Qual a distancia
que o gato deverá percorrer para alcançar o rato?

12. Um gato persegue um rato. Enquanto o gato dá 2 pulos o rato dá três,
mais cada pulo do gato vale dois pulos de rato. Se a distancia inicial
entre eles é de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato terá dado até
alcançar o rato?

13. Um gato está 72 metros à frente de um cão que o persegue. Enquanto
o gato corre 7 m, o cão corre 9 m. Quantos metros o cão deverá percorrer
para diminuir a metade da terça parte que o separa do gato?

14. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio.
Em quanto tempo nove gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas?




                  Professor: Nonato Mesquita.
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                          Lista de Exercício

Assunto: Equação do 2º Grau.

01. Um grupo de amigos encontrou-se em um bar. Ao ser apresentado a
conta de R$ 240, 00, quatro deles afirmaram não dispor de dinheiro e
com isso cada um dos demais pagou a quantia adicional de R$ 5,00.
a) Quantas pessoas havia no grupo?
b) Que quantia coube a cada dos que pagaram?

02. Ache dois números inteiros positivos e consecutivos tais que a soma
de seus quadrados seja igual a 481.

03. A diferença entre o quadrado e o triplo de um mesmo número natural
é igual a 54. Determine esse número:

04. Determine dois números pares, positivos e consecutivos cujo produto
seja 120.

05. A soma de certo número inteiro com seu inverso é igual a 50/7. Qual
é esse número?

06. Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma de
seus inversos seja 5/6:

07. A soma de um número natural com o seu quadrado é igual a 72.
Determine esse número:

08. Decomponha o número 21 em duas parcelas tais que o produto entre
elas seja igual a 120.

09. Calcular m na equação mx2-3x+(m-1) =0 , de modo que uma de suas
raízes seja igual a 1.

10. Determine m na equação 2x2-mx+x+8 =0, de modo que a soma de
suas raízes seja igual a 5.

11. Verifique se -2 é raiz da equação 2x2-5x-18=0.

12. Usando a soma e o produto, encontre as raízes das equações abaixo:
 a) x2+15x+36=0.          b) x2+11x-12=0.             c) –x2+37x-36=0.
d) x2-x-12=0.            e) x2+7x+12=0.               f) x2-9x-36=0.
g) x2+37x-36=0.

                  Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
                         Lista de Exercício
Assunto: Exponencial e Logaritmo.
                                                                         x
                                                                         x−
                                                                   4 - 2 2
                                                                           1
                                                                               4
01. O triplo do valor de x que satisfaz a equação                            =   é:
                                                                         3     3
                                                                    2
a) 2.     b)6.        c)0.     d) 9.     e)3.

02. A soma dos zeros da função f(x) = 2x-1- 3             2 x −1 +2 é:

a) 1,5.     b) 2,5.     c)3,0.     d) 4,0.      e) 5,0.

                                                                                            a
03. Seja a função f, de R R, definida por f(x) = 53x. Se f(a) =8. Então f(-                  ) é:
                                                                                            3
04. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do
tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2 t/12. Isso significa que 5 dias após a hora
zero , o número de bactérias é :
a)1024 b)1120       c)512 d)20 e) 621.

05. O conjunto solução da equação 3x+31-x= 4, é:
a) {0, -2}.  b) {0,2}.   c) {0, -1}.    d) {0,1}.                  e) {1,2}.

06. A solução da equação 3x+3x+1+3x+2=39, admite:
a) Solução única.
b) Possui duas raízes.
c) A solução que satisfaz a equação é o número 5.
d) As raízes da equação são respectivamente 1 e 2.
e) Não admite solução.

07. Resolva a equação: 25x – 7.5x +10 = 0.

08. Resolva as exponenciais:
a) 9x+1= 27 .          b) 3x=-3.                   c) 7x=0.

d) 1x=18.                     e) 4. 8x+1= 16x+2.

09. Encontre o valor de x na equação 10x+ 10x-1=11x
10. Usando a definição, calcule:

                                                                                 1
a) log3 27             b) log 1 32       c) log 100.000        d) log        1
                                                                                      e) log 2 0,25.
                               2                                             5   5


11. Encontre o valor de a nas igualdades:

                                                                                                 1
a) log a 8 =3.               b) log a 81 = 4.          c) log a 1=0.                 d) log a      =2.
                                                                                                16

12. Encontre o valor de X:

a) log2 x =5.                          b) log (x+1)=2.

                             Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
13. Encontre os valores de X para os quais é possível determinar:
log x-2 (x2-4x-5).

