1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números reais como relações de ordem, intervalos, aproximações, arredondamentos e enquadramentos. 2) São descritas propriedades de relações de ordem entre números reais e operações com desigualdades. 3) São explicados métodos para aproximar valores numéricos através de enquadramentos e obter aproximações com erros controlados.

1. Escola Básica e
Secundária de Vila Cova
Ano letivo: 2015/2016
Ficha de Apoio
Matemática 9º Ano – Números reais. Inequações
outubro 2015 “Com trabalho e perseverança, tudo se alcança”
Nome: _________________________________________________________________________________________
Nº: _____ Turma: ______ Professoras: Cristina Alves e Laurinda Barros
RELAÇAO DE ORDEM EM IR – PROPRIEDADES
1. Dizer que 𝑎 > 𝑏 é o mesmo que dizer que 𝑏 < 𝑎 .
2. Transitividade - Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑏 < 𝑐 então 𝑎 < 𝑐.
3. Monotonia da adição- Sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 três números reais
quaisquer : Se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐.
4. Monotonia da multiplicação - Sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 três números
reais quaisquer :
 Se 𝑐 > 0, 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 × 𝑐 < 𝑏 × 𝑐
(quando se multiplica/divide por um mesmo número
positivo os dois membros de uma desigualdade, o sentido da
desigualdade mantem-se).
 Se 𝑐 < 0, 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 × 𝑐 > 𝑏 × 𝑐
(quando se multiplica/divide por um mesmo número
negativo os dois membros de uma desigualdade, o sentido
da desigualdade mantem-se).
5. Monotonia do quadrado: Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais
positivos. Se 𝑎 < b então 𝑎2
< 𝑏2
.
6. Monotonia do cubo: Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais. Se
𝑎 < 𝑏 então 𝑎3
< 𝑏3
, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅
7. Passagem ao inverso: Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números
reais positivos. Se 𝑎 < 𝑏 então
1
𝑎
>
1
𝑏
.
INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS
REUNIÃO E INTERSEÇÃO DE INTERVALOS
A reunião do conjunto A com o conjunto B representa-se por
𝐴 ∪ 𝐵 e é o conjunto constituído pelos elementos que pertencem
ao conjunto A ou ao conjunto B.
Exemplo: Se 𝐴 = ]−3, 5] e 𝐵 = [−2, +∞[,
então 𝐴 ∪ 𝐵 = ]−3, +∞[ .
A interseção do conjunto A com o conjunto B representa-se
por 𝐴 ∩ 𝐵 e é o conjunto constituído pelos elementos que
pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B.
Exemplo: Se 𝐴 = ]−3, 5] e 𝐵 = [−2, +∞[,
então 𝐴 ∩ 𝐵 = [−2, 5] .
APROXIMAÇÕES
Seja 𝑥 um número real qualquer e 𝑟 um número positivo (𝑟 > 0). Chama-se aproximação de 𝒙 com erro inferior a 𝒓 a
todo o número 𝒙′ cuja distancia a 𝑥 seja menor do que 𝑟, isto é, tal que 𝑥′
∈ ]𝑥 − 𝑟, 𝑥 + 𝑟[.
Diz-se, ainda que:
 𝑥’ é um valor aproximado por defeito se 𝑥′ ≤ 𝑥
 𝑥’ é um valor aproximado por excesso se 𝑥′ ≥ 𝑥
Exemplo1
Consideremos o número real
1
3
= 0,333333 … = 0, (3) (dízima infinita periódica)
 0,3 diz-se uma aproximação (por defeito) de
1
3
com erro inferior a 0,1
 0,4 diz-se uma aproximação (por excesso) de
1
3
com erro inferior a 0,1
Se 𝑥′ é uma aproximação de 𝑥 com erro inferior a 𝑟 e 𝑦′ é uma aproximação de 𝑦 com erro inferior a 𝑟, então 𝑥′
+ 𝑦′ é
uma aproximação de 𝑥 + 𝑦 com erro inferior a 2𝑟.