                   1
14. Se 16x-1=         , então log8 x é igual a:
                   8
       4            2           1          2                  4
a) -     .     b) - .       c) - .      d)    .          e)     .
       3            3           3          3                  3

15. O número real X que satisfaz a equação log2 (12-2x) =2x é:

a) log2 5.               b) log2    3.         c) 2. d) log2        5   .   e) log2 3.

16. A função y= log (x2-7x+2k+2) é definida para todo x, em que condições?

17. Calcule o valor de:

a) 7log7 3.                 b) 3 4+log3 2.


c) log (log 10)+3 1+log3           3.
                                                                        x
18. O logaritmo, em uma base X, do número y=5+                            é 2. Então x = ?
                                                                        2
     3             4                               5
a)     .      b)     .     c) 2.     d) 5.    e)     .
     2             3                               2

19. Encontre x, sendo log7 [log5(log2X)]=0.

20. Acrescentando 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 3 aumento em 2
unidades. Esse número é:

a)5.       b) 8.         c) 2       d) 4.    e) 3.

21. Se x + y = 20 e x – y =5 então log (x2 – y2), vale:

                                                              ab
22. Sendo log a=11, log b= 0,5, log c=6 e log 3                     =X, podemos afirmar que X vale:
                                                               c

23. Calcule o valor de (log9 2). (log2 5). (log5 3)




                                             Lista de Exercício

Assunto: Progressão Aritmética.


                                Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
01. Determine o valor de x para que as seqüências dadas sejam P. A:
a) (a, ax, 5 a):    b) ( x-4, 2x, x+2):     c) ( a+b, x, a-b):

02. Encontre o valor de x na seqüência [log 2 8, log2(x+2), log2(x+7)]
para que os termos, nessa ordem, representem uma P. A:

03. Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são
divisíveis por 7?

04. Quantos números inteiros compreendidos entre um e cinco mil são
divisíveis por três e por sete ao mesmo tempo?

05. As medidas dos ângulos de um triângulo estão em P. A de razão 20.
Calcule as medidas dos ângulos deste triângulo:

06. Escreva uma PA crescente de três termos, sabendo que a soma de
seus termos é igual a 45 e o produto é igual a 3000:

07. Numa P. A de sete termos, a soma dos dois primeiros é igual a 14 e a
dos dois últimos é igual a 54. Calcule a razão e o último termo dessa P A:

08. Determine cinco números que forma uma PA crescente, sabendo que
o produto dos extremos é igual a 28 e a soma dos outros três é igual a 24:

09. Interpole seis meios aritméticos entre 100 e 184.

10. Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a razão
da P.A obtida?

11. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6,...).

12. Determine a soma dos n primeiros termos da P A (2n+1, 2n+3,...).

13. A soma dos 10 termos de uma P A é 200. Se o primeiro termo dessa
P. A é 2, calcule a razão.

14. Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16
na terceira; as demais fileiras se compõem na mesma seqüência.
Quantas fileiras serão necessárias para que o teatro possua 620
poltronas?




                  Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.
15. A soma das medidas dos ângulos interno de um triângulo é 180º.
Num triângulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menor desses
ângulos mede 40º. Calcule as medidas dos outros dois ângulos.

16. Dada a equação (x+2)+(x+6)+...+(x+26)=105.Encontre o valor de x
para que os termos do 1º membro estejam em P A:

17. Encontre o valor de x na igualdade x+2x+...+20x=6300, sabendo que
os termos do 1º membro estão em PA.




                        Lista de Exercício.

Assunto: Progressão Geométrica.

                 Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os
três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e
y:


02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1,
b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine
os valores de a, b e c.


03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a
seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente.

                                                         1       1      1
04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência (      x
                                                             ,   y   , x + z ) é uma
progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x.


05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG.
Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente.


06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2,
b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a
P G.


07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão
simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y.


08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo
geral é dado por:
                                                         n +1
a) an =n+1.    b) an = (n+1)2.   c) an = n2+1. d) an =     n
                                                                     . e) an = n2-1.




                   Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os
três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e
y:


02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1,
b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine
os valores de a, b e c.


03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a
seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente.

                                                         1       1      1
04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência (      x
                                                             ,   y   , x + z ) é uma
progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x.


05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG.
Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente.


06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2,
b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a
P G.


07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão
simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y.


08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo
geral é dado por:
                                                         n +1
a) an =n+1.    b) an = (n+1)2.   c) an = n2+1. d) an =     n
                                                                     . e) an = n2-1.




                   Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os
três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e
y:


02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1,
b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine
os valores de a, b e c.


03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a
seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente.