Exemplo
Consideremos o número real √2 = 1,41421 … (dízima infinita não periódica)
 1,41 diz-se uma aproximação de √2 com erro inferior a 0,01
 1,42 diz-se uma aproximação de √2 com erro inferior a 0,01
0,3 <
1
3
< 0,4
1,41 < √2 < 1,42

2. Assim para √2 +
1
3
= 1,7475 … uma aproximação com erro inferior a 0,01
 1,41 + 0,33 = 1,74 diz-se uma aproximação de √2 +
1
3
com erro inferior a 0,01
 1,42 + 0,34 = 1,76 diz diz-se uma aproximação de √2 +
1
3
com erro inferior a 0,01
Como 1,76 − 1,7475 … = 0,0125, o erro é inferior a 0,02 (2 × 0,01).
ARREDONDAMENTOS E ENQUADRAMENTOS
ENQUADRAMENTO
Consideremos o número real
4
3
= 1,3333 … podemos obter os seguintes enquadramentos:
 1 <
4
3
< 2 (erro inferior a 1) ■ 1,33<4
3
<1,34 (erro inferior a 0,01)
 1,3 <
4
3
< 1,34 (erro inferior a 0,1) ■ 1,333<4
3
<1,334 (erro inferior a 0,001)
ENQUADRAMENTO DO PRODUTO
Podemos aproximar o produto de dois números reais pelo produto de aproximações dos fatores, estabelecendo um valor
máximo para o erro cometido, usando enquadramentos.
Exemplo
Sendo 5 e 7 aproximações de números reais x e y, respetivamente, com erro inferior a
1
10
, então 𝑥 × 𝑦:
5 −
1
10
< 𝑥 < 5 +
1
10
⇔
49
10
< 𝑥 <
51
10
e 7 −
1
10
< 𝑥 < 7 +
1
10
⇔
69
10
< 𝑥 <
71
10
Como os valores são positivos, aplicando as propriedades da relação de ordem, temos
49
10
×
69
10
< 𝑥 × 𝑦 <
51
10
×
71
10
Fazendo os cálculos, obtemos 33,81 < 𝑥 × 𝑦 < 36,21.
ENQUADRAMENTO DA RAIZES QUADRADAS
Enquadramento de √ 𝒙 com um erro inferior a
𝟏
𝒏
(𝒙 positivo e 𝒏 natural).
Enquadra-se o produto 𝑥 × 𝑛2
entre os quadrados de números inteiros consecutivos, m e m+1.
𝑚2
< 𝑥 × 𝑛2
< (𝑚 + 1)2
⇔
𝑚2
𝑛2
< 𝑥 <
(𝑚 + 1)2
𝑛2
⇔ (
𝑚
𝑛
)
2
< 𝑥 < (
𝑚 + 1
𝑛
)
2
⇔
𝒎
𝒏
< √ 𝒙 <
𝒎 + 𝟏
𝒏
𝑚
𝑛
e
𝑚+1
𝑛
são aproximações (por defeito e por excesso, respetivamente) de √ 𝑥, com um erro inferior
1
𝑛
.
Exemplo
Enquadrar √5 por números racionais, com erro inferior a 𝑟 = 0,5.
Temos que 𝑟 = 0,5 =
1
2
(está na forma
1
𝑛
). Obtemos assim, 𝑛 = 2 e 𝑥 = 5.
Enquadra-se o produto 5 × 22
= 20 entre os quadrados de números inteiros consecutivos, 16 < 20 < 25. Obtemos:
16 < 20 < 25 ⇔ 42
< 22
× 5 < 52
⇔ (
4
2
)
2
< 5 < (
5
2
)
2
⇔
4
2
< √5 <
5
2
⇔ 2 < √5 < 2,5
ENQUADRAMENTO DA RAIZES CÚBICAS
Usamos procedimentos análogos aos das raízes quadradas. Enquadrar √7
3
por números racionais, com erro inferior a 𝑟 = 0,2.
Temos que 𝑟 = 0,2 =
2
10
=
1
5
(está na forma
1
𝑛
). Obtemos assim, 𝑛 = 5 e 𝑥 = 7.