                                                         1       1      1
04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência (      x
                                                             ,   y   , x + z ) é uma
progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x.


05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG.
Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente.


06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2,
b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a
P G.


07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão
simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y.


08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo
geral é dado por:
                                                         n +1
a) an =n+1.    b) an = (n+1)2.   c) an = n2+1. d) an =     n
                                                                     . e) an = n2-1.




                   Professor: Nonato Mesquita.
Apostila de Matemática.

01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os
três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e
y:


02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1,
b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine
os valores de a, b e c.


03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a
seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente.

                                                         1       1      1
04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência (      x
                                                             ,   y   , x + z ) é uma
progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x.


05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG.
Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente.


06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2,
b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a
P G.


07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão
simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y.


08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo
geral é dado por:
                                                         n +1
a) an =n+1.    b) an = (n+1)2.   c) an = n2+1. d) an =     n
                                                                     . e) an = n2-1.




                   Professor: Nonato Mesquita.

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  • 1. Apostila de Matemática. GOVERNO DO ESTADO DE RORAIMA UNIVERSIDADE VIRTUAL DE RORAIMA - UNIVIRR APOSTILA CURSO DE MATEMÁTICA Professor: Nonato Mesquita.
  • 2. Apostila de Matemática. Fatoração e Produtos Notáveis Produtos Notáveis: Quadrado da Soma ou Diferença: (a + b)2 = a2+ 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc Ex: (2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y2) + (3y2)2 = = 4x2 + 12xy2 + 9y4 Produto da Soma pela Diferença: (a + b). (a - b) = a2 - b2 Ex: x2 - 16 = (x + 4). (x - 4) a4 - b4 = (a2)2 - (b2)2 = (a2 - b2). (a2 + b2) = (a + b). (a - b). (a2 + b2) Cubo da soma e da diferença: (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Ex: (x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3(x) (2)2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 Professor: Nonato Mesquita.
  • 3. Apostila de Matemática. Fatoração Fatorar: Significa encontrar fatores que conduzam a um produto dado. Principais casos de fatoração: Fator comum (evidência) ax + bx = x(a + b) Agrupamento: ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y) Diferença de Quadrados: a2 - b2 = (a + b) (a - b) Quadrados Perfeitos: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Soma de Cubos: (a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2) Diferença de cubos: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Ex: 8y3 - 125 = (2y)3 - 53 = (2y - 5). (4y2 + 10y + 25) Cubos Perfeitos: a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 Ex: x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 Professor: Nonato Mesquita.
  • 4. Apostila de Matemática. Equações Equações de 1º e 2º graus: O problema Quando escrevemos uma equação, como por exemplo: "x2 - 2x = x - 4" propomos o seguinte problema: "Quais são os valores de x para os quais a igualdade é verdadeira?" Resolver uma equação é dar resposta ao problema, isto é, é encontrar todos os valores de x que verificam (satisfazem) a igualdade. Tais valores (números) são as raízes ou as soluções da equação. Na escritura de uma equação, como a do exemplo acima, a letra x (ou y, z, t, a,...) chama-se incógnita. Conjunto-solução de uma equação é o conjunto cujos elementos são todas as raízes (ou soluções) da equação. Duas equações dizem-se equivalentes se possuem o mesmo conjunto-solução. As transformações De um modo bem geral, para resolvermos uma equação transformamos suas escrituras. Por exemplo, para resolvermos uma equação como. 2x + 4 = 8 + x, Transformamos sua escritura até isolarmos a incógnita em um dos dois membros. As transformações mais importantes estão descritas a seguir. Transformação TE1 Dada uma equação aos seus dois membros podemos somar (ou subtrair) um mesmo número. A equação assim obtida é equivalente à equação dada Transformação TE2 Dada uma equação, seus dois membros podem ser multiplicados (ou divididos) por um mesmo número diferente de zero. A equação assim obtida é equivalente à equação dada. Equações do 1º grau Professor: Nonato Mesquita.
  • 5. Apostila de Matemática. Equação do 1º grau Uma equação do 1º grau na incógnita x é qualquer equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0 (a e b são números reais e a ≠ 0) Equação - produto Sabemos que, se a e b são números com a. b = 0, então a = 0 ou b = 0. Esse resultado estabelece que se o produto de dois ou mais fatores é zero então ao menos um dos fatores é zero. Essa propriedade nos dá um poderoso método para a resolução de equações. Por exemplo, vamos resolver a equação. 4x2 + 8x = 0 Inicialmente, fatoramos o 1º membro da equação: 4x. x + 4x. 2 = 0 4x. (x + 2) = 0 Sendo zero o produto de 4x por x + 2, então ao menos um desses fatores deve ser zero. Igualamos a zero cada fator e resolvemos as equações em x assim obtidas: 4x = 0 ou x+2=0 x=0 x = -2 Ambos os valores encontrados 0 e -2 são raízes da equação 4x 2 + 8x = 0; daí, seu conjunto-solução é. S = {0; -2}. Resolução de um problema com auxílio de uma equação Há problemas, mesmo problemas de nosso dia a dia, que podem ser resolvidos com auxílio de equações, desde que seus enunciados sejam convenientemente traduzidos na linguagem da matemática. Para essa resolução, devemos organizar o nosso trabalho em etapas. Professor: Nonato Mesquita.
  • 6. Apostila de Matemática. 1ª) Leitura atenciosa do enunciado. 2ª) Escolha das incógnitas. 3ª) Tradução do enunciado em equações. 4ª) Resolução dessas equações. 5ª) Conclusão, na qual confrontamos os resultados encontrados com as limitações que o enunciado impõe às incógnitas. Exemplo Uma pessoa dispõe de material para construir 28 m de cerca. Com esse material ele deseja construir um canil com a forma de um retângulo, de modo que o comprimento seja maior que a largura em 6 m. Quais devem ser as dimensões do canil? O perímetro do retângulo (soma das medidas de seus lados) é 28. Se escolhermos x para representar a largura do canil, x + 6 representa o seu comprimento. O perímetro do retângulo pode ser expresso por 2x + 2 (x + 6) ou por 28. Então, 2x + 2 (x + 6) = 28 Resolvemos à equação obtida. Daí, x + 6 = 10 As dimensões do canil são 6 m e 10 m. Porcentagem Professor: Nonato Mesquita.
  • 7. Apostila de Matemática. 5% é Para dividir um número por 100 podemos, em sua representação, deslocar a vírgula duas casas (posições) para a esquerda. Então, 5% é = 0,05 Também, 37,5% = = 0,375 %= = = 0,005 Definição x%= Algumas situações Tradução em linguagem Situação Exemplo matemática tomar x% de A x % de A = .A 12% de 50 é . 50 = 6 Se 50 aumentar de 12% obtém-se A + x% de A = aumentar A de x% A+ . A = A. . 50 = 1,12. 50 = 56 Se 50 diminuir de 12% obtém-se A - x% de A = Diminuir A de x% A- . A = A. . 50 = 0,88. 50 = 44 Equação do 2º Grau Professor: Nonato Mesquita.
  • 8. Apostila de Matemática. Definição Uma equação do 2º grau é da forma ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita, a, b, c são números reais com a ≠ 0. Por exemplo, na equação do 2º grau -2x 2 + 3x + 2 = 0 temos a = -2, b = 3 e c = 2. Os números a, b e c são os coeficientes da equação; c é o seu termo independente. As equações incompletas Se na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 temos b = 0 ou c = 0, ela diz incompleta. Por exemplo, são incompletas as equações. 3x2 - 2x = 0 (c = 0) 9x2 - 4 = 0 (b = 0) Uma equação incompleta como 3x2 - 2x = 0 pode ser resolvida fatorando seu 1º membro: 3x2 - 2x = 0 3x. x - 2x. x = 0 X. (3x -2) = 0 x = 0 ou 3x - 2 = 0 3x = 2 x= S = {0; } Resolvemos à equação incompleta 9x2 - 4 = 0, isolando x2 no seu 1º membro: 9x2 - 4 = 0 9x2 = 4 x2 = x= ou x = - Professor: Nonato Mesquita.
  • 9. Apostila de Matemática. S ={ ;- } Resolução da equação do 2º grau Fórmula Seja a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0. Construímos o número ∆ = b2 - 4ac Ao número ∆ dá-se o nome de discriminante da equação. Se representamos com S o conjunto-solução da equação temos: A equação não admite solução; ∆ < 0 seu conjunto-solução é vazio: S=∅ A equação tem uma única raiz: ∆ =0 x= . S={ } A equação tem duas raízes: x = ∆>0 S={ } Observação: O desenho ∆ é uma letra do alfabeto grego que se lê "delta". Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau Propriedade Professor: Nonato Mesquita.