Enquadra-se o produto 7× 53
= 875 entre os cubos de números inteiros consecutivos, 729< 875 < 1000. Obtemos:
729 < 875 < 1000 ⇔ 93
< 53
× 7 < 103
⇔ (
9
5
)
3
< 7 < (
10
5
)
3
⇔
9
5
< √7
3
<
10
5
⇔ 1,8 < √7
3
< 2
INEQUAÇÕES
Uma inequação com uma incógnita 𝑥 é uma expressão da forma 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), sendo 𝑓 e 𝑔 duas funções numéricas, 𝑓(𝑥) diz-se
o primeiro membro e 𝑔(𝑥) o segundo membro da inequação.
Resolução de inequações
2 (𝑥 +
1
3
) > 𝑥 −
1
2
(𝟏)
⇔ 2𝑥 +
2
3
> 3𝑥 −
1
2
(𝟐)
⇔
12𝑥
6
+
4
6
>
18𝑥
6
−
3
6
(𝟑)
⇔ 12𝑥 + 4 > 18𝑥 − 3
(𝟒)
⇔ 12𝑥 − 18𝑥 > −3 − 4
(𝟓)
⇔ − 6𝑥 > −7
(𝟔)
⇔ 6𝑥 < 7
(𝟕)
⇔ 𝑥 <
7
6
𝑆 = ]−∞,
7
6
[
(1) Aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação de
forma a obter uma inequação equivalente sem parenteses.
(2) Reduzem-se os termos da inequação ao mesmo
denominador.
(3) Eliminam-se os denominadores (principio da
multiplicação).
(4) Adicionam-se aos dois membros −18𝑥 − 4 (principio da
adição).
(5) Simplifica-se os termos.
(6) Multiplica-se ambos os membros por (−𝟏) e inverte-se o
sentido da desigualdade (principio da multiplicação).
(7) Simplifica-se o resultado e apresenta-se a solução.
1,74 < √2 +
1
3
< 1,76

3. 1. Em relação a dois números reais positivos 𝑎 e 𝑏 sabe-se que 𝑎 < 𝑏.
Completa os espaços em branco com um dos sinais < ou >:
a) 𝑎 − 7 … 𝑏 − 7
b) 2𝑎 + 5 … 2𝑏 + 5
c) 𝑏 −
3
5
… 𝑎 −
3
5
d) 5 − 2𝑎 … 5 − 2 𝑏
e) −
𝑏
4
… −
𝑎
4
f)
2
𝑎
…
2
𝑏
g) 𝑎2
− √5 … 𝑏2
− √5
h)
7
𝑎2
…
7
𝑏2
i) 1 −
3
𝑏
… 1 −
3
𝑎
2. Na figura ao lado está representado um pentágono regular
[𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸] e uma circunferência de centro 𝑂 que contém os
vértices do pentágono.
Sabe-se que:
 2,12 < 𝑂𝐴̅̅̅̅ < 2,13
 2,49 < 𝐴𝐵̅̅̅̅ < 2,50
a) Justifica que o perímetro 𝑃 do pentágono é tal que
12,45 < 𝑃 < 12,50.
b) Atendendo aos dados da figura, e considerando que
3,141 < 𝜋 < 3,142, determina um valor
aproximado por excesso às décimas do perímetro do círculo de centro 𝑂 e raio 𝑂𝐴̅̅̅̅.
3. Os valores de 𝜋 e de √5 com cinco casas decimais são: 𝜋 ≃ 3,14159 e √5 ≃ 2,23607.
Indica:
a) Um valor aproximado de 𝜋, por excesso, com um erro inferior a uma décima.
b) Um valor aproximado de √5, por defeito, com erro inferior a
1
100
.
c) Um valor aproximado de 𝜋, por defeito, com um erro inferior a 0,01.
d) Um valor aproximado de √5, por excesso, com erro inferior a 10−3
.
4. Sabe-se que 𝑎 e 𝑏 são dois números reais tais que 1 < 𝑎 < 3 e 2 < 𝑏 < 7.
Aproxima, por defeito, às unidades √2𝑎 + 3𝑏
3
5. Sabe-se que 𝑎 e 𝑏 são duas grandezas tais que 3,4 < 𝑎 < 3,5 e 4,7 < 𝑏 < 4,8.
Faz um enquadramento do valor numérico das expressões:
a) – 𝑎
b) 𝑎 + 2𝑏 c) 𝑏 − 𝑎
d) −5𝑎
e) 𝑎2
− 1
f) 1 − 𝑎2
6. Os números 9 e 12 são valores aproximados, respetivamente, de 𝑎 e 𝑏 com um erro inferior a
0,01. Que valores pode tomar 𝑎 + 𝑏?