  • 10. Apostila de Matemática. Se r1 e r2 são as raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, então. Exemplos Na equação do 2º grau 12x2 - 5x - 2 = 0 temos a = 12, b = -5 e c = -2. A soma das raízes é O produto das raízes é De fato, na equação temos: a = 12, b = -5 e c = -2 ∆ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4. 12. (-2) = 25 + 96 = 121 ou Note então, que a soma das raízes é. Professor: Nonato Mesquita.
  • 11. Apostila de Matemática. e o produto é . Professor: Nonato Mesquita.
  • 12. Apostila de Matemática. Progressões Aritméticas e Geométricas Seqüência É uma expressão do termo geral an em função de n (índice do termo da seqüência). A formula de recorrência fornece o 1º termo e expressa um termo qualquer a n+1, em função do seu antecedente an. Ex: a1 = 3 an = 2 + an+1 {3, 5, 7, 9 ...} Progressão Aritmética Definição É uma seqüência onde somando uma constante r ( denominada razão ) a cada termo, obtem–se o termo seguinte. Assim: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 3r . . . . an = a1 + (n - 1) . r, que é conhecida como a Fórmula do Termo Geral. Propriedades (1ª) Cada termo, a partir do segundo, é média aritmética entre o termo que o precede e o termo que o sucede. (2ª) A soma de dois termos eqüidistante dos extremos é igual à soma dos extremos. A partir desta propriedade demonstra-se que a soma dos termos de uma P.A. é dada por: Sn = .n Professor: Nonato Mesquita.
  • 13. Apostila de Matemática. Interpolação Aritmética A e C são os extremos da PA e k é o número de termos a ser interpolado. Definição É uma seqüência onde multiplicando cada termo por uma constante q (denominada razão), obtém-se o termo seguinte. Assim: a2 = a1. q a3 = a2. q = a1. q2 a4 = a3 . q = a1. q3 . . . an = a1 . qn-1 que é a Fórmula do Termo Geral. Propriedades (1ª) Cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo que o precede e o termo que o sucede. (2ª) O produto de dois termos eqüidistante dos extremos é igual ao produto dos extremos. A partir desta propriedade demonstra-se que o produto dos termos de uma P.G. é dado por: 1. Se q = 1 então sn = n . a1 ( 4ª ) Se –1 < q < 1 e n tende a infinito, an tende a zero, e Sn a um número S chamado limite da soma obtido por S = . Professor: Nonato Mesquita.
  • 14. Apostila de Matemática. Interpolação geométrica onde B e A são os extremos da PG, K = número de termos que se deseja interpolar. Professor: Nonato Mesquita.
  • 15. Apostila de Matemática. Matrizes Conceito: Matriz é uma tabela constituída por números ou letras dispostos em “m” linhas por “n” colunas. Exemplo: Obs. 1. A matriz acima tem 2 linhas por 3 colunas. Obs. 2. A representação genérica da matriz M é M = (a ij) nxp onde aij é o elemento que ocupa a linha “i” e a coluna “j”. Para a matriz acima, temos, por exemplo, a23 = p e a12 = 5. Tipos de Matrizes Classificação de matrizes Matriz Nula: É a matriz que tem todos os seus elementos iguais à zero. Matriz quadrada: É a matriz que tem o numero m de linhas igual ao número n de colunas. Obs.: A matriz nxn é denominada matriz quadrada de ordem n. Diagonal principal e diagonal secundária: Seja A= Os elementos a11 = 1, a22 = 5 e a33 = 9 formam a diagonal principal e os elementos a 13 = 3, a22 = 5 e a31 = 7 formam a diagonal secundária. Matriz diagonal: É a matriz que apresenta todos os elementos que não pertencem à diagonal principal iguais a zero. Exemplo: Professor: Nonato Mesquita.
  • 16. Apostila de Matemática. Matriz Identidade ou Unidade: É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais à zero. Exemplo: I2 = I3 = Matriz transposta: Dada uma matriz A = (aji) mxn, chama-se transposta de A a matriz At = (aji)mxn, tal que aji = aij, para todo i e todo j, ou seja, as colunas de A t são ordenadamente iguais às linhas de A. Exemplo: Matriz Simétrica É toda matriz quadrada A tal que At = A. Exemplo: A= é simétrica, pois At = A. Matriz Anti-simétrica É toda matriz quadrada A tal que At = -A A= é anti-simétrica, pois At = -A Operações com Matrizes a) Adição e Subtração A e B sendo matrizes do mesmo tipo, tem por adição à matriz onde cij = aij bij. b) Multiplicação por um nº. real Sendo h = ( aij ) e . h = ( aij)nxp Professor: Nonato Mesquita.
  • 17. Apostila de Matemática. Exemplo: c) Multiplicação entre matrizes Para ser possível efetuar o produto entre duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Somam-se os produtos dos elementos das linhas da primeira matriz pelos elementos correspondentes das colunas da 2º matriz. Disposição prática para o cálculo do produto: Considerando as matrizes A e B e dispondo conforme esquema abaixo, cada elemento cij é obtido a partir da linha de A e coluna de B que nela se “cruzam”. Assim, por exemplo: c12= 1. 7 + 3. 9 = 34. Obs. somente existe o produto de uma matriz A por outra B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se existe um produto de A por B, o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas não existir o produto de B por A. Equações Matriciais Veja o modelo: sendo A e B matrizes de mesma ordem, calcular x em função de A e B. 2x - A = 3 B Adicionando-se a matriz A pela direita nos 2 membros: 2x - A + A = 3 B + A 2x = 3 B + A Multiplicando-se os dois membros por 1/2: Professor: Nonato Mesquita.
  • 18. Apostila de Matemática. Matriz Inversa Chama-se matriz inversa da matriz quadrada A e indica-se por A -1, à matriz também quadrada, que, se existir, satisfaz a condição: A. A-1 = A-1. A = In Onde In é a matriz unidade ou identidade. Exemplo: Dada a Matriz A = sua inversa é: , pois. Professor: Nonato Mesquita.
  • 19. Apostila de Matemática. Cadernos de Exercícios. Professor: Nonato Mesquita.
  • 20. Apostila de Matemática. Lista de Exercício Assunto: Razão e Proporção. 01. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (15, X, Y, Z) e (3, 8, 10,12) sejam diretamente proporcionais: 02. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (X, 32, Y, Z) e (3, 4, 7,9) sejam diretamente proporcionais: 03. Determine X e Y de modo que as sucessões (20, X, Y,) e (3,4,5) sejam inversamente proporcionais: 04. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (6, X, Y, Z) e (20,12,10,6) sejam inversamente proporcionais: 05. Determine X e Y de modo que as sucessões (3, X, Y) e (4,6,12) sejam inversamente proporcionais: 06. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5,7 e 13. 07. Dividir 1200 em partes diretamente proporcionais a 26,34 e 40. 08. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 1,2; 2 /5; e 8. 09. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4: 10. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6: 11. Dividir 1090 em partes inversamente proporcionais a 2 /3; 4 /5; e 7 / 8: 12. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6: 13. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3,6 e 7 e inversamente proporcionais a 5,4 e 2: 15. Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente proporcionais às suas idades. Sabendo que cada um deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual é a idade de cada um deles? Professor: Nonato Mesquita.
  • 21. Apostila de Matemática. Lista de Exercício Assunto: Regra de Três. 01. Se três quilos de queijo custam R$ 24,60 quanto custarão cinco quilos deste queijo? 02. Se três quilos de queijo custam R$ 24,60 quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30? 03. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca serão necessários para que tenhamos 300 kg de arroz sem casca? 04. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem três pintores a mais em quanto tempo pintariam o mesmo prédio? 05. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h faz um determinado percurso em duas horas, em quanto tempo um outro automóvel faria o mesmo percurso a uma velocidade de 80 km/h? 06. Uma roda-d’água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e meia? 07. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes a maior 78 dentes. Quantas voltas terá dado a menor quando a maior tiver dado 10 voltas? 08. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de 12 m, se no mesmo instante uma estaca vertical de um metro e meio projeta uma sombra de meio metro? 09. Se um relógio adianta 18 minutos por dia quanto tempo terá adiantado em 4 horas e 40 minutos? 10. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais cumprida custou R$ 660, 00, enquanto a outra 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais cumprida? Professor: Nonato Mesquita.
  • 22. Apostila de Matemática. 11. Um rato está 30 metros à frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8 metros, o gato corre 11 metros. Qual a distancia que o gato deverá percorrer para alcançar o rato? 12. Um gato persegue um rato. Enquanto o gato dá 2 pulos o rato dá três, mais cada pulo do gato vale dois pulos de rato. Se a distancia inicial entre eles é de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato terá dado até alcançar o rato? 13. Um gato está 72 metros à frente de um cão que o persegue. Enquanto o gato corre 7 m, o cão corre 9 m. Quantos metros o cão deverá percorrer para diminuir a metade da terça parte que o separa do gato? 14. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo nove gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? Professor: Nonato Mesquita.