7. Sabe-se que:
 −3 é uma aproximação do número 𝑥 com erro inferior a 0,3;
 5 é uma aproximação do número 𝑦 com erro inferior a 0,1;
Qual é o erro máximo cometido ao aproximar 𝑥𝑦 por −3 × 5 = −15 ?
8. Determina um intervalo de números racionais de amplitude não superior a
1
2
e que contenha √10
3

4. 9. Considera os números:
𝑥 = (1 + √3)(1 − √3) 𝑦 = √4 −
5
8
3
× 22
a) Calcula o valor de 𝑥 e o valor de 𝑦.
b) Completa com os símbolos < ou >.
𝑥 … 𝑦 𝑥 − 3 … 𝑦 − 3 2𝑥 … 2𝑦
−5𝑥 … − 5𝑦
10. Considera um cubo cujo volume é 16 𝑐𝑚3
Determina um valor aproximado, por defeito, com erro inferior a 0,2, da medida da aresta do cubo.
𝑥 23 24 25 26 27 28 29 30
𝑥3 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389 27000
11. Determina um intervalo de extremos racionais e de amplitude inferior ou igual a
1
2
que contenha
√15.
𝑥 35 36 37 38 39 40 41 42
𝑥2 1225 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764
12. Um prisma triangular regular cuja base tem de área 40 𝑐𝑚2
e de altura 20 𝑐𝑚, vai ser substituído
por quatro reservatórios cúbicos iguais, com capacidade total igual à do prisma.
Determina as dimensões dos reservatórios cúbicos utilizando a tabela de cubos perfeitos seguinte:
𝑥 55 56 57 58 59 60
𝑥3 166 375 175 616 185 193 195 112 205 379 216 000
Apresenta o resultado aproximado às décimas do centímetro, por defeito.
13. Simplifica as expressões seguintes, apresentando o valor exato:
a) 4√3 + 7√3 − 9√3 b) √3 + 11√3 − 9√3
c) 3√2 + (√2 − 5√3)
2
d) (3√2 + √3)
2
+ (√2 − 5√3)
2
14. Calcula o valor exato da área e do perímetro do seguinte quadrilátero:
a) b)
15. Considera o conjunto: 𝐴 = {−2;
2
3
; −√5; 0; −√20; 𝜋; 5, (3);
10
2
; −
11
3
; √10}
a) De entre os elementos do conjunto 𝐴 indica:
i. Os que são números inteiros;
ii. Os que são racionais mas não inteiros;
iii. Os que são irracionais
b) Representa na reta real os elementos do seguinte conjunto: 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∶ −4 < 𝑥 < 3}
c) Coloca os elementos de 𝐴 por ordem crescente.
d) Classifica as dízimas dos elementos de 𝐴

5. Página 5 de 6
16. Completa com um dos símbolos >, < ou = de modo a obteres proposições verdadeiras.
a) – 𝜋 _________ − 3, (15) b) 0,27 ____________0, (27)
c) √20___________4, (47)
d) √0,14______________√
7
50
17. Considera os seguintes subconjuntos de ℝ:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −√10 < 𝑥 <
3
2
} ; 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ −4 > 𝑥 ∨ 𝑥 >
1
3
} e 𝐶 = ]−2,
7
2
]
a) Representa os seguintes conjuntos na forma de intervalo ou reunião de intervalos: 𝐴 e 𝐴 ∩ 𝐵.
b) Define em compreensão o conjunto 𝐶.
c) Qual é o menor número inteiro que pertence ao conjunto 𝐴?
d) Indica:
i. Um número racional não inteiro que pertença simultaneamente aos três conjuntos.
ii. Um número irracional que pertença a 𝐴 e não pertença a 𝐵 nem a 𝐶.