  • 23. Apostila de Matemática. Lista de Exercício Assunto: Equação do 2º Grau. 01. Um grupo de amigos encontrou-se em um bar. Ao ser apresentado a conta de R$ 240, 00, quatro deles afirmaram não dispor de dinheiro e com isso cada um dos demais pagou a quantia adicional de R$ 5,00. a) Quantas pessoas havia no grupo? b) Que quantia coube a cada dos que pagaram? 02. Ache dois números inteiros positivos e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja igual a 481. 03. A diferença entre o quadrado e o triplo de um mesmo número natural é igual a 54. Determine esse número: 04. Determine dois números pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120. 05. A soma de certo número inteiro com seu inverso é igual a 50/7. Qual é esse número? 06. Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma de seus inversos seja 5/6: 07. A soma de um número natural com o seu quadrado é igual a 72. Determine esse número: 08. Decomponha o número 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja igual a 120. 09. Calcular m na equação mx2-3x+(m-1) =0 , de modo que uma de suas raízes seja igual a 1. 10. Determine m na equação 2x2-mx+x+8 =0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 5. 11. Verifique se -2 é raiz da equação 2x2-5x-18=0. 12. Usando a soma e o produto, encontre as raízes das equações abaixo: a) x2+15x+36=0. b) x2+11x-12=0. c) –x2+37x-36=0. d) x2-x-12=0. e) x2+7x+12=0. f) x2-9x-36=0. g) x2+37x-36=0. Professor: Nonato Mesquita.
  • 24. Apostila de Matemática. Lista de Exercício Assunto: Exponencial e Logaritmo. x x− 4 - 2 2 1 4 01. O triplo do valor de x que satisfaz a equação = é: 3 3 2 a) 2. b)6. c)0. d) 9. e)3. 02. A soma dos zeros da função f(x) = 2x-1- 3 2 x −1 +2 é: a) 1,5. b) 2,5. c)3,0. d) 4,0. e) 5,0. a 03. Seja a função f, de R R, definida por f(x) = 53x. Se f(a) =8. Então f(- ) é: 3 04. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2 t/12. Isso significa que 5 dias após a hora zero , o número de bactérias é : a)1024 b)1120 c)512 d)20 e) 621. 05. O conjunto solução da equação 3x+31-x= 4, é: a) {0, -2}. b) {0,2}. c) {0, -1}. d) {0,1}. e) {1,2}. 06. A solução da equação 3x+3x+1+3x+2=39, admite: a) Solução única. b) Possui duas raízes. c) A solução que satisfaz a equação é o número 5. d) As raízes da equação são respectivamente 1 e 2. e) Não admite solução. 07. Resolva a equação: 25x – 7.5x +10 = 0. 08. Resolva as exponenciais: a) 9x+1= 27 . b) 3x=-3. c) 7x=0. d) 1x=18. e) 4. 8x+1= 16x+2. 09. Encontre o valor de x na equação 10x+ 10x-1=11x 10. Usando a definição, calcule: 1 a) log3 27 b) log 1 32 c) log 100.000 d) log 1 e) log 2 0,25. 2 5 5 11. Encontre o valor de a nas igualdades: 1 a) log a 8 =3. b) log a 81 = 4. c) log a 1=0. d) log a =2. 16 12. Encontre o valor de X: a) log2 x =5. b) log (x+1)=2. Professor: Nonato Mesquita.
  • 25. Apostila de Matemática. 13. Encontre os valores de X para os quais é possível determinar: log x-2 (x2-4x-5). 1 14. Se 16x-1= , então log8 x é igual a: 8 4 2 1 2 4 a) - . b) - . c) - . d) . e) . 3 3 3 3 3 15. O número real X que satisfaz a equação log2 (12-2x) =2x é: a) log2 5. b) log2 3. c) 2. d) log2 5 . e) log2 3. 16. A função y= log (x2-7x+2k+2) é definida para todo x, em que condições? 17. Calcule o valor de: a) 7log7 3. b) 3 4+log3 2. c) log (log 10)+3 1+log3 3. x 18. O logaritmo, em uma base X, do número y=5+ é 2. Então x = ? 2 3 4 5 a) . b) . c) 2. d) 5. e) . 2 3 2 19. Encontre x, sendo log7 [log5(log2X)]=0. 20. Acrescentando 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 3 aumento em 2 unidades. Esse número é: a)5. b) 8. c) 2 d) 4. e) 3. 21. Se x + y = 20 e x – y =5 então log (x2 – y2), vale: ab 22. Sendo log a=11, log b= 0,5, log c=6 e log 3 =X, podemos afirmar que X vale: c 23. Calcule o valor de (log9 2). (log2 5). (log5 3) Lista de Exercício Assunto: Progressão Aritmética. Professor: Nonato Mesquita.
  • 26. Apostila de Matemática. 01. Determine o valor de x para que as seqüências dadas sejam P. A: a) (a, ax, 5 a): b) ( x-4, 2x, x+2): c) ( a+b, x, a-b): 02. Encontre o valor de x na seqüência [log 2 8, log2(x+2), log2(x+7)] para que os termos, nessa ordem, representem uma P. A: 03. Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 7? 04. Quantos números inteiros compreendidos entre um e cinco mil são divisíveis por três e por sete ao mesmo tempo? 05. As medidas dos ângulos de um triângulo estão em P. A de razão 20. Calcule as medidas dos ângulos deste triângulo: 06. Escreva uma PA crescente de três termos, sabendo que a soma de seus termos é igual a 45 e o produto é igual a 3000: 07. Numa P. A de sete termos, a soma dos dois primeiros é igual a 14 e a dos dois últimos é igual a 54. Calcule a razão e o último termo dessa P A: 08. Determine cinco números que forma uma PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é igual a 28 e a soma dos outros três é igual a 24: 09. Interpole seis meios aritméticos entre 100 e 184. 10. Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a razão da P.A obtida? 11. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6,...). 12. Determine a soma dos n primeiros termos da P A (2n+1, 2n+3,...). 13. A soma dos 10 termos de uma P A é 200. Se o primeiro termo dessa P. A é 2, calcule a razão. 14. Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na mesma seqüência. Quantas fileiras serão necessárias para que o teatro possua 620 poltronas? Professor: Nonato Mesquita.
  • 27. Apostila de Matemática. 15. A soma das medidas dos ângulos interno de um triângulo é 180º. Num triângulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menor desses ângulos mede 40º. Calcule as medidas dos outros dois ângulos. 16. Dada a equação (x+2)+(x+6)+...+(x+26)=105.Encontre o valor de x para que os termos do 1º membro estejam em P A: 17. Encontre o valor de x na igualdade x+2x+...+20x=6300, sabendo que os termos do 1º membro estão em PA. Lista de Exercício. Assunto: Progressão Geométrica. Professor: Nonato Mesquita.
  • 28. Apostila de Matemática. 01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e y: 02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1, b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine os valores de a, b e c. 03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente. 1 1 1 04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência ( x , y , x + z ) é uma progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x. 05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG. Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente. 06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2, b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a P G. 07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y. 08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo geral é dado por: n +1 a) an =n+1. b) an = (n+1)2. c) an = n2+1. d) an = n . e) an = n2-1. Professor: Nonato Mesquita.
  • 29. Apostila de Matemática. 01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e y: 02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1, b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine os valores de a, b e c. 03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente. 1 1 1 04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência ( x , y , x + z ) é uma progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x. 05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG. Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente. 06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2, b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a P G. 07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y. 08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo geral é dado por: n +1 a) an =n+1. b) an = (n+1)2. c) an = n2+1. d) an = n . e) an = n2-1. Professor: Nonato Mesquita.
  • 30. Apostila de Matemática. 01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e y: 02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1, b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine os valores de a, b e c. 03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente. 1 1 1 04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência ( x , y , x + z ) é uma progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x. 05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG. Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente. 06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2, b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a P G. 07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y. 08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo geral é dado por: n +1 a) an =n+1. b) an = (n+1)2. c) an = n2+1. d) an = n . e) an = n2-1. Professor: Nonato Mesquita.
  • 31. Apostila de Matemática. 01. São dados quatro números x, y, 6 e 4, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em P. A e os três últimos estão em PG, Determine x e y: 02. A seqüência (a, b, c) é uma progressão geométrica e a seqüência (a-1, b, c) é uma progressão aritmética. Sabendo que a + b + c =19, determine os valores de a, b e c. 03. Calcule x e y sabendo que a seqüência (x, y, 9) é uma P. A e a seqüência (x, y, 12) é uma PG crescente. 1 1 1 04. A seqüência (x, y, z) é uma P A e a seqüência ( x , y , x + z ) é uma progressão geométrica, nessas condições prove que y =2x. 05. A seqüência (a, b, c) é uma P A e a seqüência (a, b, c+1) é uma PG. Se a + b + c = 18, escreva a P. A., sabendo que ela é crescente. 06. A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma P. A de razão 4 e a seqüência (b 1, b2, b3, b4 )é uma P G de razão 4. Sabendo que a4=b3 e a1=b2, escreva a P. A e a P G. 07. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa ordem, estão simultaneamente em P. A e em PG, calcule x e y. 08. Dada à seqüência (2, 5, 10, 17, 26,...) para todo n € N*, seu termo geral é dado por: n +1 a) an =n+1. b) an = (n+1)2. c) an = n2+1. d) an = n . e) an = n2-1. Professor: Nonato Mesquita.