18. Escreve, sempre que possível, na forma de um único intervalo de números reais:
a) ]−3, 3[ ∪ {−3, 3} b) ]−5, 7[ ∪ [0, 10[
c) ]−1,
3
2
[ ∩ [1,
5
3
] d) ]−∞,
5
2
] ∩ [
3
2
, +∞[
19. Determina o conjunto de valores que 𝒙 pode tomar, de modo a que a expressão
2(𝑥−1)
3
− 0,4 tome
valores não positivos.
20. Defina, em extensão, cada um dos seguintes conjuntos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ0
−
∶ 6𝑥(𝑥 + 2) + 3 ≥ (2𝑥 − 1)(4 + 3𝑥)}
𝐵 = {𝑦 ∈ ℕ ∶ (𝑦 − 2)2
> (𝑦 − 2)(𝑦 + 2)}
21. Resolve cada uma das seguintes inequações e apresenta o conjunto - solução sob a forma de
intervalo de números reais:
a) 3𝑥 − 9 ≥ 0; b) 2𝑥 −
1
3
> 0; c) −2𝑥 >
1
2
;
d) 3𝑥 ≥ −
1
2
; e) −2𝑥 +
1
3
> 0; f)
1−𝑥
3
≥ 1 −
𝑥+1
−3
;
g) 2(2𝑥 − 1) < 3 −
3−8𝑥
3
; h)
0,3𝑥−1
0,2
≤
−0,3𝑥+2
−0,2
; i) 3 −
1
2
𝑥 ≤
1
3
;
j) −0,2𝑥 − 1 ≥ −1; k) −3𝑥 −
1
2
≤ −4𝑥 + 5; l)
1
2
− 0,2𝑥 > 3 −
𝑥
2
;
m)
1−3𝑥
2
> 1 −
𝑥−1
3
; n) 1 −
𝑥
2
≥ −
3𝑥−1
4
; o)
𝑥
2
−
1+𝑥
5
≤ 1 +
2(𝑥−1)
5
;
p)
𝑥 +
2
3
𝑥
3
≥ 𝑥 −
4
−3
.

6. Página 6 de 6
22. Determina o maior inteiro que verifica a inequação
𝑥+7
10
−
𝑥−5
5
>
𝑥−1
15
.
23. Determina o menor inteiro que verifica a inequação
𝑥−1
2
−
𝑥+1
3
>
1−2(𝑥−1)
6
.
24. Indique o menor e o maior número pertencente ao conjunto:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ ∶
𝑥 + 3
2
−
2𝑥 − 1
3
> 𝑥 ∧
𝑥
2
+ 1 > 0 }
25. Resolva cada uma das inequações seguintes apresentando o conjunto–solução sob a forma de
intervalo de números reais:
a) −2𝑥 − 3 ≥ 3𝑥 − 13; b)
𝑥+1
4
> −𝑥;
c) 5(𝑥 + 3) >
1
2
𝑥; d)
𝑥
4
− 1 > 3;
e) 3(𝑥 + 5) > 0; f) 3𝑥 + 8 ≥ 0 083x  ;
g)
𝑥+2
4
< 2.
26. Resolve, em ℝ, as inequações:
a) 6𝑥 − 1 > 2; b) 4𝑥 − 1 < 3 +
1
2
; c) 3(𝑥 + 2) < 5(1 + 𝑥);
d)
𝑥+1
6
− 1 ≥
2𝑥−3
4
;
e)
𝑦+3
6
≤ 2 −
4−3𝑦
2
;
f) (3 + 𝑥)2
> 𝑥2
− 1 +
7𝑥;
g)
3−𝑦
3
−
3(𝑦−3)
4
>
4−5𝑦
12
; h)
𝑥+4
8
− 3 < −
4−𝑥
6
;
27. Resolve, em ℝ, os seguintes sistemas, apresentando sempre que possível, o conjunto solução na
forma de intervalo:
a) {
3𝑥 − 2 > 2𝑥 + 1
1 − 2𝑥 < 6 + 3𝑥 b) {
𝑥 − (
𝑥
2
+ 1) ≥ 0
1 −
𝑥
2
> 1
Bom Trabalho
As professoras: Cristina Alves e Laurinda Barros